专题03 指数函数与对数函数（讲义）-2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第3个专题，内容为指数函数与对数函数。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题03 指数函数与对数函数 一、课标解读 1.指数函数 · (1)根式 · (2)有理数指数幂 · (3)指数函数的图像与性质 2.对数函数 · （1）对数的概念 · （2）对数的性质与运算法则 · （3）对数函数的图像与性质 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2021 选择题 4 指数函数单调性 5 （1）题型：选择题、填空题均有涉及。 （2）内容及分值：对数函数的定义、指对数的运算、指数函数与对数函数的单调性及值域。 填空题 13 指对数运算 5 2022 填空题 14 对数函数定义域 5 2023 填空题 14 对数函数单调性 5 2024 选择题 3 指数函数的定义 5 2025 选择题 3 对数函数求值 5 填空题 13 指数幂的运算 5 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年内蒙古对口招生考试依然有1-2道题目考查指对数的运算、指数函数与对数函数的单调性、值域，题型设置为单选题或填空题，分值5-10分。 具体考点可能涉及如下内容： · 指对数的运算 · 指数函数与对数函数的单调性 · 指数函数与对数函数求值 四、知识梳理 （一） 指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ① ② 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 : ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)； ③正分数指数幂： ＝(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)； ④负分数指数幂： ＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 （二） 对数函数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1) ①＝N； ②logaaN＝N； ③logbN＝； ④＝logab； ⑤logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. (2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga＝logaM. 3．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R　　　　 (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 五、10分钟小测验 一、单选题 1．设且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算（ ） A．0 B．1 C．2 D． 3．（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 4．函数的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 7．设，则“”是“为奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   9．若，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 1【答案】B 【分析】根据指数幂的运算以及对数的运算性质，逐一分析选项即可. 【详解】对于选项A：，故A选项错误； 对于选项B ：，故B选项正确； 对于选项C：，故C选项错误； 对于选项D：，故D选项错误． 故选：B． 2【答案】C 【分析】利用指数与对数的运算求值即可. 【详解】； 故选：C. 3【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得解. 【详解】原式， 故选：. 4【答案】C 【分析】根据指数函数过定点问题即可得解. 【详解】函数为指数函数， 令，则，所以函数图像一定过点， 故选：. 5【答案】D 【分析】根据题意，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为指数函数在定义域R上是单调增函数， 故，即； 因为指数函数在定义域R上是单调减函数， 所以； 所以. 故选：D. 6【答案】B 【分析】利用根式函数的定义域限制，列出式子，结合指数函数单调性得到答案. 【详解】要使函数有意义， 需满足， ， 由于在上单调递减， 所以原式解得， 因此所求定义域为， 故选：B. 7【答案】A 【分析】根据奇函数的定义结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】若为奇函数， 则， 化简得，解得， 当时，函数，因为恒成立，则恒成立， 所以函数定义域为，符合奇函数的定义， 则当时，函数为奇函数，故充分性成立； 当函数为奇函数时，，故必要性不成立， 所以“”是“为奇函数”的充分不必要条件， 故选：. 8【答案】C 【分析】结合分段函数解析式，逐段分析即可判断. 【详解】当时，单调递增，故排除A、B选项； 当时，单调递减，故排除D选项； 所以C选项正确. 故选：C. 9【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性转化不等式求解即可. 【详解】已知在上为减函数， 由，可得， 可将不等式转换为，即， 解得，所以x的取值范围为， 故选：C. 10【答案】C 【分析】根据题意，结合指数函数和对数函数的单调性，即可判断求解. 【详解】因为在定义域上单调递减， 所以，即， 因为在定义域上单调递增，即， 又在定义域上单调递减， 所以， 即，，，所以. 故选：C. 六、经典例题解析 【考试题型1】指对数的运算 【例1】（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测） . 【答案】 【分析】根据指对数的运算即可求解. 【详解】由题意得，. 故答案为：. 【例2】（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知，，则 . 【答案】 【分析】利用换底公式可将原式对数的底数都换成以9为底的对数，再根据对数的运算性质进行运算即可. 【详解】===， 故答案为：. 【例3】（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）若，， ． 【答案】 【分析】由对数的定义及指数的运算即可得解. 【详解】，. 所以. 故答案为：. 【例4】（23-24高三下·河南·阶段练习）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数指数幂的运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 【考试题型2】指数函数、对数函数的性质 【例5】（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）设，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性判断不等式即可. 【详解】因为. 所以. 因为在是增函数，且.所以.故A错误. 因为在是减函数，且.所以,故B错误. 因为在上是减函数，且所以.故C错误，D正确 故选：D. 【例6】（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知函数，且，若，则（    ） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】根据题目条件列出等式，再进行计算即可. 【详解】因为，所以，解得. 因为，所以，解得. 因为，所以，进而. 故选：C. 【例7】（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）设，若在区间上的最大值与最小值之差为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的运算性质进行计算即可. 【详解】因为，所以在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 又因为最大值与最小值之差为， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 【例8】（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数指数幂运算，结合指数函数的单调性求解不等式即可 【详解】因为在上是增函数. 又因为. 所以解得. 故不等式的解集为. 故选：A. 【例9】（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】根据的单调性求出最大值与最小值，由条件列式求解即可． 【详解】∵，∴函数在区间上单调递增， ∴最大值与最小值分别为， 由题意，即，解得， 故答案为：4． 【例10】（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）若函数，则的值为 . 【答案】17 【分析】根据题意，结合对数函数求函数值，代入即可求解. 【详解】因为， 所以， ， 所以. 故答案为：17. 七、专题归纳小结 1.高考对指数函数及对数函数的考查近三年有所升温，重点是它们的性质以及运算，在复习时要特别重视对指对数的运算以及这两个函数的性质的理解与应用． 2.在进行指对数的运算的时候注意以下解题策略： （1）尽可能写的幂的形式，如： （2）把根式写成分数指数幂. （3）小数化成分数，尽可能转化为同底. 3.在涉及指对型函数的单调性有关问题时，要有根据性质进行分类讨论的意识和不要忽略对数函数的真数的限制条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $