第4章 第20讲 任意角和弧度制及三角函数的概念(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案围绕任意角、弧度制及三角函数概念核心考点，按定义、分类、应用逻辑梳理知识，通过教材主干梳理、基础自测诊断、考点分层突破、真题变式训练四环节，帮助学生构建从概念理解到解题应用的完整体系，体现复习系统性与针对性。 资料突出数学眼光与思维培养，如借助单位圆直观理解三角函数定义，通过题组进阶训练终边位置判断逻辑推理能力。设置扇形面积最值等实例，用函数思想转化问题，配合分层练习与即时反馈，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第四章 三角函数与解三角形 第20讲　任意角和弧度制及三角函数的概念 复习目标 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 教材梳理　夯基础 主干知识 知识点1　任意角 定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形 分类 (1)按旋转方向分为正角、负角和零角; (2)按终边位置分为象限角和轴线角 终边相 同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是{β|β=α+k·360°,k∈Z} [注意点](1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数倍. (2)终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍;终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍. 知识点2　弧度制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1 rad 弧度数 公式 |α|=(弧长用l表示,半径长用r表示) 角度与弧 度的换算 1°= rad≈0.017 45 rad; 1 rad=()°≈57.30°=57°18' 弧长公式 弧长l=|α|r [注意点](1)正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零; (2)在一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. 知识点3　任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义:设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0). (2)三角函数值在各象限内的符号,如图: [注意点]三角函数值在各象限的符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 常用结论 1.象限角的集合 2.轴线角的集合 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 1,4 3 2 1.(必修第一册P180例3变式)若sin θ<0且tan θ<0,则角θ所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选D.若sin θ<0,则角θ在第三或第四象限或在y轴负半轴上.若tan θ<0,则角θ在第二或第四象限,所以当sin θ<0且tan θ<0时,角θ在第四象限. 2.(多选题)下列命题正确的是(　　) A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α=2kπ,k∈Z} B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α=90°+kπ,k∈Z} C.第三象限角的集合为{α|π+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z} D.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为-675°和-315° 【解析】选AD.A项显然正确; B中,终边落在y轴上的角的集合为{α|α=+kπ,k∈Z},角度与弧度不能混用,故该选项不符合题意; C中,第三象限角的集合为{α|π+2kπ<α<+2kπ,k∈Z},故该选项不符合题意; D中,所有与45°角终边相同的角可表示为 β=45°+k·360°,k∈Z, 令-720°≤45°+k·360°<0°(k∈Z), 解得-≤k<-(k∈Z), 从而当k=-2时,β=-675°; 当k=-1时,β=-315°,故该选项符合题意. 3.设集合M=,N=,则(　　) A.M=N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N=∅ 【解析】选B.由于M中,x=(2k+1)·45°,k∈Z,2k+1是奇数;而N中,x=(k+1)·45°,k∈Z,k+1是整数,因此必有M⊆N. 4.(必修第一册P175练习T6变式)在单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为________.  【解析】单位圆的半径r=1,200°的弧度数是200×=,由弧长公式得l=. 答案: 考点突破　强技能 考点一 角的概念及表示…………题组练通 【例1】设角α1=-350°,α2=860°,β1=π,β2=-π. (1)将α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们各自的终边所在的象限; (2)将β1,β2用角度制表示出来,并在-720°~0°找出与它们有相同终边的所有角. 【解析】(1)α1=-350°=-π=- =-2π+, α2=860°=π=π=4π+π. 所以α1的终边在第一象限,α2的终边在第二象限. (2)β1=π=×180°=108°, 设θ=k·360°+β1(k∈Z), 因为-720°<θ<0°, 所以-720°<k·360°+108°<0°(k∈Z). 所以k=-2或k=-1, 所以在-720°~0°与β1有相同终边的角是-612°和-252°. 同理β2=-420°,且在-720°~0°与β2有相同终边的角是-60°. 解题技法 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角 先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角. 2.确定kα,(k∈N*)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出kα或的范围,然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置. 题|组|进|阶 1.下列各角中与437°角的终边相同的是(　　) A.67°　 B.77°　 C.107°　 D.137° 【解析】选B.与437°角的终边相同的角为θ=437°+360°·k,k∈Z,当k=-1时,θ=437°-360°=77°,B项符合题意;经验证,其他三个选项均不符合题意. 2.集合{α|kπ+≤α≤kπ+,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分包括边缘线)是(　　) 【解析】选C.当k=2n(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+,此时α表示的范围与≤α≤表示的范围相同;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+,此时α表示的范围与π+≤α≤π+表示的范围相同. 3.(多选题)有一个小于360°的正角α,这个角的6倍的终边与x轴的非负半轴重合,则这个角可以为(　　) A.60°　 B.90°　 C.120°　 D.300° 【解析】选ACD.由题意,6α=2k×180°且k∈Z,则α=,又0°<α<360°,所以k=1时,α=60°;k=2时,α=120°;k=3时,α=180°;k=4时,α=240°;k=5时,α=300°.结合选项知A,C,D正确. 4.终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为____________________.  【解析】如图,在平面直角坐标系中画出直线y=x, 可以发现它与x轴的夹角是,在[0,2π)内,终边在直线y=x上的角有两个:,;在[-2π,0)内满足条件的角有两个:-,-.故满足条件的角α构成的集合为{-,-,,}. 答案:{-,-,,} 微拓展终边所在位置 若θ分别为第一、二、三、四象限角,则的终边分别落在区域一、二、三、四内,如图所示. [典例]已知θ为第三象限角,且=-sin ,则角的终边在(　　) A.第一或第三象限 B.第二或第四象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选D.因为θ为第三象限角,所以为第二或第四象限角.又=-sin ,所以sin ≤0,所以角的终边在第四象限. 考点二 弧度制及其应用 【例2】(1)已知扇形的周长为9,半径为3,则扇形的面积为(　　) A.3 B.1 C. D. 【解析】选C.设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,则l+2r=3α+6=9,解得α=1,因此扇形的面积为αr2=. (2)已知扇形OAB的面积为1 cm2,它的周长是4 cm,则扇形OAB的圆心角∠AOB的弧度数为________.  【解析】设该扇形的圆心角为α,半径为r,弧长为l,依题意得解得所以α==2 rad,所以扇形OAB的圆心角∠AOB的弧度数为2. 答案:2 (3)已知半径为3的扇形OAB的弦长AB=3,则该扇形的弧长是________.  【解析】在△ABO中,AB2=OA2+OB2=18,故∠AOB=,故弧长l=×3=. 答案: 解题技法 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练1】　已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长l; (2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角; (3)若扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大? 【解析】(1)因为α=60°= rad,所以l=αR=×10=(cm). (2)由题意得 解得(舍去)或, 故扇形的圆心角为. (3)由已知得l+2R=20,所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以当R=5时,S取得最大值25,此时l=10,α=2. 【加练备选】 (2024·贵港模拟)图①是第19届杭州亚运会会徽,名为“潮涌”,象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图②是会徽的几何图形,设弧AD的长度是l1,弧BC的长度是l2,扇环ABCD的面积为S1,扇形BOC的面积为S2.若=3,则=(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 【解析】选D.因为=3,所以=3. 又因为S扇形AOD=l1·|OA|,S扇形BOC=l2·|OB|,所以==9, 所以=8, 即=8. 考点三 三角函数的定义及其应用 角度1　利用三角函数的定义求值 【例3】(1)已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sin α+的值为(　　) A.-6 B.6 C.0 D.-3 【解析】选C.由题知,cos α≠0,设角α的终边上一点为(a,-3a)(a≠0),则r=|a|.当a>0时,r=a,sin α=-,cos α=,所以10sin α+=-3+3=0.当a<0时,r=-a,sin α=,cos α=-,所以10sin α+=3-3=0. (2)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则m的值为(　　) A.- B.- C. D. 【解析】选C.由题意得点P(-8m,-3),r=,所以cos α==-,解得m=±.又cos α=-<0,所以-8m<0, 即m>0,所以m=. 解题技法 定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标,可求角α的三角函数值.先求P到原点的距离,再用三角函数的定义求解. (2)已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点P的坐标中的参数值,再根据定义中的两个量,列方程求解. 角度2　三角函数值符号的判断 【例4】(1)点P(sin 100°,cos 100°)落在(　　) A.第一象限内 B.第二象限内 C.第三象限内 D.第四象限内 【解析】选D.因为sin 100°=sin(90°+10°)=cos 10°>0,cos 100°=cos(90°+10°)= -sin 10°<0,所以点P(sin 100°,cos 100°)落在第四象限内. (2)(多选题)若α是第二象限角,则下列不等式正确的是(　　) A.cos(-α)>0 B.tan >0 C.sin 2α<0 D.sin(-α)>0 【解析】选BC.因为+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以-π-2kπ<-α<--2kπ(k∈Z),所以-α是第三象限角,所以sin(-α)<0,cos(-α)<0,故A,D不正确;因为+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以+kπ<<+kπ(k∈Z),当k=2n(n∈Z)时,+2nπ<<+2nπ(n∈Z),此时是第一象限角,当k=2n+1(n∈Z)时,+2nπ<<+2nπ(n∈Z),此时是第三象限角,所以是第一或第三象限角,所以tan >0,故B正确;因为+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以π+4kπ<2α<2π+4kπ(k∈Z),所以2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上,所以sin 2α<0. 解题技法 三角函数值符号的判断方法 要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确定所在象限,那就要进行分类讨论求解. 【训练2】　(1)已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cos θ=,则实数a的值是(　　) A.-2 B. C.-2或 D.1 【解析】选B.由题设可知,=且2a+1>0,即a>-,所以=,则11a2+20a-4=0,解得a=-2或a=. 又a>-,所以a=. (2)已知坐标平面内点P的坐标为(sin 5,cos 5),则点P位于第________象限.  【解析】因为<5<2π,所以sin 5<0,cos 5>0,则点P位于第二象限. 答案:二 【加练备选】 若角θ是第四象限角,则y=++=________.  【解析】由题知,sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0,所以y=++=-1+1-1=-1. 答案:-1 - 4 - 学科网（北京）股份有限公司 $