微专题04 二次函数中最值问题的四大题型（专项训练）数学湘教版九年级下册

微专题04 二次函数中最值问题的四大题型 题型一 二次函数中的区间最值问题 二次函数区间最值的核心是结合对称轴与区间的位置关系分析，解题关键在于“定对称轴、判位置、求最值”，具体技巧如下： 一、核心前提：明确二次函数基本形式 设二次函数为 f(x) = ax^2 + bx + c （ a eq 0 ），先确定两个关键信息： 1. 对称轴： x = -\frac{b}{2a} （最值点的横坐标）； 2. 开口方向： a > 0 开口向上（有最小值，无最大值）， a < 0 开口向下（有最大值，无最小值）。 二、三大核心解题技巧 1. 对称轴在区间内：最值在顶点处 当对称轴 x = -\frac{b}{2a} \in [m, n] （区间为闭区间 [m, n] ）时： - a > 0 ：最小值为顶点纵坐标 f\left(-\frac{b}{2a}\right) = \frac{4ac - b^2}{4a} ，最大值为区间端点值 \max\{f(m), f(n)\} ； - a < 0 ：最大值为顶点纵坐标 f\left(-\frac{b}{2a}\right) ，最小值为区间端点值 \min\{f(m), f(n)\} 。 2. 对称轴在区间左侧：最值在区间右端点 当 x = -\frac{b}{2a} < m 时，函数在 [m, n] 上单调： - a > 0 单调递增：最小值 f(m) ，最大值 f(n) ； - a < 0 单调递减：最大值 f(m) ，最小值 f(n) 。 3. 对称轴在区间右侧：最值在区间左端点 当 x = -\frac{b}{2a} > n 时，函数在 [m, n] 上单调： - a > 0 单调递减：最小值 f(n) ，最大值 f(m) ； - a < 0 单调递增：最大值 f(n) ，最小值 f(m) 。 高新区期 1．（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，求出函数值的范围即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最小值为； 当时，函数有最大值为； 故选A． 2．（22-23九年级下·湖北荆门·自主招生）已知二次函数，截取该函数图象在间的部分记为图象，设经过点且平行于轴的直线为，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，图象在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象，若函数的最大值与最小值的差不大于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，二次函数的图象和性质，当等于时，可得抛物线的顶点坐标为，，此时函数的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为；当时，函数的最小值为，最大值为，最大值与最小值的差为，再结合图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图所示，当等于时， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴当时，， 此时函数的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为； 如图所示，当时， 此时函数的最小值为，最大值为，最大值与最小值的差为； 综上所述，当时，函数的最大值与最小值的差不大于， 故选：． 3．（24-25九年级下·四川自贡·阶段练习）已知二次函数，其中，则有最大值为 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质及最值的求法，解题的关键是熟练应用二次函数的图象及性质． 根据二次函数的解析式可知图象开口向下，对称轴为直线，根据二次函数的增减性，求出当时，的值即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 即当时，． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值． 根据题意可以根据的正负得到关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线， ∴当时，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当时，当时，， 当时，， ∴， 解得； 当时，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当时，当时，， 当时，， ∴， 解得； 故答案为：或． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)试说明：该二次函数的图象与x轴必有两个交点． (2)若该二次函数图象的顶点坐标为，求m，n的值． (3)当时，函数有最小值为2，求m的值． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)m的值为或． 【分析】（1）证明，可得结论； （2）求出抛物线的顶点坐标，可得结论； （3）根据对称轴位置的三种情况，结合函数讨论最小值2时m的值； 本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）证明：， 当时， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）抛物线的顶点坐标为，由题意知该二次函数图象的顶点坐标为， ，， 解得， 即m、n的值分别，； （3）二次函数的对称轴为，且，抛物线开口向上， 分三种情况讨论： 情况一：当时，时函数在上y随着x的增大而增大， 当时，函数取得最小值2， 将代入函数：， ， 解得或， ， ； 情况二：当，即时函数在顶点处取得最小值，顶点纵坐标为，由（1）知， 最小值为，但此情况无解； 情况三：当，时，函数在上y随着x的增大而减小， 时，函数取得最小值2， 将代入函数： ， ， 解得或， ， ， 综上：m的值为或 6．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数的图像经过点． (1)求与的值； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)最大值为，最小值为； (3)或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、二次函数的最值的求解、二次函数图像与性质的应用： （1）将A代入函数解析式求出a，再将B代入解析式求出m； （2）画出二次函数图像，根据增减性求出最大值和最小值即可； （3）求出时x的值，画出二次函数图像，数形结合即可求出x的范围． 【详解】（1）解：将代入，得，即， ∴二次函数为， 将代入，得， 即，； （2）解：二次函数的图像如图所示： 在时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，函数的最大值为，最小值为． （3）解：如图所示： 当时，，解得， 当时，，解得， ∴当时，x的取值范围是或． 题型二 利用二次函数的解决线段最值问题 利用二次函数解决线段最值，核心是把线段长度转化为含单个变量的二次函数，再用顶点式或配方法求最值（避开复杂公式），技巧聚焦“简单建模、少变量、抓定义域”，具体如下： 只涉及两种基础情况，无需复杂图形分析： 1. 动点在直线上（如 y = kx + b 、坐标轴），求到定点的距离最值； 2. 动点在抛物线上（初中只学 y = ax² + bx + c ），求到定点的距离最值。 关键工具：两点间距离公式（初中简化版）—— 若 A(x₁,y₁) 、 B(x₂,y₂) ，则 AB = \sqrt{(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²} ，优先用“距离的平方”转化（避免根号）。 1．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，连接，M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．过点P作，垂足为N，设点M的坐标为，则的最大值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，先利用待定系数法求出二次函数解析式，进而求出点B的坐标，则可证明，得到，进而证明是等腰直角三角形，得到；求出直线解析式为，得到，，则，据此可得，由此可得答案． 【详解】解：∵经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·山东·阶段练习）综合与探究如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、． (1)求抛物线的解析式． (2)设点的横坐标为．当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少． 【答案】(1) (2)当时，DF最大 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的最大值， 对于（1），将两个点的坐标代入解析式得出二元一次方程组，求出解即可； 对于（2），先表示出点D，F的坐标，进而得出，再根据二次函数的性质讨论最大值即可. 【详解】（1）解：∵点的坐标为，且， 则， ， ， ， ； （2）解：设直线的解析式为：， ， ， ， ， ， ， 当时，. 3．（25-26九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，经过点，直线经过点． (1)求直线的表达式； (2)点是抛物线上一点，其中，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，判断线段的长有无最大值，若有，求出最大值；若无，说明理由． 【答案】(1) (2)线段的长有最大值，最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式； （1）先求出点，的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先表示出点，点的纵坐标，求出，再利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点A，经过点， 当时，， ∴，， ∴， 设直线l的表达式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线l的表达式为； （2）如图， 过点作垂直于x轴的直线，交直线l于点N， ∴点N的纵坐标为，点M的纵坐标为， ∵抛物线开口向上，抛物线与直线l交于点，， ∴当时，点N在点M的上方， ∴， ∴线段的长有最大值，最大值为． 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)存在，的周长最小值为 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，周长与线段的最值问题； （1）把点、的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论； （2）根据轴对称的性质，，则当在上时，的周长最小，求得直线的解析式，代入，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）把，代入，得：， 解得：， 故该抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下， ∵，对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，关于对称， ∴， ∴ 当在直线上时，的周长最小 ∵设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 即直线的解析式为． ∴当时， ∴ 当时， 解得： ∴ ∴的周长最小值为： （3）∵直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ， ∴当时，有最大值． 5．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，其顶点为． (1)求抛物线的解析式． (2)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)线段的最大值为及此时点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，二次函数的解析式求解，二次函数的最值问题和函数图象上点的坐标关系． （1）根据一次函数，分别令和，求出直线与轴、轴的交点、点的坐标，然后根据抛物线经过点、，将这两点坐标代入抛物线解析式得出方程组并求解得出抛物线解析式即可； （2）设点的坐标为，由于轴交直线于点，得到点横坐标为，代入直线得出点坐标，然后用点纵坐标减去点纵坐标求出线段长度的解析式，然后将其化为顶点式得出当时，取得最大值，最大值为，最后将代入抛物线解析式求出点纵坐标即可． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、， 当时，，解得， 当时，，解得， ，． 抛物线经过点，， 将点，代入， 得， 解得， 抛物线解析式为， 即． （2）解：设点的坐标为， 轴交直线于点， 点的坐标为， ， 将整理成顶点式可得 该二次函数图象开口向下，当时，取得最大值，最大值为． 将代入抛物线解析式得， 点的坐标为． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．点是直线下方抛物线上的动点． (1)当时，求抛物线解析式； (2)在（1）的条件下，作于，求的最大值； (3)如图2，连接，，直线，分别交轴于点，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别令，，可求出A、B、C的坐标，然后结合可求出a的值，即可求解； （2）根据待定系数法求出直线解析式，过P作交于E，则可求出，设，则，进而求出，在中，根据正弦定义可求出，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）设，根据待定系数法分别求出、解析式，则可求出M、N的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，，即， 解得，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， ∵，， ∴， 过P作交于E，则， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， 又， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：当时，，即， 解得，， ∴，， 当时，， ∴， 设， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型三 动点产生的面积最值问题 解决二次函数中动点产生的面积最值，核心是把面积表示为含单个变量的二次函数，再用配方法或顶点公式求最值，关键技巧围绕“巧选底高、消元建模、定定义域”展开，具体如下： 一、核心前提：初中常考的3类图形 无需复杂辅助线，重点掌握这3类基础图形，覆盖大部分考题： 1. 三角形（动点在抛物线/直线上，与两个定点构成三角形）； 2. 梯形（动点与3个定点构成梯形，需满足“一组对边平行”）； 3. 平行四边形（较少考，本质是三角形面积的2倍，思路一致）。 关键工具：面积公式（三角形： S = \frac{1}{2}×底×高 ；梯形： S = \frac{1}{2}×(上底+下底)×高 ），核心是“固定底、找高（用动点坐标表示）”。 二、四步解题技巧（初中专属，易操作） 1. 确定定点与动点，标注坐标 - 先找出题目中所有定点（坐标已知或可求），设动点坐标（只用一个变量表示）： - 动点在抛物线 y = ax² + bx + c 上：设为 (x, ax² + bx + c) ； - 动点在直线 y = kx + b 上：设为 (x, kx + b) ； - 动点在坐标轴上：x轴设 (x, 0) ，y轴设 (0, y) 。 例：抛物线 y = x² - 2x - 3 上有一动点P，定点A(0, -3)、B(3, 0)，求△PAB的面积最值，设P(x, x² - 2x - 3)。 2. 巧选底和高，转化为坐标表达式 - 优先选“水平或竖直的线段当底”（高的计算更简单，不用勾股定理）： - 若底在x轴上（如A(x₁,0)、B(x₂,0)），底长 AB = |x₂ - x₁| ，高是动点的纵坐标绝对值 |y_动| ； - 若底在y轴上（如A(0,y₁)、B(0,y₂)），底长 AB = |y₂ - y₁| ，高是动点的横坐标绝对值 |x_动| ； - 若底是倾斜的，先转化为水平/竖直底（或用“铅锤法”： S = \frac{1}{2}×水平距离×|y_1 + y_2 - 2y_动| ，初中可直接用）。 3. 化简表达式，转化为二次函数 - 去掉绝对值（根据题目条件判断里面的式子正负，初中阶段大多为正，可直接去掉）； - 整理成标准二次函数形式 S = ax² + bx + c （a≠0）。 4. 求最值：结合开口方向和定义域 - 看开口方向： a > 0 开口向上（面积有最小值）， a < 0 开口向下（面积有最大值）； - 用配方法或顶点公式求顶点：顶点纵坐标就是面积的最值； - 注意定义域：若动点有范围限制（如“x在-1≤x≤4之间”），需判断对称轴是否在区间内，不在则用区间端点求最值。 1．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，灵活运用数形结合以及二次函数的最值问题是本题解题的关键．根据待定系数法求解二次函数表达式即可，过P作轴，采用割补法，将的面积转化为梯形和三角形的面积差，再根据二次函数最值问题求解 【详解】解：∵抛物线交轴于点，， ∴，抛物线对称轴是直线， ∴． 当时，， ∴． 过P作轴于M，设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为． 故选D． 2．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，连接，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，同时停止运动，出发时间为．有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根的判别式，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．①先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可判断①；根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可判断②；根据勾股定理列出方程，解方程，即可判断③． 【详解】解：①由题意得：根据题意得：，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，且最大值为，故①正确； ②把代入得： ， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴出发时间有一个不同的值满足的面积为，故②错误； ③当的长是时，根据勾股定理得： ， ∴， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴的长不可以是，故③错误； 综上分析可知：正确结论的个数是1个， 故选：B． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运动（点Q 运动到点B停止），在运动过程中，面积的最大值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的应用，先利用勾股定理计算出，再求出运动时间t的取值范围，最后用关于t的二次函数关系式表示出面积，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 点P运动到点C所用时间为：， 点Q运动到点B所用时间为：， 点Q 运动到点B停止， 设运动时间为，则，， ， 当时，取最大值9， 故答案为：9． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．当时，花圃面积为 ，花圃面积的最大值为 ． 【答案】 45 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出二次函数解析式，是解题的关键：求出时，的长，根据矩形的面积公式进行求解即可，设，花圃的面积为，列出二次函数，求最值即可． 【详解】解：当时，则：， ∴花圃面积为； 设，花圃的面积为，则：， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，有最大值为； 故花圃面积的最大值为； 故答案为：45，． 5．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长m，篱笆长m．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)；； (2)当时，的最大值为800． 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【详解】（1）解：∵篱笆长， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵墙长， ∴， 解得，， ∴； 矩形面积 ∴ ∴ ∴； （2）解： ∵， ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800． 6．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数求最值等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）将，，三点代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）连接、、，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，设，利用待定系数法求出直线的解析式为，则，进而得到，再根据三角形面积公式得到关于的二函数，利用配方法求出最大值，即可得解． 【详解】（1）解：抛物线经过，，三点， 则，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接、、，过点作轴的垂线，垂足为，交于点， 点为第二象限内抛物线上一动点， 设， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， ， ， ， ， 当时，有最大值为． 题型四 利用“将军饮马”解决线段最值问题 将军饮马线段最值解题技巧 核心：化折为直（轴对称转化线段，依托“两点之间线段最短”“垂线段最短”） 一、3个核心步骤（通用） 1. 作对称：作定点关于“动点所在直线”的对称点（关键：对称点与动点共线）； 2. 连直线：连接对称点与另一定点（或另一对称点），形成直线段； 3. 找交点+算长度：直线与动点所在直线的交点为最优动点，直线段长度即为最值。 二、2类常考场景速解 - 线段和最小：两定一动（同侧）→ 作一顶点对称，连对称点与另一顶点；两定两动→ 两定点分别对两直线作对称，连两对称点； - 线段差最大：两定一动→ 作一顶点对称，延长对称点与另一顶点的连线，交直线得动点，延长线长度为最值。 1．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，是轴上的一个动点．当的值最小时，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先求出，，过点作轴的对称点，则，连接，交轴于点，由对称可得，，则，那么当点共线时，取得最小值，此时与重合，再求出直线的表达式，即可求解与轴的交点． 【详解】解：对于抛物线，当时，， ∴， ∵， ∴， 过点作轴的对称点，则，连接，交轴于点，    由对称可得，， ∴， 当点共线时，取得最小值，此时与重合， 设直线， ∴， ∴， ∴直线， 当时，， ∴， ∴此时， 故选：A． 2．（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 3．（25-26九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，由题意得点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点；则，即的最小值为的长度；据此即可求解； 【详解】解：如图，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点， 则，即的最小值为的长度； 令，则，即； 令，则，解得，即； ∴， 故答案为： 4．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，与轴交于两点且交轴于点为函数图象上的一点，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作二次函数图象上点关于直线对称的点． (2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）连接交直线l于E，连接并延长交抛物线于点D，则点D即为所求； （2）连接交直线l于点P，则点P即为所求；由对称性可得，则的周长，则当D、Q、P三点共线时，的周长有最小值． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求． 5．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2)；， (3)． 【分析】（1）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题以及二次函数顶点坐标，函数图像与y轴的交点可得点C坐标；顶点坐标通过对函数解析式配成顶点式即可得到． （2）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题，函数图像与轴的交点，转化为解一元二次方程即可求解． （3）本题主要考查了最短距离问题，点B是点A关于抛物线的对称轴对称的点，根据两点之间线段最短，线段即为所求最短距离． 【详解】（1）解：二次函数， 令，得到：． ∴； ， ∴． （2）∵二次函数与x轴相交于A、B两点， 令， 得到：，， ∴；． （3）假设存在点，使得的值最小 ∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 又∵，， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴ 又∵， ∴, 即，的最小值为． 6．（2021·湖南永州·一模）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B． （1）求抛物线的解析式 （2）若直线y＝mx＋n经过B、C两点，求直线BC的解析式； （3）在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标及此时距离之和的最小值 【答案】（1）；（2）y=x+3；（3）M（-1，2）， 【分析】（1）根据抛物线的对称轴可得，然后代入A（1,0），C（0，3）代入抛物线解析式解方程组即可； （2）利用（1）的函数解析式令y=0，解方程即可求出点B坐标，再根据B、C坐标利用待定系数法求直线BC的解析式即可； （3）由点A与点B是关于对称轴直线的对称点，直线BC与对称轴直线的交点就是D（-1，2），由点M在对称轴上，可得AM=BM，由点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，点B，点M，点C三点共线时最短，即点M与点D重合时，距离之和的最小值就是可得CM+AM =BC的长，在Rt△BOC中，由勾股定理得BC=即可． 【详解】解：（1）依题意得: ， 解得， ∴； （2）当y=0时 解得 ∴点B（-3，0） 由直线BC的解析式为：y＝mx+n， 代入B（﹣3，0），C（0，3）得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y＝x+3； （3）∵点A与点B是关于对称轴直线的对称点， ∴直线BC与对称轴直线的交点就是D点， ∴当时=-1+3=2， ∴D（-1，2）， ∵点M在对称轴上， ∴AM=BM， 点M到点A的距离与到点C的距离之和最小， ∴点B，点M，点C三点共线时最短，即点M与点D重合时，点M（-1，2）， ∴距离之和的最小值就是CM+AM=CM+BM＝ BC的长， 在Rt△BOC中，由勾股定理得BC=， ∴距离之和的最小值就是． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，一次函数解析式，利用轴对称求最短路径以及M坐标是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题04二次函数中最值问题的四大题型 题型1二次函数的区间最值问题 题型2利用二次函数的性质解决线段最值问题 二次函数中最值问题 的四大题型 题型3动点产生的面积最值问题 题型4利用“将军饮马"解决线段最值问题 00 点烫璃 题型一二次函数中的区间最值问题 啸方法 妹方 二次函数区间最值的核心是结合对称轴与区间的位置关系分析，解题关键在于“定对称轴、判位置、求 高新区期 最值”，具体技巧如下： 一、核心前提：明确二次函数基本形式 设二次函数为f)=ax2+bx+c(aneq0),先确定两个关键信息： 1.对称轴：x=-\fracb}{2a}(最值点的横坐标)： 2.开口方向：a>0开口向上（有最小值，无最大值），a<0开口向下（有最大值，无最小值）。 二、三大核心解题技巧 1.对称轴在区间内：最值在顶点处 当对称轴x=-\fracb}{2a}in[m,n](区间为闭区间[m,n])时： a>0:最小值为顶点纵坐标f\left((-fracb}{2 a right)=frac{4ac-b2}{4a},最大值为区间端点值V max{fm),fn)八}； a<0：最大值为顶点纵坐标fleft(-\fracb}{2 a)right),最小值为区间瑞点值minl{fm),fn)}。 2.对称轴在区间左侧：最值在区间右端点 当x=-\fracb}2a}<m时，函数在[m,n]上单调： a>0单调递增：最小值fm),最大值fn); a<0单调递减：最大值fm),最小值fn)。 3.对称轴在区间右侧：最值在区间左端点 当x=-\frac:b}{2a}>n时，函数在[m,n]上单调： a>0单调递减：最小值fn),最大值fm): a<0单调递增：最大值fn),最小值fm)。 1.(2025·山东枣庄·二模)已知二次函数y=-3x2+6x+4,关于该函数在-2≤x≤3的取值范围内，下列说 1/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 法正确的是() A.有最大值7，最小值-20 B.有最大值-7，最小值-20 C.有最大值-5，最小值-20 D.有最大值7，最小值-5 2.(22-23九年级下·湖北荆门·自主招生)已知二次函数y=-x2+2x+3,截取该函数图象在0≤x≤4间的部 分记为图象G,设经过点(0，t)且平行于x轴的直线为1，将图象G在直线1下方的部分沿直线1翻折，图象 G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M,若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的 取值范围是() A.0≤t≤1 B.-1≤t≤0 C.-5≤t≤4 D.-1≤t≤1 3.（24-25九年级下·四川自贡阶段练习)已知二次函数y=-x2+4x+5,其中-2≤x≤1，则y有最大值为 4.(25-26九年级上·湖北荆州阶段练习)已知抛物线y=a(x-1)-2(a≠0)，当-1≤x≤2时，y的最大值 与最小值的差为3，则a的值为 5.(25-26九年级上·浙江杭州阶段练习)已知二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m. (①)试说明：该二次函数的图象与x轴必有两个交点， 5 (2)若该二次函数图象的顶点坐标为 2n求m,n的值. (3)当1≤x≤3时，函数有最小值为2，求m的值. 6。（25-6九年级上安微准南阶段练习)已知二次函数y=am的图像经过点4-1写}》3m。 (1)求a与m的值； (2)当-3≤x≤-1时，求函数的最大值和最小值； (3)当-3≤y≤-1时，求x的取值范围. 题型二利用二次函数的解决线段最值问题 熔方法 利用二次函数解决线段最值，核心是把线段长度转化为含单个变量的二次函数，再用顶点式或配方法求最 值（避开复杂公式），技巧聚焦“简单建模、少变量、抓定义域，具体如下： 只涉及两种基础情况，无需复杂图形分析 1.动点在直线上（如y=kx+b、坐标轴），求到定点的距离最值： 2/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.动点在抛物线上（初中只学y=ax2+bx+c),求到定点的距离最值。 关键工具：两点间距离公式（初中简化版）一 若A(X1y）、Ba,y2），则AB=sqrt2-X1) 2+（y2-y,优先用“距离的平方”转化（避免根号）。 1.(24-25九年级上贵州遵义阶段练习)如图，抛物线y=ax2-ax-12a经过点C(0,4,与x轴交于A,B 两点，连接AC,BC,M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P,交BC于点Q.过 点P作PN⊥BC,，垂足为N,设点M的坐标为(m,O),则PQ+√2PN的最大值 2.(25-26九年级上·山东·阶段练习)综合与探究如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两 点，与y轴交于点C,点A的坐标为-4,0)，且OA=OC,E是线段OA上的一个动点，过点E作直线EF垂 直于x轴交直线AC和抛物线分别于点D、F. 各用图 (1)求抛物线的解析式. (②)设点E的横坐标为m,当m为何值时，线段DF有最大值，并写出最大值为多少 3.(25-26九年级上北京阶段练习)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=x2-6x+1与y轴交于点A,经 过点B(4,a),直线l经过点A,B. (1)求直线1的表达式： (2)点M(m,n)是抛物线y=x2-6x+1上一点，其中0<m<4,过点M作垂直于x轴的直线，交直线1于点 N,判断线段MN的长有无最大值，若有，求出最大值；若无，说明理由. 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(25-26九年级上黑龙江绥化阶段练习)如图a,抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-3,0)和点B,交y 轴于点C(0,3). YA D B 图a 图b (1)求抛物线的函数表达式； (②)若点P在抛物线对称轴上，是否存在一点P,使△PCB的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在 说明理由， (3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值， 5.(25-26九年级上·河北廊坊阶段练习)如图，直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点B、A,抛物线 y=a(x-2+k经过点A、B,其顶点为C. D (1)求抛物线的解析式. (②)点P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴交直线AB于点D,求线段PD的最大值及 此时点P的坐标 6.(25-26九年级上湖北武汉阶段练习)如图1，已知抛物线y=ax2-2ax-3a(a>0)与x轴交于A,B 两点(A点在B点左边)，与y轴交于点C,点P是直线BC下方抛物线上的动点. 4/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)当OB=0C时，求抛物线解析式： (2)在(1)的条件下，作PQ⊥BC于Q,求P2的最大值： MC 3)如图2，连接PA,PB,直线PA,PB分别交y轴于点M,N,求 的值 题型三动点产生的面积最值问题 爆方法 解决二次函数中动点产生的面积最值，核心是把面积表示为含单个变量的二次函数，再用配方法或顶点公 式求最值，关键技巧围绕“巧选底高、消元建模、定定义域”展开，具体如下： 一、核心前提：初中常考的3类图形 无需复杂辅助线，重点掌握这3类基础图形，覆盖大部分考题： 1三角形（动点在抛物线/直线上，与两个定点构成三角形）： 2.梯形（动点与3个定点构成梯形，需满足“一组对边平行）； 3.平行四边形（较少考，本质是三角形面积的2倍，思路一致）。 关键工具：面积公式（三角形：S=frac{1{2}×底×高；梯形：S=frac1H2}×(上底+下底）×高)，核心 是“固定底、找高（用动点坐标表示）”。 二、四步解题技巧（初中专属，易操作） 1.确定定点与动点，标注坐标 先找出题目中所有定点（坐标已知或可求），设动点坐标（只用一个变量表示）： 动点在抛物线y=ax2+bx+c上：设为（仪，ax2+bx+c); 动点在直线y=kx+b上：设为（仪，kx+b); - 动点在坐标轴上：×轴设（仪，0），y轴设(O,y。 例：抛物线y=×2-2x-3上有一动点P,定点A(0,-3)、B(3,O),求△PAB的面积最值，设P(x,2-2x- 3) 2.巧选底和高，转化为坐标表达式 优先选“水平或竖直的线段当底”（高的计算更简单，不用勾股定理）： 若底在x轴上（如A(X1,0)、B(妇，0）)，底长AB=2-1|,高是动点的纵坐标绝对值y动： 5/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 若底在y轴上（如A(O,y入、B(O,y2)》,底长AB=y2-yh|,高是动点的横坐标绝对值k; 若底是倾斜的，先转化为水平/竖直底（或用“铅锤法：S=frac1H2}×水平距离×y_1+y2-2y动， 初中可直接用)。 3.化简表达式，转化为二次函数 去掉绝对值（根据题目条件判断里面的式子正负，初中阶段大多为正，可直接去掉）： 整理成标准二次函数形式S=ax2+bx+c(a≠0)。 4.求最值：结合开口方向和定义域 看开口方向：a>0开口向上（面积有最小值），a<0开口向下（面积有最大值）： 用配方法或顶点公式求顶点：顶点纵坐标就是面积的最值； 注意定义域：若动点有范围限制（如“×在-1≤x≤4之间），需判断对称轴是否在区间内，不在则用区间 端点求最值。 1.(24-25九年级上·安徽安庆阶段练习)抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-1,0),B(3,0),交y轴于点 C,点E为抛物线对称轴I与x轴的交点.若点P为第一象限内对称轴1右侧抛物线上一点，则△PCE面积的 最大值为() A.3 B.5 C.25 4 D.25 8 2.(24-25九年级上·河南郑州阶段练习)如图，在Rt△ABC中，LB=90°，AB=10cm,BC=16cm,动 点P从点A开始沿边AB向点B以lcm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cmIs的速度移动， 连接PQ,如果P,Q两点分别从A,B两点同时出发，同时停止运动，出发时间为(t>O).有下列结论： ①△PBQ面积的最大值为25cm;②出发时间t有两个不同的值满足△PBQ的面积为9cm2;③PQ的长可以是 8cm.其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2025辽宁铁岭模拟预测)如图，在ABC中，∠C=90°，AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿 AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止）， 在运动过程中，△CPQ面积的最大值为_ cm2 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(25-26九年级上浙江杭州阶段练习)如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 10m),围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD.当AB=5时，花圃面积为 _m2,花圃ABCD 面积的最大值为 m2. 10m LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL D 5.(25-26九年级上福建福州阶段练习)学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.己 知墙长42m,篱笆长80m.设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为 Sm2. A D (I)求y与x,S与x的关系式. (2)围成的矩形花圃面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值. 6.(25-26九年级上北京阶段练习)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(1,0)，B(-3,0), C(0,3三点. B (1)求抛物线的解析式： (2)若点D为第二象限内抛物线上一动点，求△BCD面积的最大值； 题型四利用“将军饮马”解决线段最值问题 7/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 啸方法 将军饮马线段最值解题技巧 核心：化折为直（轴对称转化线段，依托“两点之间线段最短“垂线段最短 一、3个核心步骤（通用） 1.作对称：作定点关于“动点所在直线"的对称点（关键：对称点与动点共线）； 2.连直线：连接对称点与另一定点（或另一对称点），形成直线段； 3.找交点+算长度：直线与动点所在直线的交点为最优动点，直线段长度即为最值。 二、2类常考场景速解 线段和最小：两定一动（同侧）→作一顶点对称，连对称点与另一顶点；两定两动一两定点分别对两 直线作对称，连两对称点： 线段差最大：两定一动→作一顶点对称，延长对称点与另一顶点的连线，交直线得动点，延长线长度为 最值。 1.(25-26九年级上江西宜春阶段练习)如图，抛物线y=-x2+2x+3的顶点为A,抛物线与y轴交于点B, P是x轴上的一个动点.当PA+PB的值最小时，点P的坐标是() A. B c. 2.(22-23九年级上·广西百色·期中)如图，抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B ,点M是对称轴上的一个动点，连接AM,BM,，则AM+BM的最小值为() A.2 B.√10 C.2W5 D.3√2 3.（25-26九年级上·广西钦州阶段练习)如图，抛物线y=x2-4x+3与x轴分别交于A,B两点（点A在点 B的左侧)，与y轴交于点C,在其对称轴上有一动点M，连接MA,MC,当MC+MA最小时，则 8/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 MC+MA= B 4.(25-26九年级上江西赣州阶段练习)如图，已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直 线1，与x轴交于A,B两点且交y轴于点C,Q为函数图象上的一点，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作 图.（保留作图痕迹） 9 图1 图2 (1)在图1中作二次函数图象上点C关于直线1对称的点D. (2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点P,使COP的周长最短 5.（23-24九年级上·广东惠州期中)如图所示，抛物线y=2x2-4x-6与x轴相交于A、B两点，与y轴相 交于点C,点M为抛物线的顶点. VA A B M (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得PA+PC的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值： 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若不存在，请说明理由， 6.(2021湖南永州一模)如图，已知抛物线y=a2+bx十c(a≠0)的对称轴为直线x=一1，且抛物线经过 A(1,0),C(0,3)两点，与x轴交于点B. B (1)求抛物线的解析式 (2)若直线y=x十n经过B、C两点，求直线BC的解析式； (3)在抛物线的对称轴x=一1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的 坐标及此时距离之和的最小值 10/10