第8章 第47讲 圆的方程(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学教案聚焦圆的方程高考核心考点，涵盖定义、标准与一般方程、点与圆位置关系及最值问题，按“定义-方程形式-应用”逻辑架构知识。通过教材梳理夯实基础，基础自测澄清盲点，考点突破结合真题讲解与解题技法总结，帮助学生构建系统知识网络，突破求方程、解最值等难点。 教案突出数学思维与转化思想培养，如将最值问题转化为直线与圆位置关系，用点到直线距离公式求解，发展学生数学眼光与运算能力。设置分层练习和一题多法训练，确保高效复习，助力学生建立解题框架，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第47讲　圆的方程 复习目标 1.理解确定圆的几何要素. 2.在平面直角坐标系中,掌握圆的标准方程与一般方程. 3.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 教材梳理夯基础 主干知识 知识点1　圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心C(a,b) 半径为r 一般 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 圆心C(-,-) 半径r= 知识点2　点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系: (1)|MC|>r⇔M在圆外,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔M在圆外; (2)|MC|=r⇔M在圆上,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔M在圆上; (3)|MC|<r⇔M在圆内,即(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔M在圆内. 常用结论 1.几种特殊位置的圆的方程 项目 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2+y2=r2 x2+y2-r2=0 过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2+Dx+Ey=0 圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2 x2+y2+Dx+F=0 圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2 x2+y2+Ey+F=0 与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2 x2+y2+Dx+Ey+D2=0 与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2 x2+y2+Dx+Ey+E2=0 2.圆的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上; (3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线. 3.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3,4 1 2 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)圆心位置和圆的半径确定,圆就唯一确定.(　√　) (2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.(　×　) (3)圆(x+1)2+(y-1)2=2的圆心坐标是(1,-1),半径长是2.(　×　) (4)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外.(　√　) 2.(一题多法)已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A.x2+y2=2 B.x2+y2= C.x2+y2=1 D.x2+y2=4 【解析】选A.法一:AB的中点坐标为(0,0), |AB|==2, 所以圆的方程为x2+y2=2. 法二:以AB为直径的圆的方程为(x-1)·(x+1)+(y+1)(y-1)=0,即x2+y2=2. 3.(选择性必修第一册P88·练习T1变式)圆x2+y2-4x-1=0的圆心坐标及半径分别为(　　) A.(2,0),5 B.(2,0), C.(0,2), D.(2,2),5 【解析】选B.依题意,圆x2+y2-4x-1=0转化为标准方程得(x-2)2+y2=5, 所以圆心为(2,0),半径为. 4.(选择性必修第一册P85·练习T2变式)下列各点中,在圆(x-1)2+(y+2)2=25的外部的是(　　) A.(0,2) B.(3,3) C.(-2,2) D.(4,1) 【解析】选B.由(0-1)2+(2+2)2=17<25知(0,2)在圆内; 由(3-1)2+(3+2)2=29>25知(3,3)在圆外; 由(-2-1)2+(2+2)2=25知(-2,2)在圆上; 由(4-1)2+(1+2)2=18<25知(4,1)在圆内. 考点突破强技能 考点一求圆的方程 【例1】(1)(一题多法)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为________________.  【解析】法一:设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 则 解得 所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 法二:设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 则M(-,-), 所以 解得 所以☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0, 即(x-1)2+(y+1)2=5. 法三:设A(3,0),B(0,1),☉M的半径为r, 则kAB==-,AB的中点坐标为(,), 所以AB的垂直平分线方程为y-=3(x-),即3x-y-4=0. 联立解得 所以M(1,-1), 所以r2=|MA|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5, 所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 答案:(x-1)2+(y+1)2=5 (2)(2022·全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为______________.  【解析】依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,若过(0,0),(4,0),(-1,1), 则,解得, 所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13; 若过(0,0),(4,0),(4,2), 则,解得, 所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5; 若过(0,0),(-1,1),(4,2), 则,解得, 所以圆的方程为x2+y2-x-y=0, 即+=; 若过(-1,1),(4,0),(4,2), 则,解得, 所以圆的方程为x2+y2-x-2y-=0, 即+(y-1)2=. 答案:(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或+=或+(y-1)2= 解题技法 求圆的方程的两种方法 几何法 根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程 待定 系数法 ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值. ②若已知条件中涉及圆上的点的坐标,常选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值 [提醒]解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质. 【训练1】　(1)(2024·郑州模拟)已知点A(-2,1),B(-1,0),C(2,3),M(a,2)四点共圆,则a=________________.  【解析】设过A,B,C的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0, 则解得 所以过A,B,C的圆的方程为x2+y2-4y-1=0. 又因为点M在此圆上, 所以a2+4-8-1=0,解得a2=5, 所以a=±. 答案:± (2)(2024·邯郸模拟)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为________.  【解析】到两直线3x-4y=0,3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0, 联立解得 又两平行线间的距离为2, 所以圆M的半径为1, 从而圆M的方程为(x+3)2+(y+1)2=1. 答案:(x+3)2+(y+1)2=1 【加练备选】 1.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是(　　) A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 【解析】选ABD.圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,A正确; 令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0, 因为Δ=36-40=-4<0,所以2k2-6k+5=0无实数根,所以B正确; 由(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0, 因为Δ=16-8=8>0,所以此方程有两个不相等实根, 所以经过点(2,2)的圆Ck有两个,C错误; 由圆的半径为2,得圆的面积为4π,D正确. 2.如图,点A(0,8),B(0,2),那么在x轴正半轴上存在点C,使得∠ACB最大,这就是著名的米勒问题.那么当∠ACB取得最大时,△ABC外接圆的标准方程是______________.  【解析】因为点A,B是y轴正半轴上的两个定点,点C是x轴正半轴上的一个动点,根据米勒定理及圆的几何性质可知,当△ABC的外接圆与x轴相切时,∠ACB最大.由垂径定理可知,弦AB的垂直平分线必过△ABC外接圆的圆心,所以弦AB的中点G的纵坐标,即为△ABC外接圆半径的大小,即r=5,依题意,设△ABC的外接圆圆心为(a,5),a>0,可得△ABC的外接圆的方程为(x-a)2+(y-5)2=25,把点A(0,8)代入圆的方程,求得a=4(负值舍去),所以△ABC的外接圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=25. 答案:(x-4)2+(y-5)2=25 考点二与圆有关的最值问题 角度1　借助几何性质求最值 【例2】已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求: (1)的最大值和最小值; (2)的取值范围; (3)y-x的最小值; (4)x2+y2的最大值和最小值. 【解析】(1)如图,方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,为半径的圆. 设=k,即y=kx,则圆心(2,0)到直线y=kx的距离为半径时,直线与圆相切,斜率取得最大值或最小值.由=,解得k2=3, 所以()max=, ()min=-. (2)设=t,即tx-y+2=0, 所以≤,所以t2+8t+1≤0, 解得-4-≤t≤-4+,所以的取值范围为[-4-,-4+]. (3)设y-x=b,即y=x+b,当且仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,截距b取最小值,则由点到直线的距离公式,得=, 则b=-2±. 又因为b<0,所以b=-2-.故(y-x)min=-2-. (4)x2+y2是圆上的点到原点的距离的平方,设圆与x轴交于点B,B',B在B'的左侧,则 (x2+y2)max=|OB'|2=(2+)2=7+4,(x2+y2)min=|OB|2=(2-)2=7-4. 解题技法 借助几何性质求最值的三种情况 (1)形如μ=的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; (3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 角度2　利用对称性或建立函数关系求最值 【例3】(1)已知点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上运动,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上运动,则|PA|+|PQ|的最小值是________.  【解析】依题意,圆心C(2,1),半径r=. 设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m,n),则解得 故A'(-4,-2).连接A'C交直线x+y+2=0于点P,交圆C于点Q(图略),此时|PA|+|PQ|取得最小值.由对称性可知此时|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=2. 答案:2 　(2)设点P(x,y)是圆:x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则·的最大值为________.  【解析】由题意,知=(2-x,-y), =(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4, 由于点P(x,y)是圆上的点, 故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1, 故x2=-(y-3)2+1, 所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12. 由圆的方程x2+(y-3)2=1,易知2≤y≤4, 当y=4时,·的值最大, 最大值为6×4-12=12. 答案:12 解题技法 1.建立函数关系式求最值问题的解题策略 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、单调性法等,利用基本不等式求最值. 2.求解形如|PM|+|PN|(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路 (1)“动化定”,把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离; (2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决. 【训练2】　(1)已知点P(x,y)为圆C:x2+y2-4x+3=0上一点,C为圆心,则·(O为坐标原点)的取值范围是(　　) A.[-3,1] B.[-1,1] C.[-1,3] D.[1,3] 【解析】选C.将圆C的方程x2+y2-4x+3=0化为(x-2)2+y2=1,所以圆心C的坐标为(2,0). 所以=(2-x,-y),而=(-x,-y), 所以·=x2+y2-2x. 因为x2+y2-4x+3=0,所以x2+y2=4x-3, 所以·=4x-3-2x=2x-3. 因为(x-2)2+y2=1,所以1≤x≤3, 因此-1≤2x-3≤3,从而·(O为坐标原点)的取值范围为[-1,3]. (2)(2024·惠州模拟)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上动点,P是x轴上动点,则|PN|-|PM|的最大值是________.  【解析】由题设,C1(2,3)且半径r1=1,C2(3,4)且半径r2=3, 所以|C1C2|==<r2-r1=2,即圆C2包含圆C1. 又M,N分别是圆C1,C2上动点,P是x轴上动点, 要使|PN|-|PM|的值最大,P,M,N,C1,C2共线且M,N在C1,C2的两侧,所以(|PN|-|PM|)max=|C1C2|+r2+r1=4+. 答案:4+ - 12 - 学科网（北京）股份有限公司 $