《5.3实际问题与一元一次方程》题型分类解答题专题训练二 2025-2026学年人教版七年级数学上册

2025-2026学年人教版七年级数学上册《5.3实际问题与一元一次方程》 题型分类解答题专题训练二（附答案） 一、工程问题 1．某工程队修一条路，第一天修了比全长的多2米，第二天修了比剩下部分的少4米，还剩200米没修，这段路全长多少米？ 2．某制衣厂计划若干天完成一批服装的订货任务．每天生产20套服装，就比订货任务少生产100套；每天生产23套服装，就可以超过订货任务20套．问这批服装的订货任务是多少套？原计划多少天完成？ 3．杭州亚运会期间，某工厂接到一批亚运会纪念品生产任务，组委会要求6天内完成．若工厂安排 10 位工人生产，则6天后剩余1200套纪念品未生产；若安排15 位工人生产，则恰好提前一天完成纪念品生产任务，问每位工人每天生产多少套纪念品(要求列方程解答)？ 4．某中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂能加工这批校服．已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天． (1)求这批校服共有多少件（列一元一次方程解决此问题）； (2)若先由甲、乙两个工厂按原来的速度合作一段时间后，乙厂引进了新设备，使乙厂每天的加工效率提高了，剩下的部分由乙厂单独完成．如果乙厂全部工作时间是甲厂全部工作时间的2倍还多4天，那么乙厂全部工作时间是多少天？ 5．某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 二、行程问题 6．一队学生从学校出发去博物馆，0.5h后，一位教师骑自行车从原路追赶队伍，15min后与队伍会合．已知教师骑自行车的速度比学生步行的速度快10km/h，求该教师骑自行车的速度． 7．两列火车从两个城市同时对开，行了小时后，两车还相距全程的，已知每小时甲车比乙车快，乙车小时行公里，两个城市间的铁路长多少公里？ 8．兄弟二人骑车同时从甲地到乙地，弟弟在前一半路程每小时行4千米，后一半路程每小时行6千米．哥哥按时间分段行驶，前时间每小时行4千米，中间时间每小时行5千米，后时间每小时行6千米，结果哥哥比弟弟早到20分钟．甲、乙两地相距多少千米？ 9．甲、乙两个车站相距千米，一列快车从甲站开出，每小时行驶千米，一列慢车从乙站开出，每小时行驶千米． (1)若两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？ (2)若两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相距千米？ 10．某校组织部分师生从学校（A地）到300km外的B地进行“红色之旅”（革命传统教育），租用了客运公司的甲、乙两辆车，其中乙车速度是甲车速度的．两车同时从学校出发，以各自的速度匀速行驶，行驶2h后甲车到达服务区C地，此时两车相距40km，甲车在服务区休息15min后按原速度开往B地，乙车行驶过程中未停留． (1)根据题意画出示意图，并借助示意图求甲、乙两车的速度． (2)甲车在C地结束休息后再行驶多长时间，甲、乙两车相距30km？ 三、选择方案问题 11．某校组织师生外出春游．若单租45座客车若干辆，则刚好坐满；若单租60座的客车，则少租一辆，且余15个座位．求参加春游的师生总人数． 12．某生物实验室推出了两种样本冷冻存储方案．若每月支付75元基础管理费，则每个样本存储费为3元/月；若每月不支付基础管理费，则每个样本存储费为6元/月．某科研团队6月份存储了若干生物样本，发现两种方案的总费用相同，求该科研团队6月份存储的样本数量． 13．某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 14．我校体育组决定购买羽毛球和羽毛球拍若干．甲、乙两家体育用品商店出售同一品牌同一规格的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价8元，羽毛球拍每副定价80元、现两家商店都在搞促销活动：甲店每出售一副球拍赠2个羽毛球；乙店球拍和羽毛球均按九折优惠．若体育组需购副球拍，300个羽毛球．根据题意完成下列问题． (1)购买方案一：全部到甲商店购买，需付款______元；购买方案二：全部到乙商店购买，需付款______元；（用含的代数式表示） (2)当取何值时，两种方案所需费用相等？ (3)当，请根据甲、乙两商店的促销信息，判断是否有比（1）中两个方案更优惠的购买方法，如果有，写出方案并列式求出所需费用；如果没有，请说明理由． 15．牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 四、几何图形问题 16．如图，在水平桌面上有两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为和，且容器装满水，容器是空的．若将中的水全部倒入中，则中的水面高度比原先容器的水面高度高了，求容器的水面高度． 17．如图，两张规格不同的贺卡叠放在一起，重叠部分的面积是大贺卡面积的，是小贺卡面积的，若两张贺卡不重叠部分的面积等于平方厘米，求重叠部分的面积． 18．长方形被分成六个正方形，现在只知道中间一个最小的正方形的面积为4，求长方形的面积． 19．小明和小慧两位同学在数学活动课上，把长为，宽为的若干张长方形白纸条粘合起来，小明按如图甲所示的方法粘合起来得到长方形，粘合部分的长度为，小慧按如图乙所示的方法粘合起来得到长方形，粘合部分的长度为． (1)求5张白纸条分别按图甲和图乙粘合后，总长度分别为多少厘米？ (2)用x张白纸条按甲粘合后，总长度为多少厘米？ (3)若长为，宽为的长方形白纸条共有100张，则应分给小明多少张长方形白纸条，才能使小明和小慧按各自要求粘合起来的长方形面积相等（要求100张长方形白纸条全部用完）． 20．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．如图1，点A、O、B、C、D、E为数轴上的点，O为原点，A表示的数是，B为线段的中点，C表示的数是12，D表示的数是18，将点D向右移动4个单位长度得点E．如图2，我们将数轴在点O、点B、点C和点D处均可折一次，可折后、、处于水平位置，线段与处均产生了一个坡度，且坡度的倾斜程度相同，我们称这样的数轴为“弯折数轴”．其中O为“弯折数轴”原点．在“弯折数轴”上，每个点对应的数就是把“弯折数轴”拉直后对应的数，两点间的距离就是把“弯折数轴”拉直后两点间的距离． 动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“弯折数轴”向右运动，同时，动点N从点E出发以相同的速度沿着“弯折数轴”向左运动．当点N运动到点B后立即掉头返回向右运动（掉头时间不计），两个点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的3倍，水平位置保持初始速度不变．当点M运动到点D时，点M、点N均停止运动，设运动时间为t秒．问： (1)点M从点A运动到点D用时 秒，此时点N对应的数为 ； (2)在运动过程中，当t为何值时点M与点N在点P处相遇？并求出点P在数轴上对应的数； (3)在“弯折数轴”上，是否存在某一时刻t，使得M、B两点的距离是N、C两点距离的2倍？若存在，请直接写出所有t的值，并把求其中一个t的过程写出来；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．826 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 设第一天修完后剩下的长度为米，根据第二天的工程量和剩余量列出方程求解，再设这段路全长为米，根据第一天的工程量列出方程求解即可． 【详解】解：设第一天修完后剩下的长度为米，根据题意得， ， 解得， 设这段路全长为米，根据题意得， ， 解得， 所以，这段路全长826米． 2．这批服装的订货任务是900套，原计划40天完成 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设原计划天完成，根据两种生产方式下，这批服装的订货任务相等建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：设原计划天完成， 由题意得：， 解得， 则（套）， 答：这批服装的订货任务是900套，原计划40天完成． 3．80 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．设每位工人每天生产x套纪念品，根据纪念品的总量相等列方程即可． 【详解】解：设每位工人每天生产x套纪念品， 由题意得， 解得， 答：每位工人每天生产80套纪念品． 4．(1)这批校服共有960件 (2)乙厂全部工作时间是28天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程． （1）设这批校服共有x件，根据单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天建立一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）设甲工厂加工的天数为y天，则乙工厂加工的天数为：（天），根据加工天数和总件数建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设这批校服共有x件, 由题意得：甲工厂加工这种校服用的天数为：， 乙工厂加工这种校服用的天数为：， ∵单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天， ∴， 解方程得：， ∴这批校服共有960件； （2）解：乙厂引进了新设备后每天加工的数量为：件， 设甲工厂加工的天数为y天， 则乙工厂加工的天数为：（天）， 由题意得： 解方程得：， ∴， 答：乙工厂加工的天数为28天． 5．(1)30天 (2)60天 (3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设甲、乙两个工程队一起合作，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设共需y天才能完成此项工程，根据“合作15天后，剩下的部分由乙工程队单独做”列方程解答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成所需费用，甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做，求出这种方案的费用，做比较解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程， 则， 解得， 答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程． （2）解：设共需y天才能完成此项工程， 则． 解得． 答：共需60天才能完成此项工程． （3）解：甲完成工程所需费用为（万元）， 乙完成工程所需费用为（万元）． 甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做， 由题意得． 解得． 所需费用为：万元． 答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元． 6．15km/h 【分析】根据教师与学生会合时，两者路程相等这一等量关系，设教师骑自行车的速度为未知数，结合速度、时间、路程的关系列一元一次方程求解． 【详解】解：设该教师骑自行车的速度为 ，则学生步行的速度为 学生从学校出发到与教师会合，总时间为，因此学生行走的路程为 教师骑自行车追赶的时间为，因此教师行走的路程为 由于教师与学生会合时，两者路程相等，故列方程： 答：该教师骑自行车的速度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用（行程问题），解题关键是找准教师与学生会合时路程相等这一等量关系，结合速度、时间、路程的关系列出方程． 7．两个城市间的铁路长公里． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设两个城市之间的铁路的长度为公里．乙车的速度为公里小时，则甲车的速度是公里小时，根据“甲、乙所行驶的路程之和总路程两车相距的距离”列出方程并解答． 【详解】解：设两个城市之间的铁路的长度为公里．则： ，解得． 答：两个城市间的铁路长公里． 8．40千米 【分析】本题考查列方程解应用题，解答此题的关键是：找出哥哥和弟弟相关的数量，再根据路程相等列出方程． 设哥哥行完全程需要小时，依据题意：弟弟在前一半路程每小时行4千米，后一半路程每小时行6千米，路程一定，速度与时间成反比，求出弟弟前后所用的时间，依据哥哥走的路程弟弟走的路程，列方程求出哥哥用的时间，再依据路程速度时间解答． 【详解】解：设哥哥从甲地到乙地需要小时， ， ， 20分钟小时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （千米）， 答：甲、乙两地相距40千米． 9．(1)小时； (2)小时或小时． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找等量关系，根据等量关系列方程． 设两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇，根据两车的路程和是千米，列方程求解即可； 两车相距千米分两种情况，一种情况是两车相遇前相距千米，此时两车的路程和是千米；一种情况是两车相遇后相距千米，此时两车的路程和是千米． 【详解】（1）解：设两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇， 根据题意可得：， 解得：， 答：两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇； （2）解：设两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相距千米， 情况一、两列火车相遇前，相距千米， 根据题意，可得：， 解方程得：； 情况二、两列火车相遇后，相距千米， 根据题意，可得：， 解方程得：； 答：两列火车同时开出，相向而行，小时或小时后两车相距千米． 10．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两车同时出发，行驶小时两车相距千米，说明甲车速度比乙车每小时快km/h，于是设甲车每小时行驶km/h，那么乙车每小时行驶，列方程即可； （2）设小时后相距km，考虑甲车休息分钟时，乙车行驶过程中未停留，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度为，则乙车的速度为． 根据题意，画出示意图如图． 根据示意图，得， 解得，则． 答：甲、乙两车的速度分别为． （2）解：设甲车在地结束休息后再行驶，甲、乙两车相距30km． ， 此时乙车还未追上甲车，所以根据题意，得， 解得． 答：甲车在地结束休息后再行驶0.5h，甲、乙两车相距30km． 11．参加春游的师生总人数为225人 【分析】设单租座客车辆，则参加春游的师生总人数为人，若单租座的客车，则师生人数为人，根据师生人数不变列方程求解即可． 【详解】解：设单租45座客车辆，则参加春游的师生总人数为． 根据题意，得， 解得， 则． 故参加春游的师生总人数为人． 12．该科研团队6月份存储的样本数量为25个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该科研团队6月份存储的样本数量为x个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：设该科研团队6月份存储的样本数量为x个， 依题意，得， 解得， 答：该科研团队6月份存储的样本数量为25个． 13．(1) (2)选旅行社便宜，原因见解析 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，通过分析题目可以知道，本题考查的是列方程解决实际问题． （）设当学生有人时，两家旅行社收费一样多，依据旅行社各自 的优惠策略，列出方程即可解出未知数． （）当带名学生时，分别算出两家旅行社的收费，进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 14．(1)， (2)30 (3)当去甲商店买球拍，去乙商店购买剩余的羽毛球时更优惠，所需费用为5440元 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的列出代数式和一元一次方程，是解题的关键： （1）根据两种优惠方案，列出代数式即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可； （3）去甲商店买球拍，去乙商店买羽毛球，求出费用即可． 【详解】（1）解：由题意，得：到甲商店购买，需付款（元） 到乙商店购买，需付款：（元） 故答案为：，； （2）由题意，得： 解得： 故当时，两种方案所需费用相等； （3）有；去甲商店买球拍，去乙商店买羽毛球 当时：方案一费用： 元 方案二费用为：元 当去甲商店买球拍，去乙商店买羽毛球时，所需费用为：元 答：当去甲商店买球拍，去乙商店购买剩余的羽毛球时更优惠，所需费用为5440元． 15．(1)120 (2)480元 (3)原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键； （1）需要根据方案A的规则计算实际付款； （2）要根据方案B的优惠方式建立方程来求解菜品原价； （3）需要分别表示出方案A和方案B的实际付款，然后根据两者的价格关系建立方程求解菜品原价，并比较哪种方案更实惠． 【详解】（1）解：若小明一家使用方案A买单， 因为，菜品原价为220元，每满100元才能使用1张代金券， ，其中20是余数， 所以可以使用2张代金券．每张代金券实付50元， 那么使用代金券花费元．菜品原价220元，使用2张100元代金券后，还需支付元． 所以实际付款为元． 故答案为：120． （2）解：若小芳一家使用方案B买单， 设优惠前菜品原价是x元．方案B是除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折， 那么实际付款为锅底50元加上打折后的菜品费用元，可列方程 ． 解得， 故优惠前菜品原价为480元． （3）设小红一家消费的菜品原价是y元 方案A的实际付款：当时，可使用1张或2张代金券， 若，使用1张代金券，实际付款为元， 若，使用2张代金券，实际付款为元， 当时，使用3张代金券，实际付款为元， 方案B的实际付款：当时， 根据方案A比方案B贵30元，可列方程， 解得，不满足，舍去， 当时， 列方程， 解得，不满足，舍去， 当时，列方程， 解得元， 比较哪种方案更实惠： 方案A实际付款：元， 方案B实际付款：元， 综上，原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元． 16． 【分析】本题考查认识立体图形，掌握圆柱体体积的计算方法是正确解答的关键．据立体图形的体积的计算方法列方程求解即可． 【详解】解：设容器的水面高度为，则容器中水面的高度为， 由题意得， 解得， 答：容器的水面高度． 17．平方厘米． 【分析】本题考查了重叠问题的应用，一元一次方程的应用，设重叠部分为单位，则，，则有，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设重叠部分为单位，则，， ∴，， 解得：， 答：重叠部分的面积为平方厘米． 18．长方形的面积为572 【分析】本题主要考查整式的运算及一元一次方程的应用，关键是设出未知数表示出正方形的边长即可．设第四个大正方形的边长为x，然后依次把其他正方形的边长表示出来，列方程求解即可． 【详解】解：∵，故最小的正方形的边长为2； ∴设第四个大正方形的边长为x（如图所示）． ∴， 解得：， ∴， ∴长方形的面积：． 19．(1)总长度分别为126厘米和34厘米 (2)总长度为厘米 (3)则应分给小明43张白纸条，才能使小明和小慧按各自要求粘合起来的长方形面积相等 【分析】本题考查了列代数式解决实际问题及一元一次方程的应用，解题的关键是明确“张纸条粘合时，重叠部分有个”，再根据甲、乙两种粘合方式的不变量（甲保持宽不变、乙保持长不变）分别计算总长度，最后结合面积相等关系列方程求解． （1）图甲：5张纸条总长度为，减去个粘合部分（每个），即；图乙：5张纸条总宽度为，减去个粘合部分（每个），即； （2）张纸条按甲粘合，总长度为，化简代数式； （3）设分给小明张，则小慧得张，分别表示甲、乙粘合后的长方形面积，根据面积相等列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：图甲粘合后总长度：， 图乙粘合后总长度：， 答：5张白纸条按图甲、图乙粘合后总长度分别为126厘米、34厘米． （2）解：张白纸条按甲粘合后总长度：， 答：用张白纸条按甲粘合后，总长度为厘米． （3）解：设分给小明张白纸条，则分给小慧张白纸条． 小明粘合后长方形面积：， 小慧粘合后总长度： 小慧粘合后长方形面积：， 由面积相等得：， 两边除以10：， 展开右边：， 移项：， 合并同类项：， 解得：． 答：应分给小明43张长方形白纸条． 20．(1)13；16 (2)当时，点M与点N在点P处相遇，P点表示的数为8 (3)存在，或 【分析】（1）根据A，C，D表示的数，求出C和E表示数，根据折叠之后相邻两点间距离不变，求出，，，，的长，再跟速度、时间、路程的关系求解M的运动时间；先确定N是否掉头，在根据时间确定N点停止的位置，即可求出N点所代表的数； （2）根据M到达B点时，N点的位置，可以得出相遇点的位置，再根据相遇问题求解相遇时间，进而可确定P所代表的数； （3）根据运动时间分类讨论，用t表示出M、B两点的距离是N、C两点距离，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵B是的中点，C表示的数是12， ∴B表示的数是6， ∵将点D向右移动4个单位长度得点E， ∴， ∴， ∴M从A到D所用时间为： （秒）， ∵N从E到B所用时间为： （秒）， ∴N已经从B点掉头， ∵N从B到C所用时间为：（秒）， 从C到D所用时间为：（秒）， ， ∴停止时，N在上， 此时，N距离C的距离为：， ∴N表示的数为：， 故答案为：13，16； （2）解：∵， ∴当M到B时，N在上且距离C点两个单位长度， ∴P点在上， ∴从M到达B点，到M，N相遇所用时间为： （秒）， ∴相遇总时间为：（秒）， ， ∴P点表示的数为：； （3）解：存在， 当时，，， 令，即， 解得：，不符合题意； 当时，，， 令，即， 解得：，符合题意； 当时，，， 令，即， 解得：，符合题意； 当时，，， 令，即， 解得：，不符合题意； 当时，，， 令，即， 解得：，不符合题意； 当时，，， 令，即， 解得：，不符合题意； 当时，，， 令，即， 解得：，不符合题意； 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $