精品解析：江苏省常州市第一中学、溧阳中学2026届高三上学期数学联考试卷

2025-2026学年高三第一学期阶段调研 高三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集可得，进而可求交集. 【详解】因为全集，，可得， 且集合，所以. 故选：A. 2. 若复数满足，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. 对应的点在第一象限 B. 的虚部为 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算求得，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由两边乘以得，， 所以对应点在第四象限， 的虚部为，，， 所以C选项正确，ABD选项错误. 故选：C 3. 已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合条件列方程可求结论. 【详解】在方向上的投影向量为， 由已知可得， 因为，所以，又， 所以，又， 所以与的夹角为. 故选：D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别令，，得两式，运算可求得，再令，求得，即可得解. 【详解】因为， 当时，， 当时，①， 当时，②， ①+②=， 所以， 所以， 故选：C. 5. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆台的侧面积公式可得答案. 【详解】圆台的侧面积为. 故选：B． 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数运算法则，指对互换即可得到结论. 【详解】, 所以，所以 故选：A 7. 已知函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等，可判断AB选项；利用三角函数图象变换可判断CD选项. 【详解】若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等， 对于A选项，， 所以，函数的振幅为，函数的振幅为， 所以，这两个函数的振幅不相等， 故与的图象不能通过平移重合，A错； 对于B选项，， ， 函数的振幅为，函数的振幅为， 所以，与的图象不能通过平移重合，B错； 对于C选项，因为，， 将函数的图象向左平移个单位长度可与函数的图象重合，C对； 对于D选项，， 函数与的图象不能通过平移重合，D错. 故选：C. 8. 已知正实数满足，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对已知等式进行变形，构造出函数，然后将、、分别转化为函数与、、交点的横坐标，最后通过画出这些函数的图象，根据图象的位置关系来确定、、的大小关系. 【详解】已知为正实数，且，化简得到，进一步变形为； 同理，由，可得到，即； 由，可得到，即； 令，，对求导得， 当时，，即，因为，所以，此时函数在上单调递减； 当时，，即，因为，所以，此时函数在上单调递增； 当时，； 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 在同一平面直角坐标系中画出，，，的图象，如图所示： 从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的为（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 幂函数对于，都有，则 C. “，且”是“，且”的必要不充分条件 D. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断即可； 对于B选项，根据幂函数的定义及偶函数性质判断即可； 对于C选项，根据不等式的运算性质及必要不充分条件的定义进行判断即可； 对于D选项，根据一次函数、指数函数、对数函数的单调性和分界点的大小关系列不等式组，进而求解参数的取值范围. 【详解】对于A选项，根据存在量词命题的否定为全称量词命题得： 命题“，”的否定是“，”，故A选项错误； 对于B选项，由幂函数的定义可知，，解得：或， 当时，为偶函数，满足的条件， 当时，为奇函数，不满足的条件， 综上所述可得：，故B选项正确； 对于C选项，当，时，，，但不满足且. 反之，若且时，满足， 由，，得：，即. 综上可得： “，且”是“，且”的必要不充分条件. 故C选项正确； 对于D选项，当时，由指数函数和对数函数的单调性可知单调递增， 所以在上单调递增时，需满足， 即，解得：，则的取值范围是，故D选项正确. 故选：BCD 10. 已知函数，满足：，成立，且在上有且仅有个零点，则下列说法正确的是（　　） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数一个对称中心为 D. 函数是奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意可得为最大值，则得，再由在上有且仅有个零点，可得，再结合的范围可出的值，从而可求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为，恒成立，所以的最大值为， 所以，即， 当时，，又， 因为在上有且仅有个零点，所以， 所以，即，得， 所以， 因为，所以， 所以； 对于A：函数的最小正周期，故A错误； 对于B：当时，，又在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，故B正确； 对于C：因为， 所以函数的一个对称中心为，故C正确； 对于D：因为，为奇函数，故D正确. 故选：BCD 11. 已知边长为2的菱形，且，沿对角线折起，使点不在平面内，为的中点，在翻折过程中，则（ ） A. 平面平面 B. 当时，直线与平面所成角的余弦值为 C. 当二面角的大小为时，点在三棱锥的表面上运动，且，则点运动轨迹长度为 D. 当二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据线面垂直的判定定理先证明平面，从而得到平面平面；对于B，用等体积法可求得点A到平面的距离，从而求得直线与平面所成角的正弦值，由同角三角函数关系式可求得直线与平面所成角的余弦值；对于C，分析点在三棱锥的表面上运动时，则点在各个侧面的运动轨迹，并求其长度的和即可判断；对于D，根据题意列得关于三棱锥的外接球半径的方程组，求解可得外接球半径，从而得到外接球的表面积. 【详解】由题可知，，所以. 由，得， 所以，所以. 折起如图2. 对于选项A，由图1知，菱形中， 图2中平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.所以选项A正确； 对于选项B，由题可知，是等边三角形， 取的中点E，连接，则，且. 因为平面， 所以平面， 又平面，所以. 所以. 因为，所以， 所以. 所以. 所以. 因为， 所以点A到平面的距离为. 所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值为.故选项B正确. 对于选项C，当二面角的大小为时，由选项A可知，. 因为，所以. 因为， 所以点C到平面的距离为，所以中，点运动轨迹为一个点； 点在三棱锥的侧面上运动，且时， 点运动轨迹分别为三棱锥的三个侧面上的三段圆弧. 中，，所以点运动轨迹长度为； 中，.所以， 所以，所以点运动轨迹长度大于； 同理中，， 所以，所以点运动轨迹长度大于； 所以点运动轨迹长度大于；所以选项C错误. 对于选项D，当二面角的余弦值为时，由选项A可知，. 所以，所以， 记棱的中点为F，则. 记三棱锥的外接球球心为T，因为O为的中点，且平面， 所以T在等腰三角形的中线上. 设三棱锥的外接球的半径为R， 则，解得. 所以三棱锥的外接球的表面积为.所以选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5，分，共15分． 12. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 13. 数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数的公式和基本不等式即可求解. 【详解】由题意有：， 所以， 故答案为：. 14. 有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回地随机取5次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得； 【详解】依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：五次抽取同一球，选择球的编号有3种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出； 情况一：一种球出现1次、另一种球出现4次，选取出现1次的球有3种方式，选取出现4次的球有2种方式； 其中选取出现一次球的位置有5种可能，此时事件的可能情况有种， 情况二：一种球出现2次、另一种球出现3次，选取出现2次的球有3种方式，选取出现3次的球有2种方式； 其中选取出现2次球的位置有种可能，此时事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 情况一：一种球出现1次、另一种球出现1次、第三种球出现3次，选取出现1次的球有3种方式，另一种出现1次的球有2种方式，第三种出现3次的球有1种方式， 其中选取出现3次球的位置有5种可能，两种各出现1次的球的位置有种可能， 此时事件的可能情况有种， 情况二：一种球出现1次、另一种球出现2次、第三种球出现2次，选取出现1次的球有3种方式，另一种出现2次的球有2种方式，第三种出现2次的球有1种方式， 其中选取出现一次球的位置有5种可能，两种各出现2次的球的位置有种可能，第三种出现2次的球的位置只有1种方式， 此时事件的可能情况有种， 故， 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了年城市足球联赛，简称“苏超”．随着赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升．下表是比赛五个月来的某城市旅游人数（百万）与第个月的数据： （月份） （人数） （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程； （2）该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 女性 请依据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关． 参考公式：，，其中． 【答案】（1） （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出、的值，结合最小二乘法公式求出、，即可得出线性回归方程； （2）零假设关注“苏超”赛事与性别无关，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 由表格中的数据可得，， 所以， ， 故关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 零假设关注“苏超”赛事与性别无关， 由表格中的数据可得， 依据小概率值的独立性检验，能认为关注“苏超”赛事与性别有关. 16. 在中，分别为角的对边，且满足． （1）求角； （2）若为锐角三角形，设为的中点，若，且，求的面积． 【答案】（1）或； （2）3 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角结合三角恒等变换的公式即可求解； （2）在和中运用余弦定理建立方程组，解方程组，最后再根据面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 因为，所以，所以， 即，所以或， 即或， 若，则， 若，则，因为，所以，即， 综上，或． 【小问2详解】 若为锐角三角形，则， 在中由余弦定理得，即① 在中由余弦定理得② 由①②消去，得，即． 因为，所以， 所以． 17. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求证：； （3）在（2）的条件下，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用线面平行的判断定理将问题转化为证明即可； （2）过点作的垂线，垂足为，利用线面垂直的性质定理将问题转化为证明平面，而证明平面只需证明，即可； （3）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的一个法向量，利用平面与平面夹角的向量公式即可求出，最后利用棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接， 在中，且，又，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以． 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 过点作的垂线，垂足为， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面PMC，又平面，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，平面，平面， 所以平面．又平面，所以． 【小问3详解】 设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系， 因为，为的中点，所以， 设，，所以， ， 设平面的法向量， 取； 同理设平面的法向量， 取； 设平面与平面的夹角为， 所以，， . 18. 某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望， （3）对和求解对应的概率，利用作差法比较大小即可求解. 【小问1详解】 设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”， “所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”， 则，且两两互斥． 根据题意得，，，， 则， 所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为． 【小问2详解】 的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以． 【小问3详解】 当时，为甲校友答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲校友获得奖励概率， 所以， 因为，所以，即， 所以甲校友应选． 19. 已知函数，其中…是自然对数的底． （1）研究的极值； （2）若对任意，总存在，使得成立，求 值； （3）已知，此时有两个不同的零点和一个极值点，记，，．判断是否可能为等腰三角形?请说明理由． 参考数据：，，． 【答案】（1）极大值，无极小值． （2） （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数，通过讨论可得的极值； （2）通过讨论时，时，时函数的最值情况，可求得 的值； （3）当时，利用二次求导可得有零点，由，设，则得．设，则为的高且，故，证得，即证．可得不是等腰三角形． 【小问1详解】 由，得， 当时，，所以在单调递减，无极值； 当时，令，得；令，得． 所以在单调递增，在单调递减， 则极大值为，无极小值． 【小问2详解】 实数的值为，理由如下： ①当时，由（1）知，在上单调递减， 故当时，，则， 故不满足题意； ②当时，由（1）知，在上单调递增， 在上，单调递减，故当时，， 取，对任意，不合题意； ③当时，令， 由（1）知在上单调递增，进而知在上单调递减， 所以， 故对任意的，总存在，使得成立，即成立， 则，故，即， 即，解得． 综上所述，存在满足题意的实数，且实数的值为． 【小问3详解】 当时，，由（1）知在单调递增， 在单调递减，故为极大值点， 极大值，令． 则，故在单调递增， 故， 又注意到，故不妨设，此外， 则，记，则， 所以在上单调递减，所以， 即，故在单调递减， 故． 由零点存在性定理，知有零点， 则． 设，则为的高且，故， 下证，由此可得不是等腰三角形． 首先，我们证明：，即． 由于，故， 由，知， 接下来，我们证明，即证． 令， 则单调递增，且， 由零点存在性定理，在有唯一零点，且在单调递减， 在单调递增，且，故，得证. 因此，则， 故要证，只需证． 构造函数． 注意到，又， 令，解得，故在单调递增， 在单调递减，故，只需证． 而，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三第一学期阶段调研 高三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. 对应的点在第一象限 B. 的虚部为 C. D. 3. 已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A B. C. D. 7. 已知函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8. 已知正实数满足，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的为（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 幂函数对于，都有，则 C. “，且”是“，且”的必要不充分条件 D. 已知函数在上单调递增，则取值范围是 10. 已知函数，满足：，成立，且在上有且仅有个零点，则下列说法正确的是（　　） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数的一个对称中心为 D. 函数是奇函数 11. 已知边长为2的菱形，且，沿对角线折起，使点不在平面内，为的中点，在翻折过程中，则（ ） A. 平面平面 B. 当时，直线与平面所成角的余弦值为 C. 当二面角的大小为时，点在三棱锥的表面上运动，且，则点运动轨迹长度为 D. 当二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5，分，共15分． 12. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 13. 数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为__________． 14. 有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回地随机取5次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 _________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了年城市足球联赛，简称“苏超”．随着赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升．下表是比赛五个月来的某城市旅游人数（百万）与第个月的数据： （月份） （人数） （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程； （2）该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事关注情况，得到如下列联表： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 女性 请依据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关． 参考公式：，，其中． 16. 在中，分别为角的对边，且满足． （1）求角； （2）若为锐角三角形，设为的中点，若，且，求的面积． 17. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求证：； （3）在（2）的条件下，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积． 18. 某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确概率； （2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 19. 已知函数，其中…是自然对数的底． （1）研究的极值； （2）若对任意，总存在，使得成立，求 的值； （3）已知，此时有两个不同的零点和一个极值点，记，，．判断是否可能为等腰三角形?请说明理由． 参考数据：，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $