专题11 百分数02-六年级同步奥数专项提升

该小学数学讲义以“课本为基、竞赛延伸”构建百分数（二）知识体系，通过知识框架图梳理百分率、利润、浓度三大核心模块，用表格呈现关键公式如“浓度=溶质÷(溶质+溶剂)”，清晰标注重难点及内在联系。 讲义亮点在于“范例-提升-测试”三阶练习设计，经典例题如“工程型行程问题”引导用单位“1”建模，培养抽象能力与推理意识。综合测试含15道分层题，基础题巩固公式应用，拓展题提升思维，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题11：百分数（二） --六年级同步奥数专项提升 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ 百分数也叫做百分率或百分比。包含有百分数、百分率、利润、浓度等问题。 1.百分率问题（出勤率、发芽率、合格率，折扣等问题） 甲数是乙数的百分之几? 方法：甲÷乙×100% 甲数比乙数多（少）百分之几? 方法：多（或少）的量÷单位1的量（乙数）×10% 2.利润问题（弄清楚成本，定价，售价，利润及利润率之间的关系） 利润率=(售价-成本)÷成本 售价=成本×(1+利润率), 成本=售价÷(1+利润率) 定价=成本×(1+期望的利润率) 3.浓度问题（包含盐水、糖水、药水等问题） 浓度=溶质÷(溶质+溶剂) 糖（盐）÷糖水（盐水）×100%=含糖（盐）率 【寻找量与率的对应关系】 【经典例题】大客车和小轿车两辆汽车分别从两个城市同时相对开出,大客车每小时行两个城市之间距离的,小轿车每小时行100千米,经过1小时两车相遇。两个城市之间相距多少千米? 【思路点拨】由题意,相遇时大客车行了全程的×1=,则小轿车行了全程的1-= ,即 100×1= (千米),所以 100×1÷(1-×1 ) =400÷ =240(千米). 答:两个城市之间相距 240千米。 1. A、B两辆摩托车分别从甲、乙两地同时相对开出,A摩托车每小时行甲、乙两地距离的,B摩托车每小时行36千米,经过2小时两辆摩托车相遇那么,甲、乙两地之间相距多少千米? 2. 客车、小货车分别从 A、B两地同时相向开出,客车每小时行72千米,小货车每小时行A、B两地距离的，经过3小时相遇,小货车每小时行多少千米? 3.筑路队修一条路,第一天修了全长的多60米,第二天修的长度比第一天的多35米,还剩100米没有修.这条路全长多少米? 【建立量与量之间的分率关系】 【经典例题】灵灵、婷婷、颖颖三人以均匀速度进行百米赛跑,当灵灵到达终点时,婷婷距离终点还有10米,颖颖距离终点还有20米,那么,当婷婷到达终点时,颖颖距终点还有多少米? 【思路点拨】由题意可以知道,在相同的时间内灵灵跑了100米,婷婷跑了 100-10=90(米),颖颖跑了100-20=80(米)。 颖颖的速度相当于婷婷的,当婷婷跑完了100 米时颖颖能跑100×= (米)。 所以,当婷婷到达终点时,颖颖距终点还有100-= (米)。 答:颖颖距终点还有米。 1. 甲、乙、丙三人以均匀速度进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙距离终点还有15 米，丙距离终点还有32米，那么，当乙到达终点时，丙距终点还有多少米? 2.A、B、C三人以均匀速度进行百米赛跑，当A到达终点时，B距离终点还有20米，C距离终点还有28米。那么，当B到达终点时，C距终点还有多少米? 3.快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出，快车每小车行33千米，相遇时行了全程的，已知慢车行完全程需要8小时，则甲、乙两地相距多少千米? 【工程型行程问题】 【经典例题】在南京和上海之间自己开车的话,陈叔叔需要3.5小时,李伯伯需要4小时。今天,他们分别从上海和南京同时出发,相向而行,行了2个小时,两车相距26千米,南京和上海之间相距多少千米? 【思路点拨】我们把两个城市间的路程看作单位“1”,陈叔叔每小时行全程的1÷3.5=,李伯伯每小时行全程的,两车同时行2小时行了(+)×2=,超过了全程,这时,两车相距全程的-1=,而这段距离是 26 千米。 因此，26÷[(+)×2-1] =26÷(-1) =364(千米) 答:南京和上海之间相距364千米。 1.甲车从A城到B城需6小时,乙车从B城到A城需8小时,如果甲、Z两车分别从 A、B两城同时出发,相向而行,那么,行了4小时,两车相距 48千米.求 A、B 两地的距离。 2.客车、轿车分别从甲、乙两地同时相向开出,客车每小时行80千米,轿车每小时行甲、乙两地距离的,经过5小时相遇,轿车每小时行多少千米? 3.甲、乙两辆汽车同时从 A、B两城相向而行,2小时后相遇。相遇时,甲车行了全程的,比乙车多行40千米,A、B两城相距多少千米? 【行程问题中量与率】 【经典例题】卡车和客车同时从A、B两地出发,5小时后客车到达中点,卡车离中点还有60千米,已知卡车的速度是客车的。那么，A、B两地间的距离是多少千米? 【思路点拨】因为“卡车的速度是客车的”,我们可以知道卡车5小时行的路程相当于客车5小时所行路程的。把全程的一半(即到中点的距离)看作单位“1”,由于“5 小时后客车到达中点,卡车离中点还有60千米”,因此,离中点60千米的距离也就是单位“1”的，所以， 客车5小时行到中点时所跑的路程是60÷(1-)=180(千米) A、B两地间的距离是 180×2=360(千米)。 1. 客货两车分别从甲、乙两地同时开出,相向面行,客车每小时行 30千米,货车每小时行36千米,当客车行了甲、乙两地距离的时,货车离两地的中点还有6千米的距离。甲、乙两地相距多少千米? 2.甲车和乙车同时从A、B两地出发,3小时后甲车到达中点,乙车离中点还有50千米,已知乙车的速度是甲车的。求A、B两地间的距离。 3.一辆汽车从甲地开往乙地,若车速提高20%,可提前25分钟到达；若以原速行驶100千米,再将车速提高25%,可提前10分钟到达。求甲、乙两地的距离。 【行程问题中的比的应用】 【经典例题】客车从甲地开往乙地,货车同时从乙地开往甲地.客车行到全程的地方与货车相遇。如果客车每小时行90千米,货车7小时可行完全程,那么,甲、乙两地相距多少千米? 【思路点拨】因为客车和货车同时出发,相遇时,客车行了全程的,所以,货车行了全程的1-=,货车行驶的路程是客车的÷=,也就是说货车的速度是客车的,即货车速度是90×=75(千米/时)。所以 90×[（1-)÷]×7 =9××7 =525(千米) 答:甲、乙两地相距525 千米。 1. 电瓶车和摩托车分别从甲、乙两镇同时相对开出。电瓶车每小时行15千米,摩托车1小时才能到达甲镇,摩托车行了全程的时与电瓶车相遇。甲、乙两镇相距多少千米? 2. 汽车和摩托车分别从A、B两地同时出发,相向而行.汽车每小时行60千米,摩托车要5小时才能到达A地,摩托车行了全程的时与汽车相遇。求A.B两地距离。 3.幸福修路队修一条公路,已经修了全长的,正好比没修的少1250米,这条公路长多少米? 【行程问题中的分数关系】 【经典例题】两条毛毛虫同时从两地出发,1号虫爬完全程的时与2号虫相遇,2号虫继续以每分钟18厘米的速度前进,用4分钟爬完余下的路程。那么,1号虫每分钟爬多少厘米? 【思路点拨】根据题目的意思,我们可以知道2号虫与1号虫相遇之后4分钟爬的路程就是相遇前1号虫爬的路程,也就是全程的,可以求出2号虫爬完全程的时间是4÷=7(分钟),那么,从开始爬行到相遇时所用的时间是7-4=3(分钟),1号虫在3分钟内爬的路程是18×4=72(厘米)，从而求出1号虫的每分钟所爬的距离： 18×4÷(4÷-4) =72÷3 =24(厘米), 答:1号虫每分钟爬 24厘米。 1. 小王和小张两人同时从两地出发,小王走完全程的时与小张相遇,小张继续以每分钟40米的速度向前走,用6分钟走完余下的路程,小王的速度是多少? 2.客车和货车同时从两地出发,客车跑完全程的时与货车相遇,货车继续以每小时40千米的速度前进,用3小时跑完余下的路程,求客车的速度. 3.甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发,相向而行,甲、乙两人的速度比是4:5,相遇后,如果甲的速度降低25%,乙的速度提高20%,然后继续沿原方向行驶,当乙到达A地时,甲距离B地30千米。那么A、B两地相距多少千米? 【一般型工程问题】 【经典例题】市政公司修一条公路,甲队单独修需要15天完成,乙队单独修需要12天完成.如果两队合作,需要多少天才能修完? 【思路点拨】根据题意,甲队每天修,乙队每天修,因此,甲、乙两队的效率和是+=,所以1÷(+)= (天) 答:需要天才能修完。 1.筑路队修一条公路,一队单独修需要10天完成,二队单独修需要15天完成。如果两队合作,需要多少天才能修完? 2.两列火车同时从甲、乙两地相对开出,快车行完全程要4小时,慢车行完全程要6小时。那么,两车经过多少小时可以相遇? 3.打一份稿件,小王需30分钟,小李需20分钟,如果两个人合作,一起打字需多少分钟? 【两两合作型工程问题】 【经典例题】甲、乙、丙三个工程队合挖一条沟渠,甲、乙两队合挖5天可以完成,乙、丙队合挖2天可以完成，甲、丙两队合挖5天可以完成。那么,甲、乙两三队单独挖各需多少天才能完成任务? 【思路点拨】根据题目的意思,我们可以发现:甲、乙两队的工作效率和是÷5=;同理,乙、丙两队的工作效率和是;甲、丙两队的工作效率和是,因此,可以先求出三队的效率和是(++)÷2=，甲单独挖需要1-(-)=24(天);乙单独挖需要1÷(-)=40(天);丙单独挖需要1÷(-)=17 (天)。 答:甲队、乙队和丙队单独挖分别需24天、40天和17天才能完成。 1. 甲、乙、丙三个工程队给一个防洪大堤做加固,甲、乙两队合作6天可以完成,乙、丙两队合作8天可以完成,甲、丙两队合作12天可以完成。那么，三队合作几天后还剩下任务的? 2.一项工程,甲、乙合作需要6天完成,乙、丙合作需要8天完成,甲、丙合作需要 12天完成。现在,甲、乙、丙三个人合作需要多少天完成? 3.有一个温泉游泳池,池底有泉水不断涌出,要想抽干满池的水,10台抽水机需工作8小时或9台抽水机需工作9小时,为了保证游泳池水位不变(池水既不减少,也不增多),则向外抽水的抽水机需多少台? 【合作后再独做型工程问题】 【经典例题】甲、乙两个工程队挖一条水渠,甲队单独挖要10天完成,乙队单独挖要15天完成。现在两队同时挖了几天后,乙队调走,余下的甲队在4天内挖完.乙队挖了多少天? 【思路点拨】我们把水渠的全长看作单位“1”,“甲队单独挖要10天完成”就是说甲每天完成工作的,“乙队单独挖要15天完成”就是说乙每天完成工作的。从单位“1”中减去甲队4天挖的工作量,剩下的就是甲、乙两队同时挖的工作量.用剩下的工作总量除以甲、乙两队的工作效率之和等于甲、乙两队合挖用的天数,也就是乙队挖的天数. (1-×4)÷(+) = ÷ = (天) 答:乙队挖了天。 1.一池水,单开甲管需要12小时注满,单开乙管需要15小时注满,甲管单独开3小时,剩下的由甲、乙两管同时开,还需要几小时才能注满? 2. 一项工程,甲队单独做24 天可以完成,现在乙队先做7天,剩下的工作由甲队单独做12天可以完成。那么,如果全部由乙队单独做,需要多少天完成任务? 3.一项工作,甲、乙两队合作9天完成,乙、丙两队合作 12天完成,甲、丙两队合作18天完成。现在三队合作需多少天完成? 【抽调型工程问题】 【经典例题】一项工程,甲队单独做10天可以完成,乙队单独做12天可以完成,丙队单独做15天可以完成。现在甲、乙、丙合作一段时间后,甲队被抽调去做别的事,共花了6天时间完成这项工程任务,甲队做了多少天? 【思路点拨】我们知道,由于乙和丙都做了6天,因此,他们两队共完成了(+)×6=的工作量,剩下“”的工作量是甲队完成的,从而可以求出甲队的工作时间. [1-(+)×6]÷ =÷ =1（天) 答:甲队只做了1天。 1. 一项工程,甲队单独做20天可以完成,乙队单独做25天可以完成现在乙队先单独做了15天,然后再由甲队单独做,还需要多少天才能完成任务? 2.一项工程,甲队单独做10天可以完成,乙队单独做15天可以完成丙队单独做20天可以完成。现在三队合作,甲队因工作需要中途调走结果共花了6天完成任务。那么,甲队做了多少天? 3.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,3小时后相遇,甲掉头返回A地,乙继续前行，甲到达A地后掉头往B行驶,半小时后和乙相遇。那么乙从A到B共需多少分钟? 共15题 满分100分 测试时间：90分钟 一、解决问题。 1. 折叠一批纸鹤,甲同学单独折叠需要半小时,乙同学单独折叠需要 45 分钟,则甲、乙两同学共同折叠需要多少分钟? 2.某城市举行环城自行车比赛,已知环城一周是8千米,比赛开始40分钟后,速度最快的人追上了速度最慢的人,已知速度最慢的人的速度是速度最快的人的号.求速度最快的人的速度。 3.甲、乙两车的速度比是7:5.两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,0.5小时相遇.如果同向而行,甲车追上乙车需要多少小时? 4.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,甲、乙两车的速度比是5:3,两车相遇后继续以原速前进,各自到达目的地后又立即返回,在途中第二次相遇.已知第一次相遇地点与第二次相遇地点相距56千米,A、B两地相距多少千米? 5.客车和货车同时从A、B两地相对开出,客车每小时行驶50千米,货车的速度是客车速度的,相遇后客车继续行 3.2小时到达B地,A、B两地相距多少千米? 6.甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发,相对而行,甲每分钟走 90米,乙每分钟走 A、B两地之间距离的,经过8分钟相遇,求乙的速度 7.客车和货车分别从甲、乙两站同时出发,相向而行,客车每小时行 35 千米,货车行12小时才能到达甲站.客车行了全程的与货车相遇,求甲、乙两站的距离。 8.有一个水池装有两根出水管和一根进水管,单开一根出水管40分钟可放光一池水;单开一根进水管30分钟可注满一池水,现在有一满池水需放掉,由于工作人员疏忽,把三根水管全打开了,那么,放光这池水花了多少分钟? 9.某校用维修专款更换一批课桌椅,这些专款若只买课桌恰好可以买240张;若只买课椅恰好可以买400把,那么,用这批专款可以买多少套课桌椅?(一张桌子一把椅子) 10.老刘和小李合做一件工作,要12天完成,如果让老刘先做8天,剩下的工作由小李单独做,还要14天才能做完。小李单独做这件工作需几天完成? 11.师徒二人合作生产一批零件,6天可以完成任务,师傅先做了5天后,因事外出,由徒弟接着做3天,共完成任务的。那么,师傅单独做这批零件需多少天? 12.甲、乙两人分别从相距10 千米的 A、B两地出发,相向而行,若同时出发,他们将在距A、B中点1千米处相遇,若甲晚出发5分钟,则他们将在 A、B中点处相遇,此时甲行多少分钟? 13.甲、乙两车从A、B两个城市相对开出,已知甲车的速度是乙车的,甲车先从A城开出55千米后,乙车从B城出发,两车相遇时,甲车比乙车多行驶30千米,A、B两城之间相距多少千米? 14.甲、乙两人骑自行车同时从A地出发去B地,甲的车速是乙的车速的1.2倍。乙骑了5千米后,自行车出现故障,耽误的时间可以骑全程的,排除故障后,乙的速度提高了60%,结果甲、乙同时到达 B地,那么 A、B两地之间的距离为多少千米? 15.一件工程,按甲、乙、丙各一天的顺序循环工作,恰需要整数天工作完毕,如果按丙、甲、乙各一天的顺序循环工作,比原计划晚0.5天工作完毕。如果按乙、丙、甲各一天的顺序循环工作,比原计划晚1天工作完毕。乙单独完成这件工程需要30天,甲、乙、丙三人同时做,需要多少天完成? 【巩固提升】参考答案 1. A、B两辆摩托车分别从甲、乙两地同时相对开出,A摩托车每小时行甲、乙两地距离的,B摩托车每小时行36千米,经过2小时两辆摩托车相遇那么,甲、乙两地之间相距多少千米? 解：相遇时A车行了全程的×2=,B车行了全程的1-=,即36×2=72(千米) 所以,全程为72÷=216(千米)。 2. 客车、小货车分别从 A、B两地同时相向开出,客车每小时行72千米,小货车每小时行A、B两地距离的，经过3小时相遇,小货车每小时行多少千米? 解：先求出两地距离,再求小货车的速度,72×3÷(1-×3)=378(千米),378×=54(千米)。 所以,小货车每小时行54千米。 3.筑路队修一条路,第一天修了全长的多60米,第二天修的长度比第一天的多35米,还剩100米没有修.这条路全长多少米? 解：(60+60×+35+100)÷(1--×) =240÷ =800(米), 所以,这条路全长800米。 1. 甲、乙、丙三人以均匀速度进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙距离终点还有15 米，丙距离终点还有32米，那么，当乙到达终点时，丙距终点还有多少米? 解：100-15=85(米),100-32=68(米),100-100×=20(米) 所以,当乙到达终点时丙距终点还有 20米。 2.A、B、C三人以均匀速度进行百米赛跑，当A到达终点时，B距离终点还有20米，C距离终点还有28米。那么，当B到达终点时，C距终点还有多少米? 解：100-20=80(米),100-28=72(米),100-100×=10(米) 所以,当B到达终点时C距终点还有10米。 3.快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出，快车每小车行33千米，相遇时行了全程的，已知慢车行完全程需要8小时，则甲、乙两地相距多少千米? 解：相遇时慢车行了全程的1-=,因此,快、慢两车行驶的路程比为：=4:3,即快、慢两车的速度比为4:3。那么,慢车的速度为33×=(千米), ×8=198(千米) 所以,甲、乙两地相距198千米。 1.甲车从A城到B城需6小时,乙车从B城到A城需8小时,如果甲、Z两车分别从 A、B两城同时出发,相向而行,那么,行了4小时,两车相距 48千米.求 A、B 两地的距离。 解：48÷[(+)×4-1] =48÷(1一1) =48÷ =288(千米) 所以,A、B两地相距288千米。 2.客车、轿车分别从甲、乙两地同时相向开出,客车每小时行80千米,轿车每小时行甲、乙两地距离的,经过5小时相遇,轿车每小时行多少千米? 解：80×5÷(1-×5)×=100(千米) 所以,轿车每小时行 100 千米。 3.甲、乙两辆汽车同时从 A、B两城相向而行,2小时后相遇。相遇时,甲车行了全程的,比乙车多行40千米,A、B两城相距多少千米? 解：40÷（-）=360（千米） 所以，A、B两城相距360千米。 1. 客货两车分别从甲、乙两地同时开出,相向面行,客车每小时行 30千米,货车每小时行36千米,当客车行了甲、乙两地距离的时,货车离两地的中点还有6千米的距离,甲、乙两地相距多少千米? 解：货车速度是客车的36÷30=,当客车走了甲、乙两地距离的时,货车走了甲、乙两地距离的×=,离中点还差-= 因此,甲、乙两地相距6÷=120(干米)。 2.甲车和乙车同时从A、B两地出发,3小时后甲车到达中点,乙车离中点还有50千米,已知乙车的速度是甲车的。求A、B两地间的距离。 解：从“乙车的速度是甲车的”可以知道乙车3小时行的路程也相当于甲车3小时所行路程的，,由于“3小时后甲车到达中点,乙车离中点还有 50千米”,所以,甲车3小时行的路程是50÷(1-)=200(千米),全程是200×2=400(千米) 所以,A、B两站间的距离是400千米。 3.一辆汽车从甲地开往乙地,若车速提高20%,可提前25分钟到达；若以原速行驶100千米,再将车速提高25%,可提前10分钟到达,求甲乙两地的距离。 解：车速提高 20%,也就是变成原来的,则所需时间变成原来的,即减少25分钟,因此原定时间为25×6=150(分钟);车速提高25%,也就是变成原来的,则所需时间变成来的,减少10分钟,则行驶这段路程的原定时间为10×5=50(分钟)， 所以,原速行驶100千米需要150-50=100(分钟) 甲、乙两地距离为150÷100×100=150(千米)。 1. 电瓶车和摩托车分别从甲、乙两镇同时相对开出.电瓶车每小时行15千米,摩托车1小时才能到达甲镇,摩托车行了全程的时与电瓶车相遇。甲、乙两镇相距多少千米? 解：15×[÷(1-)]×1=45(千米) 所以,甲、乙两镇相距 45千米。 2. 汽车和摩托车分别从A、B两地同时出发,相向而行.汽车每小时行60千米,摩托车要5小时才能到达A地,摩托车行了全程的时与汽车相遇。求A.B两地距离。 解：60×[÷(1-)]×1=200(千米) 所以,甲、乙两镇相距200千米。 3.幸福修路队修一条公路,已经修了全长的,正好比没修的少1250米,这条公路长多少米? 解：1250÷（1--）=6250（千米） 所以，这条公路长6250米。 1. 小王和小张两人同时从两地出发,小王走完全程的时与小张相遇,小张继续以每分钟40米的速度向前走,用6分钟走完余下的路程,小王的速度是多少? 解：40×6÷(6÷-6)=30(米) 所以,小王的速度是每分钟走 30 米 2.客车和货车同时从两地出发,客车跑完全程的时与货车相遇,货车继续以每小时40千米的速度前进,用3小时跑完余下的路程,求客车的速度. 解：货车后3小时行的路程就是相遇前客车行的路程,即全程的,用3÷=5(小时)求出货车行全程的时间,相遇时间就是5-3=2(小时),客车在2小时内行的路程是40×3=120(千米),从而求出客车速度,40×3÷(3÷-3)=120÷2=60(千米/时)。 3.甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发,相向而行,甲、乙两人的速度比是4:5,相遇后,如果甲的速度降低25%,乙的速度提高20%,然后继续沿原方向行驶,当乙到达A地时,甲距离B地30千米.那么A、B两地相距多少千米? 解：设全程为“1”.相遇时甲走全程的=。,乙走全程的。 相遇后甲、乙速度比:4×(1-25%):5×(1+20%)=1:2。 当乙到达A地时,又走了全程的1- = ,此时甲又走了全程的× = 所以,A、B两地相距 30÷(1- - )=90(千米) 1.筑路队修一条公路,一队单独修需要10天完成,二队单独修需要15天完成。如果两队合作,需要多少天才能修完? 解：1÷（+）=6（天） 所以，需要6天才能修完。 2.两列火车同时从甲、乙两地相对开出,快车行完全程要4小时,慢车行完全程要6小时。那么,两车经过多少小时可以相遇? 解：1÷（+）=2.4（小时） 所以，两车经过2.4小时可以相遇。 3.打一份稿件,小王需30分钟,小李需20分钟,如果两个人合作,一起打字需多少分钟? 解：1÷（+）=12（分钟） 所以，一起打字需要12分钟。 1. 甲、乙、丙三个工程队给一个防洪大堤做加固,甲、乙两队合作6天可以完成,乙、丙两队合作8天可以完成,甲、丙两队合作12天可以完成那么，三队合作几天后还剩下任务的? 解：(++)÷2 =× = (1-)÷=(天) 所以,三队合作4天还剩下任务的。 2.一项工程,甲、乙合作需要6天完成,乙、丙合作需要8天完成,甲、丙合作需要 12天完成,现在,甲、乙、丙三个人合作需要多少天完成? 解：1÷[(++)÷2] =1÷ = (天) 所以,甲、乙、丙三个人合作需要天完成。 3.有一个温泉游泳池,池底有泉水不断涌出,要想抽干满池的水,10台抽水机需工作8小时或9台抽水机需工作9小时,为了保证游泳池水位不变(池水既不减少,也不增多),则向外抽水的抽水机需多少台? 解：设每台抽水机每小时抽水“1”份,那么10台抽水机工作8小时可抽水 1×10×8=80(份) 9台抽水机工作9小时可抽水1×9×9=81(份),可见,抽9小时比抽8小时需多抽1份水,这1份水是9-8=1(小时)池底涌出的泉水 所以,需要1台抽水机不停地抽水就能保证池底的水位不变。 1.一池水,单开甲管需要12小时注满,单开乙管需要15小时注满,甲管单独开3小时,剩下的由甲、乙两管同时开,还需要几小时才能注满? 解：(1- ×3)÷(+) =÷ =5(小时) 所以,还需要5小时才能注满。 2. 一项工程,甲队单独做24 天可以完成,现在乙队先做7天,剩下的工作由甲队单独做12天可以完成。那么,如果全部由乙队单独做,需要多少天完成任务? 解：12÷24=，÷7=,1÷=14(天) 所以,需要 14天完成任务。 3.一项工作,甲、乙两队合作9天完成,乙、丙两队合作 12天完成,甲、丙两队合作18天完成,现在三队合作需多少天完成? 解：1÷[(++)÷2]=8(天) 所以,现在三队合作需8天完成。 1. 一项工程,甲队单独做20天可以完成,乙队单独做25 天可以完成现在乙队先单独做了15天,然后再由甲队单独做,还需要多少天才能完成任务? 解：把这项工程总工作量看作“1”,则甲队的工作效率是,乙队的工作效率是。乙队单独做15天完成×15=的工作量,剩下1-=的工作量由甲队单独完成。 ÷=8(天) 所以,剩下的工作由甲队单独完成还需8天。 2.一项工程,甲队单独做10天可以完成,乙队单独做15天可以完成丙队单独做20天可以完成.现在三队合作,甲队因工作需要中途调走结果共花了6天完成任务.那么,甲队做了多少天? 解：[1-(+)×6]÷ =(1-)÷ =3(天) 所以,甲队做了3天。 3.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,3小时后相遇,甲掉头返回A地,乙继续前行，甲到达A地后掉头往B行驶,半小时后和乙相遇。那么乙从A到B共需多少分钟? 解：相遇后,甲还需要3小时返回甲地,第二次相遇时,甲距离相遇点的路程等于甲2.5小时行的路程,乙用了3.5小时走这些路程,所以,甲、乙速度比为：=7:5。甲、乙相遇需要3小时,乙走了全程的 =,那么,乙单独从A到B需要3÷=7.2(小时)， 7.2小时=432分钟。 【经典测试】参考答案 共15题 满分100分 测试时间：90分钟 一、解决问题。 1.折叠一批纸鹤,甲同学单独折叠需要半小时,乙同学单独折叠需要45分钟,则甲、乙两同学共同折叠需要多少分钟? 解：运用工程问题的思想方法进行考虑,将这批折纸鹤任务看作单位“1”,甲同学每分钟可以折,乙同学每分钟可以折。因此,1÷(+)=18(分钟)。 所以,甲、乙两同学共同折叠需要18分钟。 2.某城市举行环城自行车比赛,已知环城一周是8千米,比赛开始40分钟后,速度最快的人追上了速度最慢的人,已知速度最慢的人的速度是速度最快的人的号.求速度最快的人的速度。 解：可以知道速度最快的人追上速度最慢的人时,速度最快的人比速度最慢的人正好多行了一圈,即速度最快的人40分钟比速度最慢的人多行了8千米,因此,可以求出两人的速度差,速度差解决,问题就解决了,8÷=12(千米),12÷(7-5)×7=42(千米)。 3.甲、乙两车的速度比是7:5.两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,0.5小时相遇.如果同向而行,甲车追上乙车需要多少小时? 解：因为两车的速度比是7:5,到相遇时,两车所行的路程和是(7+5)×0.5=6,即两地相距6份的距离,所以,6÷(7-5)=3(小时)，需要3个小时。 4.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,甲、乙两车的速度比是5:3,两车相遇后继续以原速前进,各自到达目的地后又立即返回,在途中第二次相遇.已知第一次相遇地点与第二次相遇地点相距56千米,A、B两地相距多少千米? 解：A、B两地全程有5+3=8(份),8×2-5×3=1(份),56÷(5-1)=14(千米)，14×8=112(千米) 所以,A、B两地相距 112千米。 5.客车和货车同时从A、B两地相对开出,客车每小时行驶50千米,货车的速度是客车速度的,相遇后客车继续行 3.2小时到达B地,A、B两地相距多少千米? 解：从题意可知,要求 A、B两地相距多少千米,先要求出客、货两车合行全程所需的时间.客车3.2小时行驶了50×3.2=160(千米),货车行160千米所需时间为160÷(50×)=4(小时),A、B两地相距(50+50×)×4=90×4=360(千米)。 6.甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发,相对而行,甲每分钟走 90米,乙每分钟走 A、B两地之间距离的,经过8分钟相遇,求乙的速度 解：×8=,90×8=720(米),720÷(1-)=1200(米),1200÷8-90=60(米) 所以、乙的速度是每分钟60米。 7.客车和货车分别从甲、乙两站同时出发,相向而行,客车每小时行 35 千米,货车行12小时才能到达甲站。客车行了全程的与货车相遇,求甲、乙两站的距离。 解：(1- )÷= ,35× =25(千米),25×12=300(千米) 所以,甲,乙两站的距离是300千米。 8.有一个水池装有两根出水管和一根进水管,单开一根出水管40分钟可放光一池水;单开一根进水管30分钟可注满一池水,现在有一满池水需放掉,由于工作人员疏忽,把三根水管全打开了,那么,放光这池水花了多少分钟? 解：1-(-)=60(分)，所以,放光这池水花了60分钟。 9.某校用维修专款更换一批课桌椅,这些专款若只买课桌恰好可以买240张;若只买课椅恰好可以买400把,那么,用这批专款可以买多少套课桌椅?(一张桌子一把椅子) 解：1÷(+)=150(套) 所以,用这批专款可以买150套课来椅。 10.老刘和小李合做一件工作,要12天完成,如果让老刘先做8天,剩下的工作由小李单独做,还要14天才能做完。小李单独做这件工作需几天完成? 解：1÷[(1-×8)÷(14-8)]=18(天) 所以,小李单独做这件工作需18天完成。 11.师徒二人合作生产一批零件,6天可以完成任务,师傅先做了5天后,因事外出,由徒弟接着做3天,共完成任务的。那么,师傅单独做这批零件需多少天? 解：.1÷[(-×3)÷2]=10(天) 所以,师傅单独做这批零件需 10天。 12.甲、乙两人分别从相距10 千米的 A、B两地出发,相向而行,若同时出发,他们将在距A、B中点1千米处相遇,若甲晚出发5分钟,则他们将在 A、B中点处相遇,此时甲行多少分钟? 解：根据题意,可知甲比乙快,因此,两人在距离中点1千米处相遇时,甲行了6千米,乙行了4千米,两人的速度比为6:4=3:2.现在,他们在中点处相遇,所需时间的比为2:3,所以,甲行了5÷(3-2)×2=10(分钟)。 13.甲、乙两车从A、B两个城市相对开出,已知甲车的速度是乙车的,甲车先从A城开出55千米后,乙车从B城出发,两车相遇时,甲车比乙车多行驶30千米,A、B两城之间相距多少千米? 解：从乙车开出时开始,甲、乙两车行驶的时间相同,由于“甲车的速度是乙车的”,因此甲、乙行走的路程比为5:6,也就是说甲、乙同时走的这段时间内,乙比甲多走6-5=1(份),这段路一共有5+6=11(份)。 而甲车先从A城开出55千米,相遇时比乙车多行30千米,说明甲、乙同时走的这段时间内,乙比甲多走25千米,即25千米就是1份,甲、乙同时走的这段路长25×11=275(千米)，275+55=330(千米) 所以，A、B两城之间相距330千米。 14.甲、乙两人骑自行车同时从A地出发去B地,甲的车速是乙的车速的1.2倍。乙骑了5千米后,自行车出现故障,耽误的时间可以骑全程的,排除故障后,乙的速度提高了60%,结果甲、乙同时到达 B地,那么 A、B两地之间的距离为多少千米? 解：甲、乙的车速比是1.2:1=6:5.所以所用时间比为5:6,不妨设甲用时5t,则乙原定时间为6t。 乙车因故障耽误的时间为×6t=t，而最后全程用时5t,所以故障排除后,乙的提速使它节省了2t的时间,提速后的速度与原速度比为1.6:1=8:5，则时间比为5:8,节省了3份的时间,每份为t，所以这段路原计划用时t×8=t,开始的5千米原计划用时是6t-t=t。 所以A，B之间的距高为5×(6t÷t)=45(千米)。 15.一件工程,按甲、乙、丙各一天的顺序循环工作,恰需要整数天工作完毕,如果按丙、甲、乙各一天的顺序循环工作,比原计划晚0.5天工作完毕。如果按乙、丙、甲各一天的顺序循环工作,比原计划晚1天工作完毕。乙单独完成这件工程需要30天,甲、乙、丙三人同时做,需要多少天完成? 解：按甲、乙、丙各一天的循环工作,所需天数一定不是3的倍数,否则按其他的顺序循环工作,所需天数应该和原计划一样,同理,按乙,内、甲各一天的序循环工作,所需天数也是整数天,也不是3的倍数。所以,原计划所需天数为(3k+1)天(k为整数)。 设甲、乙、丙的工作效率分别是x、y、z。 对比按丙、甲,乙各一天的顺序循环工作与原计划的工作,有x=z+0.5z.对比按乙、丙、甲各一天的顺序循环工作与原计划的工作,有x=y+z。 解得 x:y:z=2:1:1,y=,则x=,z=。 所以,甲、乙、丙三人同时做,需要1÷(++)=1÷=7.5(天)完成。 14 学科网（北京）股份有限公司 $