第1章 第1讲 集合(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第1讲　集合 复习目标 1.了解集合的含义,了解全集与空集的含义. 2.理解元素与集合的属于关系,理解集合间的包含和相等关系. 3.会求两个集合的并集、交集与补集. 4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算. 教材梳理　夯基础 主干知识 知识点1　集合的概念 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系有属于、不属于两种,用符号∈,∉表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 自然 数集 正整数集 整数 集 有理 数集 实数 集 符号 N N*(或N+) Z Q R [注意点]在解答集合问题时,要注意集合元素的特征,特别是互异性对集合元素的限制. 知识点2　集合间的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A). (3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B. (4)空集的性质:⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 知识点3　集合的基本运算 运算 运算表示法 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A, 或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A, 且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U, 且x∉A} ∁UA 知识点4　集合的运算性质 (1)A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A. (2)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A. (3)A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A. 常用结论 1.已知集合A中有n(n≥1)个元素,则它有2n个子集,它有2n-1个真子集,它有2n-1个非空子集,它有2n-2个非空真子集. 2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B. 3.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3,4 1 2 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)任何一个集合都至少有两个子集.(　 ×　) 【解析】(1)错误.空集只有一个子集. (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(　×　) 【解析】 (2)错误.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集. (3)若1∈{x2,x},则x=-1或1.(　 ×　) 【解析】 (3)错误.当x=1时,不满足集合中元素的互异性. (4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(　 √　) 2.已知集合A={x∈N|x<3},则集合A的真子集个数为(　　) A.1 B.2 C.4 D.7 【解析】选D.由已知可得A={0,1,2},其真子集个数为23-1=7. 3.(必修第一册P10例1变式)已知集合A={x|x2-2x<0},集合B={y|y=},则A∪B=(　　) A.(0,+∞) B.[0,2) C.(-∞,2] D.[0,+∞) 【解析】选D.因为A={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},B={y|y=}={y|y≥0}, 所以A∪B=[0,+∞). 4.(必修第一册P9T5变式)已知集合A={x|0<x<a},B={x|2<x<4},若B⊆A,则实数a的取值范围是________.  【解析】依题意,如图, 由图可知a≥4. 答案:[4,+∞) 考点突破　强技能 考点一 集合的基本概念…………题组练通 1.(多选题)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是(　　) A.-1∉A B.-11∉A C.3k2-1∈A D.-34∈A 【解析】选BCD.当k=0时,x=-1,所以-1∈A,所以A错误; 令-11=3k-1,得k=-∉Z,所以-11∉A,所以B正确; 因为k∈Z,所以k2∈Z,则3k2-1∈A,所以C正确; 令-34=3k-1,得k=-11∈Z,所以-34∈A,所以D正确. 2.已知集合A={x|x2≤1},集合B={x|x∈Z且x-1∈A},则B=(　　) A.{-1,0,2} B.{0,1,2} C.{-2,-1,0} D.{-2,-1,0,1,2} 【解析】选B.因为A={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},B={x|x∈Z且x-1∈A},所以B={0,1,2}. 3.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为(　　) A.4 B.5 C.8 D.9 【解析】选B.因为x2+y2≤,x∈Z, 所以x可取-1,0,1. 当x=-1时,y=0; 当x=0时,y=-1,0或1; 当x=1时,y=0. 所以A={(-1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)},共有5个元素. 4.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则a2 026+b2 027=________.  【解析】由题意知a≠0,因为{1,a+b,a}=,所以a+b=0,a≠1,则=-1,所以a=-1,b=1,故a2 026+b2 027=1+1=2. 答案:2 解题技法 解决集合含义问题的关键点 (1)确定构成集合的元素. (2)确定元素的限制条件. (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题. [提醒]含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性. 考点二 集合间的基本关系 【例1】(1)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=(　　) A.2 B.1 C. D.-1 【解析】选B.若a-2=0,则a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足题意;若2a-2=0,则a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足题意. (2)(2024·鹰潭模拟)已知集合A={x||x-1|≤2},B={-t,t},且B⊆A,则实数t的取值范围是(　　) A.[-1,1] B.[-3,3] C.[-1,0)∪(0,1] D.[-3,0)∪(0,3] 【解析】选C.根据题意得到A={x|-1≤x≤3}, 由B⊆A,得, 解得-1≤t≤1且t≠0. 故实数t的取值范围是[-1,0)∪(0,1]. 解题技法 根据两集合的关系求参数的方法 (1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性. (2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.[提醒]若有条件B⊆A,则应注意判断是否需要分B=⌀和B≠⌀两种情况进行讨论. 【训练1】(1)(2025·南昌模拟)已知集合M={x|ln x<0},N={x|ex-a>0},若M⊆N,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,1) C.(-∞,e] D.(-∞,e) 【解析】选A.由ln x<0得0<x<1,所以M={x|0<x<1},因为M⊆N,所以a<ex对∀x∈(0,1)恒成立,所以a≤1. (2)已知集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},若B⊆A,则实数m的取值范围为____________.  【解析】①若B=⌀,则Δ=m2-4<0, 解得-2<m<2. ②若1∈B,则12+m+1=0, 解得m=-2, 此时B={1},符合题意; ③若2∈B,则22+2m+1=0, 解得m=-, 此时B={2,},不符合题意. 综上所述,实数m的取值范围为[-2,2). 答案:[-2,2) 【加练备选】 (2025·太原模拟)在下列选项中,能正确表示集合A={-3,0,3}和B={x|x2+3x=0}的关系的是(　　) A.A=B B.A⊇B C.A⊆B D.A∩B=⌀ 【解析】选B.由B={x|x2+3x=0},可得B={-3,0},因为A={-3,0,3},所以A⊇B. 考点三集合的基本运算 角度1　集合的运算 【例2】(1)(2025·八省联考)已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B=(　　) A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{-1,0,1,4} 【解析】选C.A∩B={0,1}. (2)(2024·全国甲卷)集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)=(　　) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} 【解析】选D.因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A}={1,4,9,16,25,81},所以∁A(A∩B)={2,3,5}. (3)(2025·沈阳模拟)已知M,N为全集U的非空真子集,且M,N不相等,若(∁UM)∪N=U,则(　　) A.N⊆M B.M∪N=N C.(∁UM)∩N=⌀ D.M∪(∁UN)=U 【解析】选B.因为(∁UM)∪N=U,等价于∁UN⊆∁UM,等价于M⊆N,且M,N不相等,可知集合M是集合N的真子集,故A错误; 且M∪N=N,故B正确; 据此作出Venn图, 可知(∁UM)∩N≠⌀,M∪(∁UN)≠U,故C,D错误. 解题技法 集合的基本运算的解题策略 (1)看元素组成.从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提. (2)对集合化简.先化简集合再研究其关系并进行运算,可使问题变得简单明了,易于解决. (3)数形结合思想的应用.常用的数形结合形式有:数轴、坐标系和Venn图. 【训练2】(1)(2023·全国乙卷)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则M∪∁UN=(　　) A.{0,2,4,6,8} B. {0,1,4,6,8} C. {1,2,4,6,8} D. U 【解析】选A.由题意可得∁UN={2,4,8},则M∪∁UN={0,2,4,6,8}. (2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(　　) A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.2 【解析】选C. 因为x2-x-6≥0⇔(x-3)(x+2)≥0,所以N=(-∞,-2]∪[3,+∞),又因为M={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}. 角度2　利用集合的运算求参数的值(范围) 【例3】(1)已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|x>m},若A∪B={x|x>1},则(　　) A.m≥1 B.1≤m<3 C.1<m<3 D.1≤m≤3 【解析】选B.由x2-4x+3=(x-1)(x-3)<0,得1<x<3,所以A=(1,3). 又B={x|x>m}且A∪B={x|x>1},借助数轴求解,由图知1≤m<3. (2)已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为________.  【解析】由A∩B=A,得A⊆B, 所以B≠⌀,所以m≥0. 由|x-3|≤m,得-m+3≤x≤m+3, 故即 即m≥5,则m的最小值为5. 答案:5 解题技法 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 (1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到. (2)若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.[提醒]在求出参数后,注意结果的验证(满足互异性). 【训练3】(1)已知集合A={x|-1≤x≤2 026},B={x|a≤x≤a+1}(a>0),若A∩B≠⌀,则a的取值范围是(　　) A.(0,2 026) B.(0,2 026] C.(0,2 025) D.(0,2 025] 【解析】选B.由题意知A∩B≠⌀,再由a>0,得集合B中最小元素a应在集合A中,所以0<a≤2 026,即a的取值范围是(0,2 026]. (2)已知集合A={x|x>a},B={x|1<x≤2},且A∪∁R B=R,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|a≥2} D.{a|a>2} 【解析】选A.因为B={x|1<x≤2},所以∁R B={x|x≤1或x>2},又A∪∁R B=R,所以a≤1. 【加练备选】 　设集合A={x|x2-2x-3<0,x∈R},B={x||x|>a,a>0},则A∪B=R,则实数a的取值范围为__________.  【解析】由题意A={x|x2-2x-3<0,x∈R}={x|-1<x<3},B={x||x|>a,a>0}={x|x>a或x<-a,a>0},若满足A∪B=R,则∁R B⊆A, 又因为∁R B={x|-a≤x≤a},所以, 解得0<a<1. 答案:(0,1) - 11 - 学科网（北京）股份有限公司 $