14.2 三角形全等的判定 同步练习 （课件）-2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形全等的判定，系统覆盖SAS、ASA/AAS、SSS、HL定理及尺规作图，通过教材改编题、主题情境导入，构建“定义理解-定理应用-变式拓展”学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是情境化与分层训练结合，以竹编、象棋等传统文化情境培养数学眼光，一题多变（如SAS变式从补充条件到平行线证明）发展推理意识，尺规作图结合寻宝游戏强化数学语言表达。学生能提升几何直观与探究能力，教师可利用分层资源实现高效教学。

14.2 三角形全等的判定 第1课时 用“SAS”判定三角形全等 八年级上 第十四章 全等三角形 知识点1　用“SAS”判定三角形全等 1. 下图中，全等的两个三角形是(　D　) A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 第1题图 D 基础题 教材改编练 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 2. (教材习题第2题改编) 变式1　改为补充条件 如图是老师在黑板上写的判定三角形全等的部分过程，下列四个选项分别 是四名学生的补充，其中正确的是(　A　) A 一题多变 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(SAS). 变式1题图 A. AB＝AC　　B. BE＝CD　　C. AB＝CD　　D. BE＝AC 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 变式2　改为增加平行线证明全等 如图，已知△ABC，E是BC上一点，DE∥AC且DE＝BC，连接CD. 若∠ACD＝∠B，AB＝CD，求证：△ABC≌△CDE. 变式2题图 证明：∵DE∥AC，∴∠ACD＝∠D， ∵∠ACD＝∠B，∴∠B＝∠D， 在△ABC和△CDE中， ∴△ABC≌△CDE(SAS). 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 知识点2　“SAS”判定定理与性质的综合运用 3. (教材习题第11题改编)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAD＝ ∠CAD. 若BD＝3，则△ABC的周长为(　C　) A. 13 B. 15 C. 16 D. 21 第3题图 C 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 　　竹编工艺源远流长，其中蕴含着许多巧妙的数学智慧.请完成第 4～5题： 探索竹编智慧 主题情境 4. (教材练习第1题改编)如图是一个竹质折叠桌，其中桌腿AC，BD是由两节长度相等的竹子制成，E是AC，BD的中点，且点A，B，C，D，E在同一平面内.若测得B，C之间的距离为60 cm，则A，D之间的距离为 cm，在上述过程中所用到的判定三角形全等的依据是 ⁠ ⁠. 第4题图 60 SAS(或边角边或 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等) 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 5. 如图①，爷爷用竹条给小颖制作了一个风筝，其骨架图如图②所示， 已知AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，试判断骨架BC与ED相 等吗？并说明理由. 第5题图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 解：骨架BC与ED相等.理由如下： ∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD＋∠CAD＝∠EAC＋∠CAD，即∠BAC＝∠EAD， 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED(SAS)， ∴BC＝ED. 第5题图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 6. 如图，AB∥DF且AB＝DF，连接BD，C是BD上一点，延长BD至 点E，使BD＝CE，连接AC，EF，若∠A＝20°，∠B＝52°，则 ∠E的度数为(　B　) A. 100° B. 108° C. 128° D. 160° 第6题图 B 中档题 能力提升练 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 7. 　 　 晓晓在如图所示的部分象棋棋盘(四个小正方 形边长均相同)中画出了“马”从点A可以行棋的路线AB和AC，则∠1＋ ∠2的度数为(　D　) A. 110° B. 120° C. 150° D. 180° 第7题图 D 传统文化 象棋 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 8. (教材例1改编)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在 AB上截取AE＝AC，连接DE，已知AC＝4，若△BDE的周长为7，则 △ABC的周长为 ⁠. 第8题图 15 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 9. (教材习题第7题改编)如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形， ∠BAC＝∠DAE＝90°，D是BC上一点，连接EC. 第9题图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 (1)求证：△ABD≌△ACE； 证明：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝ 90°， ∴AB＝AC，AD＝AE， ∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAE＝∠DAC＋∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)； 第9题图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 (2)若∠EDC＝55°，求∠DEC的度数. 解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， 由(1)知△ABD≌△ACE， ∴∠ACE＝∠B＝45°， ∴∠DCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°， ∵∠EDC＝55°，∴∠DEC＝90°－55°＝35°. 第9题图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 10. (中考新考法·阅读理解题)【问题提出】倍长中线法是一种重要的解题 方法：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若延长AD至点E， 使DE＝AD，连接CE，可根据“SAS”证明△ABD≌△ECD，则AB＝ EC. 【解决问题】如图②，已知在Rt△ABO和 Rt△CDO中，∠AOB＝∠COD＝90°， OA＝OB，OC＝OD，连接AC，BD， E是BD的中点，连接OE，求证：OE＝ AC. 拔高题 思维拓展练 第10题图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 证明： (关键点：延长已知中线至某点，使新线段的长度等于已知中 线的长度，再利用“SAS”证明两个三角形全等，隐含条件为对顶角 相等)　 如解图，延长OE至点F，使得EF＝OE，连接BF. ∵E是BD的中点，∴BE＝DE. 第10题解图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 在△BEF和△DEO中， ∴△BEF≌△DEO(SAS)， ∴BF＝DO＝OC，∠FBE＝∠ODE， ∴BF∥OD， ∴∠OBF＝180°－∠BOD， ∵∠AOC＝360°－∠AOB－∠COD－∠BOD＝180°－∠BOD， ∴∠OBF＝∠AOC， 第10题解图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 在△OBF和△AOC中， ∴△OBF≌△AOC(SAS)，∴OF＝AC， ∵OE＝ OF， ∴OE＝ AC. 第10题解图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 14.2 三角形全等的判定 第2课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 八年级上 第十四章 全等三角形 知识点1　用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 1. 如图是一块三角形的玻璃被打碎后的三个部分，若只将其中某一部分 带去玻璃店就能重新配出一块大小、形状相同且完整的新玻璃，则应该选 择(　C　) A. ①号玻璃 B. ②号玻璃 C. ③号玻璃 D. ①号和②号玻璃 第1题图 C 基础题 教材改编练 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 2. 如图，已知△ABC和△DEC，∠A＝∠D，AB＝CD，若要判定 △ABC和△DCE全等，则需补充的条件是 ⁠ .(任写一个即可) 第2题图 ∠ABC＝∠DCE(或AC＝ DE或∠ACB＝∠DEC，写一个即可) 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 3. (教材习题第12题改编)如图，已知∠ACB＝∠DBC. 第3题图 (1)若∠A＝∠D，求证：△ABC≌△DCB； 证明：在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB(AAS)； 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 (2)若要以“ASA”为依据证明△ABC≌△DCB，则需要添加的条件 是 　 　　 　　，并说明理由. 解：∠ABC＝∠DCB. 理由如下： 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB(ASA). 第3题图 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 ∠ABC＝∠DCB 知识点2　“ASA”或“AAS”判定定理与性质的综合运用174考 4. (教材练习第1题改编)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB， ∠B＝∠D，若S△ABC＝5，则△ACD的面积为(　B　) A. B. 5 C. 10 D. 15 第4题图 B 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 5. (教材习题第16题改编)如图，已知△ABC≌△DEF，BM，EN分别是 这两个三角形对应边AC，DF上的高.若BM＝3，则EN的长为 ⁠. 第5题图 3 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 6. 如图，已知∠A＝∠D，AO＝DO，若AB＝5，DO＝2，则OC的长 为 ⁠. 第6题图 3 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 7. (教材习题第15题改编)如图①是一款特色三角形置物架，图②是其设计 图，点D，B，F，C在同一条直线上，已知AC∥DE，∠A＝∠E， BD＝CF，求证：AB∥EF. 第7题图 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 证明：∵AC∥DE，∴∠C＝∠D， ∵BD＝CF，∴BD＋BF＝CF＋BF，即DF＝BC， 在△ABC和△EFD中， ∴△ABC≌△EFD(AAS)， ∴∠ABC＝∠EFD， ∴AB∥EF. 第7题图 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 8. 如图，已知△ADF和△BCE，边AD和BC在同一条直线上，连接 CD，∠A＝∠B，∠F＝∠E，AF＝BE. 若AC＝5，DC＝2，则AB的 长为(　D　) A. 12 B. 11 C. 10 D. 8 第8题图 D 中档题 能力提升练 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 9. 如图，已知△ABC和△ADE，A，C，D三点在一条直线上，∠D＋ ∠BAE＝180°，∠BCD＝∠BAE，AB＝AE，若BC＝16，DE＝6， 则CD的长为(　C　) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 第9题图 C 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 10. (教材复习题第11题改编) 变式1　改为给线段赋值，求线段长 如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，ED，已知∠B＝ ∠C＝∠AED＝90°，AE＝ED. 若AB＝3，DC＝1，则BC的长 为 ⁠. 变式1题图 4 一题多变 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 变式2　改为结合平面直角坐标系，求坐标 如图，将一个等腰直角三角板ABC(∠ACB＝90°)放在平面直角坐标系 中，已知点B(4，0)，点C(0，1)，则点A的坐标为 ⁠. 变式2题图 (1，5) 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 11. (教材习题第6题改编)如图，已知BF⊥AC，CE⊥AB，CE交BF于 点D，AD平分∠BAC. 第11题图 (1)试说明：△AFD≌△AED； 解：(1)∵BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠AFD＝∠AED＝90°， ∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD， 在△AFD和△AED中， ∴△AFD≌△AED(AAS)； 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 (2)　　 试说明：AB＝AC. 一题多解法 解：解法一：由(1)得，△AFD≌△AED， ∴AF＝AE， 在△BAF和△CAE中， ∴△BAF≌△CAE(ASA)， ∴AB＝AC. 第11题图 一题多解法 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 解法二：由(1)得，△AFD≌△AED， ∴AF＝AE，DF＝DE， ∵∠AFD＝∠AED＝90°， ∴∠DFC＝∠DEB＝90°， 在△DFC和△DEB中， ∴△DFC≌△DEB(ASA)，∴FC＝EB， ∴AE＋EB＝AF＋FC，即AB＝AC. 第11题图 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 12. 如图，AD，BE是△ABC的高线，AD，BE交于点F，且AD＝BD. 第12题图 拔高题 思维拓展练 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 (1)求证：BF＝AC； (1)证明：∵AD，BE是△ABC的高， ∴AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEF＝90°， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠FBD＝∠CAD， 在△FDB和△CDA中， ∴△FDB≌△CDA(ASA)，∴BF＝AC； 第12题图 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 14.2 三角形全等的判定 第3课时 用“SSS”判定三角形全等 八年级上 第十四章 全等三角形 知识点1　用“SSS”判定三角形全等 1. 如图，已知△ABC，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的 是(　B　) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 第1题图 B 基础题 教材改编练 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 2. (教材例3改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，若要 用“SSS”判定△ABC≌△ADC，则需再添加的一个条件是 ⁠. 第2题图 BC＝DC 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 3. (教材练习第1题改编) 变式1　改为判定全等的三角形 如图，在△ABD和△BCE中，AB＝CB，AD＝CE，若AE＝CD，则 △ABD≌ ⁠. 变式1题图 △CBE 一题多变 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 变式2　改为求证全等 如图，在△ABC和△DEF中，AC＝DE，BC＝DF，若AE＝BF，求 证：△ABC≌△EFD. 变式2题图 证明：∵AE＝BF， ∴AE＋BE＝BF＋BE，即AB＝EF， 在△ABC和△EFD中， ∴△ABC≌△EFD(SSS). 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 知识点2　“SSS”判定定理与性质的综合运用 4. 如图，AB＝AE，AC＝AD，BC＝ED，∠BAC＝55°，∠EAC＝ 20°，则∠CAD的度数为(　C　) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 第4题图 C 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 5. (教材习题第15题改编)如图，在△ABC和△DEF中，点B，D，C，F 在同一条直线上，连接AD，CE，已知AB＝EF，BC＝DF，AD＝ CE. 若∠F＝55°，∠ACB＝50°，则∠BAC的度数为 ⁠. 第5题图 75° 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 6. 　 　 　如图是一把没有完全打开的雨伞的平面示意 图，伞骨架AB＝AC，支撑杆DE＝DF，此时AE＝ AB，AF＝ AC. 求证：AD平分∠BAC. 第6题图 日常生活 雨伞 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 证明：∵AB＝AC，AE＝ AB，AF＝ AC，∴AE＝AF. 在△ADE和△ADF中， ∴△ADE≌△ADF(SSS).∴∠EAD＝∠FAD， ∴AD平分∠BAC. 第6题图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 7. 如图，在△ABC和△BDE中，点D在线段BC上.若BC＝DE，AC＝ BE，AB＝BD，∠ABC＝50°，则∠BFD的度数为(　D　) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 第7题图 D 中档题 能力提升练 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 8. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，连接CD，DE. 若AC＝EC，AD＝ED，∠A＝90°，∠BDC＝115°，则∠ACB的度 数为 ⁠. 第8题图 50° 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 9. (教材习题第5题改编)如图，已知AB＝CD，AD＝BC，求证： AB∥CD. 第9题图 证明： (关键点：证全等可得角相等，由角相等可得线平行.)　 如解图，连接AC， 在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA(SSS)， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD. 第9题解图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 10. (中考新考法·结论开放)如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝ CE，B，D，E三点共线. 第10题图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 (1)请从下列结论：①∠ADE＝∠CAE＋∠ACE；②∠BAC＝∠BEC， 选择一个进行证明； 第10题图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 (1)解：选择结论①.证明如下： 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SSS)， ∴∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE， ∴∠ADE＝∠BAD＋∠ABD＝∠CAE＋∠ACE； 选择结论②，其证明略. (2)若AD＝BC，AB＝BE，求证：AB∥CE. (2)证明：∵BD＝CE， 在△ABD和△BEC中， ∴△ABD≌△BEC(SSS)，∴∠ABD＝∠BEC. ∴AB∥CE. 第10题图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 解题方法 “连接线段”法构造全等三角形 方法指导 1. 同侧引出公共边：连接两点，将所求角所在三角形转化到公共边同侧 的两个全等三角形中； 2. 一分为二引公共边：连接两点，将一个四边形转化为两个全等三角形. 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 方法活用 1. 如图，AD与BC相交于点O，已知AB＝CD，AD＝BC，若∠B＝ 15°，∠AOB＝95°，则∠C的度数为 ⁠. 第1题图 70° 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 2.如图，四边形ABCD与四边形GBEF是两个完全相等，边长为4的正方形，将它们叠在一起，M恰好是AD和EF的中点，则阴影部 分的面积为 ⁠. 第2题图 8 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 14.2 三角形全等的判定 第4课时 尺规作图 第十四章 全等三角形 八年级上 快速对答案 1. A　2. 点O，任意长，点C，CD长，点E 3. 解答题(点击下方超链接)　4. 解答题(点击下方超链接) 5. 解答题(点击下方超链接)　6. 解答题(点击下方超链接) 7. 解答题(点击下方超链接) 8. B 9. 内错角相等，两直线平行 10. ＜ 11. 解答题(点击下方超链接)　12. 解答题(点击下方超链接) 13. 解答题(点击下方超链接) A 点O，任意长，点C，CD长，点E 解答题(点击下方超链接)　 解答题(点击下方超链接) 解答题(点击下方超链接)　 解答题(点击下方超链接) 解答题(点击下方超链接) B 内错角相等，两直线平行 ＜ 解答题(点击下方超链接)　 解答题(点击下方超链接) 解答题(点击下方超链接) 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 知识点　用尺规作一个角等于已知角 基础题 教材改编练 1. 如图，根据尺规作图痕迹，下列选项中一定与∠ABC相等的角 是(　A　) 　　 第1题图 A. ∠QFP B. ∠FGH C. ∠BDE D. ∠BED A 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 2. (教材素材改编)如图，小明用尺规作∠AOM，使得∠AOM＝ ∠AOB，根据作图痕迹补全作法. 第2题图 作法：①以 为圆心，以 为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； ②以 为圆心，以 为半径画弧，交前 弧于点E； 点O 任意长 点C CD长 ③过 作射线OM； ∴∠AOM即为所求. 点E 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 3. (教材练习第1题改编)如图，直线AB与直线CD相交于点E，F是直线 AB上一点.试用尺规过点F作直线FG，使得FG∥CD. (不写作法，保留 作图痕迹) 第3题图 解：如解图，直线FG即为所求作. 第3题解图 第3题解图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 4. 如图，已知∠AOB，M是射线OA上一点，请利用尺规在射线OB上求 作一点N，使得∠OMN＝∠AOB. (不写作法，保留作图痕迹) 第4题图 解：如解图，点N即为所求作. 第4题解图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 5. 如图，已知∠α，请用尺规作∠β ，使∠β＝3∠α.(不写作法，保留作图 痕迹) 第5题图 解：如解图，∠β即为所求作. 第5题解图 第5题解图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 6. 如图，已知∠α和线段a，b，试用尺规作出△ABC，使BC＝a，AC ＝b，∠C＝2α.(不写作法，保留作图痕迹) 第6题图 解：如解图，△ABC即为所求作. 第6题解图 第6题解图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 7. (教材练习第2题改编)如图，已知△ABC，请用尺规作出△DEF，使得 △DEF和△ABC全等，且∠B＝∠D，∠C＝∠E. (不写作法，保留作图 痕迹) 第7题图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 解：根据题意可知，在△DEF和△ABC中，点B的对应点是点D，点C的对应点是点E，∴BC＝DE，∴如解图，△DEF即为所求作.(作法不唯一) 　　　　 第7题解图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 8. 如图，根据作图痕迹，可以判定△ABC≌△DBC的依据是(　B　) A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 第8题图 B 中档题 能力提升练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 9. (教材例2改编)如图①，点P是直线a外一点，现要“过点P作直线b， 使b∥a”，小明的作图痕迹如图②所示，则使b∥a的依据是 ⁠ ⁠. 　　　 图① 图② 第9题图 内错角相 等，两直线平行 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 10. 小庆用尺规作图如下，由作图痕迹可以判断∠AOB ∠COD. (填“＞”“＜”或“＝”) 　　　 图① 图② 第10题图 ＜ 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 11. 如图，在△ABC中，BA＝BC，请用尺规作图法，在BC边上找一点D，使得∠C＝∠CAD＋∠B. (保留作图痕迹，不写作法) 第11题图 解：如解图，点D即为所求.(作法不唯一) 　　　　 第11题解图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 12. 　 　　 在一次定向寻宝的游戏中，小英经过分 析宝藏地图后，确定了宝藏P的位置在阴影区域，两个建筑物A，B的位 置如图所示.已知∠PAB＝∠α，∠PBA＝∠β，请你用尺规作图确定宝藏 P的位置.(不写作法，保留作图痕迹) 日常生活 寻宝游戏 第12题图 解：宝藏P的位置如解图所示. 第12题解图 第12题解图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 13. (教材例5改编)如图，已知∠α和线段a，请用直尺和圆规按下列要求 作图.(不写作法，保留作图痕迹) 第13题图 拔高题 思维拓展练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 (1)作△ABC，使得AB等于线段a，∠A＝∠α，∠B＝2∠α； 解：(1)如解图①，△ABC即为所求作； 图① 第13题解图 (2)作△DEF，使得△DEF是一个腰长等于线段a的等腰三角形，且∠D ＝∠α. 解：(2)当△DEF的顶角等于∠α时，如解图②，△D1E1F1即为所求作； 当△DEF的底角等于∠α时，如解图③，△D2E2F2即为所求作. 　　　　 图②　 图③ 第13题解图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 第13题图 14.2 三角形全等的判定 第5课时 用“HL”判定直角三角形全等 八年级上 第十四章 全等三角形 知识点1　用“HL”判定直角三角形全等 1. 如图，已知E，F是CD上的点，AC⊥CD，BE⊥CD，且AC＝ BE，AF＝BD，则可以直接判定△ACF≌△BED的依据是(　A　) A. HL B. SAS C. SSS D. ASA 第1题图 A 基础题 教材改编练 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 2. 如图，AE⊥BD交BD于点C，AC＝CE，连接AB，DE. 若再添加 一个条件可以用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△EDC，则这个条件是(　B　) A. BC＝DC B. AB＝ED C. ∠A＝∠E D. ∠B＝∠D 第2题图 B 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 3. (教材练习第2题改编)如图，已知AB＝CD，DE⊥AC交AC于点E， BF⊥AC交AC于点F，AE＝CF. 求证：△ABF≌△CDE. 第3题图 证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴△ABF和△CDE都是直角三角形. ∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 知识点2　“HL”判定定理与性质的综合运用 4. 如图，A，B是两座灯塔，M，N是两艘正在航行的轮船.某一时刻，在灯塔A上观测到∠MAN＝90°，AM＝60海里，同时在灯塔B上观测到∠MBN＝90°，BM＝80海里，BN＝60海里，则此时AN的距离为(　D　) A. 30海里 B. 40海里 C. 60海里 D. 80海里 第4题图 D 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 5. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，D是AB上一点，过点D作DE⊥AC 于点E，DB＝DE，连接CD. 若BC＝8，AE＝2，则AC的长为 ⁠. 第5题图 10 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 6. (教材习题第11题改编)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD ＝AD，E是CD上一点，连接AE并延长，交BC于点F. 已知AE＝ BC，求证：AF⊥BC. 第6题图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 证明：∵CD是AB边上的高，∴∠CDA＝∠CDB＝90°， 在Rt△ADE和Rt△CDB中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDB(HL).∴∠AED＝∠B. ∴∠CEF＝∠AED＝∠B. ∵∠B＋∠DCB＝90°，∴∠CEF＋∠DCB ＝90°. ∴∠AFC＝90°. ∴AF⊥BC. 第6题图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在线段MN上，连接MB，NC并 延长交于点P，已知∠BAM＝∠ACN＝90°，AN＝BM. 若∠P＝ 60°，则∠BAC的度数为(　D　) A. 30° B. 45° C. 50° D. 60° 第7题图 D 中档题 能力提升练 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 8. (教材练习第1题改编) 变式1　结合平行线求线段长 如图，m∥n，点A，B在直线m上，点D，E在直线n上，AD⊥n，点 C在AD上，连接BC，EC，AB＋DE＝9，AB＝CD，BC＝CE，则 AD的长为 ⁠. 变式1题图 9 一题多变 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 变式2　改为结合动点判定全等 如图，P，Q分别为射线OM，ON上的动点，∠OCB＝∠QOP＝90°， 已知PQ＝OB，CB＝6，OC＝12，则当OP的长为 时， △OBC和△QPO全等. 变式2题图 6或12 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 9. (教材复习题第3题改编)如图，在四边形ABCD中，∠AEB＝∠D＝ 90°，AB＝AF，BE＝DF. 第9题图 (1)求证：Rt△ABE≌Rt△AFD； (1)证明：∵∠AEB＝∠D＝90°， 在Rt△ABE和Rt△AFD中， ∴Rt△ABE≌Rt△AFD(HL)； 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 (2)若BC＝17，DF＝6，求CF的长. (2)解：如解图，连接AC. 由(1)知Rt△ABE≌Rt△AFD，∴AE＝AD. 在Rt△AEC和Rt△ADC中， 第9题解图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 第9题图 ∴Rt△AEC≌Rt△ADC(HL)， ∴CE＝CD. ∵BC＝17，DF＝6， ∴BE＝DF＝6， ∴CD＝CE＝BC－BE＝17－6＝11， ∴CF＝CD－DF＝11－6＝5. 第9题解图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 10. (中考新考法·补充证明过程)如图①，在△ABC和△DEF中，AB＝ DE，AC＝DF，∠B＝∠E. 在此条件下，对它“强化条件”，分别得 到下列三个命题. 第10题图① 拔高题 思维拓展练 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 (1)命题1是否为真命题，请说明理由； 解：(1)命题1是真命题.理由如下： 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)， ∴命题1是真命题； 第10题图① 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 (2)命题2是真命题，请将它的证明过程补充完整； 证明：如图②，过点A作AG⊥BC交CB的延长线于点G，过点D作 DH⊥EF交FE的延长线于点H， ∴∠AGB＝∠DHE＝90°， ∵∠ABC＝∠DEF， ∴∠ABG＝∠DEH. 在△ABG和△DEH中， … 第10题图② 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 ∴△ABG≌△DEH(AAS).∴AG＝DH， 在Rt△ACG和Rt△DFH中， ∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，∴∠C＝∠F， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(AAS)； 解：(2)补充证明过程如下： 第10题图② 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 (3)命题3是假命题，请通过画图来说明. 解：(3)画图如解图(画法不唯一).说明如下：△ABC≌△DEF，AB＝ DE，AC＝DF，∠B＝∠E且为锐角.以点D为圆心，DF长为半径画弧 与EF交于点F'，连接DF'，则△ABC与△DEF'同样满足“AB＝DE， AC＝DF'，∠B＝∠E且为锐角”，但显然△ABC和△DEF'不全等，故 命题3是假命题. 　　　 第10题解图 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 $