专题02 函数及其性质（讲义）-2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第2个专题，内容为函数及其性质。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题02 函数及其性质 一、课标解读 · 函数的定义与表示方法 · 函数的定义域与值域 · 函数的单调性 · 函数的最值 · 函数的奇偶性 · 函数的周期性 · 二次函数 · 函数的应用 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2021 选择题 2 函数的奇偶性 5 （1）题型：选择题、填空题、解答题均有涉及。 （2）内容及分值及：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性以及函数的应用；分值一般在20-25分。 填空题 16 函数的定义域 5 解答题 22 二次函数 10 2022 选择题 3 函数的奇偶性 5 填空题 14 函数的定义域 5 解答题 23 二次函数 12 2023 选择题 2 函数的奇偶性 5 填空题 13 函数的定义域 5 解答题 23 函数新定义 12 2024 选择题 3 函数求值 5 选择题 7 函数的单调性 5 填空题 13 函数的奇偶性 5 解答题 22 二次函数的应用 10 2025 选择题 6 函数的奇偶性 5 填空题 16 函数的单调性 5 解答题 23 二次函数的应用 12 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年内蒙古对口招生考试依然有3-4道题目分别的函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及二次函数的应用进行考查，题型均设置为单选题1-2题，填空题1题，解答题1题，总分分值为20-25左右。 具体考点可能涉及如下内容： · 求已知函数的定义域 · 已知函数求值或利用函数的奇偶性求函数值 · 利用函数的奇偶性解不等式 · 二次函数及其应用 四、知识梳理 （一） 函数的定义与表示方法 1.函数的定义 一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． 3.表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． （二）函数的定义域与值域 1.在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据． 3.函数定义域的求法 类型 x满足的条件 ，n∈N* f(x)≥0 与 f(x)≠0 logaf(x) f(x)＞0 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 （4）函数值域的求法 方法 示例 示例答案 配方法 y＝x2＋x－2 y∈ 性质法 y＝ex y∈(0，＋∞) 单调性法 y＝ y∈[2，＋∞) 换元法 y＝sin2 x＋sin x＋1 y∈ 分离常数法 y＝ y∈(－∞，1)∪ (1，＋∞) （三）函数的单调性 1. 增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．(如图(1)所示) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．(如图(2)所示) 2. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)． 3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法：利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质． 如若f(x)、g(x)为增函数，则：① f(x)＋g(x)为增函数；② 为减函数(f(x)>0)；③ 为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数． (3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数． (4) 图象法 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （四） 函数的最值 1.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M； (2) 存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大(小)值． 2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. （五） 函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性仅与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． （六）二次函数 1.二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2.二次函数的三种常见解析式 （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； （3）两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． 3.二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 y∈ y∈ 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当时，y有最小值ymin＝ 当时，y有最大值ymax＝ （七）函数的应用 1．函数模型及其性质比较 (1)几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) (2)两种函数模型性质比较 函数 性质　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) 在(0，＋∞)上的单调性 单调增函数 单调增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 2. 函数模型的应用实例的基本题型 (1) 给定函数模型解决实际问题． (2) 建立合适的函数模型解决问题． 五、10分钟小测验 一、单选题 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．已知的图像如图所示，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．设函数是一次函数，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知函数若，则（   ） A．0 B．2 C． D．2或3 5．已知函数，则（   ） A．3 B． C．1 D． 6．函数在其定义域内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．若函数是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若是上的偶函数，则在区间上的最小值为（    ） A．0 B．1 C．9 D．19 9．函数为偶函数，则在上（    ） A．增函数 B．有部分增，有部分减的函数 C．减函数 D．不能确定其增减性 10．若函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则使得的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1【答案】C 【分析】根据题意，结合根式、对数式有意义需满足的条件，即可列式求解. 【详解】因为函数， 所以，解得， 即函数的定义域为. 故选：C. 2【答案】A 【分析】观察图像即可确定函数的值域. 【详解】由图像可知，函数的最大值为，最小值为， 所以函数的值域为， 故选：A. 3【答案】D 【分析】设一次函数为，根据已知条件代入解析式求解即可. 【详解】设一次函数解析式为， 由得： ，即，解得. 所以函数解析式为. 故选：D. 4【答案】B 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，分类讨论和时两种情况，即可求解. 【详解】由题意，当时，，即， 所以，解得或（舍去）； 当时，，解得（舍去）． 综上所述，． 故选：B. 5【答案】A 【分析】将代入合适的解析式中求值即可. 【详解】已知函数， 则， 故选：A. 6【答案】B 【分析】分类讨论的取值范围，结合二次函数的单调性即可得解. 【详解】对于， 当时，， 对于，其图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，故AC错误； 当时，， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，故D错误； 而选项B满足上述函数的性质描述，故B正确. 故选：B. 7【答案】B 【分析】根据函数为减函数，得出即可得解. 【详解】因为函数是减函数，所以，解得， 故选：. 8【答案】B 【分析】先根据函数是偶函数，得到参数，再分析函数的单调性，即可求解. 【详解】∵是上的偶函数， ∴，即. 故函数为，在单调递减，在单调递增. 因此，在区间上的最小值为 故选：B. 9【答案】A 【分析】先利用偶函数的性质求得，再利用二次函数的性质即可得解. 【详解】根据题意，函数为偶函数， 则，即， 整理得，由的任意性可得，此时， 经检验，当时，是偶函数， 所以， 则由二次函数的性质可知，的图象开口向下，且以轴为对称轴， 所以在上是增函数. 故选：A. 10【答案】B 【分析】根据函数为偶函数得到的值以及函数在上的单调性，根据单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 由可知，， 由函数在上单调递减，可知函数在上的单调递增， 因为，即或， 故或，即， 则的取值范围是. 故选：B. 六、经典例题解析 【考试题型1】函数的定义域 【例1】（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据对数型函数的定义域、对数的相关运算和负指数幂的意义即可求解. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且. 故答案为：. 【例2】（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据所给的定义域，再代入由指数函数的单调性求解不等式求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，即， 解得， 则函数的定义域. 故答案为：. 【考试题型2】函数的性质 【例3】（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性得，代入计算即可. 【详解】由题意，是偶函数，是奇函数， 所以. 故选：A. 【例4】（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）函数为偶函数，则在上（    ） A．增函数 B．有部分增，有部分减的函数 C．减函数 D．不能确定其增减性 【答案】A 【分析】先利用偶函数的性质求得，再利用二次函数的性质即可得解. 【详解】根据题意，函数为偶函数， 则，即， 整理得，由的任意性可得，此时， 经检验，当时，是偶函数， 所以， 则由二次函数的性质可知，的图象开口向下，且以轴为对称轴， 所以在上是增函数. 故选：A. 【例5】（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数在定义域上是奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质分析，进而根据题意计算即可. 【详解】因为函数在定义域R上是奇函数， 所以， 又当时，， 所以. 故选：B. 【例6】（24-25高三下·内蒙古·职教高考）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据增函数的定义以及性质求解即可. 【详解】因为函数对任意两个不相等的实数都有， 所以函数在上为增函数. 所以等价于， 整理得，解得. 故答案为：. 【例7】（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数是偶函数．则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】∵是偶函数，定义域为， ∴，即， 即，则. 故答案为：0. 【考试题型3】二次函数及其应用 【例8】（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数的图象过原点，且 (1)求解析式 (2)若对于任意，不等式恒成立，求m取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出方程组，进而求解即可. （2）利用二次函数在给定区间的最值求解即可. 【详解】（1）因为函数的图像过原点，且 即函数的对称轴 . 所以解得. 所以. （2）由可得. 令函数，则函数图像开口向下，对称轴为. 又因为 所以当时，函数取得最小值. 所以. 所以m的取值范围为. 【例9】（24-25高三下·内蒙古·职教高考）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 【答案】(1). (2)，日销售利润最大为元. 【分析】（）根据题意设出解析式，列出方程组即可得解. （）根据利润公式列出解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系， 设， 则，解得， 所以. （2）商品进价为每件30元， 则， 整理得， 图像为开口向下的抛物线，对称轴为，， 所以当时，日销售利润最大为元， 综上所述，，日销售利润最大为元. 【例10】（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知二次函数，若，且． (1)求函数的解析式； (2)若不等式的解集为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法列方程组求出即可； （2）利用一元二次不等式解集的端点是方程的两根列式求解. 【详解】（1）已知二次函数，且，， 可得， 整理得，解得． 则． （2）由，得． 又由的解集为， 得的解集为，且． 则4，是方程的两个根． 得，解得或（舍去）， 所以． 七、专题归纳小结 1. 函数的定义域是研究一切函数的源头，也是高考中每年必考的试题. 2. 函数的值域和最值问题也是高考的必考内容，在选择题、填空题、解答题中均可出现，主要是结合其他知识综合考查，特别是应用题；再就是求变量的取值范围，主要是考查求值域和最值的基本方法． 3. 函数单调性的概念是函数性质中最重要的概念，仍将会是2026年高考的重点，特别要注 意函数单调性的应用.常见题型有： （1）求函数的单调区间； （2）用定义判断函数在所给区间上的单调性； （3）强化应用单调性解题的意识，如比较式子大小，求函数最值，已知函数的单调性求参数的取值范围等． 4. 根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负) 5. 函数奇偶性的考查一直是近几年职教高考命题的热点，判断函数的奇偶性时不要忽略函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称. 如：判断函数的奇偶性. 【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函数为非奇非偶函数的错误结论. 正确解析：由函数的解析式知x满足即函数的定义域为，定义域关于原点对称，，易证，即函数为奇函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $