第4章 第24讲 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性、单调性(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案聚焦三角函数周期性、奇偶性、单调性三大高考核心考点，按考点分层突破，通过例题解析、解题技法总结、真题训练构建知识体系，帮助学生梳理考点内在联系，形成从概念理解到解题应用的完整复习路径。 资料以高考真题为载体，如2025八省联考、2023全国乙卷等题目融入讲解，采用一题多法（如周期性用定义法、公式法、图象法）培养学生数学思维，设置基础巩固与能力提升分层练习，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第2课时　三角函数的周期性、奇偶性、单调性 考点突破　强技能 考点一 三角函数的周期性 【例1】(1)(2025·八省联考)函数f(x)=cos(x+)的最小正周期是(　　) A. B. C.π D.2π 【解析】选D.T===2π. (2)求下列函数的最小正周期. ①y=2sin(x+); ②y=3|cos(2x-)|; ③y=cos2-sin2+sin x; ④y=sin 2x+|sin 2x|. 【解析】①因为y=2sin(x+),所以T==3π,即y=2sin(x+)的最小正周期为3π. ②y=3|cos(2x-)|的最小正周期是y=3cos(2x-)最小正周期的一半, 即T=×=. ③因为y=cos2-sin2+sin x=cos x+sin x=sin(x+),所以y=cos2-sin2+sin x的最小正周期T==2π. ④作出y=sin 2x+|sin 2x|的大致图象,如图所示. 根据图象可知f(x)为周期函数,最小正周期为π. 解题技法 三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法. (2)公式法:函数y=Asin(ωx+φ)(y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=. (3)图象法:求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象,通过观察图象得出周期. 【训练1】　(1)(多选题)下列函数最小正周期为π的是(　　) A.y=cos |2x|　 B.y=|cos x| C.y=cos(2x+)　 D.y=tan(2x-) 【解析】选ABC.对于A,y=cos |2x|=cos 2x,其最小正周期为π; 对于B,结合图象,知y=|cos x|的最小正周期为π; 对于C,y=cos(2x+)的最小正周期T==π; 对于D,y=tan(2x-)的最小正周期T=. (2)(2024·遂宁模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)+cos ωx(ω>0),f(x1)=0,f(x2)=,且|x1-x2|的最小值为π,则ω的值为(　　) A.　 B.　 C.1　 D.2 【解析】选B.f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ωx+),是函数f(x)的最大值,由题意可知,|x1-x2|的最小值是个周期,所以×=π,得ω=. (3)若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=(　　) A.2　 B.　 C.1　 D. 【解析】选A.由题意及函数y=sin ωx的图象与性质可知,T=-=,T==π,解得ω=2. (4)若函数f(x)=2tan(kx+)的最小正周期T满足1<T<2,则自然数k的值为__________.  【解析】由题意得1<<2,k∈N,所以<k<π.因为k∈N,所以k=2或3. 答案:2或3 考点二 三角函数的奇偶性 【例2】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=cos(+2x)cos(π+x); (2)f(x)=2sin2(+x)-1; (3)f(x)=. 【解析】(1)f(x)=cos(+2x)cos(π+x)=(-sin 2x)(-cos x)=cos xsin 2x(x∈R). 因为f(-x)=cos(-x)sin(-2x)=-cos xsin 2x=-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)f(x)=2sin2(+x)-1=-[1-2sin2(+x)]=-cos(+2x)=sin 2x.因为f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)是奇函数. (3)由cos 2x≠0得2x≠kπ+,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,所以f(x)的定义域为{x}, 所以f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)===f(x),所以f(x)是偶函数. 解题技法 三角函数奇偶性的判断及应用 (1)判断三角函数的奇偶性,应先对函数解析式进行化简,然后根据奇偶函数的定义进行判断,注意定义域是否关于原点对称. (2)根据函数奇偶性求参数的值时,主要根据函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)是奇偶函数的充要条件进行求解. 【训练2】　(1)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是(　　) A.y=sin(2x+)　 B.y=cos(2x+) C.y=sin 2x+cos 2x　 D.y=sin x+cos x 【解析】选B.y=sin(2x+)=cos 2x是最小正周期为π的偶函数; y=cos(2x+)=-sin 2x是最小正周期为π的奇函数; y=sin 2x+cos 2x=sin(2x+)是最小正周期为π的非奇非偶函数; y=sin x+cos x=sin(x+)是最小正周期为2π的非奇非偶函数. (2)若函数f(x)=3sin(2x-+φ),φ∈(0,π)满足f(|x|)=f(x),则φ的值为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选C.因为f(|x|)=f(x),所以函数f(x)=3sin(2x-+φ)是偶函数, 所以-+φ=kπ+,k∈Z, 所以φ=kπ+,k∈Z. 又因为φ∈(0,π), 所以φ=. (3)已知函数f(x)=2sin(x+θ+) (θ∈[-,])是偶函数,则θ的值为__________.  【解析】因为函数f(x)为偶函数,所以θ+=+kπ,k∈Z,解得θ=+kπ,k∈Z. 又θ∈[-,], 所以θ=,经检验,符合题意. 答案: 考点三 三角函数的对称性 【例3】(1)(一题多法)求函数y=sin(2x-)的图象的对称中心和对称轴方程. (2)求函数y=tan(+)的图象的对称中心. (3)(一题多法)设函数y=sin 2x+acos 2x的图象关于直线x=-对称,求实数a的值. 【解析】(1)法一:设A=2x-,则函数y=sin A的图象的对称中心为(kπ,0)(k∈Z), 即2x-=kπ(k∈Z), 即x=+(k∈Z). 函数y=sin A的图象的对称轴方程为A=+kπ(k∈Z),即2x-=+kπ(k∈Z), 即x=+(k∈Z).所以y=sin(2x-)的图象的对称中心为(+,0) (k∈Z),对称轴方程为x=+(k∈Z). 法二:由2x-=2(x-),知y=sin(2x-)的图象是由y=sin 2x的图象向右平移了个单位长度得到的,所以对称轴与对称中心也相应地向右平移了个单位长度. 而y=sin 2x的图象的对称中心为(,0) (k∈Z),对称轴方程为x=+(k∈Z),所以y=sin(2x-)的图象的对称中心为(+,0) (k∈Z),对称轴方程为x=+(k∈Z). (2)由+=(k∈Z), 得x=kπ-(k∈Z), 即其对称中心为(kπ-,0) (k∈Z). (3)法一:由题意得,因为y=sin 2x+acos 2x=sin(2x+θ),其中tan θ=a.因为图象关于直线x=-对称,所以在x=-处,函数应取得最大值或最小值,所以当x=-时,y=sin(-)+acos(-)=-+a=±,解得a=-. 法二:因为函数y=f(x)=sin 2x+acos 2x的图象关于直线x=-对称,所以f(x)的图象上到x=-的距离相等的x值对应的函数值相等,即f(-+x)=f(--x)对定义域内任何值都成立. 令x=,得f(0)=f(-), 所以0+a=sin(-)+acos(-), 解得a=-. 法三:因为函数图象关于直线x=-对称, 所以-为函数的极值点. 又y'=2cos 2x-2asin 2x, 所以当x=-时,y'=0, 所以cos(-)-asin(-)=0, 所以a=-. 解题技法 三角函数对称性的应用技巧 (1)求函数的所有对称轴方程或对称中心坐标时,可利用整体换元法进行求解,注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式. (2)判断某一直线、某一点是否为对称轴、对称中心时,可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点这一性质进行检验判断. 【训练3】　(1)(2023·天津卷)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为(　　) A.sin(x) B.cos(x) C.sin(x) D.cos(x) 【解析】选B.A:若f(x)=sin(x), 则T==4, 令x=+kπ,k∈Z, 则x=1+2k,k∈Z,显然x=2不是对称轴,不符合题意; B:若f(x)=cos(x),则T==4, 令x=kπ,k∈Z,则x=2k,k∈Z, 故x=2是一条对称轴,符合题意; C:f(x)=sin(x),则T==8,不符合题意; D:f(x)=cos(x),则T==8,不符合题意. (2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sin(ωx+)+b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π,且y=f(x)的图象关于点(,2)中心对称,则f()=(　　) A.1 B. C. D.3 【解析】选A.由函数的最小正周期T满足<T<π,得<<π,解得2<ω<3, 又因为函数图象关于点对称,所以ω+=kπ,k∈Z,且b=2, 所以ω=-+k,k∈Z,所以ω=,f(x)=sin(x+)+2, 所以f=sin+2=1. (3)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin (ωx+φ)在区间(,)上单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f(-)=(　　) A.- B. - C. D. 【解析】选D.因为函数f(x)=sin (ωx+φ)在区间(,)上单调递增,所以=-=,且ω>0,则T=π,ω==2, 当x=时,f(x)取得最小值,则2·+φ=2kπ-,k∈Z, 则φ=2kπ-,k∈Z,不妨取k=0, 则f(x)=sin (2x-), 则f(-)=sin (-)=. - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $