专题03 数列（讲义）-2026版浙江省（单考单招）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版浙江省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及浙江省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版浙江省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第3个专题，内容为数列。 2026版浙江省（对口招生）二轮复习 《数学考纲专题练》 大题专项 专题3 数列 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 （1）等差数列：掌握等差数列的通项公式及前项和公式。 （2）等比数列：掌握等比数列的通项公式及前项和公式。 （3）数列的应用：初步掌握从实际情境中抽象出等差数列和等比数列模型解决简单实际问题的方法。二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 30 数列的综合应用 12 （1）分值：一般考查2题，2025年分值占19分。 （2）内容：三角恒等变化、正弦型函数、解三角形。 2024 解答题 34 数列的综合应用 12 2023 解答题 35 数列的综合应用 10 2022 解答题 34 数列的综合应用 10 2021 解答题 35 数列的综合应用 10 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年浙江省单独招生考试解答题部分仍有1道题目考查数列知识点，分值共15分左右，内容为数列图形分形问题、数列的实际应用问题、数列知识综合应用等。试题倾向于数列图形分形问题。 四、知识梳理 （一）求数列的通项公式 1.累加法 2.公式法（定义法） 3.累乘法 4.构造法 （二）求数列前项和 1.常规的等差数列、等比数列求和，运用等差数列、等比数列前项和公式直接求解. 2.分组求和法—适用于类似的形式. 3.裂项求和法—适用于的形式. 4.错位相减法—适用于的形式. 五、经典例题解析 【考试题型1】数列知识的综合应用 【例1】已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列，记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数列的综合实际应用 【分析】(1) 由等差数列前项和公式及已知条件可得，再结合，求得可得结果. (2)利用错位相减法可求得数列的前项和. 【详解】（1）由等差数列前项和公式及已知条件有 ， 解之得. 由，得，即. 又由，可得. 所以数列的通项公式 . （2）， ， ， ， 所以. 【例2】已知数列的前n项和为，若，且，其中. (1)求实数t的值； (2)求数列的通项公式； (3)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】对数的运算、利用an与sn关系求通项或项、数列的综合实际应用 【分析】（1）利用当,得出结论; （2）利用,易求通项公式; （3）利用裂项相消法求数列前项的和. 【详解】（1）因为当时,,解得; （2）, 当时, , , ,故数列是等比数列，且首项为1，公比为3， ; （3）得， 得: . 【例3】在如图三角形数阵中，第行有个数，表示第行第个数，例如，表示第4行第3个数．该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，，． (1)求及； (2)记，求． 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据规律填写数列中的某项、求等差数列的通项公式、求等比数列的通项公式、数列的综合实际应用 【分析】（1）由题意用表示,并代入式子即可得解. （2）根据等差数列和等比数列的通项公式求出,再利用错位相减即可得解. 【详解】（1）由题意得，. . . ∵. ∴,即． 又,∴. ∴. ∴. （2）. 当时,. 又,． ,符合. ∴. . ①. ②. 由①-②得. . . . ∴． 【例4】已知是数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式 (2)设为数列前n项的和，若对一切恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由Sn求通项公式、数列的综合实际应用、其他不等式 【分析】(1)利用代入即可求得通项公式； (2)裂项相消求得的前项和，再结合基本不等式求最值. 【详解】（1）因为是数列的前n项和，且，则，当时，，当时，，满足通项公式，所以的通项公式为. （2）因为为数列前n项的和，令， 则， ，因为对一切恒成立， 则，因为，当且仅当时，等号成立. 所以,所以实数的最大值为. 【例5】数列满足下列条件：． （1）设，求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】数列的综合实际应用 【详解】试题分析：（1）利用递推关系，可以得出是等比数列；（2）错位相减求和． 试题解析：（1）由已知有，又，是首项为，公比为的等比数列，即． （2）由已知有， 即…① 于是…② 得 ． 【考试题型2】数列知识的实际应用 【例6】某城市年年底人口总数为万，绿化面积为万平方米，假定今后每年人口总数比上一年增加万，每年新增绿化面积是上一年年底绿化面积的，并且每年均损失万平方米的绿化面积(不考虑其他因素)． (1)到哪一年年底，该城市人口总数达到万(精确到1年)？ (2)假如在人口总数达到万并保持平稳、不增不减的情况下，到哪一年年底，该城市人均绿化面积达到平方米(精确到1年)？ 【答案】(1)到年年底 (2)到年底 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算、数列的综合实际应用 【分析】（1）根据等差数列的首项和公差列出通项公式求解即可解得. （2）根据已知用数列表示出每年年底的绿化面积数，再根据数列求和与等比数列的求和公式即可解得. 【详解】（1）由题意知，自年起，每年的人口总数构成等差数列，其中首项，公差， 通项公式为， 设第n项，即，解得， ∵，∴． 故到年年底，该城市人口总数达到万； （2）由题意知，自年起，每年的绿化面积数构成数列， 其中是年年底的绿化面积数，； 是年年底的绿化面积数，； 是年年底的绿化面积数， , … 是年年底的绿化面积数， 设，即； 解得，由于，所以，； 故到年底，该城市人均绿化面积达到平方米． 【例7】为了更好地节约能源和保护环境，某市从2018年开始计划将5000辆燃油动力的旧公交车逐步更换为纯电力或混合动力新车（每投入一辆新车，则淘汰一辆旧车）.2018年投入纯电力公交车为64辆，混合动力公交车为400辆，已知今后纯电力车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力车每年投入量比上一年多75辆. (1)该市在2020年这一年更换了多少辆燃油动力公交车？ (2)前三年总共更换了多少辆燃油动力公交车？ (3)到哪一年，5000辆燃油动力公交车将全部更换完毕？ 【答案】(1)694辆 (2)1729辆 (3)2024年 【知识点】分组（并项）求和法、数列的综合实际应用 【分析】（1）由题意抽象出等量关系，借助等差数列、等比数列有关知识求解即可； （2）由数列的前n项和公式代数计算即可； （3）求出数列的前n项和，求解不等式即可. 【详解】（1）解：从2018年起，记每年被更换的燃油动力公交车记为数列. 由题意知：， ， 所以该市在2020年这一年更换了694辆燃油动力公交车. （2）由（1）得，. 所以前三年总共更换了1729辆燃油动力公交车. （3）设经过n年，5000辆燃油动力公交车将全部更换完毕，由题意知： 即， ， ， 令， 当时，， 当时，. 所以到2024年，5000辆燃油动力公交车已更换完毕. 【例8】习近平主席于2021年10月12日以视频方式出席《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会上发表主旨讲话，强调生态文明建设的重要，提出以绿色转型为驱动，助力全球可持续发展，使绿水青山产生巨大效益.为此，新疆维吾尔自治区计划对塔克拉玛干沙漠进行科学治理.现有甲、乙两种治理方案，其中甲方案为：第1年治理500亩，第2年治理1000，以后每年比上一年多治理500亩；乙方案为：第1年治理100亩，第2年治理200亩，以后每年都比上一年多治理100%. (1)如果分别采用甲、乙两种方案，5年各治理了多少亩？ (2)假设治理10年，请问：采用哪个方案更好？ 【答案】(1)7500亩，3100亩 (2)采用乙方案更好 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、数列的综合实际应用 【分析】（1）根据各方案的治理数据组成的数列性质，再根据等差数列和等比数列的求和公式计算. （2）根据等差数列和等比数列的求和公式计算10年的治理数据，比较大小即可判断方案优劣. 【详解】（1）因为甲方案的治理数据构成首项为500，公差为500的等差数列， 所以采用甲方案，5年治理了（亩）. 因为乙方案的治理数据构成首项为100，公比为2的等比数列， 所以采用乙方案，5年治理了（亩）. （2）采用乙方案更好，理由如下： 采用甲方案，10年治理了（亩）. 采用乙方案，10年治理了（亩）. 因为，即， 所以采用乙方案更好. 【考试题型3】数列图形分形问题的应用 【例9】科克曲线，又称雪花曲线，是科克于1904年构造出来的，雪花曲线的形状如图所示：第一个图形为一个边长为1的等边三角形；取第一个图形每边中间的，向外接上去一个形状完全相似但边长为其的三角形，得到第二个图形；取第二个图形的每个边中间的，向外接上去一个形状完全相似但边长为其的三角形，得到第三个图形……按上述规则进行下去，记为第n个图形的边长． (1)求； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等比数列的定义及判定、求等比数列的通项公式、错位相减法、数列的综合实际应用 【分析】（1）先根据第一个，第二个，第三个图形得到边长，再根据规律即可得出通项公式. （2）先表示出数列的通项公式，再由错位相减的求和方法求解即可. 【详解】（1）第一个图形为一个边长为1的等边三角形，则， 又因为取第一个图形每边中间的，向外接边长为其的三角形， 得到第二个图形，则， 同理可得， 所以可以发现所构成图形的边长是首项为1，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，， 所以， 故， 所以 又， 则， 即， 所以 整理. 【例10】如图所示，用边长为1的正六边形搭“平面塔式图形”，一层塔需要1个正六边形，接下来按每一层塔比它的上一层多一个六边形方式向下进行搭建……，以此类推搭建层塔，记一层塔周长为，二层塔周长为，三层塔周长为层塔周长为，得到数列．    (1)求10层塔图形的周长以及； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1), (2) 【知识点】根据规律填写数列中的某项、等比数列的定义及判定、求等比数列前n项和、数列的综合实际应用 【分析】（1）根据图形，得出一层塔由一个正六边形时，其周长为6；找出规律，得层塔由个正六边形时，其周长以及10层塔图形的周长. （2）由（1）知，表示出的通项公式，并利用求和公式表示出. 【详解】（1）依题意，一层塔由1个正六边形时，其周长为； 当二层塔由3个正六边形拼成时，其周长为; 当三层塔由6个正六边形拼成时，其周长为; 依次类推，当10层塔由55个正六边形拼成时，其周长为. 当层塔由个正六边形拼成时，其周长为. （2）由（1）知 ，. 故， ， 故数列是为首项，为公比的等比数列， 所以. 六、专题归纳小结 近年来，浙江省高职考中数列解答题主要内容为数列图形分形问题、数列的实际应用问题、数列知识综合应用。根据2021-2025年的真题考情，预估2026年浙江省单独招生考试解答题部分仍有1道题目考查数列知识点，分值共15分左右，试题倾向于数列图形分形问题。 学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $