专题04 立体几何（讲义）-2026版浙江省（单考单招）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版浙江省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及浙江省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版浙江省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第4个专题，内容为立体几何。 2026版浙江省（对口招生）二轮复习 《数学考纲专题练》 大题专项 专题4 立体几何 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 （3）多面体和旋转体的表面积和体积：理解多面体和旋转体的侧面积公式、体积公式。 （5）空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系：理解空间中直线与平面两两之间的位置关系及相应的判定定理和判定定理、性质定理。会求解线线、线面、面面之间的夹角。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 27 四棱锥的体积、二面角 10 （1）分值：一般考查2题，2025年分值占19分。 （2）内容：三角恒等变化、正弦型函数、解三角形。 2024 解答题 31 四棱锥的体积、二面角 10 2023 解答题 32 四棱锥的体积、二面角 9 2022 解答题 32 组合体的体积、二面角 9 2021 解答题 32 四棱锥的体积、二面角 9 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年浙江省单独招生考试解答题部分仍有1道题目考查立体几何知识点，分值共10分左右，内容为包含求二面角、体积问题、折叠问题、等体积法等。试题倾向于让学生求解二面角、体积等。 四、知识梳理 一、点、线、面的位置关系 （一）空间两条直线的位置关系 1.空间直线 异面直线所成角的范围是，当异面直线所成角为时，两条异面直线互相垂直. （二）直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系为：直线在平面内、相交和平行. 2.直线与平面平行的判定与性质 （1）直线与平面平行的判定 判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（线线平行线面平行） 3.直线与平面垂直的判定与性质 （1）直线与平面垂直的判定 判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（线线垂直线面垂直） （2）直线与平面垂直的性质定理 ①如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线互相平行. ②如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线. 4.直线与平面所成的角： （1）平面的斜线 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图：是平面的斜线，是平面的垂线，则是斜足，是垂足，是在平面内的射影. ①斜线在平面内的射影：过斜足和垂足的直线. ②斜线与平面所成的角：斜线与它在平面内的射影所成的锐角. ③直线与平面所成角的范围为.一条直线垂直于一个平面，这条直线与平面所成的角为；一条直线平行于一个平面，这条直线与平面所成的角为. 5.三垂线定理： 如图：①是平面的一条斜线. ②平面，则是在 平面内的射影. ③是平面内的一条直线. 则 （垂斜必垂射） （垂射必垂斜） （三）平面与平面的位置关系 1.两个平面垂直的判定与性质 （1）两个平面垂直的判定 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 2.二面角的定义 （1）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面组成的图形，这条直线叫做二面角的棱.如下图二面角记作：. （2）如何找二面角的平面角： ①定义法：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条直线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. ②三垂线定理法 五、经典例题解析 【考试题型1】求二面角 【例1】如图所示，已知棱锥的底面是矩形，平面，，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正切值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理求解即可. （2）首先找出平面与平面所成角，再求解即可. 【详解】（1）因为平面，且平面，所以. 因为底面是矩形，，，所以. 所以底面是正方形，进而. 又因为平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以. 又，，平面，所以平面， 进而.因此，是平面与平面所成角的平面角. 在中，所以， 所以平面与平面所成角的正切值为. 【例2】如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上的一点，且，求二面角的大小. 【答案】 【分析】根据线面垂直的判定定理得出平面，得出是二面角的平面角，求出的大小即可. 【详解】因为平面，平面， ，是的直径，且点在圆周上， ， 又，，平面，平面， 又平面，， 又是二面角的棱， 是二面角的平面角， 由知是等腰直角三角形，， 即二面角的大小是. 【例3】如图，已知平面平面，，，若，求二面角的大小. 【答案】. 【分析】首先找出二面角，再结合三角形的边长关系与三角函数来计算角度. 【详解】如图所示，在平面内作，，垂足为，连接. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以. 因为 ，平面， 所以平面，从而，所以是二面角的平面角. 因为，，， 设，则. 因为，,，所以 因为，，可得. 又因为，所以， 即，于是二面角为. 【考试题型2】体积问题 【例4】如图所示，在直棱柱中，，，，二面角的大小为.求：    (1)棱的长； (2)点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再证明平面，由此可得是二面角的平面角，再根据角度与边的关系即可求解； （2）根据等体积，即即可求解. 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵平面， ∴是在平面上的射影， 由平面，平面， ∴， 又，，平面， ∴平面， 又平面， ∴， ∴是二面角的平面角， 即， ∴， 又∵，， ∴， 即. （2） ∴ 点到平面的距离为. 【例5】如图所示，四棱锥的底面是正方形，侧面是边长为2的正三角形，且二面角的大小为，求： (1)该四棱锥的体积； (2)二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由线线垂直找到二面角的平面角，再求出四棱锥的高，代入四棱锥的体积公式即可求解. （2）先由线线垂直找到二面角的平面角，再由边的关系即可求解. 【详解】（1）取的中点分别为，连接， 过点作交与H， 因为点分别为的中点，是正三角形， 所以， 又因为底面是正方形，，即 所以， 所以是二面角的平面角，即， 又因为，所以， 可得， 在直角中，， 因为，， 又，平面， 所以平面，且平面， 所以，又， 又，平面， 所以平面， 即为四棱锥的高， 所以. （2）由（1）知，平面，即平面， 且平面，所以， 又因为，所以， 又因为， 是二面角的平面角， 又因为，， 在直角中，， 又因为，所以， 在直角中，， 又，所以可得， 即二面角的大小为. 【例6】在直三棱柱中，点E是棱AC上的动点，，，，． (1)若点F是棱上的动点，求三棱锥的体积． (2)若点F是棱的中点，求二面角的正弦值． 【答案】(1)12. (2). 【分析】（）根据直三棱柱的性质及线面垂直的判定求出点到平面的距离，代入棱锥体积公式即可得解. （）根据线面垂直的判定及性质找到二面角的平面角，利用三角函数的定义即可得解. 【详解】（1）直三棱柱，，所以，， 平面，，所以平面， 又因为∥平面，所以点到平面的距离为， 所以． （2）因为，，平面，， 所以平面，平面， 所以， 因为，所以为二面角的平面角， 又， 故二面角的正弦值为． 【例7】如图所示，已知三棱锥中，，平面，求： (1)三棱锥的体积； (2)二面角的正切值； (3)直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三棱锥的体积公式求解即可. （2）首先找到二面角，再根据正切函数的定义求解. （3）首先找到直线与平面所成角，再根据正弦函数的定义求解. 【详解】（1）因为，即，有， 所以. 因为平面，所以为三棱锥的高. 则. （2）因为平面平面，所以. 又，平面， 所以平面. 因为平面，所以， 则就是二面角的平面角. 在中，， 即二面角的正切值为2. （3）因为平面平面，所以； 又因为，平面，， 所以平面. 所以就是直线与平面所成的角. 在中，，. 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【考试题型3】平面图形折叠问题 【例8】如图1，在矩形中，，，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面． (1)求四棱锥的体积； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1). (2)． 【分析】（）根据面面垂直的性质得出棱锥的高，代入棱锥的体积公式即可得解. （）根据题意作出辅助线，利用三垂线定理找到平面角，结合中位线的性质即可得解. 【详解】（1） 取的中点，连，，． 平面平面，平面， ，四边形的面积， ． （2） 过作，连， 平面，所以为在平面的射影， 由三锤线定理可知 ， 则平面平面，平面，平面，且，， 是二面角的平面角， 过点作∥，因为∥，，所以四边形为矩形，则， 又因为∥，为中点，所以， 所以，． 所以二面角的正切值是． 【例9】如图所示，已知是等腰直角三角形，是正三角形，且.以为折痕，将向上折叠，使得D点在平面中的射影与A点重合. (1)求二面角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1). (2). 【分析】（）取中点，连接，根据题意找到二面角的平面角，根据D点在平面中的射影与A点重合得到平面，结合线面垂直的性质及勾股定理即可得到二面角的余弦值. （）由平面得为三棱锥的高，代入棱锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）如图所示，取中点，连接， 所以等腰直角中，，所以， 因为是正三角形，所以， 所以二面角的平面角为， 因为D点在平面中的射影与A点重合，所以平面， 平面，所以， ，所以，， 则，， 所以， 即二面角的余弦值为. （2）因为平面，， 则，即为三棱锥的高， 则三棱锥的体积为. 六、专题归纳小结 近年来，浙江省高职考立体几何解答题主要内容为包含求二面角、体积问题、折叠问题、等体积法等。试题倾向于让学生求解二面角、体积等，要求学生熟练掌握空间中平行、垂直关系的判定定理，求解夹角的方法，求解体积的常见方法。 学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $