专题05 正弦定理与余弦定理（讲义）-2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为正弦定理与余弦定理。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题05 正弦定理与余弦定理 一、课标解读 1.解三角形 · (1)正弦定理 · (2)余弦定理 2.三角形的面积公式 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2021 选择题 10 正余弦定理的应用（判断三角形的形状） 5 （1）题型：选择题、填空题、解答题均有涉及。 （2）内容及分值：正弦定理与余弦定理，可能与平面向量、三角函数等结合考查；分值一般在5-13分。 2022 填空题 13 正余弦定理的应用 5 解答题 19 正弦定理（解三角形） 8 2023 填空题 14 余弦定理(解三角形) 5 解答题 19 正、余弦弦定理（解三角形） 8 2024 填空题 16 余弦定理的应用 5 解答题 19 余弦定理 5 2025 解答题 19 余弦定理(解三角形) 8 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年内蒙古对口招生考试依然有1-2道题目对正、余弦定理进行考查；选择题、填空题、解答题均有可能涉及；分值为5-13分。 具体考点可能涉及如下内容： · 正弦定理及其应用 · 余弦定理及其应用 · 三角函数及相关知识 四、知识梳理 1.正弦定理和余弦定理： 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式： (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 五、10分钟小测验 一、单选题 1．在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，已知，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 3．在中，，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，，那么等于（   ） A．49 B． C．13 D． 5．已知的面积为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 6．已知的内角所对的边分别为，且满足，则该三角形为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 二、填空题 7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，，则 ． 8．在中，角的对边分别为，若，则 ． 三、解答题 9．在中，内角的对边分别是且. (1)求的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 10．三个内角A,B,C对应的三条边长分别是，且满足． （1）求角的大小； （2）若，，求． 1【答案】B 【分析】结合三角形内角和与正弦定理求解即可； 【详解】因为在中，已知 所以， 又因为。 所以由正弦定理可得，所以． 故选：B 2【答案】C 【分析】由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为在中，， 所以． 故选：C. 3【答案】C 【分析】根据题意结合正弦定理即可得解. 【详解】在中，由，得， 又，故，得， 由正弦定理得，. 故选：C. 4【答案】B 【分析】根据余弦定理求解. 【详解】由余弦定理可得． ． 故选：B. 5【答案】D 【分析】由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，因为，所以或． 故选：D. 6【答案】D 【分析】将已知条件带入余弦定理，因为其满足勾股定理，所以可判断三角形形状. 【详解】由，即，化简得， 满足勾股定理，所以为直角三角形； 故选：. 7【答案】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】因为，，， 则由正弦定理可知，， 则． 故答案为：. 8【答案】4 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由题意，在中，， ， ， . 故答案为：4 9【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理将边化角，即可求解. （2）由三角形公式和余弦定理即可求解周长. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 解得， 所以. （2）因为， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以的周长为. 10【答案】⑴  (2) 【分析】⑴由正弦定理及，得，因为，所以； ⑵由余弦定理，解得 【详解】⑴由正弦定理 得， 由已知得，， 因为，所以 ⑵由余弦定理， 得 即，解得或，负值舍去， 所以 【点睛】解三角形问题，常要求正确选择正弦定理或余弦定理对三角形中的边、角进行转换，再进行求解，同时注意三角形当中的边角关系，如内角和为180度等 六、经典例题解析 【例1】（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，已知，则形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由正弦定理的边化角，再结合两角差的正弦公式化简，进而求解即可. 【详解】由正弦定理可知. 因为 所以 因为和是三角形的内角. 所以即. 则为等腰三角形. 故选：A. 【例2】（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与平行． (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平行和正弦定理边角互化求解角度即可. （2）由三角形面积公式直接求解即可. 【详解】（1）因为向量与平行， 所以有，即， 由正弦定理得, 又，， 从而, 由于， 所以. （2）因为，， 由（1）知，. 所以三角形的面积为. 【例3】（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用二倍角公式求解； （2）由正弦定理求解. 【详解】（1）因为，所以，则． 又因为，所以． （2）因为，所以由正弦定理， 得． 【例4】（24-25高三下·内蒙古·职教高考）在中，. (1)求的最大内角的度数； (2)求的值. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据三角形的性质得出角最大，结合余弦定理即可得解. （）根据题意结合两角和的正切公式即可得解. 【详解】（1）在中，， 因为边最大，所以角最大， 则， 因为，所以. （2），则， 则. 【例5】（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量， ，且. (1)求角A的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示和正弦定理列出等式，结合同角三角函数间的关系求出对应角即可解得. （2）根据三角形面积公式即可解得. 【详解】（1）由题，，则， 由正弦定理可得, 又知，则，则， 又知，则解得. （2）由题，，则， 故. 【例6】（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）在中，分别为角的对边，已知. (1)求角A的大小； (2)若成等比数列，判断的形状. 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】（1）根据诱导公式以及正弦定理边化角结合同角三角函数的商数关系求解即可. （2）根据等比中项的性质得到，再由余弦定理即可判断三角形性质. 【详解】（1），， 由正弦定理得，， ，即， 又. （2）成等比数列，， 由余弦定理得， ，即， ，即，， 为等边三角形. 【例7】（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）在锐角中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理即可求出的值； （2）利用正弦定理求得，结合角A的范围可得，再由二倍角的正弦公式以及两角和差的正弦公式可得结果. 【详解】（1）在中，由， 整理可得：， 由余弦定理可得，. （2）由（1）知，在中， 则， 又由正弦定理得得， 由知，，故有，则A为锐角， ， ，， . 【例8】（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）在△ABC中，， (1)求sinC的值； (2)若BC=10，求△ABC的面积. 【答案】(1) (2)42 【分析】（1）根据三角形的内角和定理化简sinC，再利用两角和的正弦函数公式求解. （2）根据正弦定理求得三角形的边，再根据三角形的面积公式求解. 【详解】（1）∵，且， ∴. 在△ABC中，，，. . （2）由正弦定理可知，，代入BC=10，，， 得到. 即△ABC的面积. 【例9】（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知各内角的对边分别为，且满足. (1)求角A的度数； (2)若，.求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）先求出角C的度数，再根据正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，则有， 根据余弦定理，， 又，所以； （2）由于，所以， 根据正弦定理，有，， 化简得到. 【例10】（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，，则 . 【答案】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为. 所以. 所以. 因为. 所以. 故答案为：. 七、专题归纳小结 关于正、余弦定理： 1. 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． 2.已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意． 3.根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键． 4. 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 5.在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $