第1章 第5讲 二次函数与一元二次方程、不等式(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案聚焦二次函数与一元二次方程、不等式核心考点，按“三个‘二次’关系-分式与绝对值不等式解法-含参数不等式-恒成立与能成立问题”逻辑架构知识，通过教材梳理夯实基础，基础自测澄清盲点，考点突破（题组练通+例题变式+分层训练）帮助学生构建解题框架，体现复习系统性与针对性。 教案采用“分类讨论+主元转换”策略，如解含参数不等式时引导学生按二次项系数、判别式、根的大小分层讨论（数学思维），处理恒成立问题用分离参数法将不等式转化为函数最值问题（数学语言）。设基础巩固与能力提升练习，配合即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第5讲　二次函数与一元二次方程、不等式 复习目标 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式. 2.结合二次函数图象,会判断一元二次方程的根的个数,以及解一元二次不等式. 3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法. 教材梳理　夯基础 主干知识 知识点1　三个“二次”间的关系 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等 的实数根x1 =x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1,或x>x2} {x|x≠-} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 知识点2　分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇒__f(x)g(x)>0(<0)__;  (2)≥0(≤0)⇒. 知识点3　简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞), |x|<a(a>0)的解集为(-a,a). [注意点]记忆口诀: 大于号取两边,小于号取中间. 常用结论 1.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足; 2.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为⌀,则一定满足; 3.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足; 4.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为⌀,则一定满足. 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3,4 1 2 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1,x2.(　√　) (2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　√　) (3)不等式x2≤a的解集为[-,].(　×　) (4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.(　×　) 2.不等式ax2-ax+a+1>0对∀x∈R恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C. (-∞,-)∪(0,+∞) D. (-∞,-)∪[0,+∞) 【解析】选B.①当a=0时,1>0成立;②当a≠0时,只需,解得a>0, 综上可得a≥0,即实数a的取值范围为[0,+∞). 3.(必修第一册P55T5变式)已知集合A={x|x2-16<0},B={x|x2-4x+3>0},则A∩B=______.  【解析】由x2-16<0,得-4<x<4,即集合A=(-4,4),由x2-4x+3>0,得x<1或x>3,即集合B=(-∞,1)∪(3,+∞),所以A∩B=(-4,1)∪(3,4). 答案: (-4,1)∪(3,4) 4.(必修第一册P58T6变式)若关于x的一元二次不等式2x2-kx+>0对于一切实数x都成立,则实数k的取值范围为__________.  【解析】由题意得Δ=(-k)2-4×2×<0,-<k<. 答案: (-,) 考点突破　强技能 考点一 不含参数的一元二次不等式的解法…………题组练通 1.不等式>0的解集为____________.  【解析】不等式>0等价于(x-1)(x+2)>0, 解得x>1或x<-2,所以不等式>0的解集为{x|x>1或x<-2}. 答案: {x|x>1或x<-2} 2.不等式3-<x的解集是____________.  【解析】不等式3-<x等价于>0,等价于x(x2-3x+2)>0,即x(x-1)(x-2)>0,由数轴标根法得所求不等式的解集为{x|0<x<1或x>2}. 答案: {x|0<x<1或x>2} 3.求下列不等式的解集: (1)x2-4x-5≤0; (2)-3x2-2x+8≥0; (3)0<x2-x-2≤4. 【解析】(1)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0,所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}. (2)原不等式可化为3x2+2x-8≤0, 即(3x-4)(x+2)≤0,解得-2≤x≤, 所以原不等式的解集为. (3)原不等式等价于⇔⇔ ⇔ 借助于数轴,如图所示, 所以原不等式的解集为{x|-2≤x<-1或2<x≤3}. 解题技法 解一元二次不等式的一般步骤 (1)化为标准式. (2)计算相应的判别式. (3)根据相应一元二次方程的根的情况写出解集. 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 【例1】解不等式x2-(a+1)x+a<0. 【解析】原不等式可化为(x-a)(x-1)<0. 当a>1时,原不等式的解集为{x|1<x<a}; 当a=1时,原不等式的解集为⌀; 当a<1时,原不等式的解集为{x|a<x<1}. [变式]将本例中的不等式改为ax2-(a+1)·x+1<0(a>0),求此不等式的解集. 【解析】不等式可化为(ax-1)(x-1)<0, 因为a>0,所以a(x-) (x-1)<0. 当a>1时,解得<x<1; 当a=1时,解集为⌀; 当0<a<1时,解得1<x<. 综上,当0<a<1时,此不等式的解集为;当a=1时,此不等式的解集为⌀;当a>1时,此不等式的解集为. 解题技法 对含参数的不等式,应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系进行分类. (3)当有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论. 【训练1】(1)(2025·潍坊质检)若a∈R,则关于x的不等式4x2-4ax+a2-1<0的解集为________________.  【解析】原不等式可转化为[2x-(a+1)][2x-(a-1)]<0, 因为>, 所以不等式的解集为{x|<x<}. 答案: (2)解关于x的不等式x2-ax+1≤0. 【解析】由题意知,Δ=a2-4, ①当a2-4>0,即a>2或a<-2时, 方程x2-ax+1=0的两根为x=, 所以解集为{x|≤x≤. ②若Δ=a2-4=0,则a=±2. 当a=2时,原不等式可化为x2-2x+1≤0, 即(x-1)2≤0,所以x=1; 当a=-2时,原不等式可化为x2+2x+1≤0, 即(x+1)2≤0,所以x=-1. ③当Δ=a2-4<0,即-2<a<2时, 原不等式的解集为⌀. 综上,当a>2或a<-2时,原不等式的解集为{x|≤x≤}; 当a=2时,原不等式的解集为{1}; 当a=-2时,原不等式的解集为{-1}; 当-2<a<2时,原不等式的解集为⌀. 考点三 三个“二次”之间的关系 【例2】(2025·石家庄模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,5),其中a,b,c为常数,则不等式cx2+bx+a≤0的解集是(　　) A. [-1,] B. [-,1] C. (-∞,-]∪[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[,+∞) 【解析】选A.因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,5),所以a<0,且-1和5是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,所以, 解得, 所以不等式cx2+bx+a≤0可化为-5ax2-4ax+a≤0,即5x2+4x-1≤0, 解得-1≤x≤,则不等式cx2+bx+a≤0的解集是[-1,]. 解题技法 一元二次不等式与方程的关系的解题策略 (1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值. (2)给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或利用根与系数的关系求解. 【训练2】(2025·常州模拟)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则下列选项不正确的是(　　) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6} C.a+b+c>0 D.不等式cx2-bx+a<0的解集为(-∞,-)∪(,+∞) 【解析】选C.由题意可知-2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,且a>0,所以-2+3= -,(-2)×3=,所以b=-a,c=-6a,a>0,即选项A正确; 不等式bx+c>0等价于a(x+6)<0, 所以x<-6,即选项B正确; 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞), 所以当x=1时,有a+b+c<0,即选项C错误; 因为不等式cx2-bx+a<0等价于a(6x2-x-1)>0,即a(3x+1)(2x-1)>0, 所以x<-或x>,即选项D正确. 微拓展一元二次方程根的分布 解决由一个一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取值范围问题,主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解. (1)判别式Δ的符号. (2)对称轴x=-与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. [典例](1)若关于x的一元二次方程x2-2ax+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2) B.(2,+∞) C.(,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 【解析】选C.设f(x)=x2-2ax+4,根据已知结合二次函数性质,作图如图, 则有, 解得a>. (2)(2025·厦门模拟)关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0有两个不相等的正实数根,则m的取值范围是(　　)　A.(-∞,-2)∪(-2,0) B.(-∞,2) C.(0,2)∪(2,+∞) D.(-2,+∞) 【解析】选A.因为方程x2+(m-2)x-2m=0有两个不相等的正实数根, 所以,解得m<0且m≠-2. 考点四 不等式恒(能)成立问题 角度1　在R上的恒成立问题 【例3】若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是(　　) A.(-2,2) B.(-2,2] C.(-∞-2)∪[2,+∞) D.(-∞,-2] 【解析】选B.将不等式ax2+2ax-4<2x2+4x整理可得(a-2)x2+(2a-4)x-4<0,即不等式(a-2)x2+(2a-4)x-4<0对任意实数x均成立,当a-2=0,即a=2时,不等式变为-4<0,满足题意; 当a-2≠0时,需满足,解得-2<a<2. 综上可得实数a的取值范围是(-2,2]. 解题技法 不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 【训练3】(2025·镇江模拟)若命题“∃x∈R,x2+4x+t<0”是假命题,则实数t的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选D.因为命题“∃x∈R,x2+4x+t<0”是假命题,所以其否定“∀x∈R,x2+4x+t≥0”是真命题,则Δ=16-4t≤0,解得t≥4,所以实数t的最小值为4. 角度2　在给定区间上的恒成立问题 【例4】(金榜原创·易错对对碰) (1)(一题多法)若对于x∈[1,3],mx2-mx+m-6<0(m≠0)恒成立,则m的取值范围是____________.  【解析】由已知得,m(x-)2+m-6<0(m≠0)在x∈[1,3]上恒成立. 法一: 令g(x)=m(x-)2+m-6(m≠0),x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,所以m<,则0<m<.当m<0时,g(x)在[1,3]上单调递减,所以g(x)max=g(1)=m-6<0,所以m<6,所以m<0. 综上所述,m的取值范围是{m|0<m<或m<0}. 法二: 因为x2-x+1=(x-)2+>0,又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可. 因为m≠0,所以m的取值范围是{m|0<m<或m<0}. 答案: {m (2)若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为__________.  【解析】设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,则即解得<x<,故实数x的取值范围为(,). 答案: (,) 解题技法 　在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围). (2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a. (3)对于以下两种题型,可以利用二次函数在端点m,n处的取值特点确定不等式求范围. ①ax2+bx+c<0(a>0)对x∈[m,n]恒成立; ②ax2+bx+c>0(a<0)对x∈[m,n]恒成立. [提醒]一般地,知道谁的范围,就选谁当主元;求谁的范围,谁就是参数.如本例(1)中建立关于x的函数,m为参数,本例(2)中建立关于m的函数,x为参数. 【训练4】　已知对任意m∈,mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是(　　) A. B. (-∞,)∪(,+∞) C. D.(,) 【解析】选D.对任意m∈,不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立, 即对任意m∈,m<6恒成立, 所以对任意m∈,x2-x+1<恒成立, 所以对任意m∈,x2-x+1<=2恒成立, 所以x2-x+1<2,解得<x<, 故实数x的取值范围是(,). 角度3　不等式能成立(有解)问题 【例5】(2025·马鞍山模拟)命题: “∃x∈[0,4]使得不等式x2-2x-3+a≥0成立”是真命题,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≤-4} B.{a|a≥4} C.{a|a≥-5} D.{a|a≥3} 【解析】选C.由“∃x∈[0,4]使得不等式x2-2x-3+a≥0成立”是真命题,即不等式a≥-x2+2x+3在x∈[0,4]上有解,因为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,当x=4时,ymin=-5,所以a≥-5,即实数a的取值范围为{a|a≥-5}. 解题技法 一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略 (1)分离参数法: 把不等式化为a>f(x)或a<f(x)的形式,只需a>f(x)min或a<f(x)max. (2)最值转化法: 若f(x)>0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最大值大于0;若f(x)<0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最小值小于0. (3)数形结合法: 根据图象列出约束条件求解. (4)最后一定要注意检验区间的开闭. 【训练5】　若关于x的不等式x2-(m+1)x+9≤0在[1,4]上有解,则实数m的最小值为(　　) A.9 B.5 C.6 D. 【解析】选B.因为x2-(m+1)x+9≤0在[1,4]上有解,所以m+1≥x+在[1,4]上有解,所以m+1≥(x∈[1,4]), 又因为x+≥2=6,当且仅当x=,即x=3时取等号,即m+1≥6,所以m≥5,则实数m的最小值为5. - 13 - 学科网（北京）股份有限公司 $