（篇一）第五单元简易方程·基础概念篇·用字母表示数【十六大考点】-2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 第1页共22页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋] 第五单元简易方程·基础概念篇·用字母表示数【十六大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第五单元简易方程·基础概念篇·用字母表示数 知专题内容 本专题以用字母表示数与式子为主，其中包括代数式的基本书写格式、代数式 的简单计算、代数式的基本应用以及多种相关的新型题型等内容。 ⊙评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★★★★：重难点：★★☆★★ 白讲解建议 本专题作为简易方程单元的地基内容，考查难度较小，题型多以填空、选择、 计算、应用等题型为主，建议作为本章基础内容进行讲解，要求全体学生务必 掌握。 回考点数量 十六大考点 第二篇章 考点导航篇 原【考点一】关于代数试的基本书写格式… .4 月【考点二】关于代数式的简单计算与化简5 月【考点三】用字母或含字母的式子表示数或数量关系.6 只【考点四】用字母或含字母的式子表示倍数关系… 7 只【考点五】用字母表示运算律… .8 只【考点六】用字母表示周长和面积计算公式 .9 原【考点七】用字母表示年龄问题， .12 原【考点八】用字母表示连续自然数问题 .12 只【考点九】用含字母的式子表示稍复杂的数量关系★★★… .13 第2页共22页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 原【考点十】区分x和2X的意义并代入求值… ….14 只【考点十一】新型题型其一：用归纳法或类推法解决数妍形规律问题… .15 只【考点十二】新型题型其二：定义新运算… .16 具【考点十三】新型题型其三：新材料定义 …17 原【考点十四】新型题型其四：程序框图… ..17 只【考点十五】新型题型其五：数列与算式规律探究… ...19 只【考点十六】新型题型其六：复杂的图形关系探究20 第3页共22页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 原【考点一】关于代数式的基本书写格试 方法点拨 关于代数式的基本书写格式是学习代数的基本知识，从编者教学情况来 看，对于正确规范的代数式书写重视还不够重视，导致部分学生出现一些低 级书写错误，尤其是在新初一学习代数运算时，经常出现笔误错算的情况。 1.关于字母与字母相乘的书写。 中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：A×B可写成AB或AB。 注意：一般情况下，按26个字母的顺序从左往右书写。 2.关于数字与字母相乘的书写。 把数字放到字母前，中间的乘号可用“”表示或省略不写，例如：3×B可写成 3B或3B 注意：乘1的字母就等于这个字母的本身，要省略数字1。 3.关于两个或多个相同字母相乘的书写。 需要写成平方或立方的形式，例如：B×B可写成B2,B×B×B可写成B。 4.关于分数的书写。 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5.关于除法的书写。 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以a写作三，不要写成5a 6.关于带有计量单位的书写。 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数 式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面 注明单位。 例如：甲同学买了5本书，乙同学买了a本书，他们一共买了(5+a)本。 目考察形式 填空、选择 過动态评价 吕【典型例题】 第4页共22页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2×a×b可简写成( ),cxcx5可简写成( ) 0【对应练习1】 省略乘号，写出下面各式。 c×b=( n×5.6=( axa=( ) 1×x=( 0【对应练习2】 省略乘号写出下面各式。 axx xxr b×8 b×1 肥【对应练习3】 省略乘号，写出下面各式。 b×x=b×b=x×5= a×12=a×b= 5×x= a×1=3×a= m×35= b×30=xxyx7= 2×c×c= 原【考点二】关于代数式的简单计算与化简 珂方法点拨 几个含有相同字母的式子相加减时，可以运用乘法分配律化简，即 ax士bx=(a±b)x。(其中x是字母，a,b既可以是数，也可以是字母。) 目考察形式 填空、选择、计算 過动态评价 ★ 吕【典型例题】 计算下面各题。 1.1a十3.4a= 5.8x-x= 6c-5c= 0.8a+a= 11y-4.5y= 5b+4b一96= 0【对应练习1】 计算下面各题。 3m+61m= 4.5b+2.5b= 24x-6x= 4.5b-0.5b= 3b×2b= 45b÷0.9= 第5页共22页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习2】 直接写出运算结果。 3.9x+2.01x= 3.7x-x= y-0.64y= 1.5y+y= 3x+6x-5x= 10x-3.7x-6.3x= 肥【对应练习3】 计算下面各题。 12x+5x= 2a×a= 0.8×b×5= 9k-5k= 20M-3-= n+8m-2n= 5y+3(y-1)= 0.6t÷3= 只【考点三】用字母或含字母的式子表示数或数量关系 职方法点拨 1.用字母或含有字母的式子不仅可以表示数，还可以表示数量关系，但字母 的取值范围要符合实际情况。 2. 当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定了，把字母的值代 入含有字母的式子里，通过计算可以求出含有字母的式子的值。 目考察形式 填空、选择、应用 過动态评价 ★★ 吕【典型例题1】含字母式子的意义 甲、乙两支施工队一起修路。甲施工队修了4天，平均每天修x千米：乙施工队修了9天，平 均每天修0.3千米。一共修了4.3千米。4x表示( ),4x+9×0.3 表示( ) 吕【典型例题2】用字母表示数量关系 在括号里填上含有字母的式子。 (1)一辆卡车运x吨煤，共运了3次，平均每次运煤( )吨。 (2)五年级学生小丽和爸爸妈妈一起去公园，公园的成人门票是每张元，学生门票是每张b 元。小丽一家三口共需付( )元购买门票。 0【对应练习1】 客车每小时行55千米，比货车每小时快m千米。货车行驶了a小时，客车行驶了b小时。请 写出下面式子表示的含义。 第6页共22页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)55-m表示( ) (2)55b表示( ) 肥【对应练习2】 小轿车的速度是千米/时，它从黄山市开往杭州市，行了3小时后，距离杭州市还有35千米。 (1)3a表示( ) (2)杭州市距离黄山市有( )千米。 肥【对应练习3】 一桶乒乓球有a个。 2.7g/个，3元/个。 (1)体育老师又买来了3个，现在有( )个乒乓球； (2)塑料桶重100g,原来这一桶乒乓球连瓶共重( )g; (3)如果这一桶乒乓球连瓶共重154g,买来的时候是整桶购买的，花费50元，那么每个便宜了 )元。 只【考点四】用字母或含字母的式子表示倍数关系 买方法点拨 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式 子的含义。 目考察形式 填空、选择、计算 過动态评价 ★★ 侣【典型例题】 五（1)班同学收集树种a千克，五(2)班同学收集的树种的数量是五(1)班收集数量的3 倍少5千克，五(2)班同学收集树种( )千克，两个班同学一共收集树种( 千克，五(2)班比五(1)班多收集树种( )千克。 肥【对应练习1】 比a的3倍多1.8的数，用含有字母的式子表示是( )。 0【对应练习2】 第7页共22页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 最新研究发现，真空管道中高速列车的时速（即每小时行的路程），比现在高铁时速的3倍还 快150千米。高铁时速a千米，真空管道中高速列车的时速是( )千米。 肥【对应练习3】 庆祝“六一”儿童节的会场上，红花的盆数是黄花的3倍。黄花有b盆，红花和黄花一共有 ( )盆，红花比黄花多( )盆。如果b=30,两种颜色的花一共有( )盆， 黄花比红花少( )盆。 只【考点五】用字母表示运算律 方法点拨 用相同字母表示运算律，关键在于熟练掌握运算律公式。 运算律 文字表述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 a+b=b+a 三个数相加，先把前两个数相加，或 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 者先把后两个数相加，和不变。 两个数相乘，交换两个因数的位置， 乘法交换律 a×b=b×a 积不变。 三个数相乘，先乘前两个数，或者先 乘法结合律 (a×b)×c=ax(bxc) 乘后两个数，积不变。 两个数的和与一个数相乘，可以先把 乘法分配律 (a+b)×c=a×c+b×G 它们与这个数分别相乘，再相加。 减法的运算性质用字母表示为：a-b-c=a-(b+c)a-b-c=a-c-b 除法的运算性质用字母表示为：ab÷c=a÷(b×c)a-b÷c-a÷c÷b(b、c均不为0) 目考察形式 填空、选择、计算 蜀动态评价 ★ 吕【典型例题】 根据运算律在横线填上适当的数或字母。 (1)12.6+m+7.4=（_+_)+ (2)a2.52=_·（_×_) (3)6m+9m=(+)· 0【对应练习1】 在横线上填上适当的数或字母。 第8页共22页 多学科网 Www.zX×k.com 让教与学更高效 +b=+3 7x+3x=(+) 肥【对应练习2】 根据运算定律填空。 (1)12.5×4.8=12.5×8×( ) (2)3x+7x=( )+( )( ) 肥【对应练习3】 利用运算定律将式子变形。 (5.3+a)+4.7= 2.4×(a十0.5)== (a-b).c= 具【考点六】用字母表示周长和面积计算公式 方法点拨 与多边形周长或面积相关的关系式，一是直接利用周长或面积公式进行表示， 二是利用画图的方法求解。 目考察形式 填空、选择、应用 蜀动态评价 ★★★ 吕【典型例题1】直接表示 用字母表示长方形和正方形的面积和周长公式。 正方形的面积=边长×边长 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 长方形的周长=（长+宽）×2 肥【对应练习1】 一个长方形的宽是a,长比宽长4，长是( ),当a=8厘米时，它的周长是( 厘米，面积是( )平方厘米。 第9页共22页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习2】 一个长方形的宽是a厘米，长是宽的4倍，这个长方形的长是( )厘米，若a=3时，周 长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 肥【对应练习3】 一个长方形的长是4a厘米，是宽的2倍，这个长方形的周长是( )厘米，面积是 )平方厘米；当a=3时，长方形的面积是( )平方厘米。 吕【典型例题2】图形表示 一块长10米，宽8米的长方形菜地，将它的长增加a米，宽不变。 (1)用含有字母的式子表示这块菜地面积增加了多少平方米？ (2)如果当a=4时，这块菜地的面积增加了多少平方米？ 职【对应练习1】 如图所示，一个边长为x米的正方形草坪中间有一个边长为y米的正方形小水池。 (1)用含有字母的式子表示草坪的面积？ (2)当x=10,y=3时，求草坪的面积？ 第10页共22页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第五单元简易方程·基础概念篇·用字母表示数【十六大考点】 专题名称 第五单元简易方程·基础概念篇·用字母表示数 专题内容 本专题以用字母表示数与式子为主，其中包括代数式的基本书写格式、代数式的简单计算、代数式的基本应用以及多种相关的新型题型等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题作为简易方程单元的地基内容，考查难度较小，题型多以填空、选择、计算、应用等题型为主，建议作为本章基础内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 十六大考点 【考点一】关于代数式的基本书写格式 4 【考点二】关于代数式的简单计算与化简 5 【考点三】用字母或含字母的式子表示数或数量关系 6 【考点四】用字母或含字母的式子表示倍数关系 7 【考点五】用字母表示运算律 8 【考点六】用字母表示周长和面积计算公式 9 【考点七】用字母表示年龄问题 12 【考点八】用字母表示连续自然数问题 12 【考点九】用含字母的式子表示稍复杂的数量关系 13 【考点十】区分x²和2x的意义并代入求值 14 【考点十一】新型题型其一：用归纳法或类推法解决数形规律问题 15 【考点十二】新型题型其二：定义新运算 16 【考点十三】新型题型其三：新材料定义 17 【考点十四】新型题型其四：程序框图 17 【考点十五】新型题型其五：数列与算式规律探究 19 【考点十六】新型题型其六：复杂的图形关系探究 20 【考点一】关于代数式的基本书写格式 方法点拨 关于代数式的基本书写格式是学习代数的基本知识，从编者教学情况来看，对于正确规范的代数式书写重视还不够重视，导致部分学生出现一些低级书写错误，尤其是在新初一学习代数运算时，经常出现笔误错算的情况。 1. 关于字母与字母相乘的书写。 中间的乘号可用“·”表示或省略不写，例如：A×B可写成A·B或AB。 注意：一般情况下，按26个字母的顺序从左往右书写。 2. 关于数字与字母相乘的书写。 把数字放到字母前，中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：3×B可写成3·B或3B。 注意：乘1的字母就等于这个字母的本身，要省略数字1。 3. 关于两个或多个相同字母相乘的书写。 需要写成平方或立方的形式，例如：B×B可写成B2，B×B×B可写成B3。 4. 关于分数的书写。 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5. 关于除法的书写。 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以a  写作，不要写成5÷a。  6. 关于带有计量单位的书写。 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 例如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了（5+a ）本。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 2×a×b可简写成( )，c×c×5可简写成( )。 【对应练习1】 省略乘号，写出下面各式。 c×b＝( )       n×5.6＝( )       a×a＝( )       1×x＝( ) 【对应练习2】 省略乘号写出下面各式。                 【对应练习3】 省略乘号，写出下面各式。                                               【考点二】关于代数式的简单计算与化简 方法点拨 几个含有相同字母的式子相加减时，可以运用乘法分配律化简，即ax±bx=(a±b)x。(其中x是字母，a，b既可以是数，也可以是字母。) 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 计算下面各题。 1.1a＋3.4a＝ 　            5.8x－x＝ 6c－5c＝                   0.8a＋a＝ 11y－4.5y＝                 5b＋4b－9b＝ 【对应练习1】 计算下面各题。 3m＋6m＝    　　     4.5b＋2.5b＝ 24x－6x＝             4.5b－0.5b＝ 3b×2b＝              45b÷0.9＝ 【对应练习2】 直接写出运算结果。                                                    【对应练习3】 计算下面各题。                          【考点三】用字母或含字母的式子表示数或数量关系 方法点拨 1. 用字母或含有字母的式子不仅可以表示数，还可以表示数量关系，但字母的取值范围要符合实际情况。 2. 当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定了，把字母的值代入含有字母的式子里，通过计算可以求出含有字母的式子的值。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题1】含字母式子的意义 甲、乙两支施工队一起修路。甲施工队修了4天，平均每天修千米；乙施工队修了9天，平均每天修0.3千米。一共修了4.3千米。4表示( )，4＋9×0.3表示( )。 【典型例题2】用字母表示数量关系 在括号里填上含有字母的式子。 (1)一辆卡车运x吨煤，共运了3次，平均每次运煤( )吨。 (2)五年级学生小丽和爸爸妈妈一起去公园，公园的成人门票是每张a元，学生门票是每张b元。小丽一家三口共需付( )元购买门票。 【对应练习1】 客车每小时行55千米，比货车每小时快m千米。货车行驶了a小时，客车行驶了b小时。请写出下面式子表示的含义。 (1)55－m表示( )。 (2)55b表示( )。 【对应练习2】 小轿车的速度是a千米/时，它从黄山市开往杭州市，行了3小时后，距离杭州市还有35千米。 (1)3a表示( )。 (2)杭州市距离黄山市有( )千米。 【对应练习3】 一桶乒乓球有a个。 2.7g/个，3元/个。 (1)体育老师又买来了3个，现在有( )个乒乓球； (2)塑料桶重100g，原来这一桶乒乓球连瓶共重( )g； (3)如果这一桶乒乓球连瓶共重154g，买来的时候是整桶购买的，花费50元，那么每个便宜了( )元。 【考点四】用字母或含字母的式子表示倍数关系 方法点拨 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式子的含义。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 五（1）班同学收集树种a千克，五（2）班同学收集的树种的数量是五（1）班收集数量的3倍少5千克，五（2）班同学收集树种( )千克，两个班同学一共收集树种( )千克，五（2）班比五（1）班多收集树种( )千克。 【对应练习1】 比a的3倍多1.8的数，用含有字母的式子表示是( )。 【对应练习2】 最新研究发现，真空管道中高速列车的时速（即每小时行的路程），比现在高铁时速的3倍还快150千米。高铁时速a千米，真空管道中高速列车的时速是( )千米。 【对应练习3】 庆祝“六一”儿童节的会场上，红花的盆数是黄花的3倍。黄花有b盆，红花和黄花一共有( )盆，红花比黄花多( )盆。如果b＝30，两种颜色的花一共有( )盆，黄花比红花少( )盆。 【考点五】用字母表示运算律 方法点拨 用相同字母表示运算律，关键在于熟练掌握运算律公式。 减法的运算性质用字母表示为：a-b-c=a-(b+c)a-b-c=a-c-b 除法的运算性质用字母表示为：a÷b÷c=a÷(b×c)a÷b÷c=a÷c÷b(b、c均不为0) 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 根据运算律在横线填上适当的数或字母。 (1)12.6＋m＋7.4＝（ ＋ ）＋ (2)a·2.5·2＝ ·（ × ） (3)6m＋9m＝（ ＋ ）· 【对应练习1】 在横线上填上适当的数或字母。 ＋b＝ ＋3        7x＋3x＝（ ＋ ）· 【对应练习2】 根据运算定律填空。 (1)( )。 (2)（( )＋( )）×( )。 【对应练习3】 利用运算定律将式子变形。 （5.3＋a）＋4.7＝ ＝ 2.4×（a＋0.5）＝ ＝ （a•b）•c＝ 【考点六】用字母表示周长和面积计算公式 方法点拨 与多边形周长或面积相关的关系式，一是直接利用周长或面积公式进行表示，二是利用画图的方法求解。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题1】直接表示 用字母表示长方形和正方形的面积和周长公式。 正方形的面积=边长×边长 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 长方形的周长=（长+宽）×2 【对应练习1】 一个长方形的宽是a，长比宽长4，长是( )，当a＝8厘米时，它的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【对应练习2】 一个长方形的宽是a厘米，长是宽的4倍，这个长方形的长是( )厘米，若a＝3时，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【对应练习3】 一个长方形的长是4a厘米，是宽的2倍，这个长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米；当a＝3时，长方形的面积是( )平方厘米。 【典型例题2】图形表示 一块长10米，宽8米的长方形菜地，将它的长增加a米，宽不变。 （1）用含有字母的式子表示这块菜地面积增加了多少平方米？ （2）如果当a＝4时，这块菜地的面积增加了多少平方米？ 【对应练习1】 如图所示，一个边长为x米的正方形草坪中间有一个边长为y米的正方形小水池。 （1）用含有字母的式子表示草坪的面积？ （2）当x＝10，y＝3时，求草坪的面积？ 【对应练习2】 如图所示，一个边长为a米的正方形草坪中间有一个边长为b米的正方形小水池。 （1）用含有字母的式子表示草坪的面积。 （2）当a＝15，b＝6时，草坪的面积是多少平方米？ 【对应练习3】 现有长为20米的篱笆，利用它和一面墙围成长方形状的养鸡场。设养鸡场的宽为a米。（如下图） （1）用式子表示出养鸡场的长：________米。 （2）用式子表示出养鸡场的面积：________平方米。 （3）若墙长只有15米，请你从1、2、4中选取一个合适的数作为a的值，并求出此时养鸡场的面积。 【考点七】用字母表示年龄问题 方法点拨 年龄差是一个固定值，不随时间变化而改变。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 哥哥今年a岁，弟弟b岁，10年后，弟弟比哥哥小( )岁。 A．10 B．a－b＋10 C．a－b D．a＋b 【对应练习1】 爸爸今年a岁，比妈妈大3岁，用含有字母的式子表示妈妈明年的年龄是( )岁。 A．a＋3 B．a－3 C．a－3＋1 D．a＋3＋1 【对应练习2】 小丽的爸爸今年岁，小丽同学今年岁，年以后，爸爸比小丽大( )岁。 A． B． C． D． 【对应练习3】 今年老张a岁，小王（a－18）岁，再过x年后，他们相差( )岁。 A．18 B．x C．18＋x D．x－18 【考点八】用字母表示连续自然数问题 方法点拨 两个连续自然数的相差1，两个连续偶数或奇数相差2。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 三个连续自然数中，最小的一个是a，中间的数是( )，最大的数是( )，三个数的和是( )，平均数是( )。 【对应练习1】 整数n后面连续2个整数分别是( )和( )，这3个连续整数的和是( )。 【对应练习2】 五个连续自然数，从小到大第二个数是a－1，第五个数是( )，这五个连续自然数的和是( )。 【对应练习3】 三个连续偶数的和是3a，那么其中最大的数是( )，最小的数是( )。 【对应练习4】 如果有三个连续的奇数，中间一个是a，那么另外两个可以表示为( )、( )。 【考点九】用含字母的式子表示稍复杂的数量关系 方法点拨 用含有字母的式子表示稍复杂的数量关系时，可以先把字母看成一个实际的数，找出题中的数量关系，再将数量关系用含有字母的式子表示出来。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 一个文具盒的单价是元，李老师买了8个，王阿姨买了5个。 （1）用含有字母的式子表示李老师比王阿姨多用了多少元。 （2）当＝15时，李老师比王阿姨多用了多少元？ 【对应练习1】 学校演播厅楼下有a排座位，每排有20个位置；楼上有b个位置。 （1）用含有字母的式子表示演播厅的座位数。 （2）当a＝15，b＝110时，演播厅共有多少个座位？ 【对应练习2】 爸爸带了100元去买菜，买了3千克肉，每千克y元。 （1）用式子表示爸爸还剩多少元。 （2）当y＝25.6时，求爸爸还剩多少元？ 【对应练习3】 某影剧院有上下两层。下层有x排，每排40个座位，上层共有y个座位。 （1）用含有字母的式子表示该影剧院的座位数。 （2）当、时，这个影剧院共有（     ）个座位。 【考点十】区分x²和2x的意义并代入求值 方法点拨 x+x=2x，x×x=x2，x×x×x=x3。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 当x＝4时，x2＝( )，2x＝( )。如果x2和2x正好相等，则x＝( )或( )。 【对应练习1】 当x＝6时，x2＝( )，3x＝( )，x＋4＝( )，x＋x＝( )。 【对应练习2】 x、a和b都为自然数，42和4×2，b×2和2b，x＋x和x2，a和a×1＋1，22和2×2中，有（    ）组的结果一定是相等的。 A．0 B．1 C．2 D．3 【对应练习3】 若x2＝2x，则x＝( )。当x＝8时，x2＝( )，2x＝( )。 【考点十一】新型题型其一：用归纳法或类推法解决数形规律问题 方法点拨 解答此类题时，需要细致观察，并根据发现的数量关系递推出规律，再用含有字母的式子表示出来。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 如下图，用小棒摆正方形。 摆1个正方形要4根小棒，摆2个正方形要7根小棒，摆3个正方形要10根小棒。继续这样摆，摆10个正方形要( )根小棒；摆n个正方形需要的小棒根数是( )。 【对应练习1】 用小棒摆图形。 …… 第1个     第2个     第3个     第4个 摆第1个图形需要3根小棒，第2个图形需要5根小棒……照这样，摆第n个图形需要( )根小棒。 【对应练习2】 用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第4个图形用了( )根小棒，第n个图形用了( )根小棒。 【对应练习3】 一些小三角形按下面的方式摆放，用含有字母的式子表示第n幅图有( )个小三角形。 【考点十二】新型题型其二：定义新运算 方法点拨 1. 定义新运算。 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2. 解题方法。 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3. 注意事项。 （1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：✱、▲、◉、◎等，它们并不表示实际意义。 （2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝( )。 【对应练习1】 设，表示两个不同的数，规定则( )。 【对应练习2】 对于两个数a，b，规定a〇b＝（a＋1）×（b－2），则2〇（3〇4）＝( )。 【对应练习3】 现定义两种运算“※”和“*”，对于整数a、b有a※b＝a＋b－1，a*b＝ab－1.例如1※2＝1＋2－1，1*2＝1×2－1，则（6※8）※（3*5）＝( )。 【考点十三】新型题型其三：新材料定义 方法点拨 读懂材料含义，再根据所给材料的公式或规律解决问题。。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 我们所穿鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的一种换算关系是a＝2b－10（a表示码数，b表示厘米数），则25厘米长的鞋子用“码”作单位( )码。 【对应练习1】 鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码“或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用＝2－10来表示（表示码数，表示厘米数）。小亮爸爸的皮鞋鞋底长26厘米，是( )码；小亮买了一双36码的凉鞋，鞋底长( )厘米。 【对应练习2】 我们所穿的鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系是a＝＋5（a表示厘米数，b表示尺码数）。那么36码的鞋子用“厘米”作单位就是( )厘米。 【对应练习3】 昆虫爱好者发现，在一定温度范围内，某地蟋蟀每分钟叫的次数与气温有如下近似关系：h＝t÷7＋3，h表示当时的气温（℃），t表示蟋蟀每分钟叫的次数。如果蟋蟀每分钟叫112次，那么当时的气温大约是( )℃；当气温达到30℃时，蟋蟀每分钟大约叫( )次。 【考点十四】新型题型其四：程序框图 方法点拨 理解程序框图的基本运行逻辑，再解决问题。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 按图所示的程序流程计算，若开始输入的值为x＝3，则最后输出的结果是( )。 【对应练习1】 笑笑学习编程时，编写了一个程序。当他输入一个数时，电脑会按照程序进行运算，然后输出运算后的结果。这个过程可以用下图表示： 乐乐尝试推测这个程序，进行了几次实验，数据如下表： m 1 2 3 4 5 6 10 n 2 5 10 17 26 37 101 根据数据，这个运算程序可能是( )。 A．n＝m＋1 B．n＝m×2＋1 C．n＝m×5＋1 D．n＝m×m＋1 【对应练习2】 刘刚在人工智能课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数（如图）。根据这个计算程序： (1)输入数6会输出数( )； (2)输入数( )会输出数25； (3)小程序的运算规律是什么？用你喜欢的方式写出来： ( )。 【对应练习3】 丽丽在信息课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数（如图所示）。根据这个计算程序： （1）输入7，会输出数( )； （2）输入数( )，会输出数13； （3）小程序的运算规律是什么？用你喜欢的方式写出来。 【考点十五】新型题型其五：数列与算式规律探究 方法点拨 观察数列或算式，找出变化规律，再用字母表示规律。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 1．（数列探究）找规律，直接填写。 1，2，6，15，( )，( )，92。 2．（算式探究）观察下列等式，式子中的“！”是一种数学运算符号。 2！＝2×3，3！＝3×4×5，4！＝4×5×6×7，5！＝5×6×7×8×9，… 以此类推，请计算： (1)6！＝( )。 (2)8×9×10×11×12×13×14×15＝( )。 【对应练习1】 观察数列2，6，12，20，30，…的规律，则这列数的第6个数是( )，是第n个数是( )。 【对应练习2】 因为，所以( )。 【对应练习3】 已知[6，2]＝8，[8，3]＝10，[11，4]＝14，[62，51]＝22；若[ 22，x]＝25，则x＝( )。 【考点十六】新型题型其六：复杂的图形关系探究 方法点拨 解此类题时，可以先借助画图法画出示意图，然后寻找解决问题需要的条件，将所求问题与已知条件建立联系，再用含有字母的式子表示出来。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，厘米，点P是线段AB上的一个动点，分别以AP，BP为边作正方形。当P点运动时，两个正方形的大小会随着改变。 （1）当点P运动时，两个正方形的周长的和会改变吗？若不会改变，请求出来。 （2）猜想：当点P运动时，两个正方形的面积的和会改变吗？请说明理由。 【对应练习1】 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式例如由图①可以得到（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2，请解答下列问题写出图②中所表示的数学等式__________； （1）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，则a2＋b2＋c2的值为________； （2）图③中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片，若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2＋5ab＋2b2＝（2a＋b）（a＋2b）。 【对应练习2】 如下图①，边长分别为、的两个正方形重叠。 （1）图①两个正方形重叠后形成的阴影部分的面积是：________。 （2）图①阴影部分沿虚线裁剪转换成图②长方形后，长方形的长是________，宽是________，因此，这个长方形的面积就是________。 （3）根据上面两图关系，补充等式：________。（以上都请用含字母的算式表示）。 （4）根据上述规律对下面算式进行简算： 【对应练习3】 将边长为（a＋b）的正方形剪成如图所示的两个正方形和两个长方形，其中标②的面积可以用a2表示，标③的面积可以用ab表示，则（a＋b）×（a＋b）＝（a＋b）2表示 的面积。此时，你能发现（a＋b）2与a2＋2ab＋b2的大小关系吗？说说你的想法。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 第1页共45页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋] 第五单元简易方程·基础概念篇·用字母表示数【十六大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第五单元简易方程·基础概念篇·用字母表示数 知专题内容 本专题以用字母表示数与式子为主，其中包括代数式的基本书写格式、代数式 的简单计算、代数式的基本应用以及多种相关的新型题型等内容。 ⊙评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★★★★：重难点：★★☆★★ 白讲解建议 本专题作为简易方程单元的地基内容，考查难度较小，题型多以填空、选择、 计算、应用等题型为主，建议作为本章基础内容进行讲解，要求全体学生务必 掌握。 回考点数量 十六大考点 第二篇章 考点导航篇 原【考点一】关于代数试的基本书写格式… .4 月【考点二】关于代数式的简单计算与化简6 月【考点三】用字母或含字母的式子表示数或数量关系.7 只【考点四】用字母或含字母的式子表示倍数关系… 10 只【考点五】用字母表示运算律… .12 只【考点六】用字母表示周长和面积计算公式 .14 原【考点七】用字母表示年龄问题， 20 原【考点八】用字母表示连续自然数问题 22 只【考点九】用含字母的式子表示稍复杂的数量关系★★★… ...24 第2页共45页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 原【考点十】区分x和2X的意义并代入求值… .26 只【考点十一】新型题型其一：用归纳法或类推法解决数妍形规律问题… …29 只【考点十二】新型题型其二：定义新运算… .30 具【考点十三】新型题型其三：新材料定义 .32 原【考点十四】新型题型其四：程序框图… ...35 只【考点十五】新型题型其五：数列与算式规律探究… .38 只【考点十六】新型题型其六：复杂的图形关系探究40 第3页共45页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 原【考点一】关于代数式的基本书写格试 方法点拨 关于代数式的基本书写格式是学习代数的基本知识，从编者教学情况来 看，对于正确规范的代数式书写重视还不够重视，导致部分学生出现一些低 级书写错误，尤其是在新初一学习代数运算时，经常出现笔误错算的情况。 1.关于字母与字母相乘的书写。 中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：A×B可写成AB或AB。 注意：一般情况下，按26个字母的顺序从左往右书写。 2.关于数字与字母相乘的书写。 把数字放到字母前，中间的乘号可用“”表示或省略不写，例如：3×B可写成 3B或3B 注意：乘1的字母就等于这个字母的本身，要省略数字1。 3.关于两个或多个相同字母相乘的书写。 需要写成平方或立方的形式，例如：B×B可写成B2,B×B×B可写成B。 4.关于分数的书写。 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5.关于除法的书写。 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以a写作三，不要写成5a 6.关于带有计量单位的书写。 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数 式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面 注明单位。 例如：甲同学买了5本书，乙同学买了a本书，他们一共买了(5+a)本。 目考察形式 填空、选择 過动态评价 吕【典型例题】 第4页共45页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2×a×b可简写成( c×cx5可简写成( ) 【答案】 2ab 5c2 【分析】用字母表示表示数时，数字与字母，字母与字母之间的乘号可以省略，也可以用小圆 点“，”表示。字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面。多个字母相乘时， 一般按字母顺序书写。两个相同的字母相乘，可以写成这个字母的平方。 【详解】通过分析，2×a×b可简写成2ab,c×cx5可简写成5c2。 【点睛】掌握含有字母的乘法式子的简写方法是解题的关键。 职【对应练习1】 省略乘号，写出下面各式。 cxb=( 1n×5.6=（ axa=( ) 1×x=( 【答案】 bc/cb 5.6m a X 【分析】字母和字母相乘，乘号可以省略。两个相同的字母相乘，可以写成这个字母的平方： 字母和数字相乘，乘号省略后，数字在前字母在后。数字是1时，省略乘号后1省略不写。 【详解】省略乘号，写出下面各式。 cxb=bc n×5.6=5.6ma×a=a21×x=x 【点睛】本题考查了用字母表示数，掌握省略乘号的规则是解题的关键。 肥【对应练习2】 省略乘号写出下面各式。 aXx rXx b×8 b×1 【答案】ar;x2；8b;b 【分析】用字母表示表示数时，数字与字母，字母与字母之间的乘号可以省略，也可以用小圆 点“”表示。字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面。当数字是1时，“1” 常常省略不写。多个字母相乘时，一般按字母顺序书写。 【详解】a×x=m;xxxx2;b×8-8b;b×1=b 叩【对应练习3】 省略乘号，写出下面各式。 b×x=b×b=x×5=a×12=a×b=5×x= a×1=3×a= m×35=b×30=xXyx7=2×c×c 第5页共45页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】bx;b2;5x:12a;ab;5x a;3a;35m;30b:7xy;2c2 【详解】略 原【考点二】关于代数式的简单计算与化简 冥方法点拨 几个含有相同字母的式子相加减时，可以运用乘法分配律化简，即 ax士bx=(a士b)x。(其中x是字母，a,b既可以是数，也可以是字母。) 目考察形式 填空、选择、计算 蜀动态评价 吕【典型例题】 计算下面各题。 1.1a+3.4a= 5.8x-x= 6c-5c= 0.8a+a= 11y-4.5y= 5b+4b一96= 【答案】4.5a4.8x c1.8a 6.5y0 【解析】略 肥【对应练习1】 计算下面各题。 3m+6m= 4.5b+2.5b= 24x-6x= 4.5b-0.5b= 3b×2b= 45b-÷0.9= 【答案】9m:7b 18x:4b 6b2;50b 【解析】略 0【对应练习2】 直接写出运算结果。 第6页共45页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.9x+2.01x= 3.7x-x= y-0.64y= 1.5y+y= 3x+6x-5x= 10x-3.7x-6.3x= 【答案】5.91x;2.7x;0.36y; 2.5y;4x;0 【详解】略 即【对应练习3】 计算下面各题。 12x+5x= 2a×a= 0.8×b×5= 9k-5k= 20-3-m= n+8m-2n= 5y+3(y-1)= 0.6t÷3= 【答案】17x;2a2;4b;4k: 16m;7n;8y-3;0.2t 【分析】含有字母的式子进行计算时，同样可以利用运算定律进行简算。注意相同的两个字母 相乘，如axa,可以写作a2,而不可以写作2a。 【详解】12.x+5x=17x2a×a=2a20.8×b×5=4b9k-5k=4k 20m-3m-m=16mn+81-2n=7m5y+3(y-1)=8y-30.6t÷3=0.2t 原【考点三】用字母或含字母的式子表示数或数量关系 职方法点拨 1.用字母或含有字母的式子不仅可以表示数，还可以表示数量关系，但字母 的取值范围要符合实际情况。 2.当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定了，把字母的值代 入含有字母的式子里，通过计算可以求出含有字母的式子的值。 目考察形式 填空、选择、应用 過动态评价 ★★ 吕【典型例题1】含字母式子的意义 甲、乙两支施工队一起修路。甲施工队修了4天，平均每天修x千米：乙施工队修了9天，平 均每天修0.3千米。一共修了4.3千米。4x表示( ),4x+9×0.3 表示( ) 【答案】 甲施工队4天修路的长度 甲乙两个施工队一共修路的长度 第7页共45页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【分析】已知甲施工队修了4天，平均每天修x千米，根据工作效率×工作时间=工作量可 知，4x表示甲施工队4天修路的长度； 已知乙施工队修了9天，平均每天修0.3千米，则9×0.3表示乙施工队9天修路的长度：那么 4x+9×0.3表示甲乙两个施工队一共修路的长度。 【详解】4x表示甲施工队4天修路的长度： 4x+9×0.3表示甲乙两个施工队一共修路的长度。 【点睛】本题考查用字母表示式子的含义，掌握工作效率、工作时间、工作量之间的关系是解 题的关键。 吕【典型例题2】用字母表示数量关系 在括号里填上含有字母的式子。 (1)一辆卡车运x吨煤，共运了3次，平均每次运煤( )吨。 (2)五年级学生小丽和爸爸妈妈一起去公园，公园的成人门票是每张a元，学生门票是每张b 元。小丽一家三口共需付( )元购买门票。 【答案】(1)x÷3 (2)2a+b/b+2a 【分析】(1)将煤的总量x吨除以3次，表示出平均每次运煤多少吨： (2)将2张成人票票价加上1张儿童票票价，表示出购买门票一共需要付多少元。 【详解】(1)一辆卡车运x吨煤，共运了3次，平均每次运煤(x÷3)吨。 (2)小丽一家三口共需付(2a十b)元购买门票。 【点睛】本题考查了用字母表示数，有一定抽象概括能力是解题的关键，同时要注意数字和字 母相乘，中间的乘号省略，数字在前，字母在后。 肥【对应练习1】 客车每小时行55千米，比货车每小时快m千米。货车行驶了a小时，客车行驶了b小时。请 写出下面式子表示的含义。 (1)55-m表示( (2)55b表示( 【答案】(1)货车速度 (2)客车b小时行驶的路程 第8页共45页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)客车速度一客车比货车快的速度=货车速度，据此分析： (2)速度×时间=路程，客车速度×客车行驶时间=客车行驶路程，据此分析。 【详解】(1)55-m表示货车速度。 (2)55b表示客车b小时行驶的路程。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，理解字母可以表示任意数。 肥【对应练习2】 小轿车的速度是a千米/时，它从黄山市开往杭州市，行了3小时后，距离杭州市还有35千米。 (1)3a表示( )。 (2)杭州市距离黄山市有( )千米。 【答案】(1)小轿车3小时行驶的路程 (2)3a+35 【分析】(1)根据速度×时间=路程，已知小轿车的速度是a千米时，行驶时间是3小时， 所以3×a表示小轿车3小时行驶的路程。 (2)通过(1)求出小轿车3小时行驶的路程，再加上距离杭州市的距离，即可表示出杭州市 距离黄山市的路程。 【详解】(1)根据分析得，3a表示小轿车3小时行驶的路程。 (2)3×a+35=(3a+35)千米 杭州市距离黄山市有(3a+35)千米。 【点睛】此题主要考查用字母表示数，字母可以表示任意的数，也可以表示特定含义的公式， 还可以用字母将数量关系表示出来。 肥【对应练习3】 桶乒乓球有a个。 2.7g/个，3元/个。 (1)体育老师又买来了3个，现在有( )个乒乓球； (2)塑料桶重100g,原来这一桶乒乓球连瓶共重( )g: (3)如果这一桶乒乓球连瓶共重154g,买来的时候是整桶购买的，花费50元，那么每个便宜了 第9页共45页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ( )元 【答案】(1)(a+3) (2)(100+2.7a) (3)(3-50÷a) 【分析】(1)现在有乒乓球的个数=原来一桶乒乓球的个数+体育老师又买来的个数： (2)原来这一桶乒乓球连瓶一共的质量=塑料桶的质量+平均每个乒乓的质量×原来的个数： (3)每个便宜的钱数=零售价一整桶买的单价：其中，整桶买的单价=总价÷整桶的个数。 【详解】(1)(a+3)个 体育老师又买来了3个，现在有(a+3)个乒乓球。 (2)100+2.7×a=(100+2.7a)g 塑料桶重100g,原来这一桶乒乓球连瓶共重(100+2.7)g。 (3)(3-50-a)元 如果这一桶乒乓球连瓶共重154g,买来的时候是整桶购买的，花费50元，那么每个便宜了(3 50-a)元。 【点睛】本题考查用字母表示数，关键是弄清楚它们之间的关系。 早【考点四】用字母或含字母的式子表示倍数关系 职方法点拨 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式 子的含义。 目考察形式 填空、选择、计算 過动态评价 ★★ 吕【典型例题】 五(1)班同学收集树种a千克，五(2)班同学收集的树种的数量是五（1)班收集数量的3 倍少5千克，五(2)班同学收集树种( )千克，两个班同学一共收集树种( 千克，五（2)班比五(1)班多收集树种( )千克。 【答案】 3a-5 4a-5 2a-5 【分析】可先求五(1)班收集数量的3倍是多少，用五(1)班同学收集的数量乘3计算，结 果再减5，就得到五(2)班同学收集的树种千克数，在含有字母的乘法算式里，乘号可以省 第10页共45页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第五单元简易方程·基础概念篇·用字母表示数【十六大考点】 专题名称 第五单元简易方程·基础概念篇·用字母表示数 专题内容 本专题以用字母表示数与式子为主，其中包括代数式的基本书写格式、代数式的简单计算、代数式的基本应用以及多种相关的新型题型等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题作为简易方程单元的地基内容，考查难度较小，题型多以填空、选择、计算、应用等题型为主，建议作为本章基础内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 十六大考点 【考点一】关于代数式的基本书写格式 4 【考点二】关于代数式的简单计算与化简 6 【考点三】用字母或含字母的式子表示数或数量关系 7 【考点四】用字母或含字母的式子表示倍数关系 10 【考点五】用字母表示运算律 12 【考点六】用字母表示周长和面积计算公式 14 【考点七】用字母表示年龄问题 20 【考点八】用字母表示连续自然数问题 22 【考点九】用含字母的式子表示稍复杂的数量关系 24 【考点十】区分x²和2x的意义并代入求值 26 【考点十一】新型题型其一：用归纳法或类推法解决数形规律问题 29 【考点十二】新型题型其二：定义新运算 30 【考点十三】新型题型其三：新材料定义 32 【考点十四】新型题型其四：程序框图 35 【考点十五】新型题型其五：数列与算式规律探究 38 【考点十六】新型题型其六：复杂的图形关系探究 40 【考点一】关于代数式的基本书写格式 方法点拨 关于代数式的基本书写格式是学习代数的基本知识，从编者教学情况来看，对于正确规范的代数式书写重视还不够重视，导致部分学生出现一些低级书写错误，尤其是在新初一学习代数运算时，经常出现笔误错算的情况。 1. 关于字母与字母相乘的书写。 中间的乘号可用“·”表示或省略不写，例如：A×B可写成A·B或AB。 注意：一般情况下，按26个字母的顺序从左往右书写。 2. 关于数字与字母相乘的书写。 把数字放到字母前，中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：3×B可写成3·B或3B。 注意：乘1的字母就等于这个字母的本身，要省略数字1。 3. 关于两个或多个相同字母相乘的书写。 需要写成平方或立方的形式，例如：B×B可写成B2，B×B×B可写成B3。 4. 关于分数的书写。 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5. 关于除法的书写。 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以a  写作，不要写成5÷a。  6. 关于带有计量单位的书写。 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 例如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了（5+a ）本。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 2×a×b可简写成( )，c×c×5可简写成( )。 【答案】 2ab 5c2 【分析】用字母表示表示数时，数字与字母，字母与字母之间的乘号可以省略，也可以用小圆点“·”表示。字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面。多个字母相乘时，一般按字母顺序书写。两个相同的字母相乘，可以写成这个字母的平方。 【详解】通过分析，2×a×b可简写成2ab，c×c×5可简写成5c2。 【点睛】掌握含有字母的乘法式子的简写方法是解题的关键。 【对应练习1】 省略乘号，写出下面各式。 c×b＝( )       n×5.6＝( )       a×a＝( )       1×x＝( ) 【答案】 bc/cb 5.6n a2 x 【分析】字母和字母相乘，乘号可以省略。两个相同的字母相乘，可以写成这个字母的平方； 字母和数字相乘，乘号省略后，数字在前字母在后。数字是1时，省略乘号后1省略不写。 【详解】省略乘号，写出下面各式。 c×b＝bc      n×5.6＝5.6n      a×a＝a2      1×x＝x 【点睛】本题考查了用字母表示数，掌握省略乘号的规则是解题的关键。 【对应练习2】 省略乘号写出下面各式。                 【答案】；；； 【分析】用字母表示表示数时，数字与字母，字母与字母之间的乘号可以省略，也可以用小圆点“·”表示。字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面。当数字是“1”时，“1”常常省略不写。多个字母相乘时，一般按字母顺序书写。 【详解】；；； 【对应练习3】 省略乘号，写出下面各式。                                           【答案】bx；b2；5x；12a；ab；5x a；3a；35m；30b；7xy；2c2 【详解】略 【考点二】关于代数式的简单计算与化简 方法点拨 几个含有相同字母的式子相加减时，可以运用乘法分配律化简，即ax±bx=(a±b)x。(其中x是字母，a，b既可以是数，也可以是字母。) 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 计算下面各题。 1.1a＋3.4a＝ 　            5.8x－x＝ 6c－5c＝                   0.8a＋a＝ 11y－4.5y＝                 5b＋4b－9b＝ 【答案】4.5a  4.8x c　1.8a　 6.5y　0 【解析】略 【对应练习1】 计算下面各题。 3m＋6m＝    　　     4.5b＋2.5b＝ 24x－6x＝             4.5b－0.5b＝ 3b×2b＝              45b÷0.9＝ 【答案】9m；7b 18x；4b 6b2；50b 【解析】略 【对应练习2】 直接写出运算结果。                                                    【答案】；；； ；；0 【详解】略 【对应练习3】 计算下面各题。                          【答案】；；；； ；；； 【分析】含有字母的式子进行计算时，同样可以利用运算定律进行简算。注意相同的两个字母相乘，如，可以写作，而不可以写作。 【详解】17x    4b   4k 16m   7n   8y－3   0.2t 【考点三】用字母或含字母的式子表示数或数量关系 方法点拨 1. 用字母或含有字母的式子不仅可以表示数，还可以表示数量关系，但字母的取值范围要符合实际情况。 2. 当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定了，把字母的值代入含有字母的式子里，通过计算可以求出含有字母的式子的值。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题1】含字母式子的意义 甲、乙两支施工队一起修路。甲施工队修了4天，平均每天修千米；乙施工队修了9天，平均每天修0.3千米。一共修了4.3千米。4表示( )，4＋9×0.3表示( )。 【答案】 甲施工队4天修路的长度 甲乙两个施工队一共修路的长度 【分析】已知甲施工队修了4天，平均每天修千米，根据“工作效率×工作时间＝工作量”可知，4表示甲施工队4天修路的长度； 已知乙施工队修了9天，平均每天修0.3千米，则9×0.3表示乙施工队9天修路的长度；那么4＋9×0.3表示甲乙两个施工队一共修路的长度。 【详解】4表示甲施工队4天修路的长度； 4＋9×0.3表示甲乙两个施工队一共修路的长度。 【点睛】本题考查用字母表示式子的含义，掌握工作效率、工作时间、工作量之间的关系是解题的关键。 【典型例题2】用字母表示数量关系 在括号里填上含有字母的式子。 (1)一辆卡车运x吨煤，共运了3次，平均每次运煤( )吨。 (2)五年级学生小丽和爸爸妈妈一起去公园，公园的成人门票是每张a元，学生门票是每张b元。小丽一家三口共需付( )元购买门票。 【答案】(1)x÷3 (2)2a＋b/b＋2a 【分析】（1）将煤的总量x吨除以3次，表示出平均每次运煤多少吨； （2）将2张成人票票价加上1张儿童票票价，表示出购买门票一共需要付多少元。 【详解】（1）一辆卡车运x吨煤，共运了3次，平均每次运煤（x÷3）吨。 （2）小丽一家三口共需付（2a＋b）元购买门票。 【点睛】本题考查了用字母表示数，有一定抽象概括能力是解题的关键，同时要注意数字和字母相乘，中间的乘号省略，数字在前，字母在后。 【对应练习1】 客车每小时行55千米，比货车每小时快m千米。货车行驶了a小时，客车行驶了b小时。请写出下面式子表示的含义。 (1)55－m表示( )。 (2)55b表示( )。 【答案】(1)货车速度 (2)客车b小时行驶的路程 【分析】（1）客车速度－客车比货车快的速度＝货车速度，据此分析； （2）速度×时间＝路程，客车速度×客车行驶时间＝客车行驶路程，据此分析。 【详解】（1）55－m表示货车速度。 （2）55b表示客车b小时行驶的路程。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，理解字母可以表示任意数。 【对应练习2】 小轿车的速度是a千米/时，它从黄山市开往杭州市，行了3小时后，距离杭州市还有35千米。 (1)3a表示( )。 (2)杭州市距离黄山市有( )千米。 【答案】(1)小轿车3小时行驶的路程 (2)3a＋35 【分析】（1）根据速度×时间＝路程，已知小轿车的速度是a千米/时，行驶时间是3小时，所以3×a表示小轿车3小时行驶的路程。 （2）通过（1）求出小轿车3小时行驶的路程，再加上距离杭州市的距离，即可表示出杭州市距离黄山市的路程。 【详解】（1）根据分析得，3a表示小轿车3小时行驶的路程。 （2）3×a＋35＝（3a＋35）千米 杭州市距离黄山市有（3a＋35）千米。 【点睛】此题主要考查用字母表示数，字母可以表示任意的数，也可以表示特定含义的公式，还可以用字母将数量关系表示出来。 【对应练习3】 一桶乒乓球有a个。 2.7g/个，3元/个。 (1)体育老师又买来了3个，现在有( )个乒乓球； (2)塑料桶重100g，原来这一桶乒乓球连瓶共重( )g； (3)如果这一桶乒乓球连瓶共重154g，买来的时候是整桶购买的，花费50元，那么每个便宜了( )元。 【答案】(1)（a＋3） (2)（100＋2.7a） (3)（3－50÷a） 【分析】（1）现在有乒乓球的个数＝原来一桶乒乓球的个数＋体育老师又买来的个数； （2）原来这一桶乒乓球连瓶一共的质量＝塑料桶的质量＋平均每个乒乓的质量×原来的个数； （3）每个便宜的钱数＝零售价－整桶买的单价；其中，整桶买的单价＝总价÷整桶的个数。 【详解】（1）（a＋3）个 体育老师又买来了3个，现在有（a＋3）个乒乓球。 （2）100＋2.7×a＝（100＋2.7a）g 塑料桶重100g，原来这一桶乒乓球连瓶共重（100＋2.7）g。 （3）（3－50÷a）元 如果这一桶乒乓球连瓶共重154g，买来的时候是整桶购买的，花费50元，那么每个便宜了（3－50÷a）元。 【点睛】本题考查用字母表示数，关键是弄清楚它们之间的关系。 【考点四】用字母或含字母的式子表示倍数关系 方法点拨 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式子的含义。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 五（1）班同学收集树种a千克，五（2）班同学收集的树种的数量是五（1）班收集数量的3倍少5千克，五（2）班同学收集树种( )千克，两个班同学一共收集树种( )千克，五（2）班比五（1）班多收集树种( )千克。 【答案】 3a－5 4a－5 2a－5 【分析】可先求五（1）班收集数量的3倍是多少，用五（1）班同学收集的数量乘3计算，结果再减5，就得到五（2）班同学收集的树种千克数，在含有字母的乘法算式里，乘号可以省略不写或用“∙”表示，将数字写在字母的前面； 把两个班收集的树种数加起来就得到两个班同学一共收集的树种数量，式子能化简的要化简； 用五（2）班收集的树种数量减五（1）班收集的树种数量即可，式子能化简的要化简。 【详解】 五（2）班同学收集树种千克，两个班同学一共收集树种千克，五（2）班比五（1）班多收集树种千克。 【对应练习1】 比a的3倍多1.8的数，用含有字母的式子表示是( )。 【答案】3a＋1.8 【分析】根据求一个数的几倍是多少，用乘法计算，用a乘3再加上1.8即可求解。 【详解】a×3＋1.8＝3a＋1.8 则比a的3倍多1.8的数，用含有字母的式子表示是（3a＋1.8）。 【点睛】本题考查用字母表示数，明确数量关系是解题的关键。 【对应练习2】 最新研究发现，真空管道中高速列车的时速（即每小时行的路程），比现在高铁时速的3倍还快150千米。高铁时速a千米，真空管道中高速列车的时速是( )千米。 【答案】3a＋150 【分析】根据题意可得出数量关系：高铁的时速×3＋150＝真空管道中高速列车的时速，据此用含字母的式子表示真空管道中高速列车的时速。 【详解】a×3＋150＝（3a＋150）千米 真空管道中高速列车的时速是（3a＋150）千米。 【对应练习3】 庆祝“六一”儿童节的会场上，红花的盆数是黄花的3倍。黄花有b盆，红花和黄花一共有( )盆，红花比黄花多( )盆。如果b＝30，两种颜色的花一共有( )盆，黄花比红花少( )盆。 【答案】 4b 2b 120 60 【分析】根据题意，红花的盆数是黄花的3倍，而黄花有b盆，那么红花就是3b盆，那么红花和黄花一共有多少盆，用加法计算；红花比黄花多多少盆，用减法计算；如果b＝30，两种颜色的花一共有多少盆，就是求4b是多少，把b＝30，代入计算即可；黄花比红花少多少盆，就是求2b是多少，把b＝30代入，代入计算即可，据此解答。 【详解】3b＋b＝4b 3b－b＝2b 当b＝30时 4b＝4×30＝120（盆） 2b＝2×30＝60（盆） 庆祝“六一”儿童节的会场上，红花的盆数是黄花的3倍。黄花有b盆，红花和黄花一共有（4b）盆，红花比黄花多（2b）盆。如果b＝30，两种颜色的花一共有（120）盆，黄花比红花少（60）盆。 【点睛】本题考查用字母表示数和含字母式子的求值，求出红花的盆数是解答本题的关键。 【考点五】用字母表示运算律 方法点拨 用相同字母表示运算律，关键在于熟练掌握运算律公式。 减法的运算性质用字母表示为：a-b-c=a-(b+c)a-b-c=a-c-b 除法的运算性质用字母表示为：a÷b÷c=a÷(b×c)a÷b÷c=a÷c÷b(b、c均不为0) 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 根据运算律在横线填上适当的数或字母。 (1)12.6＋m＋7.4＝（ ＋ ）＋ (2)a·2.5·2＝ ·（ × ） (3)6m＋9m＝（ ＋ ）· 【答案】(1) 12.6 7.4 m (2) a 2.5 2 (3) 6 9 m 【分析】加法交换律：两数相加，可以交换加数的位置，和不变；加法结合律：三个数相加，先求前两个数的和或先求后两个数的和，和不变；乘法结合律，三个数相乘，先求前两个数或先求后两个数，积不变；乘法分配律，两个数的和与一个数相乘，可以把它们与这个数分别相乘，再相加。 【详解】（1）12.6＋m＋7.4＝（12.6＋7.4）＋m （2）a·2.5·2＝a·（2.5×2） （3）6m＋9m＝（6＋9）·m 【对应练习1】 在横线上填上适当的数或字母。 ＋b＝ ＋3        7x＋3x＝（ ＋ ）· 【答案】 3 b 7 3 x 【分析】第一小题：加法交换律：两个加数交换位置，和不变：a＋b＝b＋a；据此解答； 第二小题：乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加；（a＋b）×c＝a×c＋b×c；据此解答。 【详解】3＋b＝b＋3 7x＋3x＝（7＋3）·x 【对应练习2】 根据运算定律填空。 (1)( )。 (2)（( )＋( )）×( )。 【答案】(1)0.6 (2) 3 7 x 【分析】（1）把4.8写成8×0.6，可以得到12.5×8×0.6； （2）运用乘法分配律，3和7分别与x相乘再相加可以写成3加7的和再与x相乘，结果不变，即a×c＋b×c＝（a＋b）×c，据此解答。 【详解】（1） （2） 【对应练习3】 利用运算定律将式子变形。 （5.3＋a）＋4.7＝ ＝ 2.4×（a＋0.5）＝ ＝ （a•b）•c＝ 【答案】 （5.3＋4.7）＋a 10＋a 2.4a＋2.4×0.5 2.4a＋1.2 a•（b•c） 【分析】 ①先去掉括号，然后根据加法交换律进行解答； ②运用乘法分配律进行解答； ③运用乘法结合律进行解答。 【详解】①（5.3＋a）＋4.7 ＝（5.3＋4.7）＋a ＝10＋a ②2.4×（a＋0.5） ＝2.4a＋2.4×0.5 ＝2.4a＋1.2 ③（a•b）•c＝a•（b•c） 【点睛】灵活掌握和理解加法交换律、加法结合律，乘法分配律，是解答此类题的关键。 【考点六】用字母表示周长和面积计算公式 方法点拨 与多边形周长或面积相关的关系式，一是直接利用周长或面积公式进行表示，二是利用画图的方法求解。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题1】直接表示 用字母表示长方形和正方形的面积和周长公式。 正方形的面积=边长×边长 解析： S=a·a=a2 正方形的周长=边长×4 解析： C=a·4=4a 长方形的面积=长×宽 解析： S=a·b= ab 长方形的周长=（长+宽）×2 解析： C=(a+b)×2=2(a+b) 【对应练习1】 一个长方形的宽是a，长比宽长4，长是( )，当a＝8厘米时，它的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 a＋4/4＋a 40 96 【分析】长方形的宽是a，长比宽长4，求长是多少，用加法计算。再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽求解即可。 【详解】长方形的长：a＋4 长方形的周长：（a＋4＋a）×2＝（2a＋4）×2 当a＝8厘米时，（2a＋4）×2 ＝（2×8＋4）×2 ＝（16＋4）×2 ＝20×2 ＝40（厘米） 长方形的面积：（a＋4）×a 当a＝8厘米时，（a＋4）×a ＝（8＋4）×8 ＝12×8 ＝96（平方厘米） 故一个长方形的宽是a，长比宽长4，长是a＋4，当a＝8厘米时，它的周长是40厘米，面积是96平方厘米。 【对应练习2】 一个长方形的宽是a厘米，长是宽的4倍，这个长方形的长是( )厘米，若a＝3时，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 4a 30 36 【分析】已知一个长方形的宽是a厘米，长是宽的4倍，那么长＝4×a，由此求出长；再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽，把a＝3代入式子中进行解答即可。 【详解】4×a＝4a（厘米） 当a＝3时， 宽是3厘米， 长是4×3＝12（厘米） 长方形的周长：（3＋12）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 长方形的面积：3×12＝36（平方厘米） 【对应练习3】 一个长方形的长是4a厘米，是宽的2倍，这个长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米；当a＝3时，长方形的面积是( )平方厘米。 【答案】 12a 8a2 72 【分析】已知一个长方形的长是4a厘米，是宽的2倍，那么宽＝长÷2，由此求出宽； 根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽，据此用含字母的式子表示长方形的周长和面积； 把a＝3代入长方形面积的式子中，计算得数即可。 【详解】宽：4a÷2＝2a（厘米） 周长： （4a＋2a）×2 ＝6a×2 ＝12a（厘米） 面积：4a×2a＝8a2（平方厘米） 当a＝3时，8a2＝8×3×3＝72（平方厘米） 所以，这个长方形的周长是12a厘米，面积是8a2平方厘米；当a＝3时，长方形的面积是72平方厘米。 【典型例题2】图形表示 一块长10米，宽8米的长方形菜地，将它的长增加a米，宽不变。 （1）用含有字母的式子表示这块菜地面积增加了多少平方米？ （2）如果当a＝4时，这块菜地的面积增加了多少平方米？ 【答案】（1）8a平方米； （2）32平方米 【分析】（1）根据题意画出如下的示意图，增加的部分是一个长方形，长是8米，宽是a米，根据长方形的面积公式＝长×宽得出长方形的面积。 （2）将a的数值带入到含有字母的式子，计算出结果。 【详解】（1）8×a＝8a（平方米） 答：这块菜地面积增加了8a平方米。 （2）8×4＝32（平方米） 答：这块菜地的面积增加了32平方米。 【对应练习1】 如图所示，一个边长为x米的正方形草坪中间有一个边长为y米的正方形小水池。 （1）用含有字母的式子表示草坪的面积？ （2）当x＝10，y＝3时，求草坪的面积？ 【答案】（1）（x2－y2）平方米； （2）91平方米 【分析】（1）草坪的面积＝总面积－水池面积，总面积和水池都是正方形，再根据正方形面积＝边长×边长，代入数据求解，再相减即可求出草坪的面积。 （2）当x＝10，y＝3时，代入式子计算即可。 【详解】（1）x×x－y×y＝（x2－y2）平方米 答：草坪的面积是（x2－y2）平方米。 （2）当x＝10，y＝3时 x2－y2 ＝ ＝100－9 ＝91 答：当x＝10，y＝3时，草坪的面积是91平方米。 【点睛】此题考查了用字母表示数的方法，关键是弄清题中字母x、y所表示的意义，再进一步解答。 【对应练习2】 如图所示，一个边长为a米的正方形草坪中间有一个边长为b米的正方形小水池。 （1）用含有字母的式子表示草坪的面积。 （2）当a＝15，b＝6时，草坪的面积是多少平方米？ 【答案】（1）草坪的面积＝a2－b2 （2）189平方米 【分析】（1）草坪的面积等于大正方形的面积减去正方形小水池的面积，正方形面积边长的平方，据此列式； （2）将a＝15，b＝6代入（1）中的式子进行计算即可解答。 【详解】（1）草坪的面积＝a2－b2 （2）当a＝15，b＝6时， a2－b2 ＝152－62 ＝225－36 ＝189（平方米） 答：草坪的面积是189平方米。 【对应练习3】 现有长为20米的篱笆，利用它和一面墙围成长方形状的养鸡场。设养鸡场的宽为a米。（如下图） （1）用式子表示出养鸡场的长：________米。 （2）用式子表示出养鸡场的面积：________平方米。 （3）若墙长只有15米，请你从1、2、4中选取一个合适的数作为a的值，并求出此时养鸡场的面积。 【答案】（1）20－2a （2）20a－2a2 （3）4；48平方米 【分析】（1）用篱笆的长度减去两条宽即可求出长； （2）根据长方形的面积＝长×宽，据此计算即可； （3）把1、2、4分别代入到（1）中算式中，根据长方形的长小于篱笆的长度，进而找到a的值，最后根据长方形的面积＝长×宽，据此代入数值进行计算即可。 【详解】（1）用式子表示出养鸡场的长：（20－2a）米。 （2）（20－2a）×a ＝20a－2a2（平方米） 则用式子表示出养鸡场的面积：（20a－2a2）平方米。 （3）当a＝1时，养鸡场的长是20－2a＝20－2×1＝18，18＞15，不符和题意； 当a＝2时，养鸡场的长是20－2a＝20－2×2＝16，16＞15，不符合题意； 当a＝4时，养鸡场的长是20－2a＝20－2×4＝12，12＜15，符合题意。 所以a的值是4，当a＝时可得： 20a－2a2 ＝20×4－2×4×4 ＝80－32 ＝48（平方米） 答：a的值是4，此时养鸡场的面积是48平方米。 【点睛】本题考查用字母表示数，明确篱笆的长度＝1条长＋两条宽是解题的关键。 【考点七】用字母表示年龄问题 方法点拨 年龄差是一个固定值，不随时间变化而改变。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 哥哥今年a岁，弟弟b岁，10年后，弟弟比哥哥小( )岁。 A．10 B．a－b＋10 C．a－b D．a＋b 【答案】C 【分析】年龄差是一个固定值，不会随时间变化而改变。哥哥今年a岁，弟弟b岁，今年的年龄差是（a－b）岁。10年后，哥哥是（a＋10）岁，弟弟是（b＋10）岁，年龄差为（a＋10）－（b＋10）＝a－b岁。 【详解】（a＋10）－（b＋10） ＝a＋10－b－10 ＝a－b（岁） 弟弟比哥哥小（a－b）岁。 故答案为：C 【对应练习1】 爸爸今年a岁，比妈妈大3岁，用含有字母的式子表示妈妈明年的年龄是( )岁。 A．a＋3 B．a－3 C．a－3＋1 D．a＋3＋1 【答案】C 【分析】用爸爸今年年龄－年龄差，求出妈妈今年的年龄，再加上1，即可求出妈妈明年的年龄，据此解答。 【详解】根据分析可知，表示妈妈明年年龄的式子是：a－3＋1。 故答案为：C 【对应练习2】 小丽的爸爸今年岁，小丽同学今年岁，年以后，爸爸比小丽大( )岁。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】爸爸和小丽的年龄差是不会变的，所以用爸爸今年的年龄岁减去小丽今年的年龄岁即可知道二人的年龄差，经过年二人的年龄差也不会变。 【详解】，即爸爸比小丽大岁。 故答案为：B 【对应练习3】 今年老张a岁，小王（a－18）岁，再过x年后，他们相差( )岁。 A．18 B．x C．18＋x D．x－18 【答案】A 【分析】从“小王（a－18）岁”可知：今年小王比老张小18岁，也就是两人年龄相差18岁。再过x年后，老张增加x岁，小王也增加x岁，所以他们的年龄差始终不变。 【详解】根据分析可得： 今年老张a岁，小王（a－18）岁，再过x年后，他们相差18岁。 故答案为：A 【考点八】用字母表示连续自然数问题 方法点拨 两个连续自然数的相差1，两个连续偶数或奇数相差2。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 三个连续自然数中，最小的一个是a，中间的数是( )，最大的数是( )，三个数的和是( )，平均数是( )。 【答案】 a＋1 a＋2 3a＋3 a＋1 【分析】已知三个连续自然中最小的一个是a，根据连续自然数的特点“两个相邻的自然数相差1”，可得出中间的数及最大的数； 把这三个连续自然数相加，即可求出它们的和；再用和除以3，即是它们的平均数。 【详解】这三个连续自然数分别是a、a＋1、a＋2； 和是：a＋a＋1＋a＋2＝3a＋3 平均数是：（3a＋3）÷3＝ a＋1 三个连续自然数中，最小的一个是a，中间的数是a＋1，最大的数是a＋2，三个数的和是3a＋3，平均数是a＋1。 【对应练习1】 整数n后面连续2个整数分别是( )和( )，这3个连续整数的和是( )。 【答案】 【分析】相邻的两个整数之间的差为1，则整数n后面连续2个整数分别是（n＋1）和（n＋2），然后把这3个连续整数相加即可。 【详解】由分析可知： 整数n后面连续2个整数分别是（）和（） n＋（n＋1）＋（n＋2） ＝n＋n＋1＋n＋2 ＝3n＋3 则这3个连续整数的和是3n＋3。 【点睛】本题考查用字母表示数，明确相邻的两个整数之间的差为1是解题的关键。 【对应练习2】 五个连续自然数，从小到大第二个数是a－1，第五个数是( )，这五个连续自然数的和是( )。 【答案】 a＋2/2＋a 5a 【分析】相邻的两个自然数之间相差1，五个连续自然数，从小到大第二个数是a－1，第二个数＋1＝第三个数，第三个数＋1＋1＝第五个数，中间自然数（第三个数）×5＝这五个连续自然数的和。 【详解】从小到大第三个数：a－1＋1＝a 从小到大第五个数：a＋1＋1＝（a＋2） 这五个连续自然数的和：a×5＝5a 第五个数是（a＋2），这五个连续自然数的和是5a。 【对应练习3】 三个连续偶数的和是3a，那么其中最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 a＋1/1＋a a－1 【分析】3个三个连续的偶数中，中间的数即是这三个数的平均数。已知这三个连续偶数的和是3a，用3a除以3即可求出平均数，即中间的偶数。平均数加1即是最大的数；平均数减1即是最小的数。据此解答。 【详解】3a÷3＝a，则其中最大的数是a＋1，最小的数是a－1。 【对应练习4】 如果有三个连续的奇数，中间一个是a，那么另外两个可以表示为( )、( )。 【答案】 a－2 a＋2 【分析】两个连续奇数的差为2，最小的奇数比中间的奇数少2，最大的奇数比中间的奇数多2，据此解答。 【详解】有三个连续的奇数，如果中间的数是a，那么另外两个数为（a－2）和（a＋2）。 【点睛】两个相邻的自然数相差1，两个相邻的奇数（偶数）相差2。 【考点九】用含字母的式子表示稍复杂的数量关系 方法点拨 用含有字母的式子表示稍复杂的数量关系时，可以先把字母看成一个实际的数，找出题中的数量关系，再将数量关系用含有字母的式子表示出来。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 一个文具盒的单价是元，李老师买了8个，王阿姨买了5个。 （1）用含有字母的式子表示李老师比王阿姨多用了多少元。 （2）当＝15时，李老师比王阿姨多用了多少元？ 【答案】（1）3元 （2）45元 【分析】（1）根据“单价×数量＝总价”，先分别求出李老师和王阿姨买文具盒的花费，再相减，即是李老师比王阿姨多用的钱数。 （2）把＝15代入式子中，计算出结果即可。 【详解】（1）8－5＝3（元） 答：李老师比王阿姨多用了3元。 （2））当＝15时，3＝3×15＝45（元） 答：当＝15时，李老师比王阿姨多用了45元。 【点睛】本题考查用字母表示式子以及含有字母式子的求值，从题目中找到数量关系式，按数量关系式写出含字母的式子，把未知数的值代入式子中，求出得数。 【对应练习1】 学校演播厅楼下有a排座位，每排有20个位置；楼上有b个位置。 （1）用含有字母的式子表示演播厅的座位数。 （2）当a＝15，b＝110时，演播厅共有多少个座位？ 【答案】（1）（20a＋b）个； （2）410个 【分析】（1）用每排有座位的个数乘排数，求出楼下共有座位的个数，再加上楼上有座位的个数即可。 （2）当a＝15，b＝110时，把数据代入式子计算即可解题。 【详解】（1）a×20＋b＝（20a＋b）个 答：用含有字母的式子表示演播厅的座位数是：（20a＋b）个。 （2）当a＝15，b＝110时，可得： 20×15＋110 ＝300＋110 ＝410（个） 答：当a＝15，b＝110时，演播厅共有410个座位。 【点睛】熟练掌握用字母表示数的意义及化简、求值的方法，是解答此题的关键。 【对应练习2】 爸爸带了100元去买菜，买了3千克肉，每千克y元。 （1）用式子表示爸爸还剩多少元。 （2）当y＝25.6时，求爸爸还剩多少元？ 【答案】（1）（100－3y）元； （2）23.2元 【分析】（1）根据单价×质量＝总价，已知买了3千克肉，每千克y元，代入表示出买肉花了多少元，再用买菜的总钱数100元减去买肉花的钱，即可表示还剩多少元。 （2）当y的数值确定时，把它代入含有字母的式子中进行计算，所得的结果就是含有字母的式子的值。 【详解】（1）100－3×y ＝（100－3y）元 答：爸爸还剩（100－3y）元。 （2）当y＝25.6时， 100－3×25.6 ＝100－76.8 ＝23.2（元） 答：爸爸还剩23.2元。 【点睛】此题主要考查用字母表示数以及含有字母式子的求值，求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【对应练习3】 某影剧院有上下两层。下层有x排，每排40个座位，上层共有y个座位。 （1）用含有字母的式子表示该影剧院的座位数。 （2）当、时，这个影剧院共有（     ）个座位。 【答案】（1） （2）1650 【分析】（1）座位总数＝上层座位数＋下层座位数，下层座位数＝排数×每排个数，据此列出含有字母的算式； （2）将x＝30，y＝450，代入（1）中求出的式子，计算出结果即可；据此解答。 【详解】（1）用含有字母的式子表示该影剧院的座位数：（40x＋y）个。 （2）当x＝30，y＝450， 40x＋y ＝40×30＋450 ＝1200＋450 ＝1650 所以，这个影剧院共有1650个座位。 【点睛】此题考查了字母表示数以及含有字母的式子化简求值，关键找出数量关系用字母表示出来。 【考点十】区分x²和2x的意义并代入求值 方法点拨 x+x=2x，x×x=x2，x×x×x=x3。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 当x＝4时，x2＝( )，2x＝( )。如果x2和2x正好相等，则x＝( )或( )。 【答案】 16 8 0 2 【分析】x2表示2个x相乘，2x表示两个x相加，把x＝4分别代入求出结果即可； 要使x2和2x正好相等，也就是一个数与它本身的积等于2个这个数的和，由此进行求解。 【详解】当x＝4时， x2 ＝42 ＝4×4 ＝16 2x ＝2×4 ＝8 如果x2和2x正好相等，则： x＝0 x2 ＝0×0 ＝0 2x ＝0＋0 ＝0 或x＝2 x2 ＝2×2 ＝4 2x ＝2＋2 ＝4 当x＝4时，x2＝16，2x＝8。如果x2和2x正好相等，则x＝0或2。 【对应练习1】 当x＝6时，x2＝( )，3x＝( )，x＋4＝( )，x＋x＝( )。 【答案】 36 18 10 12 【分析】当字母的数值确定时，把它代入含有字母的式子中进行计算，所得的结果就是含有字母的式子的值。当x＝6时，x2＝x×x＝6×6，3x＝3×x＝3×6，x＋4＝6＋4，x＋x＝6＋6，分别代入计算它们的值即可。 【详解】当x＝6时， x2＝6×6＝36； 3x＝3×6＝18； x＋4＝6＋4＝10； x＋x＝6＋6＝12。 【点睛】此题的解题关键是掌握含有字母算式的求值的方法。 【对应练习2】 x、a和b都为自然数，42和4×2，b×2和2b，x＋x和x2，a和a×1＋1，22和2×2中，有（    ）组的结果一定是相等的。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面。当数字是“1”时，“1”常常省略不写。一个数的平方，等于这个数乘它本身。则42＝4×4＝16，4×2＝8，两者结果不相等；b×2＝2b，两者结果相等；x＋x＝2x，x2＝x×x，当x＝2时，x＋x＝4，x2＝4，结果相等，但当x是除0和2之外的其他自然数时，两者结果不相等；a×1＋1＝a＋1，与a结果不相等；22＝2×2＝4，2×2＝4，两者结果相等。据此解答。 【详解】通过分析可得：b×2和2b，22和2×2，这两组的结果一定是相等的。 故答案为：C 【对应练习3】 若x2＝2x，则x＝( )。当x＝8时，x2＝( )，2x＝( )。 【答案】 2 64 16 【分析】x2＝x×x，2x＝2×x＝x＋x，据此分析。 【详解】x2＝x×x＝2×x，则x＝2； 当x＝8时，x2＝8×8＝64； 2x＝2×8＝16 【点睛】此题考查含有字母的式子的求值，区分平方和2倍的区别是解题的关键。 【考点十一】新型题型其一：用归纳法或类推法解决数形规律问题 方法点拨 解答此类题时，需要细致观察，并根据发现的数量关系递推出规律，再用含有字母的式子表示出来。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 如下图，用小棒摆正方形。 摆1个正方形要4根小棒，摆2个正方形要7根小棒，摆3个正方形要10根小棒。继续这样摆，摆10个正方形要( )根小棒；摆n个正方形需要的小棒根数是( )。 解析：31     3n＋1 【对应练习1】 用小棒摆图形。 …… 第1个     第2个     第3个     第4个 摆第1个图形需要3根小棒，第2个图形需要5根小棒……照这样，摆第n个图形需要( )根小棒。 解析：2n＋1 【对应练习2】 用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第4个图形用了( )根小棒，第n个图形用了( )根小棒。 解析：17     4n＋1 【对应练习3】 一些小三角形按下面的方式摆放，用含有字母的式子表示第n幅图有( )个小三角形。 解析：n2 【考点十二】新型题型其二：定义新运算 方法点拨 1. 定义新运算。 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2. 解题方法。 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3. 注意事项。 （1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：✱、▲、◉、◎等，它们并不表示实际意义。 （2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝( )。 【答案】16 【分析】根据新运算方法“a◆b＝4a－b”，先使a◆b＝24◆32，求出得数，然后再使a◆b＝20◆（24◆32），代入（24◆32）所得数据解答即可。 【详解】24◆32 ＝24×4－32 ＝96－32 ＝64 20◆（24◆32） ＝20◆64 ＝20×4－64 ＝16 所以，如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝16。 【点睛】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 【对应练习1】 设，表示两个不同的数，规定则( )。 【答案】2 【分析】根据所给出的等式，知道等于3与a的积减去4与b的积，用此方法计算的值即可。 【详解】 ＝（3×4－4×2） ＝4 ＝3×6－4×4 ＝18－16 ＝2 【点睛】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 【对应练习2】 对于两个数a，b，规定a〇b＝（a＋1）×（b－2），则2〇（3〇4）＝( )。 【答案】18 【分析】根据a〇b＝（a＋1）×（b－2）可知，a〇b表示前一个数加上1的和乘后一个数减2的差，再根据运算顺序，先计算括号里的，再计算括号外的，进而求出得数。 【详解】3〇4 ＝（3＋1）×（4－2） ＝4×2 ＝8 2〇8 ＝（2＋1）×（8－2） ＝3×6 ＝18 则2〇（3〇4）＝18。 【点睛】本题考查的是字母表示数，解题的前提是准确理解算式的计算规律，再进行解答。 【对应练习3】 现定义两种运算“※”和“*”，对于整数a、b有a※b＝a＋b－1，a*b＝ab－1.例如1※2＝1＋2－1，1*2＝1×2－1，则（6※8）※（3*5）＝( )。 【答案】26 【分析】根据规定的新运算，遇到“※”可化为两个数的和与1的差，遇到“*”可化为两数积与1的差，然后再进一步计算。 【详解】（6※8）※（3*5） ＝（6＋8－1）※（3×5－1） ＝13※14 ＝13＋14－1 ＝27－1 ＝26。 【点睛】此题考查的是新定义的运算，解此类题的关键是搞清新运算的含义，从而根据新运算表示的含义写出要求的式子，同时也要求学生掌握运算顺序以及各种运算法则。 【考点十三】新型题型其三：新材料定义 方法点拨 读懂材料含义，再根据所给材料的公式或规律解决问题。。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 我们所穿鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的一种换算关系是a＝2b－10（a表示码数，b表示厘米数），则25厘米长的鞋子用“码”作单位( )码。 【答案】40 【分析】根据“码”和“厘米”之间的换算关系：a＝2b－10，把b＝25厘米代入式子，求得a的值，也就是“码”数。 【详解】当b＝25厘米时 a＝2b－10 ＝2×25－10 ＝50－10 ＝40（码） 25厘米的鞋子用“码”作单位，就是（40）码。 【对应练习1】 鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码“或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用＝2－10来表示（表示码数，表示厘米数）。小亮爸爸的皮鞋鞋底长26厘米，是( )码；小亮买了一双36码的凉鞋，鞋底长( )厘米。 【答案】 42 23 【分析】根据题意，可知用字母表示码数，表示厘米数，它们之间的关系是＝2－10，进而推出＝（＋10）÷2；然后分别把＝26或＝36代入关系式，计算得解。 【详解】当＝26时 ＝2－10 ＝2×26－10 ＝52－10 ＝42 当＝36时 ＝（＋10）÷2 ＝（36＋10）÷2 ＝46÷2 ＝23 【点睛】本题考查含有字母式子的求值，把未知数的值代入式子中，求出得数。 【对应练习2】 我们所穿的鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系是a＝＋5（a表示厘米数，b表示尺码数）。那么36码的鞋子用“厘米”作单位就是( )厘米。 【答案】23 【分析】把b＝36代入a＝＋5，求出a即可。 【详解】把b＝36代入a＝＋5得： a＝36÷2＋5 ＝18＋5 ＝23（厘米） 36码的鞋子用“厘米”作单位就是23厘米。 【点睛】本题考查用字母表示数以及含有字母的式子化简求值，注意计算的准确性。 【对应练习3】 昆虫爱好者发现，在一定温度范围内，某地蟋蟀每分钟叫的次数与气温有如下近似关系：h＝t÷7＋3，h表示当时的气温（℃），t表示蟋蟀每分钟叫的次数。如果蟋蟀每分钟叫112次，那么当时的气温大约是( )℃；当气温达到30℃时，蟋蟀每分钟大约叫( )次。 【答案】 19 189 【分析】根据关系式：h＝t÷7＋3，把t＝112代入式子中，计算出h的值，即是当时的气温； 由关系式：h＝t÷7＋3可得，t＝（h－3）×7，把h＝30代入式子中，计算出t的值，即是蟋蟀每分钟大约叫的次数。 【详解】（1）当t＝112时 h＝t÷7＋3 ＝112÷7＋3 ＝16＋3 ＝19（℃） （2）当h＝30时 t＝（h－3）×7 ＝（30－3）×7 ＝27×7 ＝189（次） 如果蟋蟀每分钟叫112次，那么当时的气温大约是19℃； 当气温达到30℃时，蟋蟀每分钟大约叫189次。 【点睛】本题考查含有字母式子的求值，把未知数的值代入式子中，求出得数。 【考点十四】新型题型其四：程序框图 方法点拨 理解程序框图的基本运行逻辑，再解决问题。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 按图所示的程序流程计算，若开始输入的值为x＝3，则最后输出的结果是( )。 【答案】231 【分析】将x＝3代入，得出结果，再和100比较大小，比100小就继续将数据代入式子计算，比100大就输出结果。 【详解】，6＜100，继续算； ，21＜100，继续算； ，231＞100，输出结果； 则最后输出的结果是231。 【对应练习1】 笑笑学习编程时，编写了一个程序。当他输入一个数时，电脑会按照程序进行运算，然后输出运算后的结果。这个过程可以用下图表示： 乐乐尝试推测这个程序，进行了几次实验，数据如下表： m 1 2 3 4 5 6 10 n 2 5 10 17 26 37 101 根据数据，这个运算程序可能是（    ）。 A．n＝m＋1 B．n＝m×2＋1 C．n＝m×5＋1 D．n＝m×m＋1 【答案】D 【分析】根据图表可知，m的平方加1即是n，据此选择。 【详解】由分析可得： m2＋1 ＝m×m＋1 所以根据数据，这个运算程序可能是n＝m×m＋1。 故答案为：D 【对应练习2】 刘刚在人工智能课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数（如图）。根据这个计算程序： (1)输入数6会输出数( )； (2)输入数( )会输出数25； (3)小程序的运算规律是什么？用你喜欢的方式写出来： ( )。 【答案】(1)13 (2)12 (3)见详解 【分析】观察发现： 输入5，输出11；11＝2×5＋1； 输入8，输出17；17＝2×8＋1； 输入10，输出21；21＝2×10＋1； …… 发现规律：输入数为n，则输出数为（2n＋1）。 按此规律解答。 【详解】（1）2×6＋1 ＝12＋1 ＝13 输入数6会输出数13。 （2）（25－1）÷2 ＝24÷2 ＝12 输入数12会输出数25。 （3）小程序的运算规律：输出的数＝输入数×2＋1；如果输入数为n，则输出数为（2n＋1）。 （答案不唯一） 【点睛】本题考查找规律，根据给出的已知数据找出规律，按规律解决问题。 【对应练习3】 丽丽在信息课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数（如图所示）。根据这个计算程序： （1）输入7，会输出数（    ）； （2）输入数（    ），会输出数13； （3）小程序的运算规律是什么？用你喜欢的方式写出来。 【答案】（1）15 （2）6 （3）2n＋1 【分析】（1）观察算式可得：5×2＋1＝11，8×2＋1＝17，10×2＋1＝21，根据已知计算方法可知，用7×2＋1即可计算输入7后得到的数字； （2）用输出的数字13减去1，再除以2即可求出输入的数字； （3）用字母n表示输入的数字，用含有字母n的式子表示出运算规律即可。 【详解】（1）7×2＋1＝14＋1＝15 输入7，会输出数15。 （2）（13－1）÷2 ＝12÷2 ＝6 输入数6，会输出数13； （3）答：小程序的运算规律是若用字母n表示输入的数字，输出的数是2n＋1。 （答案不唯一） 【考点十五】新型题型其五：数列与算式规律探究 方法点拨 观察数列或算式，找出变化规律，再用字母表示规律。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 1．（数列探究）找规律，直接填写。 1，2，6，15，( )，( )，92。 【答案】 31 56 【分析】观察数列，发现规律：2－1＝1，1＝12，即第2个数2＝1＋12；6－2＝4，4＝22，即第3个数6＝2＋22；16－6＝9，9＝32，第4个数15＝6＋32……第n个数＝前一个数＋（n－1）2得到，按此规律解答。 【详解】规律：第n个数＝前一个数＋（n－1）2 第5个数： 15＋（5－1）2 ＝15＋16 ＝31 第6个数： 31＋（6－1）2 ＝31＋25 ＝56 【点睛】从已知的数列排列中找到规律，并按规律解题。 2．（算式探究）观察下列等式，式子中的“！”是一种数学运算符号。 2！＝2×3，3！＝3×4×5，4！＝4×5×6×7，5！＝5×6×7×8×9，… 以此类推，请计算： (1)6！＝( )。 (2)8×9×10×11×12×13×14×15＝( )。 【答案】(1)6×7×8×9×10×11 (2)8！ 【分析】观察等式，发现规律：n！＝n×（n＋1）×（n＋2）×…×（2n－1），n是几，就乘几个数。 （1）6！表示从6开始依次乘，要乘6个数，据此写出乘法算式； （2）8×9×10×11×12×13×14×15，从8开始依次乘，乘了8个数，据此写出用“！“表示的式子。 (1) 6！＝6×7×8×9×10×11 (2) 8×9×10×11×12×13×14×15＝8！ 【点睛】从已知的等式中找出规律，并按规律解答。 【对应练习1】 观察数列2，6，12，20，30，…的规律，则这列数的第6个数是( )，是第n个数是( )。 【答案】 42 【分析】，，，，…，规律是：相邻两个自然数的乘积，第n个数是，据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 这列数的第6个数是： 第n个数是： 故答案为：42；。 【点睛】本题考查找规律，解答本题的关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题。 【对应练习2】 因为，所以( )。 【答案】4039 【分析】由题可知一个数的平方减去另外一个数的平方，结果等于这两个数的和乘上两个数的差，将a＝2020，b＝2019代入求解即可。 【详解】（2020＋2019）（2020－2019）＝4039×1＝4039 故答案为：4039 【点睛】此题考查总结规律的能力，以及代入求解。 【对应练习3】 已知[6，2]＝8，[8，3]＝10，[11，4]＝14，[62，51]＝22；若[ 22，x]＝25，则x＝( )。 【答案】9.5 【解析】观察题目给出的几组式子，可以总结出规律，据此求解即可。 【详解】 【点睛】本题考查的是算式找规律的问题，求解问题的关键是总结出通项公式。 【考点十六】新型题型其六：复杂的图形关系探究 方法点拨 解此类题时，可以先借助画图法画出示意图，然后寻找解决问题需要的条件，将所求问题与已知条件建立联系，再用含有字母的式子表示出来。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，厘米，点P是线段AB上的一个动点，分别以AP，BP为边作正方形。当P点运动时，两个正方形的大小会随着改变。 （1）当点P运动时，两个正方形的周长的和会改变吗？若不会改变，请求出来。 （2）猜想：当点P运动时，两个正方形的面积的和会改变吗？请说明理由。 【答案】（1）不会改变；40厘米 （2）会改变；理由见详解 【分析】（1）正方形的周长＝边长×4，因为AB的长度是一定的，虽然当P点运动时，两个正方形的大小会随着改变，但是两个正方形的周长的和是不变的。 （2）根据正方形的面积＝边长×边长，当P点运动时，两个正方形的大小会随着改变，所以两个正方形的面积的和也会改变。 【详解】（1）周长的和不变。 假设AP为x厘米，则BP为（10﹣x）厘米。 周长和为：4x＋4（10﹣x） ＝4x＋40－4x ＝40（厘米） 答：当点P运动时，两个正方形的周长的和不会改变，周长和是40厘米。 （2）面积的和会改变。 当AP＝1厘米时，BP＝10－1＝9（厘米） 1×1＋9×9 ＝1＋81 ＝82（平方厘米） 当AP＝2厘米时，BP＝10－2＝8（厘米） 2×2＋8×8 ＝4＋64 ＝68（平方厘米） 当AP＝3厘米时，BP＝10－3＝7（厘米） 3×3＋7×7 ＝9＋49 ＝58（平方厘米） 答：当点P运动时，两个正方形的面积的和会改变，当AP＝1厘米时，面积和82平方厘米；当AP＝2厘米时，面积和68平方厘米；当AP＝3厘米时，面积和58平方厘米。 【点睛】此题主要考查正方形的周长和面积的计算，根据正方形的周长和面积公式解答。 【对应练习1】 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式例如由图①可以得到（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2，请解答下列问题写出图②中所表示的数学等式__________； （1）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，则a2＋b2＋c2的值为________； （2）图③中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片，若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2＋5ab＋2b2＝（2a＋b）（a＋2b）。 【答案】（a＋b＋c）2＝2（ab＋bc＋ac）＋（a2＋b2＋c2） （1）45 （2）见详解 【分析】用边长×边长表示出大正方形面积，再分别将9个小图形的面积加起来，用等号连接即可。 （1）a＋b＋c＝大正方形边长，根据（1）中所得到的结论可得2（ab＋bc＋ac）＋（a2＋b2＋c2）＝（a＋b＋c）2，将（ab＋bc＋ac）、（a2＋b2＋c2）、（a＋b＋c）看成整体，将a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38的值代入，解方程即可。 （2）由2a2＋5ab＋2b2可知，大图形由2个边长是a的小正方形，2个边长是b的正方形和5个长是b、宽是a的小长方形组成的大长方形，再通过（2a＋b）（a＋2b）可知，大长方形的长是（a＋2b），宽是（2a＋b），据此拼图即可。 【详解】（a＋b＋c）2＝2（ab＋bc＋ac）＋（a2＋b2＋c2） （1）2（ab＋bc＋ac）＋（a2＋b2＋c2）＝（a＋b＋c）2 解：2×38＋（a2＋b2＋c2）＝112 76＋（a2＋b2＋c2）－76＝121－76 a2＋b2＋c2＝45 （2） 【点睛】字母可以表示任意的数，也可以表示特定含义的公式，用字母将数量关系表示出来。 【对应练习2】 如下图①，边长分别为、的两个正方形重叠。 （1）图①两个正方形重叠后形成的阴影部分的面积是：________。 （2）图①阴影部分沿虚线裁剪转换成图②长方形后，长方形的长是________，宽是________，因此，这个长方形的面积就是________。 （3）根据上面两图关系，补充等式：________。（以上都请用含字母的算式表示）。 （4）根据上述规律对下面算式进行简算： 【答案】（1）（a2－b2） （2）（a＋b）；（a－b）；（a＋b）（a－b） （3）（a＋b）（a－b） （4）3000 【分析】（1）阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，正方形面积＝边长×边长，据此用字母表示出阴影部分的面积； （2）看图可知，长方形的长＝大正方形的边长＋小正方形的边长；长方形的宽＝大正方形的边长－小正方形的边长；长方形面积＝长×宽，据此用字母表示出长方形的长、宽和面积； （3）图①阴影部分的面积＝图②长方形的面积，据此分析； （4）根据第（3）小题的结论，将写成两数和乘两数差的形式，计算即可。 【详解】（1）a×a－b×b＝（a2－b2） 图①两个正方形重叠后形成的阴影部分的面积是：（a2－b2）。 （2）图①阴影部分沿虚线裁剪转换成图②长方形后，长方形的长是（a＋b），宽是（a－b），因此，这个长方形的面积就是（a＋b）（a－b）。 （3）（a＋b）（a－b） （4） ＝（155＋145）×（155－145） ＝300×10 ＝3000 【对应练习3】 将边长为（a＋b）的正方形剪成如图所示的两个正方形和两个长方形，其中标②的面积可以用a2表示，标③的面积可以用ab表示，则（a＋b）×（a＋b）＝（a＋b）2表示 的面积。此时，你能发现（a＋b）2与a2＋2ab＋b2的大小关系吗？说说你的想法。 【答案】边长为（a＋b）的正方形；（a＋b）2与a2＋2ab＋b2相等，因为①的面积＋②的面积＋③的面积＋④的面积＝大正方形的面积。 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，计算出4个图形的面积，然后相加，求出它们的面积之和，也是边长为（a＋b）的正方形的面积，据此解答。 【详解】长方形①的长为a，宽为b，面积是ab； 正方形②的边长为a，面积是a2； 长方形③的长为a，宽为b，面积是ab； 正方形④的边长为b，面积是b2； 面积之和：ab＋a2＋ab＋b2＝ a2＋2ab＋b2 边长为（a＋b）的大正方形的面积：（a＋b）×（a＋b）＝（a＋b）2 因为①的面积＋②的面积＋③的面积＋④的面积＝大正方形的面积 所以a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2。 【点睛】熟练掌握长方形和正方形的面积公式是解题的关键。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $