第8章 第49讲 第1课时 椭圆的定义及标准方程(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦椭圆专题，覆盖定义、标准方程、几何性质及焦点三角形等核心考点，依据高考评价体系明确了解背景、掌握定义方程、运用数形结合思想的考查要求。通过教材梳理夯基础、考点突破强技能，分析近五年真题考点权重，归纳轨迹判断、方程求解等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如融入2022全国甲卷、2023全国甲卷改编题，通过数学思维推理焦点三角形中余弦定理应用，用数学眼光观察椭球水景等现实情境。针对标准方程求解总结待定系数法步骤，帮助学生掌握答题技巧，助力教师精准教学，提升高考冲刺效率。

教材梳理 夯基础 考点突破 强技能 第1课时　椭圆的定义及标准方程 第49讲　椭圆 复习目标 1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程. 3.通过椭圆与方程的学习,进一步体会数形结合思想. 返回 教材梳理 夯基础 返回 主干知识 知识点1　椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做______. 这两个定点叫做椭圆的______,两焦点间的距离叫做椭圆的______. 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数. (1)若_____,则集合P为椭圆. (2)若_____,则集合P为线段. (3)若_____,则集合P为空集. 椭圆 焦点 焦距 a>c a=c a<c 返回 知识点2　椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 范围 x∈_______,y∈______ x∈_______,y∈______ 对称性 对称轴:________;对称中心:______ [-a,a] [-b,b] [-b,b] [-a,a] 坐标轴 原点 返回 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) 焦距 |F1F2|=___ 离心率 e=,且e∈_____ a,b,c 的关系 c2=a2-b2 2c (0,1) 返回 常用结论 (1)设P为椭圆上任意一点,O为坐标原点,F1为椭圆的一个焦点,则 ①b≤|OP|≤a; ②a-c≤|PF1|≤a+c. (2)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦,长为,过焦点最长的弦为长轴. (3)过原点最长的弦为长轴,最短的弦为短轴. (4)与椭圆+=1(a>b>0)有共同焦点的椭圆方程为+=1(λ>-b2). 返回 (5)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形.若r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中: ①当r1=r2,即点P为短轴端点时,θ最大; ②S=|PF1||PF2|sin θ=c|y0|,当|y0|=b,即点P为短轴端点时,S取得最大值,最大值为bc; ③△PF1F2的周长为2(a+c); ④|PF1||PF2|≤()2=a2; ⑤4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ. 返回 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　 　) (2)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.(　 　) (3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越扁.(　 　) (4)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相同.(　 　) × √ √ √ 返回 2.(选择性必修第一册P109练习T3变式)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交椭圆C于A,B两点,则△ABF2的周长为(　　) A.10 B.15 C.20 D.25 【解析】选C.由题意知椭圆的长轴长为2a=2=10, 由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=10, |BF1|+|BF2|=2a=10,所以△ABF2的周长是20. 返回 3.(选择性必修第一册P115习题3.1T6改编)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆O上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 返回 【解析】选A.连接QA(图略). 由已知得|QA|=|QP|, 所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r. 又因为点A在圆内,所以|OA|<|OP|, 根据椭圆的定义知,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆. 返回 返回 所以∠F1PF2=90°, 由椭圆方程可知,c2=5-1=4⇒c=2, 所以+==42=16, 又|PF1|+|PF2|=2a=2,平方得:++2|PF1||PF2|=16+2|PF1||PF2|=20,所以|PF1|·|PF2|=2. 返回 考点突破 强技能 返回 考点一 椭圆定义的应用 【例1】(1)某广场的一个椭球水景雕塑如图所示,其横截面为圆,过横截面圆心的纵截面为椭圆,F1,F2分别为该椭圆的两个焦点,PQ为该椭圆过点F2的一条弦,且△PQF1的周长为3|F1F2|.若该椭球横截面的最大直径为2 m,则该椭球的高为(　　) A. m B. m C. m D. m 返回 【解析】选B.根据题意,画出该椭球的过横截面圆心的纵截面如图, 根据椭圆的定义△PQF1的周长为|PQ|+|PF1|+|QF1|=4a=3×2c,即2a=3c①, 由该椭球横截面的最大直径为2 m, 可知2b=2 m,得b=1 m, 又因为a2=b2+c2,所以a2=c2+1②, ①②联立可得c=,a=, 所以该椭球的高为2a= m. 返回 (2)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是(　　) A.-=1　 B.+=1 C.-=1　 D.+=1 返回 【解析】选D.设动圆的圆心M(x,y),半径为r, 圆M与圆C1:(x-4)2+y2=169内切, 与C2:(x+4)2+y2=9外切,连接MC1,MC2, 所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r,|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8, 由椭圆的定义,M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为16的椭圆, 则a=8,c=4,所以b2=82-42=48, 动圆的圆心M的轨迹方程为+=1. 返回 解题技法 椭圆定义的应用范围 (1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆. (2)解决与焦点有关的距离问题. 返回 【训练1】　(1)(2025·衡阳模拟)椭圆+=1(a>)的左、右焦点分别为F1,F2,A为上顶点,若△AF1F2面积为,则△AF1F2的周长为(　　) A.8　 B.7　 C.6　 D.5 【解析】选C.设椭圆+=1(a>)的短半轴长为b,半焦距为c, 则b=,△AF1F2的面积S=|F1F2|·b=c,由题知c=, 所以c=1,a==2,由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=2a=4,又|F1F2|=2c=2, 所以△AF1F2的周长为4+2=6. 返回 (2)设椭圆C:+=1的右焦点为F,过原点O的动直线l与椭圆C交于A,B两点,若|AF|=1,那么|BF|=__________.  【解析】根据题意,直线AB过原点,由椭圆的对称性可知,|OA|=|OB|,如图所示,已知|OF|=|OF'|,所以四边形AFBF'是平行四边形,则|BF|=|AF'|,由椭圆的定义可知,|AF|+|AF'|=2a=4,|AF|=1,所以|BF|=|AF'|=3. 答案:3 返回 考点二 椭圆的标准方程……题组练通　 【例2】求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的3倍且经过点A(3,0); 【解析】若焦点在x轴上,设椭圆方程为+=1(a>b>0). 因为椭圆过点A(3,0),所以=1,所以a=3.因为2a=3×2b, 所以b=1.所以椭圆方程为+y2=1. 若焦点在y轴上,设椭圆方程为+=1(a>b>0). 返回 因为椭圆过点A(3,0),所以=1,所以b=3. 又2a=3×2b,所以a=9.所以椭圆方程为+=1. 综上所述,椭圆方程为+y2=1或+=1. 返回 (2)经过点P(-2,1),Q(,-2)两点; 【解析】设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 因为点P(-2,1),Q(,-2)在椭圆上, 所以解得m=,n=. 故+=1为所求椭圆的方程. 返回 (3)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为; 【解析】由已知,有解得 从而b2=a2-c2=9. 所以所求椭圆方程为+=1或+=1. 返回 (4)(一题多法)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点. 【解析】法一(定义法):椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4. 由椭圆的定义知, 2a=+,解得a=2. 由c2=a2-b2,得b2=4.所以所求椭圆的标准方程为+=1. 法二(待定系数法):设所求椭圆方程为+=1(k<9),将点(,-)的坐标代入可得+=1,解得k=5(k=21舍去),所以所求椭圆的标准方程为+=1. 返回 解题技法 1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 (1)作判断:根据条件判断焦点的位置. (2)设方程:焦点不确定时,要注意分类讨论,或设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). (3)找关系:建立关于a,b,c或m,n的方程组. (4)求解,得方程. 返回 2.椭圆的标准方程的两个应用 (1)椭圆+=1(a>0,b>0,a≠b)与+=λ(a>0,b>0,a≠b,λ>0)有相同的离心率. (2)与椭圆+=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为+=1(a>b>0,k+b2>0),恰当运用椭圆系方程,可使运算更简便. 返回 【训练2】　(1)(多选题)已知椭圆的长轴长为10,其焦点到中心的距离为4,则这个椭圆的标准方程可以为(　　) A.+=1　 B.+=1 C.+=1　 D.+=1 返回 【解析】选BD.因为椭圆的长轴长为10,其焦点到中心的距离为4, 所以解得a=5,b2=25-16=9. 所以当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆方程为+=1; 当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1. 返回 (2)(2025·武汉模拟)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且AB=3,则椭圆C的标准方程为(　　) A.+=1　 B.+=1 C.+x2=1　 D.+y2=1 返回 【解析】选B.由对称性知|AF2|=|AB|=,又|F1F2|=2,则|AF1|= ==,所以2a=|AF1|+|AF2|=4,a=2,又c=1,则b==,所以椭圆C的标准方程为+=1. 返回 返回 【解析】选B.因为离心率e===,解得=,b2=a2, A1,A2分别为C的左、右顶点,则A1,A2,B为上顶点,所以B(0,b). 所以-a2+b2=-1,将b2=a2代入, 解得a2=9,b2=8, 故椭圆的方程为+=1. 返回 (4)(一题多法)与椭圆+=1有相同离心率且经过点(2,-)的椭圆的标准方程为________________.  【解析】法一:e==. 若焦点在x轴上,设所求椭圆方程为+=1(m>n>0),则1-()2=,从而()2=,=.又+=1,所以m2=8,n2=6. 所以所求椭圆的方程为+=1. 若焦点在y轴上,设方程为+=1(m>n>0),则+=1,且=,解得m2=,n2=. 故所求椭圆的方程为+=1. 返回 法二:若焦点在x轴上,设所求椭圆方程为+=t(t>0),将点(2,-)代入, 得t=+=2. 故所求椭圆的方程为+=1. 若焦点在y轴上,设椭圆的方程为+=λ(λ>0),代入点(2,-),得λ=, 所以所求椭圆的方程为+=1. 答案:+=1或+=1 返回 考点三 椭圆中焦点三角形的应用 【例3】(一题多法)(2023·全国甲卷)已知椭圆+=1,F1,F2为两个焦点,O为原点,P为椭圆上一点,cos∠F1PF2=,则|PO|=(　　) A. B. C. D. 返回 【解析】选B.法一:设∠F1PF2=2θ,0<θ<, 所以=b2tan =b2tan θ, 由cos∠F1PF2=cos 2θ===,解得tan θ=, 由椭圆方程可知,a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3, 所以=|F1F2|·|yP|=×2×|yP|=6×,可得=3, 即=9×(1-)=,因此|OP|===. 返回 法二:因为|PF1|+|PF2|=2a=6①,+-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=, 即+-|PF1||PF2|=12②,联立①②, 解得|PF1||PF2|=,+=21, 返回 法三:因为|PF1|+|PF2|=2a=6①,+-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=, 即+-|PF1||PF2|=12②,联立①②,解得+=21, 由中线定理可知, (2|OP|)2+=2(+)=42,易知|F1F2|=2,解得|OP|=. 返回 【训练3】　已知A(3,0),B(-3,0),P是椭圆+=1上的任意一点,则|PA|·|PB|的最大值为________.  【解析】由已知可得A(3,0),B(-3,0)为椭圆+=1的焦点,根据椭圆定义知|PA|+|PB|=10, 所以|PA|·|PB|≤()2=25, 当且仅当|PA|=|PB|=5时等号成立, 故|PA|·|PB|的最大值为25. 答案:25 返回 4.(一题多法)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则|PF1|·|PF2|=(　　) A.1 B.2 C.4 D.5 【解析】选B.法一:因为·=0, 所以∠F1PF2=90°,从而=b2tan 45°=1=×|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=2. 法二:因为·=0, (3)(2022·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 所以=(-a,-b),=(a,-b), 因为·=-1, 而=(+), 所以|OP|=||=|+|, 即||=|+|= ==. $