专题05 平面解析几何（讲义）-2026版浙江省（单考单招）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版浙江省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及浙江省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版浙江省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第5个专题，内容为平面解析几何。 2026版浙江省（对口招生）二轮复习 《数学考纲专题练》 大题专项 专题5 平面解析几何 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 （1）直线与圆的位置关系：理解直线与圆的位置关系及判定方法，初步掌握直线与圆相交时弦长的求法及圆的切线方程的求法。 （2）椭圆、双曲线、抛物线：理解椭圆、双曲线、抛物线的概念及标准方程；初步掌握三种曲线的几何性质及直线与曲线的综合应用。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 25 直线与圆的位置关系 9 （1）分值：一般考查2题，2025年分值占21分。 （2）内容：直线与曲线的位置关系及综合应用。 解答题 29 直线与双曲线的综合应用 12 2024 解答题 29 直线与圆相交 9 解答题 33 直线与椭圆的综合应用 12 2023 解答题 30 直线与圆相交 9 解答题 34 直线与双曲线的综合应用 10 2022 解答题 30 直线与圆的综合应用 9 解答题 35 直线与椭圆、点差法 10 2021 解答题 30 直线与圆的综合应用 9 解答题 34 直线与抛物线的综合应用 10 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年浙江省单独招生考试依然有2道题目考查平面解析几何解答题，共21分。 具体考点可能涉及如下内容： （1）直线与圆的位置关系：理解直线与圆的位置关系及判定方法，初步掌握直线与圆相交时弦长的求法及圆的切线方程的求法。 （2）圆锥曲线：理解椭圆、双曲线、抛物线的概念及标准方程：直线与圆锥曲线的综合应用。 四、知识梳理 一、圆 1.直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系有相交、相切、相离. （2）判断方法一：直线方程与圆方程联立方程组，可得一元二次方程的判别式. ①相交；②相切；③相离. （3）判断方法二：比较圆心到直线的距离与半径的大小. ①相交；②相切；③相离. （4）过圆上一点的切线方程为. （5）直线与圆相交，弦长公式为. 二、椭圆 1.定义：平面内与两定点，的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，即：. 标准方程 图形 焦点和焦距 焦距为，其中，，三者之间的关系为 顶点 轴 长轴长：；短轴长： 离心率 椭圆的离心率为，显然。当离心率越小时，椭圆就越圆；当离心率越大时，椭圆就越扁。 三、双曲线 1.定义：平面内与两定点，的距离之差的绝对值等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线，即：. 标准方程 图形 焦点和焦距 焦距为，其中，，三者之间的关系为 顶点 轴 实轴长：；虚轴长： 离心率 双曲线的离心率为，显然. 渐近线 2.等轴双曲线： （1）等轴双曲线的离心率； （2）渐近线方程为； （3）等轴双曲线的两条渐近线互相垂直； （4）等轴双曲线方程可设为 四、抛物线 1.定义：平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线，即. 五、经典例题解析 【考试题型1】直线与圆位置关系中求弦长 【例1】已知圆的方程为：，直线： (1)求该圆的圆心坐标和半径. (2)判断直线与圆是否相交？若相交，求相交的弦长. 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2)相交， 【分析】（1）将圆的一般式方程化为标准方程，得到圆心和半径即可； （2）先求出圆心与直线的距离，再与半径进行比较，判断直线与圆的位置关系，并求出其弦长即可. 【详解】（1）因为圆的方程为：， 所以， 圆的圆心坐标为，半径为. （2）由圆心到直线的距离为 ， 由，所以直线与圆相交， 则弦长. 【例2】已知圆与直线相切于点. (1)求的值； (2)过圆内一点的直线与圆交于两点，求弦长的最小值. 【答案】(1)，. (2). 【分析】（）根据直线与圆相切的性质列出方程组即可得解. （）根据直线时，弦为最小值，结合两点解距离公式及弦长公式即可得解. 【详解】（1）圆，则圆心坐标为， 圆与直线相切于点， 直线，则直线斜率为， 所以直线的斜率为，即， 又因为点在圆上，则， 联立方程组得，解得， 所以，. （2）因为，， 所以圆， 所以圆心坐标，半径， 当直线时，弦为最小值， ， ， 所以弦长的最小值为. 【考试题型2】已知直线与圆相交弦长求方程 【例3】已知方程表示圆. (1)求实数的取值范围； (2)若圆与直线交于，两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由方程表示圆的条件，列出式子解得的取值范围； （2）首先确定圆的圆心和半径，结合列出式子，解得. 【详解】（1）已知方程表示圆， 可得， 解得，即的取值范围是. （2）由圆的方程， 可知圆心为，半径为， 点到直线的距离为， 由于， 解得. 【例4】已知点和圆. (1)求过点P与圆相切的直线方程； (2)过点P作直线l交圆于A、B两点，若，求直线l的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由题可知过点P的圆的切线方程有两条，然后根据切线斜率是否存在进行分类讨论并求切线方程即可求解. （2）设出直线斜率k，根据点到直线的距离公式和弦长列出方程即可求解. 【详解】（1）由题意，点P在圆外，所以过点P的圆的切线方程有两条. ①当切线斜率不存在时，切线方程为：， 此时圆心到该切线的距离，相切， 所以直线方程符合题意. ②当切线斜率存在时，设斜率为， 则切线的方程可设为：，即. 由圆心到直线的距离得， 所以切线的方程为. 综上所述，过点P与圆相切的直线方程为或. （2）由（1）可知，直线的斜率必存在， 设的方程可设为：，即. 由弦长得， 而由圆心到直线的距离得或， 所以直线l的方程为：或. 【考试题型3】直线与圆锥曲线的相交问题 【例5】已知椭圆（）的离心率为，且椭圆经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的左焦点作斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，为C的右焦点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率以及椭圆过点求解即可. （2）根据直线的点斜式得到直线l，与椭圆的方程联立得到A，B两点坐标，再根据三角形的面积公式求解. 【详解】（1）∵椭圆（）的离心率为， ∴，又，所以. 又因为椭圆经过点，则， 结合，解得，． 故椭圆的方程为； （2）椭圆的左焦点，右焦点，设，， 则直线的方程为. 联立，整理得，解得或， 当时，；当时，， 所以的面积． 【考试题型4】点差法 【例6】已知椭圆 ，直线过点且与椭圆交于两点. (1)当直线的斜率为时，求线段的长度； (2)当点P恰好为线段中点时，求直线 的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，先求出直线的方程，与椭圆联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，即可代入求解； （2）根据题意，可设，结合中点坐标公式可得，将两点代入椭圆方程，利用点差法，即可求出直线的斜率，继而求解. 【详解】（1）因为直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为，即， 所以，消元化简得， 设，则， 所以； （2）由题意，设， 因为点为线段的中点，则，即， 因为在椭圆上，所以， 两式相减得，即， 所以，即， 所以，即直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即. 【考试题型5】直线与圆的综合应用 【例7】已知⊙M：，直线l：，点P在直线l上，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点分别为A，B． (1)若，试求点P的坐标； (2)直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出的长度，再设出P点坐标，利用两点间距离公式求解即可； （2）首先判断出A，B在以MP为直径的圆上，再求出以MP为直径的圆的方程，然后将⊙M方程与方程相减得出直线AB方程，最后求出定点即可. 【详解】（1）连接MP、MA、MB，因为直线PA和直线PB是⊙M的切线，切点分别为A，B，所以，且. 若，则. 在直角中，，，则. 设P点坐标为，因为， 所以，解得或， 所以或. （2）因为，所以A，B在以MP为直径的圆上， 设P点坐标为，则MP的中点Q坐标为， ， 所以方程是：， 即. 因为直线AB是⊙M与的公共弦，故直线AB方程为：， 即，即， 令，解得.所以直线AB是过定点. 【例8】已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点． (1)求的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得直线的斜截式方程，利用圆心到直线距离小于半径，列不等式可求解； （2）联立直线与圆方程，利用向量内积的坐标表示，结合韦达定理得的值，从而可知直线过圆心，据此可得解. 【详解】（1）由圆可知，圆心，半径. 因为直线过点且斜率为， 所以直线方程可表示为，即. 又因为直线与圆交于，两点， 所以， 即，解得， 所以的取值范围为； （2）设，由题意，过点的直线方程为，代入圆，可得 ，则有， 所以 ， 由，解得， 显然满足（1）中结论. 此时直线的方程为，即，则 圆心在直线上，为圆的直径， 所以. 【考试题型6】直线与圆锥曲线的综合应用 【例8】已知椭圆的两个焦点为，点P在椭圆C上，，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l过圆的圆心M，交椭圆C于两点，且关于点M对称，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的定义与勾股定理求得，从而得解； （2）利用点对称得到，再利用点差法求得直线l的斜率，从而利用点斜式求得直线l的方程，再检验即可得解. 【详解】（1）由题意知，，所以． 所以，所以． 故． 所以椭圆C的方程为． （2）圆的方程可化为，故圆心为． 由题意知，直线l的斜率k存在，设，    因为关于点对称，故， 由题意知，两式相减，得， 则上式可化为，所以， 所以直线方程为，即， 经检验，直线满足题意. 则所求直线方程为． 六、专题归纳小结 近年来，浙江省高职考三角函数解答题主要内容为包含直线与圆的位置关系与直线与圆锥曲线应用。试题倾向于直线与圆相交时弦长的求法及圆的切线方程的求法，以及直线与圆锥曲线的综合应用。 学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $