第10章 第61讲 随机事件的概率、古典概型(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦随机事件的概率与古典概型，依据高考评价体系明确样本空间、事件关系运算、古典概型计算等核心考点，通过梳理近五年高考真题，分析得出古典概型及事件互斥对立判断占比超60%的高频考点，归纳样本点列举、分步分类计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+技法提炼+素养培养”，如以2024新高考Ⅰ卷甲得分概率题为例，示范古典概型分步分类策略，培养数学思维（推理能力），结合频率稳定性实例渗透数据观念（数学语言）。通过易错辨析（如频率与概率混淆）和答题模板，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

教材梳理 夯基础 考点突破 强技能 第61讲　随机事件的概率、古典概型 复习目标 1.理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系. 2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能进行随机事件的并、交运算. 3.理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率. 4.通过实例,理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则. 5.结合实例,会用频率估计概率. 返回 教材梳理 夯基础 返回 主干知识 知识点1　有限样本空间与随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点:随机试验E的每个可能的__________称为样本点,常用ω表示. 全体样本点的集合称为试验E的__________,常用Ω表示. ②有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间 Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间. 基本结果 样本空间 返回 (2)随机事件 ①定义:将样本空间Ω的______称为随机事件,简称事件. ②表示:一般用大写字母A,B,C,…表示. ③随机事件的极端情形:__________、____________. 子集 必然事件 不可能事件 返回 知识点2　事件的关系和运算 事件的关 系或运算 含义 符号表示 包含 若A发生,则B一定发生 _____ 并事件 (或和事件) ____________________ A∪B或 A+B 交事件 (或积事件) A与B同时发生 __________ 互斥(或 互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=⌀ 互为对立 A与B在任何一次试验中有且仅有一个发生 _________________ A⊆B A与B至少有一个发生 A∩B或AB A∪B=Ω且A∩B=⌀ 返回 知识点3　古典概型的特征 (1)有限性:样本空间的样本点只有________; (2)等可能性:每个样本点发生的可能性______. 知识点4　古典概型的概率公式 一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样 本点,则定义事件A的概率P(A)==. 其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 有限个 相等 返回 知识点5　概率的性质 性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0. 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0. 性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=__________. 性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=_______. 性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω, 所以0≤P(A)≤1. 性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=__________________. P(A)+P(B) 1-P(B) P(A)+P(B)-P(A∩B) 返回 知识点6　频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率 fn(A)会逐渐________事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳 定性. (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A). 稳定于 返回 常用结论 1.当随机事件A,B互斥时,不一定对立;当随机事件A,B对立时,一定互斥,即两事件互斥是对立的必要不充分条件. 2.若事件A1,A2,…,An两两互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 返回 基础自测 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)事件发生的频率与概率是相同的. (　 　) (2)在大量的重复试验中,概率是频率的稳定值. (　 　) (3)若随机事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1. (　 　) (4)6张奖券中只有一张有奖,甲、乙先后各抽取一张,则甲中奖的概率小于乙中奖 的概率. (　 　) 类型 回源教材 澄清盲点 题号 2,3 1,4 × √ √ × 返回 2.(必修第二册P235练习T1变式)一个人打靶时连续射击两次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是 (　　) A.至少有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 【解析】选B.射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”,与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”. 返回 3.(必修第二册P244例12变式)为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.6罐饮料随机抽出2罐的种数有15种,两罐都不中奖的种数有6种,两罐都不中奖的概率为=,故中奖的概率为1-=. 返回 4.(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为________.  【解析】从5名同学中随机选3名的方法数为=10,甲、乙都入选的方法数为=3, 所以甲、乙都入选的概率P=. 答案: 返回 考点突破 强技能 返回 考点一随机事件及样本空间 题组练通 1.同时抛掷两枚完全相同的骰子,用(x,y)表示结果,记A为“所得点数之和小于5”,则事件A包含的样本点的个数为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选D.事件A包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),故样本点的个数为6. 返回 2.袋中有大小、形状完全相同的红球、黑球各一个,现在有放回地随机摸3次,每次摸取一个,观察摸出球的颜色,则此随机试验的样本点的个数为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】选D.因为是有放回地随机摸3次,所以随机试验的样本空间为Ω={(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(红,黑,黑),(黑,红,红),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)},所以样本点的个数为8. 返回 3.(多选题)已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球,从中任取4个,则下列判断正确的是 (　　) A.事件“都是红色球”是随机事件 B.事件“都是白色球”是不可能事件 C.事件“至少有一个白色球”是必然事件 D.事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件 【解析】选ABD.因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球,所以从中任取4个球时共有3白1红、2白2红、1白3红、4红四种情况.故事件“都是红色球”是随机事件,故A正确;事件“都是白色球”是不可能事件,故B正确;事件“至少有一个白色球”是随机事件,故C错误;事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件,故D正确. 返回 4.在1,2,3,…,10这十个数字中,任取三个不同的数字,那么“这三个数字的和大于5”这一事件是________________.(填“必然事件”或“不可能事件”)  【解析】从1,2,3,…,10这十个数字中任取三个不同的数字,那么这三个数字和的最小值为1+2+3=6,所以事件“这三个数字的和大于5”一定会发生,所以由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件. 答案:必然事件 返回 解题技法 确定样本空间的方法 (1)必须明确事件发生的条件. (2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏. 返回 考点二事件的关系和运算 【例1】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球,下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是 (　　) A.至少有一个红球,至少有一个白球 B.恰有一个红球,都是白球 C.至少有一个红球,都是白球 D.至多有一个红球,都是红球 返回 【解析】选B.对于A,“至少有一个红球”可能为一红、一白,“至少有一个白球”可能为一白、一红,故两个事件可能同时发生,所以不是互斥事件,不符合题意; 对于B,“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而任取两球还可能都是红球,故两个事件不是对立事件,符合题意; 对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白,与“都是白球”是对立事件,不符合题意; 对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件,不符合题意. 返回 解题技法 互斥事件、对立事件的判定 定义法 不能同时发生的两个事件为互斥事件; 两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生,则这两个事 件为对立事件; 对立事件一定是互斥事件 集合法 ①若A,B满足A∩B=⌀,则A,B是互斥事件; ②若A,B满足则A,B是对立事件 返回 【训练1】　(多选题)口袋里装有1红,2白,3黄共6个除颜色外完全相同的小球,从中取出两个球,事件A=“取出的两个球同色”,B=“取出的两个球中至少有一个黄球”,C=“取出的两个球中至少有一个白球”,D=“取出的两个球不同色”,E=“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是 (　　) A.A与D是对立事件 B.B与C是互斥事件 C.C与E是对立事件 D.P(C∪E)=1 返回 【解析】选AD.当取出的两个球为一黄一白时,B与C都发生,B不正确; 当取出的两个球中恰有一个白球时,事件C与E都发生,C不正确;显然A与D是对立事件,A正确; C∪E为必然事件,P(C∪E)=1,D正确. 返回 考点三古典概型 【例2】(一题多法)(2024·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片的数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2分的概率为________.  返回 【解析】法一: 本题相当于{1,3,5,7}与{2,4,6,8}的搭配问题, 总共有=24种方法, 把甲的卡片标号分为A1={1,3},A2={5,7}两组,把乙的卡片标号分为B1={2,4},B2={6,8}两组,要使甲得分不少于2分,甲的卡片标号大的次数至少有两次, ①A2与B1搭配, 一共有·=4种; ②A2与B2搭配, 只能是5配8, 7配6, 1配4, 3配2,有1种; ③A2与B1中一个、B2中一个搭配. (1)若B1选择2, 则B2必不能选8, 故{5,7}与{2,6}搭配, {1,3}与{4,8}搭配, 一共有2种; 返回 (2)若B1选择4,分两种情况: (i) {5,7}与{4,6}搭配, {1,3}与{2,8}搭配, 一共有1·+1=3种; (ii) {5,7}与{4,8}搭配, {1,3}与{2,6}搭配, 一共有2种; 所以甲的卡片标号大的次数至少有两次的情况有12种,所以甲总得分不小于2分的概率P==. 返回 法二:总共有=24种搭配方法,甲的标号为1的卡片小于乙的卡片的任意标号,先不考虑,只需考虑 3,5,7号卡片的对应情况,甲的卡片标号大0次和1次的情况如下: 所以甲的卡片标号大的次数至少有两次的情况有24-12=12 种,所以甲的总得分不小于2 分的概率 P==. 答案: 返回 解题技法 解决古典概型的概率问题的一般步骤 (1)判断本试验是否为等可能的,并通过列举或计算得到样本空间中样本点的总数n; (2)找出事件A所包含的样本点,得到A包含的样本点个数m; (3)利用公式P(A)==,求出概率P(A). 返回 【训练2】　(1)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.当甲在排尾,乙排第一位时,丙有2种排法,丁就1种,共2种; 当甲在排尾,乙排第二位或第三位时,丙有1种排法,丁就1种,共2种. 于是甲在排尾共4种排法,同理乙在排尾共4种排法,共8种排法符合题意. 基本事件总数是=24,根据古典概型的计算公式,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率为=. 返回 (2)(2025·八省联考)有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为__________.  【解析】×(1+2+3+4+5+6+7+8)=18, 18=3+7+8=4+6+8=5+6+7,共3种可能, 则抽出的3张卡片的数字之和为18的概率为P==. 答案: 返回 考点四概率的综合问题 角度1　频率与概率 【例3】(多选题)一部机器有甲、乙、丙三个易损零件,在一个生产周期内,每个零件至多会出故障一次,工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如图所示的统计图,由频率估计概率,在一个生产周期内,下列说法正确的是 (　　) A.至少有一个零件发生故障的概率为0.8 B.有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故 障的概率大 C.乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率大 D.已知甲零件发生了故障,此时丙零件发生故障的概率 比乙零件发生故障的概率大 返回 【解析】选AD.由题图可知,在一个生产周期内机器正常的概率为=0.2,则至少有一个零件发生故障的概率为0.8,因此A正确; 有两个零件发生故障的概率为=0.3,只有一个零件发生故障的概率为=0.45,因此有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率小,B错误; 乙零件发生故障的概率为=0.4,甲零件发生故障的概率为=0.45,则乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率小,C错误; 由题图可知,仅甲、丙故障的概率比仅甲、乙故障的概率大,D正确. 返回 解题技法 利用概率的统计定义求随机事件的概率 (1)利用频率的计算公式计算出频率; (2)根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率. 返回 【训练3】　(1)某班要选一名学生做代表,每个学生当选的概率是相同的,若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的,则这个班的女生人数占全班人数的百分比是__________.  【解析】设“选出代表是女生”的概率为a,则“选出代表是男生”的概率为a,因为a+a=1,所以a=,所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为75%. 答案:75% 返回 (2)某市的天气预报显示,该市在今后的三天中,每一天有强浓雾的概率为40%,现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率.先利用计算器产生0~9之间取整数值的随机数,并用0,1,2,3,4,5表示没有强浓雾,用6,7,8,9表示有强浓雾,再以每3个随机数作为一组,代表三天的天气情况,产生了如下20组随机数: 779　537　113　730　588　506　027　394　357 231　683　569　479　812　842　273　925　191 978　520 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为________.  返回 【解析】这20组随机数中,表示恰有两天有强浓雾的是588,683,569,479,表示恰有三天有强浓雾的是779,978,所以这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为=. 答案: 返回 角度2　概率的基本性质的应用 【例4】(1)某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字,但确定这个数字一定是奇数,随意拨号,则拨号不超过两次就拨对号码的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.设Ai={第i次拨号拨对号码},i=1,2,3,4,5.拨号不超过两次就拨对号码可表示为A1+A2,所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=+×=. 返回 (2)(2025·郑州模拟)抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“不小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A或事件B至少有一个发生的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“不小于5的点数出现”,所以P(A)==,P(B)==,又小于5的偶数点有2和4,不小于5的点数有5和6,所以事件A和事件B为互斥事件,则一次试验中,事件A或事件B至少有一个发生的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=. 返回 【训练4】　(1)(多选题)(2024·河北名校联考)中国篮球职业联赛中,某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表: 记该运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,则 (　　) A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18 C.P(C)=0.27 D.P(B∪C)=0.55 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 返回 【解析】选ABC.由题意可知P(A)==0.55, P(B)==0.18. 因为事件A∪B为事件C的对立事件,且事件A,B,C两两互斥, 所以P(C)=1-P(A∪B)=1-P(A)-P(B)=0.27,所以P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.45. 返回 (2)通过手机验证码注册某APP时,收到的验证码由四位数字随机组成,如某人收到的验证码(a1a2a3a4)满足a1<a2<a3<a4,则称该验证码为递增型验证码,某人收到一个验证码,则它是首位为2的递增型验证码的概率为________.  【解析】因为a1=2,2<a2<a3<a4,所以a2,a3,a4从3,4,5,6,7,8,9中选,选出3个数,让其按照从小到大的顺序排列,有=35(种)排法,又四位验证码共有10×10×10×10= 10 000(种), 所以它是首位为2的递增型验证码的概率为=. 答案: 返回 $