第2章 第11讲 指数与指数函数(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案围绕指数与指数函数专题，涵盖指数幂运算、指数函数图象及性质等核心考点，按“根式-分数指数幂-指数函数”逻辑梳理知识，通过教材梳理夯基础、基础自测辨盲点、考点突破讲练结合，帮助学生构建系统知识网络。 教案注重数学思维与数学语言培养，通过分类讨论底数大小突破单调性应用难点，设计“辨析易错点-典例精讲-变式训练”活动，如结合天津高考题对比指数式大小，设置基础、能力、综合分层练习，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第11讲　指数与指数函数 复习目标 1.通过对有理数指数幂(a>0,m,n为正整数,且n>1)、实数指数幂ax(a>0,x∈R)含义的理解,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义,会画指数函数的图象,并能应用图象解决一些简单问题. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用. 教材梳理　夯基础 主干知识 知识点1　指数与指数运算 (1)根式的性质 ①()n=a(a使有意义); ②当n是奇数时,=a;当n是偶数时,=|a|=. (2)分数指数幂的意义 ①=(a>0,m,n∈N*,且n>1); ②==(a>0,m,n∈N*,且n>1); ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (3)有理数指数幂的运算性质:ar·as=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr(其中a>0,b>0,r,s∈Q). [注意点]化简时,一定要注意区分n是奇数还是偶数. 知识点2　指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域:R 值域:(0,+∞) 过定点(0,1) 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 在R上是减函数 在R上是增函数 [注意点](1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点(0,1),(1,a), (-1,). (2)讨论指数函数的性质时,要注意分底数a>1和0<a<1两种情况. 常用结论 1.指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a), (-1,),依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. 2.函数y=ax与y=()x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称. 3.指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示,其中0<c<d<1<a<b. 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2 1,3 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)分数指数幂可以理解为个a相乘.(　　) (2)函数y=是指数函数.(　　) (3)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.(　　) (4)函数y=(a>1)的值域是(0,+∞).(　　) 【解析】 (1) 当<1时,不可以 × (2) 由于指数函数解析式为y=ax(a>0,且a≠1),故y=不是指数函数 × (3) m与n的大小关系与a的取值有关 × (4) 由于x2+1≥1,又a>1,所以≥a,故y=(a>1)的值域是[a,+∞) × 2.(必修第一册P109T1改编)下列运算正确的是(　　) A.=2-π B.a= C.= D.(=x9 【解析】选C.对于A,2-π<0,所以=π-2,错误;对于B,因为->0,所以a<0,则 a=-(-a)·=-,错误;对于C,==,正确;对于D, (==x7,错误. 3.已知函数y=4x-3·2x+3,若其值域为[1,7],则x可能的取值范围是(　　) A.[2,4] B.(-∞,0] C.(0,1]∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2] 【解析】选D.令t=2x(t>0),则y=t2-3t+3=+,其图象的对称轴为直线t=.当x∈[2,4]时,t∈[4,16],此时y∈[7,211],不满足题意;当x∈(-∞,0]时,t∈(0,1],此时y∈[1,3),不满足题意;当x∈(0,1]∪[2,4]时,t∈(1,2]∪[4,16],此时y∈[,1]∪[7,211],不满足题意;当x∈(-∞,0]∪[1,2]时,t∈(0,1]∪[2,4],此时y∈[1,7],满足题意. 4.函数f(x)=ax-1+2 026(a>0且a≠1)的图象恒过定点____________.  【解析】令x-1=0,得x=1, 所以f(1)=a0+2 026=2 027, 所以函数f(x)=ax-1+2 026的图象恒过定点(1,2 027). 答案:(1,2 027) 考点突破　强技能 考点一指数幂的运算 【例1】计算: (1)(-1.8)0+()-2·-+; (2) ()·(a>0,b>0). 【解析】(1)(-1.8)0+()-2·-+ =1+()2·()-10+ =1+()2·()2-10+33 =1+1-10+27=19. (2) ()· =×0.12×=2××8=. 解题技法 指数幂的运算方法 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 【训练1】　(1)已知a>0,下列运算正确的是(　　) A.=a B.a÷= C.a-2=0 D. ()2=a 【解析】选D.选项A,==,故A错误; 选项B,a÷==,故B错误; 选项C,a-2==,故C错误; 选项D, ()2==a,故D正确. (2)已知x<0,y>0,化简:=(　　) A.-x2y B. x2y C.-3x2y D. 3x2y 【解析】选B.由题意得==x2·|y|=x2y. (3)已知=5,则=________.  【解析】= =a2x+1+a-2x=5+1+=. 答案: 考点二指数函数的图象及应用 【例2】(1)函数f(x)= ()|x+2|的部分图象大致为(　　) 【解析】选B.由题意得,f(x)的定义域为R,排除C,D;当x≥-2时,f(x)= ()x+2,因为0<<1,所以f(x)在[-2,+∞)上单调递减,排除A. (2)(一题多变)若函数y=|3x-1|在(-∞,k]上单调递减,则实数k的取值范围为________.  【解析】函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示. 由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以实数k的取值范围为(-∞,0]. 答案:(-∞,0] [变式1](变条件、变设问)若本例(2)的条件变为:函数y=|3x-1|与直线y=m有两个不同交点,则实数m的取值范围是________.  【解析】曲线y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的.作出直线y=m和曲线y=|3x-1|的图象如图所示,由图象可得,如果曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个公共点,则m的取值范围是(0,1). 答案:(0,1) [变式2](变条件、变设问)若本例(2)的条件变为:函数y=|3x-1|+m的图象不经过第二象限,则实数m的取值范围是________.  【解析】作出函数y=|3x-1|+m的图象如图所示.由图象知m≤-1,即m∈(-∞,-1]. 答案:(-∞,-1] 解题技法 有关指数型函数问题的解题思路 (1)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (2)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. 【训练2】　(1)(多选题)已知实数a,b满足等式2 025a=2 026b,下列等式可以成立的是(　　) A.a=b=0 B.a<b<0 C.0<a<b D.0<b<a 【解析】选ABD.如图,观察易知,a<b<0或0<b<a或a=b=0. (2)(多选题)若直线y=与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值可以是(　　) A. B. C. D.3 【解析】选ABC.y=|ax-1|的图象由y=ax的图象向下平移一个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到,分a>1和0<a<1两种情况分别作图. 当a>1时,图象如图所示: 此时需要0<<1,即0<a<2,所以1<a<2; 当0<a<1时,图象如图所示: 此时需满足0<<1,0<a<1都符合条件; 综上可知,a的取值范围为0<a<1或1<a<2,所以a的取值不可以是D项. 考点三指数函数的性质的应用 角度1　比较指数式大小 【例3】(2023·天津高考)(一题多法)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 【解析】选D.法一　因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5>0,所以1.010.6>1.010.5>1,即b>a>1; 因为函数g(x)=0.6x是减函数,且0.5>0,所以0.60.5<0.60=1,即c<1. 综上,b>a>c. 法二　因为函数f(x)=1.01x是增函数, 且0.6>0.5,所以1.010.6>1.010.5,即b>a; 因为函数h(x)=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且1.01>0.6>0,所以1.010.5>0.60.5,即a>c.综上,b>a>c. 解题技法 比较指数式的大小的方法 (1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小; (2)不能化成同底数的,一般引入“0或1”等中间量比较大小. 角度2　解简单的指数方程或不等式 【例4】(1)已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为________.  【解析】①当a<1时,由f(1-a)=f(a-1)得=,即=2,所以2-2a=1,解得a=; ②当a>1时,由f(1-a)=f(a-1)得=,即=,所以2a-2=2a-1,无解. 综上可知,a=. 答案: (2)设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是__________.  【解析】当a<0时,f(a)<1, 即()a-7<1, 所以()a<8, 解得a>-3,故-3<a<0; 当a≥0时,f(a)<1, 即<1,解得a<1,故0≤a<1. 综上可得,a的取值范围是(-3,1). 答案:(-3,1) 解题技法 简单的指数方程或不等式求解的基本方法:先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数的单调性转化为一般方程或不等式求解. 角度3　指数函数性质的综合应用 【例5】已知函数f(x)= (). (1)若a=-1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)有最大值3,求实数a的值; (3)若f(x)的值域是(0,+∞),求实数a的值. 【解析】(1)当a=-1时,f(x)= (), 令u=-x2-4x+3=-(x+2)2+7. 则u=-(x+2)2+7在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减, 而y=()u在R上单调递减, 所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2). (2)令h(x)=ax2-4x+3, 则f(x)= ()h(x), 因为f(x)有最大值3, 所以h(x)应有最小值-1, 因此必有 解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1. (3)由f(x)的值域是(0,+∞)知,y=ax2-4x+3的值域为R,则必有a=0. 解题技法 求解与指数函数有关的复合函数问题时,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,当涉及单调性问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断. 【训练3】　(1)(一题多法)(2025·福州模拟)已知a=0.30.6,b=0.30.5,c=0.40.5,则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 【解析】选D.法一:由指数函数y=0.3x在定义域内单调递减,得a<b,由幂函数y=x0.5在定义域内单调递增,得c>b.综上c>b>a. 法二:因为=0.30.1<1,且=()0.5<1,又a,b,c都为正数,所以c>b>a. (2)(2024·沧衡八校联盟)已知函数f(x)=ex-,若f(a-2)+f(a2)≤0,则实数a的取值范围是____________.  【解析】因为f(x)=ex-,定义域为R,f(-x)=e-x-=-ex=-f(x),所以f(x)=ex-为奇函数.又因为f(x)=ex-在R上为增函数,所以f(a-2)+f(a2)≤0⇒f(a-2)≤-f(a2)⇒f(a-2)≤f(-a2),即a-2≤-a2,a2+a-2≤0,解得-2≤a≤1. 答案:[-2,1] (3)是否存在实数a,使函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值是14?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 【解析】存在,令t=ax,则y=t2+2t-1. ①当a>1时,因为x∈[-1,1], 所以ax∈[,a],即t∈[,a]. 所以y=t2+2t-1=(t+1)2-2在[,a]上是增函数(对称轴t=-1<). 所以当t=a时,ymax=(a+1)2-2=14. 所以a=3或a=-5.因为a>1,所以a=3. ②当0<a<1时,t∈[a,]. 因为y=(t+1)2-2在[a,]上是增函数(对称轴t=-1<a), 所以ymax=(+1)2-2=14. 所以a=或a=-. 因为0<a<1,所以a=. 综上,a=3或a=. - 11 - 学科网（北京）股份有限公司 $