第3章 圆的基本性质能力提升测试卷-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

第3章 圆的基本性质能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，是半圆O的直径，点C、D在半圆O上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再由直角三角形两锐角互余求出，据此根据圆内接四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C． 2．把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆、长方形的周长、圆的面积，解决本题的关键是拼成的长方形的周长比圆的周长增加了 2 条半径长． 拼成的长方形的周长比圆的周长增加了2条半径长，从而求出半径长，代入计算即可． 【详解】解：∵圆的周长比长方形少， 半径是（厘米）， 长方形的长是（厘米）， 长方形的面积是（平方厘米）． 故选：C． 3．如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，旋转对称图形求旋转角度，熟记旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质求出旋转的角度即可． 【详解】解：， 故选：C． 4．如图，在中，弦，若，则的度数是（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质．由相关定理导出角之间的数量关系是解题的关键． 根据平行线性质，得，由圆周角定理，得． 【详解】解：如图，∵弦, ∴． ∴． 故选：A． 5．如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，绕某点逆时针旋转得到，则旋转中心是点（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：理解旋转中心为对应点的垂直平分线的交点是解决问题的关键．作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而可判断旋转中心为点． 【详解】解：如图，绕O点逆时针旋转得到． 故选：A． 7．中，，，，于D点，以C为圆心，2.5为半径作，则D点与圆的位置关系是（     ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，以及点与圆的位置关系，解决本题的关键是求解出的长度． 比较点D到圆心C的距离与圆的半径2.5的大小关系即可判断位置． 【详解】解：在中，由勾股定理得： ， ∵， 又∵， ∴，解得， ∵圆的半径为2.5，而， ∴点D到圆心C的距离小于半径，故点D在内． 故选：C ． 8．如图，这是某人通过定滑轮拉升货物A的示意图(拉绳与滑轮之间无滑动)，已知定滑轮的半径为6．若货物A上升了，则此定滑轮旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式：． 设此定滑轮旋转的度数为，则由弧长公式得到，据此即可求解． 【详解】解：设此定滑轮旋转的度数为，则， 解得， ∴此定滑轮旋转的度数为． 故选：D． 9．如图，在中，，将绕着点O逆时针旋转后得到．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是关键；由旋转的性质得；由平行线的性质得，即可求得结果． 【详解】∵将绕着点O逆时针旋转后得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 11．如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，连接，，由折叠的性质可知，的对应点为，则，，推出，为等边三角形，再结合圆周角定理，推出，最后利用扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，连接，， 则， 由折叠的性质可知，的对应点为，则，， ， 是半圆O的直径，且， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，等边三角形性质和判定，圆周角定理，扇形面积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 12．如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，取的中点，连接，，根据三角形的中位线定理可得，推出点的运动路径是以为圆心半径为的圆． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，，， ∵是 的中点，半径为， ∴是的中位线， ∴， ∴点的运动路径是以为圆心半径为的圆， ∵，， ∴， ∴， ∵为上任意一点， ∴，当点、、共线时取等号， 此时取得最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理，两点间距离，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点的运动路径． 二.填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．如图，已知的半径为5，圆心角与互补，若弦，则弦的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键． 过A点作直径，连接，如图，互补推出，再根据同角的补角相等得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】解：过A点作直径，连接，如图，则：， 由题意：， ， ， ， ， 为直径， ， 在中，，， ， 故答案为： 14．如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】结合已知条件求出的长度，然后根据E，利用平行四边形的性质及各图形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及扇形的面积公式，结合已知条件列得是解题的关键． 15．如图，在中，，C、Q是斜边上两点，且，将绕点O顺时针旋转90°后，得到，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形三边关系， 先根据旋转的性质得，再根据直角三角形的两个锐角互余解答①；再根据“边角边”解答②；由全等三角形的性质得，然后根据旋转的性质得，最后结合勾股定理和三角形的三边关系解答③④ 即可. 【详解】解：根据旋转的性质得， 在中，， ∴， ∴， 即； 根据旋转的性质得， ∵， ∴. ∵， ∴； ∵， ∴. 根据旋转的性质得. 在中，，， 即； 且. 所以正确的有①②④，一共3个. 故答案为：3. 16．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点O、B分别落在点处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点．则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转及点的坐标变化规律，能根据旋转的性质依次求出点对应点的坐标并发现规律是解题的关键． 根据所给旋转方式，依次求出点对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ， 在 中，， 由旋转可知，， ， 则点的坐标为． 又 ∵， ∴点的坐标为． 依次类推， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 由此可见，点的纵坐标按 0，4 循环出现，且横坐标比的横坐标大 12 （为正整数）， 因为， 所以， 所以点的坐标为． 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在中，，于点D，于点E，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，连接，根据题意得出，进而证明，即可得证． 【详解】证明：连接． ， ， ， ． 又， ， ． 18．（8分）如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 【答案】(1)旋转中心为点A， (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、中点的定义等知识点，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得旋转中心为点A，三角形内角和定理可得，旋转角的度数为； （2）根据旋转的性质可得，最后根据线段中点的定义即可解答． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴， ∵当逆时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转角的度数为； （2）解：由旋转得，，， ∵为的中点， ∴， ∴． 19．（8分）如图，C，D是以为直径的半圆上的两点，，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到，根据得到，进而得到结论； （2）连接，根据所求的阴影部分面积与扇形的面积及的关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接 交线段于点M． ∵°， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，平行线的判定，掌握定理以及扇形面积公式是解题的关键． 20．（8分）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． (1)求桥洞所在圆的半径； (2)当水深为19米时，求此时水面的宽． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，勾股定理．正确连接辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）连接，由垂径定理可得．设半径为，则，结合勾股定理可求出； （2）先求出，再证，即可再次利用勾股定理求出，最后再次利用垂径定理得出，即当水深时，此时的水面宽为． 【详解】（1）解：如图，连接， 过圆心，， ， 设半径为，， 在中，， 即， 解得：， ∴半径为． （2）解：由（1）可知桥洞所在圆的半径， ∵，， ， ， ， ， 在中，． 又∵过圆心， ∴， 即当水深时，此时的水面宽为． 21．（10分）如图，是等边内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)求点与的距离； (2)求的度数； (3)求与的面积之和，请直接写出结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，含的直角三角形的性质等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，，可证明是等边三角形，即可得解； （2）根据证明，得出，然后根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，即可得解； （3）将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点E作于点，同理（1）（2）求出，，同理（2）得，推出，，再根据与的面积之和等于与的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵等边， ∴，． ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形． ∴； （2）解：∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴是直角三角形． ∴； （3）解：将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点E作于点， 同理（1）得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理（2）得，是直角三角形，且，， ∴， 同理（2）得，， ∴， ∴与的面积之和等于与的面积之和， ∴与的面积之和为． 22．（10分）探究与发现： 【问题提出】 如图1，在中，，，点为的中点，、分别为、上的点，且，探究、、三条线段之间的数量关系． 【初步思考】 小明同学的方法是：将绕点逆时针旋转得到，并连接．通过证明，从而得出结论． 【问题解决】 (1)请根据小明的思路，写出完整的证明过程； (2)直接写出、、三条线段之间的数量关系； (3)如图2，若点、分别在、的延长线上，其他条件不变，那么（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)成立，理由见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得出全等三角形，再根据等边及等角证得，，即可得出结论； （2）由（1）的证明过程可直接得出结论； （3）根据旋转的性质得出全等三角形，再根据等边及等角证得，由等角证得平行线，进而求得，得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，将逆时针旋转得到，并连接， ， ，，， ，， ， ， 故， ， 由于逆时针旋转得到， 故、在一条直线上， 又， ， 在和中， ， ， ． （2）由（1）知，． （3）当点、分别在、的延长线上时，如图所示， 将逆时针旋转得到，并连接， ， ，，， ， 故， ， 由于逆时针旋转得到， 故、在一条直线上， 又， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质及应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行线的性质与判定，解题的关键在于理解旋转和全等三角形的性质，牢记“旋转必出全等”． 23．（10分）如图1，点E为正方形内一点，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度，点B、E的对应点分别为点． (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； (3)在直角三角形绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】(1) (2)①四边形是正方形，见解析；② (3) 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键． （1）由勾股定理得的长度，再由正方形的性质得的长度，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论； ②过点作于点，证，得，，再由勾股定理求解即可； （3）当时，与E重合，最短；当落在的延长线上时，，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； （2）解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； ②过点作于点，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ； （3）∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度（）， 点B、E的对应点分别为点、， ∴当时，与E重合，最短； 当落在的延长线上时，，最长， ∴线段长度的取值范围是． 24．（10分）【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点A，B，C，D在上，求证：． 【解决问题】 （2）如图②，已知点A，B，C，D在上，若的半径为4． ①求BD的长； ②连接CA．若CA平分，如图③，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析（2）①②．理由见解析 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可以得出； （2）①连接OB，OD，过点O作于点M，根据垂径定理求出，再利用勾股定理求出；②延长CB至点N，使，连接AN，先证明，再判定为等边三角形，即可得出． 【详解】解：（1）证明：连接OD，OB，如图①． ，， ． （2）①由（1）可知． ， ． 连接OB，OD，过点O作于点M，如图②． ， ， 则， ． ②．理由如下： 延长CB至点N，使，连接AN，如图③． 平分， ． 由（1）可知， ， ． 点在上， ． ． 在和中， ， ． 又， 为等边三角形， ． 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，是半圆O的直径，点C、D在半圆O上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 3．如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，弦，若，则的度数是（ ）    A． B． C． D． 5．如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，绕某点逆时针旋转得到，则旋转中心是点（    ） A． B． C． D．无法确定 7．中，，，，于D点，以C为圆心，2.5为半径作，则D点与圆的位置关系是（     ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 8．如图，这是某人通过定滑轮拉升货物A的示意图(拉绳与滑轮之间无滑动)，已知定滑轮的半径为6．若货物A上升了，则此定滑轮旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，将绕着点O逆时针旋转后得到．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A． B． C． D． 11．如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 12．如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 二.填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．如图，已知的半径为5，圆心角与互补，若弦，则弦的长为 ． 14．如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 15．如图，在中，，C、Q是斜边上两点，且，将绕点O顺时针旋转90°后，得到，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 个． 16．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点O、B分别落在点处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点．则点的坐标是 ． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在中，，于点D，于点E，求证：． 18．（8分）如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 19．（8分）如图，C，D是以为直径的半圆上的两点，，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 20．（8分）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． (1)求桥洞所在圆的半径； (2)当水深为19米时，求此时水面的宽． 21．（10分）如图，是等边内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)求点与的距离； (2)求的度数； (3)求与的面积之和，请直接写出结果． 22．（10分）探究与发现： 【问题提出】 如图1，在中，，，点为的中点，、分别为、上的点，且，探究、、三条线段之间的数量关系． 【初步思考】 小明同学的方法是：将绕点逆时针旋转得到，并连接．通过证明，从而得出结论． 【问题解决】 (1)请根据小明的思路，写出完整的证明过程； (2)直接写出、、三条线段之间的数量关系； (3)如图2，若点、分别在、的延长线上，其他条件不变，那么（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 23．（10分）如图1，点E为正方形内一点，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度，点B、E的对应点分别为点． (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； (3)在直角三角形绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 24．（10分）【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点A，B，C，D在上，求证：． 【解决问题】 （2）如图②，已知点A，B，C，D在上，若的半径为4． ①求BD的长； ②连接CA．若CA平分，如图③，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $