专题04 立体几何（B卷·能力提升）--2026版浙江省（单考单招）二轮复习《数学考纲专题练》

公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 编写说明：2026版浙江省（单考单招）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等、 职业学校数学课程标准》及浙江省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试！ !动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每 1个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版浙江省（单考单招）二轮复习《数学考纲专题练》的大题专项第 {4个专题，内容为立体几何。 2026版浙江省（单考单招）《数学考纲专题练》 大题专项专题4立体几何 (B卷·能力提升) 班级 姓名 学号 成绩 一、解答题 1.如图，过圆锥的顶点S作截面SAB与底面成60°的二面角，且A,B分底面圆周为1：2两 段弧，已知截面SAB的面积为8√3 ￥O A (1)求圆锥的侧面积， (2)求底面圆心到截面SAB的距离· y 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 2,如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面 ABCD,AD//BC,AD L CD,AD=1,BC=3,CD=4,PD=3. ◇ B D (1)求直线PB与平面ABC所成角的正切值： (2)求四棱锥P-ABCD的体积 3.如图所示，在三棱锥D-ABC中，DC⊥平面ABC,AC⊥BC, ∠ABC=30,4B=2CD-3,求 D (1)D到AB的距离： (2)二面角D-AB-C的大小， 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 4.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，已知AC=BC=2,BC⊥AC,AA=3,E为线段AC的 中点.求 小 Bi C E A (1)三棱锥C-C,B,E的体积， (2)直线B,C与平面ACE所成角的正切值 3 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 5.如图所示，已知在长方体ABCD-A,B,CD,中，AB=5,BC=4,CC=12,点P为BC 上的点，且BP=BC,求： 23 D C A16 B C . B (1)去掉四棱锥P-ADD,A,后剩余几何体的体积； (2)二面角P-DA-B的平面角的正切值， 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 6.如图所示，已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，且点E,F分别为棱BC,AD的中点， 求： B E C A D B C D (1)三棱锥E-B,FC,的体积： (2)二面角B,-EF-C,的余弦值. 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 7,如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O, △PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD=√6，AP=4AF, D B (1)求证：P0⊥平面ABCD; (2)求直线CP与平面BDF所成角的大小 B在线段PB上是否存在一点M,使得CM∥平面BDF?如果存在，求B的值 BP 如果不存在，请说明理由， 6 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 8.如图所示，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，D,E分别为AB,BC的中点，点F在侧棱B,B ,且BD⊥AF,A,C⊥AB. D (1)求证：直线DE∥平面A,C,F; (2)若AB=AA,=4,求AB,与平面B,DE所成角的余弦值. > 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 9.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面 ABCD,PD=AD.求： A B (1)直线PB与平面PDC所成角的正切值； (2)二面角A-PB-D的正切值 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 10.如图所示，已知底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD,且AD=2,PA=2V5,求： D B (1)二面角P-CD-A的大小； (2)点B到平面PAC的距离， 9 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 11.如图(a)所示，在菱形ABCD中，已知∠ABC=120°，AB=1,将菱形ABCD沿BD折 成二面角A-BD-C,连接A,C两点，如图(b)所示. B (a) (b) (1)若AC=√2，求三棱锥A-BCD的表面积； (2)当三棱锥A-BCD的体积取得最大值时，求直线AC与平面BCD所成角的大小. 12.如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥平面BB,CC,且四边形BB,CC是菱形 ∠BCC1=60°. B C (1)求证：AC1⊥B,C; ②喏AC上AB,三棱锥A二B,C的体积为6求ABC的面表 10 编写说明：2026版浙江省（单考单招）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及浙江省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版浙江省（单考单招）二轮复习《数学考纲专题练》的大题专项第4个专题，内容为立体几何。 2026版浙江省（单考单招）《数学考纲专题练》 大题专项专题4 立体几何 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 1、 解答题 1．如图，过圆锥的顶点S作截面与底面成的二面角，且A，B分底面圆周为两段弧，已知截面的面积为． (1)求圆锥的侧面积； (2)求底面圆心到截面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取中点D，连接，，可证明是截面与底面所成二面角的平面角，设半径为r，由面积公式，可得，从而可求，再根据圆锥的侧面积公式可求解. （2）设底面圆心到截面的距离为h，利用等体积法可求解. 【详解】（1） 取中点D，连接，， 因为， 所以， 所以是截面与底面所成的二面角的平面角，故， 设半径为r，因为A，B分底面圆周为两段弧， . 在中，可得，. 在直角中，可得，. 因为截面的面积为，所以，解得， 可求得，， ． （2）设底面圆心到截面的距离为h， 由可得 ，得． 2．如图，在四棱锥中，平面． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由平面，可确定直线与平面所成的角，再由锐角三角函数的定义求值即可. （2）根据棱锥的体积公式求值即可. 【详解】（1）连接，平面， 为直线与平面所成的角， 在四边形中，， ，且， ，， 则. （2）平面， 为四棱锥的高， 由（1）可知，，且， ，过点作的垂线，交延长线为， ，，， 为矩形，则， ，， ， 四棱锥的体积. 3．如图所示，在三棱锥中，平面，，求： (1)到的距离； (2)二面角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，过点作，垂足为，连接，则是到的距离， 结合线面垂直的判定定理和性质定理，可得，结合解直角三角形，即可求解； （2）根据题意，由（1）知，结合二面角的概念可得是二面角的平面角，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】（1） 如图，过点作，垂足为，连接， 是到的距离， 平面，平面， ， 又平面，平面， 平面，又平面， ， 在中，，， ， ， 到的距离为. （2）由（1）知， 是二面角的平面角， 在中，， ， 又二面角的范围是， ， 即二面角的大小为． 4．如图，在直三棱柱中，已知，为线段的中点.求 (1)三棱锥的体积； (2)直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合棱锥的体积公式，即可求解； （2）根据题意，结合线面垂直的判定定理，可得平面，继而得到直线与平面所成角为，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】（1）因为在直三棱柱中， ，， 所以， ，平面， 又E为线段的中点，所以， 所以； （2）因为在直三棱柱中，平面， 又平面，所以， 又，平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角为， 即直线与平面所成角为， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值是. 5．如图所示，已知在长方体中，，，，点P为上的点，且，求： (1)去掉四棱锥后剩余几何体的体积； (2)二面角的平面角的正切值． 【答案】(1)160 (2) 【分析】（1）先求出四棱锥的体积，再由长方体的体积减去四棱锥的体积即可求解. （2）找到二面角的平面角，根据边的关系求解即可. 【详解】（1）因为点P为上的点， 所以点P到平面的距离即为AB的长度， 又因为，，， 所以， 长方体， 所以去掉四棱锥后剩余几何体的体积为. （2）取BC靠近点B的三等分点记作E，连接PE， 过点E作EF平行AB交AD于点F，如图： 因为点P为上的点，且， 所以，且， 又因为平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又， 所以为二面角的平面角， 在直角中，， 所以二面角的平面角的正切值为. 6．如图所示，已知正方体的棱长为2，且点分别为棱的中点，求： (1)三棱锥的体积； (2)二面角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意，结合线面垂直的性质定理，易证平面，结合棱锥的体积公式，即可求解； （2）根据题意，取的中点M，连接，，易得是二面角的平面角，结合解直角三角形及余弦定理，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接，如图， 则，， 因为平面，所以平面，即平面， 所以， 所以三棱锥的体积. （2）如图所示，取的中点M，连接，， 因为在正方体中， ， 所以和均为等腰三角形，所以， 所以是二面角的平面角， 在中，， 所以， 由余弦定理得， 所以二面角的余弦值为. 7．如图所示，在四棱锥 中，底面四边形 是菱形，， 是边长为 的等边三角形，，. (1)求证： 平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的大小； (3)在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？如果存在，求 的值，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直即可解得. （2）根据已知建立空间直角坐标系，再由法向量和向量坐标计算线面角大小即可解得. （3）根据向量的坐标和法向量进行计算即可解得. 【详解】（1）因为底面 是菱形，， 所以分别为，中点. 又因为 ，， 所以 ，，， 且面，面， 所以 底面 . （2）由底面是菱形可得， 又由（1）可知，. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，连接， 由是边长为的等边三角形，， 可得，. 所以，，，. 所以，. 由已知可得 ， 设平面的法向量为 ，则 令，则，所以. 因为， 所以直线与平面所成角的余弦值为， 所以直线与平面所成角的大小为. （3）设存在点，使得， 则 . 若使 平面，则需且平面， 解得，所以在线段上存在一点，使平面， 此时 . 8．如图所示，在直三棱柱中，分别为，的中点，点F在侧棱，且，. (1)求证：直线平面； (2)若，求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先根据平行线的传递性得出，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质得出平面， 再由线面垂直的判定定理得平面，得出为与平面所成角，再由余弦函数的定义和诱导公式求值即可. 【详解】（1）分别为，的中点， 为的中位线， ，为直三棱柱， ，， 平面，平面， 直线平面. （2）为直三棱柱， 平面，平面， ，， 且平面，平面，， 平面， ，平面， 平面，， ，且平面， 平面，， 平面， 故为与平面所成角. ，， ， 在中，， ， ，， ， 与平面所成角的余弦值为. 9．如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面，.求：    (1)直线与平面所成角的正切值； (2)二面角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，根据线面垂直的判定定理得平面，从而为在平面上的射影，根据线面角的定义，为直线与平面所成的角，利用三角函数的定义即可求解； （2）连接，交于点，根据线面垂直的判定定理得平面，作于，连接，则就是二面角的平面角，利用三角函数的定义即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接，， 是边长为的菱形，， 即是等边三角形，即， 平面，平面，， 又，且平面，平面， 平面， 所以为直线与平面所成的角， 因为， 所以，，， .    （2）连接，交于点， 是菱形，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，又平面，即， 作于，连接， 平面，即， 平面，平面，，平面， 又平面，则， 故就是二面角的平面角， 是边长为的菱形，，， ， 即是等边三角形，，， ， . 10．如图所示，已知底面是正方形，底面，且，求： (1)二面角的大小； (2)点到平面的距离. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）先找到二面角的平面角，进而求解； （2）根据线面垂直的判定定理即可求解. 【详解】（1）因为底面，平面， 所以， 因为底面是正方形， 所以， 又因为，平面，平面， 所以面， 因为平面，则, 所以为二面角的平面角， 在中，， 为三角形的内角， ， 即二面角的大小为. （2）如图所示，连接与交于点， 因为底面，平面， 所以 因为四边形是正方形，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为的长， 因为正方形的边长为， 则 即点到平面的距离为. 11．如图（a）所示，在菱形中，已知，，将菱形沿折成二面角，连接，两点，如图（b）所示. (1)若，求三棱锥的表面积； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）结合条件与棱锥的表面积公式求解即可； （2）根据面面垂直得到线面垂直，进而确定直线与平面所成角，即可得到答案； 【详解】（1）四边形是菱形，且，， 和都是等边三角形，故， ，，都是直角三角形， 同理是直角三角形， 三棱锥的表面积为 （2）当三棱锥的体积取得最大值时，平面平面， 取的中点，连接， 由题意可得，又平面平面，平面， 所以平面， 直线与平面所成的角为， 由已知可得，，， 直线与平面所成角的大小为. 12．如图，在三棱柱中，平面，且四边形是菱形，.    (1)求证：； (2)若，三棱锥的体积为，求的面积. 【答案】(1)证明过程见详解. (2) 【分析】通过连结利用线面垂直得出,再根据四边形是菱形,得出,平面,所以. 设菱形的边长为,求出,再根据题意,三棱锥的体积为可算出,进而求出. 【详解】（1）   连结, 因为平面,平面, 所以, 因为四边形是菱形, 所以, 因为, 所以平面，平面 所以. （2）由平面,,得, 设菱形的边长为, 因为, 所以, 因为, 所以,， 所以, 因为侧面,侧面, 所以, 所以在中,, 因为三棱锥的体积为, 所以，整理得, 解得, 所以,, 所以. 13．如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量、数量积求得向量的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果． （2）利用平面的法向量的求法列方程组解得平的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据点面距离与所求向量夹角之间的关系得结果． 【详解】（1）如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，连接， 则，又平面，所以平面， 又平面，所以，，又， 如图建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 因为为的中点，所以， 从而， ， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为为的中点，所以， 因此，. 设为平面的一个法向量， 则，即，不妨取， 同理可得平面的一个法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 14．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，， ， ，为的中点，为的中点，以A为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：求异面直线与所成角的大小； 【答案】 【分析】作于点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，再分别得出点的坐标，再由空间向量的坐标表示，和内积的运算求出与所成角的余弦值，即可得出与所成角的大小. 【详解】作于点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，由底面是边长为1的菱形， 可得， 因为，所以，又 则为等腰直角三角形，， 又，则，， 所以点， 因为，为的中点，所以. 则，， 所以，，， ，因为 所以，所以异面直线与所成角的补角为， 所以异面直线与所成角的大小为. 15．如图，已知三棱锥三条侧棱、、两两互相垂直，，， (1)求二面角的大小； (2)求三棱锥的体积； (3)求点P到平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取中点D，连结，，证明为二面角，然后利用直角三角形三角函数可求； （2）根据与体积相等，利用棱锥体积公式可求； （3）利用体积除以的面积得到的高，即为点P到平面的距离可求. 【详解】（1）取中点D，连结，, 因为，所以, 因为，，且、是平面内两条相交直线， 所以平面，因为平面， 所以为在平面的投影； 因为，所以， 所以是二面角的平面角， 因为，； 所以，所以； 又，所以； 所以二面角的大小为； （2）； （3）又，因为； 所以； 由得； 所以； 而点P到平面的距离，即为棱锥的高； 所以点P到平面的距离是1. 16．在四面体中，底面，，DE垂直平分，且分别交AC，SC于D，E，又，，求为棱以与为面的二面角的度数. 【答案】 【分析】利用线面垂直的性质定理与勾股定理，结合二面角的定义得到所求二面角的平面角，再利用三角函数的定义易得答案. 【详解】因为平面，平面 所以，，，设（）， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以，， 又垂直平分，所以， 所以，， 所以，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以是与为面的二面角的平面角， 因为在直角三角形中，. 17．如图所示，菱形ABCD的边长为3，，点是平面ABCD外一点，平面ABCD，且.求： (1)四棱锥的体积； (2)二面角的平面角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出底面积，利用棱锥体积公式求解； （2）根据题意找出二面角的平面角为，求出正切值即可. 【详解】（1）底面ABCD为菱形，边长为，， 对角线，且相互平分， ， . 面ABCD， . （2）如图，作于，连接， ， 面、面ABCD， ，， 平面，， 平面，又平面， ， 为二面角的平面角， 又， ， 即二面角的平面角的正切值为. 18．如图，长方体中，，E，F分别为棱的中点. (1)求直线与的夹角的余弦值； (2)求点D到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由夹角的向量公式代入求解即可. （2）由等体积法即可求解点D到平面的距离. 【详解】（1）如图所示，以D为坐标原点， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则点E，F的坐标分别为， 由此可知. 点A，的坐标分别为， 由此可知. 故， 即直线与的夹角的余弦值为. （2）由题意得，， 可得等腰底边上的高为， 从而, 设d为点D到平面的距离， 由，即， 得，即. 19．如图①所示，在等腰三角形ABC中，已知，沿着底边上的高线AD将△ABD折起，得到图②，使得，连接BC．求：    (1)直线AB与底面BCD所成角的正弦值； (2)二面角的平面角的正切值； (3)点B到平面ADC的距离. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过线线垂直得到线面垂直，进而确定直线与平面所成角； （2）由线线垂直确定二面角的平面角，进而求解即可； （3）借助棱锥的体积公式求解点到平面的距离即可； 【详解】（1）∵AD是BC边上的高，∴， 又∵BD与DC交于点D，平面，平面， ∴底面BCD， ∴AB在底面BCD内的射影为BD. ∴是直线AB与底面BCD所成的角． ∵在中，，∴， ∴，即直线AB与底面BCD所成角的正弦值为 （2）如图所示，取BC的中点O，连接DO，AO.    ∵ ∴， ∴是二面角的平面角. ∵在中，，∴， ∵在中， ∴； 即二面角的平面角的正切值为； （3）设点B到平面ADC的距离为d， ∵， ∴， ∴， 即点B到平面ADC的距离为. 20．边长为1的正方体中，过顶点B、D、作截面（如图所示）.    求： (1)二面角的余弦值； (2)三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，可得是二面角的平面角，在中可求解； （2）在正方体中，可得三棱锥的高为，根据棱体的体积公式可求解. 【详解】（1）    如图，取的中点，连接， 在正方形中，则有， 因为是正方形的对角线， 所以是正三角形，， 所以是二面角的平面角. 因为正方体的棱长为1，则， 所以，， 在中，， 所以是直角三角形， 所以； （2）在正方体中，平面， 所以三棱锥的高为， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $