微专题03 二次函数与方程的六大题型（专项训练）数学湘教版九年级下册

微专题03 二次函数与方程 不等式的六大题型 题型一 求抛物线与坐标轴的交点 1. 与x轴交点：令函数式中 y=0，解一元二次方程，根为交点横坐标（无解则无x轴交点）； 2. 与y轴交点：令函数式中 x=0，计算得y值，交点坐标为(0, y)（必有唯一交点）。 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 将已知交点代入抛物线解析式，求出参数关系，从而求出该函数的对称轴为直线，再根据对称性求出与x轴的另一个交点坐标，从而求出方程的两实数根． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， 把代入得， ，可得， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标， ∴方程的根是，． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求抛物线与y轴的交点坐标，求出当时的的值即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：B． 3．（25-26九年级上·浙江·开学考试）抛物线与y轴交点的坐标为 ，与x轴交点的坐标为 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查了二次函数图像与坐标轴的交点坐标，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键； 抛物线与y轴交点满足横坐标为0，把代入解析式可求得y的值，进而可得交点坐标， 抛物线与x轴交点满足纵坐标为0，把代入解析式可求得x的值，进而可得交点坐标． 【详解】当时，， 抛物线与y轴交点的坐标为； 当时，由解得，， 抛物线与x轴交点的坐标为，； 故答案为：；，． 4．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，顶点D的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)求B、C两点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的顶点式，待定系数法求二次函数，二次函数与坐标轴的交点坐标，正确理解二次函数的性质是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将代入求出值即可求解； （2）令可求点的坐标，令可求点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入上式，得， 解得，， 该抛物线的解析式为：； （2）将代入得，， 解得，， 点的坐标为； 将代入，得， 点的坐标为， 综上，点的坐标为；点的坐标为． 5．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知抛物线的对称轴是直线． (1)求m的值； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)当x为何值时，y随x的增大而增大． 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． 先把抛物线的解析式化为一般式，再根据对称轴，求出m的值； 根据的结论求出函数解析式，再令，解关于x的一元二次方程即可得出结论； 抛物线开口向上，对称轴为直线，根据函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解： ， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：； （2）把代入解析式得： ， 令，则， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； （3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大． 题型二 已知二次函数的函数值求自变量的值 1. 列方程：设函数值为k，列等式ax²+bx+c=k（整理为标准一元二次方程）； 2. 求解方程：用因式分解、公式法等求根，根即为自变量的值； 3. 判情况：Δ≥0有实根，Δ<0无符合条件的自变量。 1．（2025·安徽·模拟预测）已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象与性质分析判断即可． 【详解】解：设， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小， ∴当时，函数值， ∴， 对于一元二次方程，解得，， ∴， 故选：A． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数，当自变量x取m时，对应的函数值小于0，当自变量x取时，对应的函数值为，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，求出二次函数与x轴的交点横坐标，由此得到，进而得到，即可判断． 【详解】解：令，解得， ∵当自变量x取m时，对应的函数值小于， ， ， ， 故选：B． 3．（25-26九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，，当时，自变量的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与不等式（组），结合图象可得出答案． 【详解】解：由图象可得，当时，抛物线的函数图像在直线的函数图像的上方，所以自变量的取值范围为或． 故答案为：或． 4．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，第四象限内一点在抛物线上，点的坐标为，第四象限内一点在直线上，横坐标为．若向右平移抛物线后，的顶点恰好都在新抛物线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，根据题意当两点都在向右平移抛物线的图象上，则二次函数图象向右平移2个单位，得到新抛物线解析式为，结合点C在新抛物线的图象上，可得且，解方程即可． 【详解】解：根据题意当两点都在向右平移抛物线的图象上， 则二次函数图象向右平移个单位， ∴新抛物线解析式为， ∵点C在新抛物线的图象上，且点C为第四象限内直线上一点，横坐标为， ∴且， 解得：或（舍去）， 则的值为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点． (1)若，求的值．（用含的式子表示） (2)若，且点位于对称轴的两侧，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意，将点A、B代入计算求解即可； （2）根据题意得到抛物线图象的对称轴为直线，且图象开口向上，由于点位于对称轴的两侧，且，可得且，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 即， 解得：； （2）解：当时，抛物线， ∴抛物线图象的对称轴为直线，且图象开口向上， ∵点位于对称轴的两侧，且， ∴且， ∴且， 解得． 6．（2024九年级上·北京·专题练习）已知，两点在一次函数与二次函数的图象上． (1)求的值和二次函数的解析式； (2)请直接写出使时，自变量的取值范围为______； (3)直接写出所求的抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为______． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，轴对称变化，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把代入中得，从而求出一次函数解析式为，然后可得，再把，代入中即可求解； （）根据函数图象，即可解答； （）由题意得抛物线的值不变，再利用轴对称变换求得变换后的顶点，利用顶点式即可解答． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为， 把代入中得：， ∴， ∴； 把，代入中， 得：， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（）得一次函数解析式为， 由函数图象可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时，， ∴当时，自变量的取值范围为， 故答案为：； （3）解：设是抛物线关于轴对称的抛物线图象上的一点， ∴点在抛物线的图象上， ∴， ∴， ∴抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为， 故答案为：． 题型三 利用不等式求自变量或函数值的范围 1．（24-25九年级下·广东·阶段练习）对于任意的未知数都满足，其中为常数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线与x轴交点问题，抛物线的图象性质，二次函数与不等式的关系，掌握抛物线与x轴无交点或只有唯一交点，则是解题的关键． 由于，所以不等式恒成立的条件是，据此列不等式求解即可． 【详解】解：， 函数的图象开口向上， 不等式恒成立的条件是， ． 解得． 故选：A． 2．（2025·四川泸州·二模）已知二次函数的图象与x轴有两交点，当且该函数图象与轴两交点的横坐标，满足：，时，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质、利用不等式组求字母取值范围等知识点，熟练掌握二次函数各系数与图象之间的关系是解题的关键． 中根据开口方向及，的范围可判断出对应y的取值，从而建立不等式组求解即可． 【详解】解：当时，，即二次函数开口向上， ∵， ∴当时，；当时，， ∴，解得：， ∵， ∴当时，；时，， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图像过，且顶点为，当时，的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了把化成顶点式，的最值，待定系数法求二次函数解析式，利用不等式求自变量或函数值的范围，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据二次函数图象的顶点坐标，设出顶点式，再将代入求得解析式，然后结合求出的取值范围 【详解】解：∵二次函数图象的顶点为， ∴二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像过， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数的图象为抛物线，开口向上，对称轴为直线， 当时，有最小值， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴当时，有最大值0， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】 4．（25-26九年级上·广东中山·期中）已知抛物线． (1)当时，求函数值y的取值范围； (2)若两点都在抛物线上，且 求m的取值范围． 【答案】(1)函数值y的取值范围是 (2)m的取值范围为 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质，求函数的最值，利用二次函数求不等式的取值范围，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）根据列出m的不等式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，抛物线的最大值为， ∵， ∴当时，， ∴当时，函数值y的取值范围是； （2）解： ∴当时，；当时，， ∵， ∴， 解得． 5．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，直线的解析式为． (1)抛物线的解析式为 ； (2)当时，的取值范围是 ； (3)方程的两根是 ； (4)当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2)； (3)，； (4)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）当时，有最大值，当时，，从而求出范围； （）根据图象即可求解； （）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：根据图象可知抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：； （2）解：当时，有最大值，当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：； （3）解：根据图象可知，方程的两根是，， 故答案为：，； （4）解：根据图象可知，当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 题型四 求X轴与抛物线的截线长 1. 先求交点：令y=0，解ax²+bx+c=0得根x₁、x₂； 2. 算长度：用公式|x₁-x₂|，或代入韦达定理得√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]； 3. 无交点：Δ<0时截线长为0。 1．（22-23九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解． 【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为， 此抛物线与轴的两个交点坐标为，， 则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键． 2．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点坐标，可得，求解和，再进一步解答即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴ 解得：，； ∴， ∴ 故答案为： 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象与几何变换．利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为，然后解方程得到点P、Q的坐标，从而得到的长． 【详解】解：二次函数的图象向上平移6个单位长度所得抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴点P、Q的坐标为， ∴． 故答案为：1． 4．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． (1)若时，求点，的坐标及线段长． (2)若，求的值及抛物线的对称轴． 【答案】(1)，， (2)，对称轴 【分析】本题考查了二次函数的性质及求二次函数与坐标轴的交点坐标，及求出两交点间的距离．解决本题的关键是熟练掌握求二次函数与坐标轴的交点坐标． （1）令，则，可得，解得，，即可得出答案； （2）令，则，可得，解得，，再求解即可． 【详解】（1）解：， ， 令，则， ， ，， 点在点的左侧， ，， ； （2）解：令，则， ， 或， ，， 点在点的左侧，， ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为． 题型五 图象法解一元二次不等式 1. 化标准：将不等式整理为ax²+bx+c>0（或<0），确定a的符号； 2. 找关键：求对应抛物线与x轴交点（令y=0解方程得x₁、x₂）； 3. 定解集：根据a的正负（抛物线开口方向）和不等号方向，结合图像判断x的取值范围。 1．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（   ） A． B．或 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据对称性可求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得，对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点的坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵函数开口向下， ∴当或时， ， ∴不等式的解集是或， 故选：B． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，根据抛物线与直线交于，两点，可得直线与抛物线交于点，两点，根据图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴直线与抛物线交于点，两点， 图象如图所示， 当时，， ∴的解集是， 故选：D． 3．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）“不等式在上恒成立”的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，涉及到分类讨论思想和一元二次方程判别式的应用．当时，当时，两种情况进行讨论，即可解答． 【详解】解：①当时，原不等式变为，即， ∴不能在上恒成立，不合题意， ∴； ②当时，不等式是一元二次不等式， 对于一元二次函数， 当时，函数图象开口向上，要使恒成立，即函数图象在轴上方， ∴需要满足判别式， 由不等式，得，，， ∴， 即， 解得：， 当时，二次项系数，二次函数的图象开口向下，必然存在实数使得不满足不等式，在上恒成立． 综上可得：． 故选：A． 4.（24-25九年级下·全国·随堂练习）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论：①；②；③；④．正确的是 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：根据图象可知： 当时，， 故①错误； 当时，， 故②正确； ∵抛物线开口朝下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， 故③正确； ∵对称轴，， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， 故④错误． 综上所述，正确的有②③． 故答案为：②③． 5．（25-26九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数的图象如图，请根据函数图象完成以下问题 (1)随的增大而减小的自变量的取值范围是__________； (2)当时，的取值范围为__________； (3)当时，的取值范围为__________， (4)当时，的取值范围为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的对称性，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据点A和点B的坐标可求出对称轴，再根据函数图象开口向上可得在对称轴左侧随的增大而减小，据此可得答案； （2）由对称性可求出当时，，再由增减性得到当时，y随x的增大而增大，据此可得答案； （3）函数图象开口向上，则离对称轴越远函数值越大，结合点A和点B的坐标可得答案； （4）根据增减性结合，都在函数图象上，可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵函数图象开口向上， ∴随的增大而减小的自变量的取值范围是； 故答案为：； （2）解：∵对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同，即当时，， ∵函数图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，的取值范围为； 故答案为：； （3）解：∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵在函数图象上， ∴当时，的取值范围为或； 故答案为：或； （4）解：∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∵，都在函数图象上， ∴当时，的取值范围为或． 故答案为：或． 题型六 根据二次函数的图象确定方程的根 由二次函数图像确定方程根的解题技巧 核心：二次函数与方程的本质联系——函数图像与x轴的交点横坐标，就是对应一元二次方程的根，解题关键是“看交点、判情况、估范围”。 一、核心关联（基础必记） 设二次函数 y = ax² + bx + c （ a ≠ 0 ），对应一元二次方程 ax² + bx + c = 0 ： - 图像与x轴有2个交点→ 方程有2个不相等的实数根； - 图像与x轴有1个交点（顶点在x轴上）→ 方程有2个相等的实数根（重根）； - 图像与x轴无交点→ 方程无实数根。 二、三大解题技巧 1. 直接读根：交点在坐标轴上（精准求解） 若函数图像与x轴的交点落在坐标轴的整数点上，直接读取交点的横坐标： 2. 估算根的范围：交点在两整数之间（近似判断） 若交点不在整数点，通过图像判断横坐标所在的整数区间： - 技巧：看函数值的符号变化——当x从m变到n时，y由正变负（或负变正），则在区间(m, n)内必有一个根； 1．（23-24九年级上·广西梧州·阶段练习）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键． 由图知抛物线与x轴交于点，代入，求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：； 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性等知识．根据图象得到抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为，进而得到抛物线与x轴的另一个交点为，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：由二次函数的图象得抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的解为，． 故选：D 3．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）一次函数与二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C．方程的根为 D．当时 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据函数图象可得抛物线经过，，对称轴为直线，则抛物线解析式为，代入得，，即可判断A选项，将代入解析式，即可判断B选项，根据函数图象即可判断C、D选项，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得抛物线经过，对称为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为 代入得， 解得：，故A错误； ∴ 当时，，故B选项正确； 根据函数图象可得： C. 方程的根为，故该选项不正确，不符合题意； D. 当时或，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二方程的解为 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与一元二次方程的关系，解题的关键是利用二次函数的对称性求出点的横坐标． 一元二次方程的解就是二次函数与直线交点的横坐标，已知一个交点，再根据对称轴求出另一个交点的横坐标． 【详解】解：二次函数的图象与直线的交点横坐标就是方程的解， 已知交点，且二次函数的对称轴为直线， 根据二次函数的对称性，点和点关于对称轴对称， 设点的横坐标为，则，解得， 关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为______，______； (2)当时，直接写出的取值范围为__________； (3)当时，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． （1）解方程即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）当时，当时，y取得最小值，y在顶点处取得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：，即， ， ，，     故答案为：，； （2）解：∵的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，取得最大值为， 当时，，解得，， 即图象经过， ∴当时，直接写出的取值范围为； 故答案为：； （3）解：， 时，的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题03二次函数与方程不等式的六大题型 题型1求抛物线与坐标轴的交点 题型2已知二次函数的函数值求自变量的值 题型3利用不等式求自变量或函数值的范围 二次函数与方程不等 式的六大题型 题型4求×轴与抛物线的截线长 题型5图象法解一元二次不等式 题型6根据二次函数的图象确定方程的根 /00 德点璃 题型一求抛物线与坐标轴的交点 啸方法 1.与x轴交点：令函数式中y0,解一元二次方程，根为交点横坐标（无解则无x轴交点）： 2.与y轴交点：令函数式中x-0,计算得y值，交点坐标为(0，y)(必有唯一交点)。 1.(25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习)抛物线y=ax2-bx+2a与x轴的一个交点坐标为-2,0)，则方程 ar2-bx+2a=0的根是（) A.x1=-2,x2=0 B.x1=-2,x2=-1 C.x1=-2,x2=3 D.x1=-2,x2=4 2.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)抛物线y=-(x-2)2+2与y轴的交点坐标为() A.（2,-2 B.(0,-2 C.（2,2 D.(0,2 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,.(2526九年级上浙江开学考试)抛物线)=+3x-子与)轴交点的坐标为 与x轴交点的坐 标为 4.(25-26九年级上·福建漳州阶段练习)如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且点A 的坐标为-3,0)，顶点D的坐标为-1,4). (1)求该抛物线的表达式： (2)求B、C两点的坐标. 5.(25-26九年级上·浙江阶段练习)已知抛物线y=(x+m川x+m-1的对称轴是直线x= 21 (1)求m的值： (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)当x为何值时，y随x的增大而增大. 题型二已知二次函数的函数值求自变量的值 啸方法 1.列方程：设函数值为k,列等式ax2+bx+c=k(整理为标准一元二次方程) 2.求解方程：用因式分解、公式法等求根，根即为自变量的值； 3.判情况：△≥0有实根，△<0无符合条件的自变量。 1.(2025安徽模拟预测)已知关于x的方程x2+a2-1x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小，则 α的取值范围正确的是() A.-2<a<1 B.-1<a<2 C.a<-2 D.a>-1 2.(2025陕西咸阳·模拟预测)己知二次函数y=x2-6x+8,当自变量x取m时，对应的函数值小于0，当 自变量x取m-2,m+2时，对应的函数值为y,y2,则y,y2满足() 2/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.y<0,2<0B.y1>0,y2>0 C.y>0,y2<0 D.y<0,y2>0 3.(25-26九年级上四川泸州阶段练习)如图，抛物线y,=ax2+bx+c与直线y2=kx+m相交于点A0,-3), C(3,0),当y>y2时，自变量x的取值范围为一 4.(25-26九年级上·山西朔州阶段练习)如图，第四象限内一点Am,-1在抛物线y=-x2上，点B的坐标 为m+2,-1),第四象限内一点C在直线y=-4上，横坐标为n.若向右平移抛物线y=-x2后，ABC的顶 点恰好都在新抛物线上，则的值为 -4-3-2- 12345x B 5.(25-26九年级上·山西朔州阶段练习)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2-2a2x(a≠0)经过 A1-a,y1),B(m,y2两点. (1)若=y2,求m的值.（用含a的式子表示） (2)若a=1,y,<y2,且点A,B位于对称轴的两侧，请直接写出m的取值范围. 6.(2024九年级上北京.专题练习)己知An,0),B(2,-3)两点在一次函数y=-x+m与二次函数 2=ax2+bx-3的图象上. (I)求m的值和二次函数的解析式： (②)请直接写出使y>y2时，自变量x的取值范围为 ； (3)直接写出所求的抛物线y2=ax2+bx-3关于x轴对称的抛物线的解析式为 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型三利用不等式求自变量或函数值的范围 1.(24-25九年级下广东阶段练习)对于任意的未知数x都满足(a2+1x2+2(a+2)x+1≥0，其中a为常数， 则a的取值范围是() A.as-g B.a≥-3 C.as-4 D.a2-3 4 2.(2025四川泸州·二模)已知二次函数y=m-2)x2+2mx+m-3的图象与x轴有两交点，当m>2且该函 数图象与x轴两交点的横坐标x,x2满足：-3<x<-2,-1<x2<0时，则m的取值范围是() A.3<m<11 4<m<11 B. 21 C.2<m<3或2 11 <m<11 D. -<m<11 4 4 3.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像过(-1,0)，且顶点为 (1,-4),当0≤x≤3时，y的取值范围是」 5 3 2 1 -3-2-0 24 -4 4.(25-26九年级上广东中山期中)已知抛物线y=-x2-2x+8. (I)当-3<x<0时，求函数值y的取值范围： (2)若Am,1),B(m+2,y2)两点都在抛物线上，且<y2,求m的取值范围 5.(25-26九年级上·湖北宜昌·阶段练习)如图，抛物线y=a(x-h)?+k与x轴交于点A,与y轴交于点B, 顶点为C,直线AB的解析式为y2=mx+n. 4/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)抛物线的解析式为_： (2)当-1<x<2时，片的取值范围是_： (3)方程a(x-h)2+k=mx+n的两根是_； (4)当<y2时，x的取值范围是_ 题型四求X轴与抛物线的截线长 啸方法 1.先求交点：令y=0,解ax2+bx+c=0得根1、x2; 2.算长度：用公式x-2,或代入韦达定理得√[(x1+x2)2-4x2]; 3.无交点：△<0时截线长为0。 1.(22-23九年级上·吉林长春期中)在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1)(x-3)+3的图象沿y轴向 下平移3个单位后，所得函数图象与x轴的两个交点之间的距离为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26九年级上安徽蚌埠阶段练习)已知抛物线y=x2-2x-1与x轴交于点A,B,则线段AB的长 为一 3.(24-25九年级上江苏泰州阶段练习)在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x-2024)(x-2025)-6的 图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与x轴有两个公共点P,Q,则PQ=一· 4.(2425九年级上广东广州期中)已知抛物线y=x+2x-5m2(m>0),与x轴的交点A,B(点A在 4 点B的左侧) (I)若m=4时，求点A,B的坐标及线段AB长. 5/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AB=6,求m的值及抛物线的对称轴. 题型五图象法解一元二次不等式 啸方法 1.化标准：将不等式整理为ax2+bx+c>0(或<0)，确定a的符号； 2.找关键：求对应抛物线与x轴交点（令y=0解方程得x1、x2); 3.定解集：根据a的正负（抛物线开口方向）和不等号方向，结合图像判断x的取值范围。 1.(25-26九年级上·辽宁抚顺阶段练习)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c<0的解集是() 12 A.-1<x<5 B.x<-1或x>5 C.x<-1且x>5 D.x>5 2.（2025九年级上全国.专题练习)如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y),B(1,2)两 点，则关于x的不等式ax2+x+c≥m的解集是() B A.x≤-3或x21B.x≤-1或x≥3C.-3≤x≤1 D.-1≤x≤3 3.(24-25九年级下·河北保定·阶段练习)“不等式mx2+x+4m>0在R上恒成立”m的取值范围是() A.m> 1 D.m<-1或m> 4 B.0<m<1 4 C.m<_1 4 4 4 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25九年级下·全国随堂练习)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论：① a+b+c<0;②a-b+c<0;③b+2a<0;④abc>0.正确的是 ·(填序号) 5.(25-26九年级上·河南漯河·阶段练习)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，请根据函数图象 完成以下问题 珠 A(-2,6)1 B(5,6) C(0,-4) (1)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 (2)当3≤x≤5时，y的取值范围为 (3)当y>6时，x的取值范围为 (4)当-4≤y≤6时，x的取值范围为 题型六根据二次函数的图象确定方程的根 啸方法 由二次函数图像确定方程根的解题技巧 核心：二次函数与方程的本质联系一一函数图像与x轴的交点横坐标，就是对应一元二次方程的根，解题 关键是“看交点、判情况、估范围”。 一、核心关联（基础必记） 设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，对应一元二次方程ax2+bx+c=0: 图像与x轴有2个交点→方程有2个不相等的实数根； 图像与x轴有1个交点（顶点在x轴上）→方程有2个相等的实数根（重根）： 图像与x轴无交点→方程无实数根。 三大解题技巧 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.直接读根：交点在坐标轴上（精准求解》 若函数图像与x轴的交点落在坐标轴的整数点上，直接读取交点的横坐标： 2.估算根的范围：交点在两整数之间（近似判断） 若交点不在整数点，通过图像判断横坐标所在的整数区间： -技巧：看函数值的符号变化一一当x从m变到n时，y由正变负（或负变正），则在区间(m,)内必有一 个根； 1.(23-24九年级上广西梧州·阶段练习)已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的 一元二次方程-x2+2x+m=0的解为（) A.x1=3,x3=-2 B.x1=-1,x2=3 C.x1=-3,x2=3 D.x=3,x2=1 2.(25-26九年级上·河北邯郸·阶段练习)已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的 一元二次方程-x2+2x+m=0的解为() A.x1=3,x2=-2 B.x=3,x2=-3 C.x=3,x2=1 D.x=3,x2=-1 3.(25-26九年级上·安徽阶段练习)一次函数y=mx+n与二次函数=+x+c的图象如图所示，下列 说法正确的是() 8/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y-ax2+bx+c y=mx+n A.a=5 4 B.a+b+c= C方程a2+bx士c三mc+n的根为)5 2 D.当ar2+br+e>mx+n时-2<x<2 1 4.(25-26九年级上北京阶段练习)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=3相交于点A(0,3)和 点B,对称轴为直线x=2,那么关于x的一元二方程ax2+bx+c=3的解为 5.(25-26九年级上，广东广州阶段练习)如图为二次函数y=-x2-2x+3的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程-x2-2x+3=0的解为x=一，为= (②)当y>3时，直接写出x的取值范围为 (3)当-3<x<3时，直接写出y的取值范围是 9/9