第六章几何图形初步 质量检测培优卷 2025-2026学年人教版数学七年级上册

人教版数学2025-2026学年七年级上学期第六单元《几何图形初步》质量检测培优卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．平面内的9条直线任意2条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于(　　) A．36 B．37 C．38 D．39 2． 已知线段，点C为直线AB上一点，且，点M，N分别是AC，BC的中点，则MN等于（　　） A．8cm B．10cm C．9cm或8cm D．9cm 3．如图所示： 把两个正方形放置在周长为 的长方形 内， 两个正方形的重叠部分的周长为 (图中阴影部分所示)， 则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（　　） A． B． C． D． 4．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把 分成大小为1：2的两部分，射线OC 叫作. 的三等分线.若在 中，射线OP 是∠MON 的三等分线，射线 OQ 是 的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON的大小用含x的代数式表示为 (　　) A．或3x或 B． 或3x或9x C．或 或9x D．3x或 或9x 5．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（　　） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 6．在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则（　　） A． B． C． D． 7．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（　　） A．36 B．37 C．38 D．39 8．有一种正方体如图所示，下列图形是该方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，是一个正方体的平面展开图，且相对两个面表示的整式的和都相等，如果 ，则E所代表的整式是（　　） A． B． C． D． 10．如图，点为线段外一点，，，，为上顺次排列的四点，连接，，，，在下列结论中： ①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可以理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，则使得|x﹣1|+|x+5|＝6这样的整数x有　 　个． 12．如图，将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在处（点始终在点A右侧），在重合部分上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2∶3∶5，BN的值可能为　 　． 13．如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线．若．射线、分别经过刻度线和， 在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线；③若，则图中共有6对角互为余角．其中正确的是　 　（填序号）． 14．如图，数轴上线段，，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/s的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/s的速度向左匀速运动.当点B运动到线段上时，P是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为　 　. 15．如图所示：已知 ， ，现有 点和 点分别从 ， 两点出发相向运动， 点速度为 ， 点速度为 ，当 到达 点后掉头向 点运动， 点在向 的运动过程中经过 点时，速度变为 ， ， 两点中有一点到达 点时，全部停止运动，那么经过　 　 后 的距离为 ． 三、解答题：本大题共8小题，共75分. 16．如图 （1）如图1，平面上有3个点A，B，C． ①画直线AB；画射线BC；画线段AC； ②过点C作AB的垂线，垂足为点D； ③量出点C到直线AB的大约距离． （2）尺规作图： 已知：线段a，b，如图2． 求作：一条线段MN，使它等于2a－b．（不写作法，保留作图痕迹） 17．如图，已知点 A，B，C是数轴上三点，O为原点.点C 对应的数为6，BC=4，AB=12. （1）求点 A，B 对应的数. （2）动点 P，Q同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动. M为AP 的中点，N在 CQ 上，且 设运动时间为t（t>0）. ①求点 M，N对应的数（用含 t 的式子表示）. ②t为何值时，OM=2BN. 18．已知在的内部，，是补角的． （本题出现的角均指不大于平角的角） （1）如图1，求的值； （2）在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小； （3）如图2，若，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点逆时针旋转．设射线，运动的时间为秒（），当时，请直接写出的值______． 19．按要求作图并回答问题： 已知：如图点A，点B，点C． （1）作直线，射线，线段； （2）在点C的东北方向有一点D，且点D在直线上，画出点D； （3）点P，Q以同样的速度同时从A点向C点运动，点P沿线段AC运动，点Q沿A---B---C的路线运动，请你判断谁先到达点C：　 　（填“点P”或“点Q”），理由是 　 　； （4）已知线段，若点P以的速度从点A出发沿射线方向运动，同时点Q以的速度从点B出发向A运动，M、N分别是与的中点，请通过计算说明M、N两点是否可以重合？若能重合，请求出所需要的时间和重合时线段的长． 20．如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足. （1）求线段AB的长； （2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解.在数轴上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P对应的数；若不存在，请说明理由. （3）在（1）（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和每秒9个单位长度的速度向右运动.假设t秒过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：的值是否随时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值. 21．定义：从∠α（45°＜α＜90°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为余角，则称该射线为∠α的“分余线”． （1）如图1，∠AOB＝70°，∠AOC＝50°，请判断OC是否为∠AOB的“分余线”，并说明理由； （2）若OC平分∠AOB，且OC为∠AOB的“分余线”，则∠AOB＝　 　； （3）如图2，∠AOB＝155°，在∠AOB的内部作射线OC，OM，ON，使OM为∠AOC的平分线，ON为∠BOC的“分余线”．当OC为∠MON的“分余线”时，请直接写出∠AOC的度数． 22．建立模型 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题. （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 4 　 　 长方体 8 6 12 正八面体 　 　 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是　 　. （2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　 　. （3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值. （4）模型应用 如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数. 23．新定义：如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 图① 图② 备用图 （1）阅读理解： ①角的平分线　 　这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） ②如图①，，射线为的“幸运线”，则的度数为　 　； （2）解决问题 如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间的值． 答案解析部分 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．平面内的9条直线任意2条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于(　　) A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】B 【知识点】直线相交的交点个数问题 【解析】【解答】解：3条最多交点数的情况是第3条与前面2条都相交：1+2； 4条最多交点数的情况是第4条与前面3条都相交：1+2+3； 5条最多交点数的情况是第5条与前面4条都相交：1+2+3+4； 6条最多交点数的情况是第6条与前面5条都相交：1+2+3+4+5； 7条最多交点数的情况是第7条与前面6条都相交：1+2+3+4+5+6； 8条最多交点数的情况是第8条与前面7条都相交：1+2+3+4+5+6+7； 9条最多交点数的情况是第9条与前面8条都相交：1+2+3+4+5+6+7+8=36； 当平面内的9条直线相交于同一点时，交点数最少，即n=1，则m+n=1+36=37， 故答案为：B 【分析】根据平面内直线的交点结合题意逐一计算，进而即可求解。 2． 已知线段，点C为直线AB上一点，且，点M，N分别是AC，BC的中点，则MN等于（　　） A．8cm B．10cm C．9cm或8cm D．9cm 【答案】D 【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算 【解析】【解答】①当点C在点A的右边时，如图所示： ∵AB=18，AC=2， ∴BC=AB-AC=18-2=16， ∵点M、N分别是AC、BC的中点， ∴MC=AC=1，CN=BC=8， ∴MN=MC+CN=1+8=9； ②当点C在点A的左边时，如图所示： ∵AB=18，AC=2， ∴BC=AB+AC=18+2=20， ∵点M、N分别是AC、BC的中点， ∴MC=AC=1，CN=BC=10， ∴MN=CN-MC=10-1=9， 综上，MN的长为9， 故答案为：9. 【分析】分类讨论：①当点C在点A的右边时，②当点C在点A的左边时，再分别画出图形再利用线段中点的性质及线段的和差求解即可. 3．如图所示： 把两个正方形放置在周长为 的长方形 内， 两个正方形的重叠部分的周长为 (图中阴影部分所示)， 则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算 【解析】【解答】解：如图 设正方形AKJI的边长AE=a，正方形HFCL的边长FC=b，AD=x，AB=y 则HI=b-x+a，IJ=b-y+a ∵长方形ABCD周长为m，阴影部分周长为n ∴ ∴ ∴两个正方形的周长和为 故答案为：A. 【分析】由题意，设出字母，利用线段的加减运算，得出HI=b-x+a，IJ=b-y+a，再利用周长公式，得出，从而得出结果。 4．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把 分成大小为1：2的两部分，射线OC 叫作. 的三等分线.若在 中，射线OP 是∠MON 的三等分线，射线 OQ 是 的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON的大小用含x的代数式表示为 (　　) A．或3x或 B． 或3x或9x C．或 或9x D．3x或 或9x 【答案】C 【知识点】角的运算 【解析】【解答】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故答案为：C 【分析】根据题意分类讨论：射线是的三等分线，射线是的三等分线；射线是的三等分线，射线是的三等分线；射线是的三等分线，射线是的三等分线；射线是的三等分线，射线是的三等分线，进而根据角的运算即可求解。 5．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（　　） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算 【解析】【解答】解：①运动4s后，AP=2×4=8cm，PB=AB-AP=16cm， ∵M为的中点 ， ∴AM=MP=4cm， ∴PB=4AM，故①错误； 设运动ts时，AP=2t，PB=24-2t， ∵M为的中点，N为的中点， ∴AM=PM=t，PN=BN=12-t， ∴PM+MN=PM+PM+PN=t+t+12-t=12+t， ∴的值随着运动时间的改变而改变 ，故②正确； ∵MB=AB-AM=24-t，PB=AB-AP=24-2t， ∴=2（24-t）-（24-2t）=24cm，故③正确； 由AN=AP+PN=2t+（12-t）=12+t，PM=t， ∵ ， ∴12+t=6t，解得t=2.4s，故④正确. 故答案为：D. 【分析】根据题意分别求出AP、PB的长，再利用线段的中点得出AM、PM、PN、BN的长，利用线段的和差关系逐一求解即可判断. 6．在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵ 与 互补， ∴ ， ∵ ， 分别为 ， 的平分线， ①当点B、O、C三点共线时， 则 ； ∵ ， ∴点B、O、C三点共线时，不符合题意； ②当点B、O、C三点不共线时， ，如下图： 则 ， ∵ ， ∴ ； ③当点B、O、C三点不共线时， ，如下如： 则 ， ∵ ， ∴ ； 综上可得： . 故答案为：D. 【分析】此题分三种情况讨论：①当点B、O、C三点共线时，②当点B、O、C三点不共线时， 且∠AOC＜∠AOB，③当点B、O、C三点不共线时，且∠AOC＞∠AOB，分别结合补角的定义及角平分线的定义，由角的和差即可得出答案. 7．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（　　） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】B 【知识点】直线、射线、线段；两点确定一条直线 【解析】【解答】最多有个交点，最少有1个交点，所以m+n=36+1=37.故选B. 【分析】平面内两两相交的n条直线最多有个交点，最少有一个交点. 8．有一种正方体如图所示，下列图形是该方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何体的展开图 【解析】【解答】A.折叠后，三条对角线交于一点，不能构成三角形； B. 折叠后，侧面俩条对角线无交点，不能构成三角形； C.折叠后，可以形成三角形； D，折叠后，底面和侧面的俩条对角线无交点，不能构成三角形. 故答案为：C. 【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题. 9．如图，是一个正方体的平面展开图，且相对两个面表示的整式的和都相等，如果 ，则E所代表的整式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何体的展开图；合并同类项法则及应用 【解析】【解答】解：由图可得：面A和面E相对，面B和面D，相对面C和面F相对． 由题意得：A+E=B+D，代入可得：a3+ a2b+3+E= a2b﹣3+[﹣ （a2b﹣6）]， 解得：E=－a3﹣ a2b-3． 故答案为：B． 【分析】通过展开图发现面与面的关系，列出式子，通过合并同类项计算。 10．如图，点为线段外一点，，，，为上顺次排列的四点，连接，，，，在下列结论中： ①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】线段的中点；角平分线的概念 【解析】【解答】解：以O为顶点的角有个，故①正确； 由角平分线的定义可得：，， ∵， ∴ ∴， ∴， ， 故②错误； 由中点定义可得：，， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即，故④错误. 故选：B. 【分析】本题考查了角平分线概念，以及线段中点的相关计算，根据角的概念，求得以O为顶点的角的个数，可判断①；由角平分线的定义及角之间的和差关系，求得，可判断②；根据线段的中点，结合，求得， 可得判断③；根据，且，得到，可得判断④． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可以理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，则使得|x﹣1|+|x+5|＝6这样的整数x有　 　个． 【答案】7 【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解含绝对值符号的一元一次方程；线段上的两点间的距离 【解析】【解答】解：当x＞1时， |x+5|+|x﹣1|＝x+5+x﹣1＝6， 解得，x＝1与x＞1矛盾，故此种情况不存在， 当﹣5≤x≤1时，|x+5|+|x﹣1|＝x+5+1﹣x＝6，故﹣5≤x≤1时，使得|x+5|+|x﹣1|＝6， 故使得|x+5|+|x﹣1|＝6的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1， 当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣1|＝﹣x﹣5+1﹣x＝﹣2x﹣4＝6， 得x＝﹣5与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在， ∴这样的整数有﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1，共7个． 解法二：|x﹣1|+|x+5|＝6即为|x﹣1|+|x﹣（﹣5）|＝6， 根据题意，可知数轴上表示x与1两点之间的距离、表示x与﹣5两点之间的距离，该两距离之和为6， 由于数轴上1与﹣5之间的距离为6， 故x可为两数间（包含这两个数）的任意整数，共7个． 故答案为：7. 【分析】分x＞1、-5≤x≤1、x＜-5，结合绝对值的非负性去掉绝对值符号，然后进行求解即可； 解法二：|x-1|+|x+5|＝6表示数轴上x与1两点之间的距离与x与-5两点之间的距离之和为6，然后结合数轴上1与-5之间的距离为6进行解答. 12．如图，将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在处（点始终在点A右侧），在重合部分上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2∶3∶5，BN的值可能为　 　． 【答案】35cm或40cm或45cm 【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算 【解析】【解答】解：设绳子三段的长分别为2xcm、3xcm和5xcm，两个断点分别为F、E， 则2x+3x+5x=100， 解得：x=10； ①若AF=3x，FE=5x，EB=2x，如图： ∵N为EF的中点， ∴， ∴BN=2.5x+2x=4.5x=45cm； ②若AF=5x，FE=3x，EB=2x，如图： ∵N为EF的中点， ∴， ∴BN=1.5x+2x=3.5x=35cm； ③若AF=5x，FE=2x，EB=3x，如图： ∵N为EF的中点， ∴， ∴BN=x+3x=4x=40cm； 故答案为：35cm或40cm或45cm. 【分析】先根据线段的比例设出线段的长，分三种情况进行分析，列出方程，即可求解. 13．如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线．若．射线、分别经过刻度线和， 在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线；③若，则图中共有6对角互为余角．其中正确的是　 　（填序号）． 【答案】①③ 【知识点】角的运算；余角、补角及其性质 【解析】【解答】解：如图， ∵， ∴，即，故①正确； 由题意得：，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴射线经过刻度线，故②错误； ∵， ∴，，互余，互余， 由题意知，互余，互余，互余，互余， ∴共有6对角互为余角，③正确，故符合要求. 故答案为：①③． 【分析】由，可得，即，故①正确；由题意知，，，，，，，由互补可得，即，可得，，即射线经过刻度线，故②错误；由，可得，，互余，互余，互余，互余，互余，互余，即共有6对角互为余角，故③的正确． 14．如图，数轴上线段，，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/s的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/s的速度向左匀速运动.当点B运动到线段上时，P是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为　 　. 【答案】或​​​​​​​ 【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离 【解析】【解答】解：设线段未运动时点表示的数为，点运动时间为. 则秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为. ∴， ， ， . ∵ ， ∴. 即：. ①当点在点右侧时， . ∴. ∴； ②当点在点左侧时， . ∴. ∴. 故答案为：或. 【分析】随着点的运动，分别讨论当当点在点右侧及左侧时的情况. 至于点与点重合的情况不需要讨论，因为原题条件 表明. 15．如图所示：已知 ， ，现有 点和 点分别从 ， 两点出发相向运动， 点速度为 ， 点速度为 ，当 到达 点后掉头向 点运动， 点在向 的运动过程中经过 点时，速度变为 ， ， 两点中有一点到达 点时，全部停止运动，那么经过　 　 后 的距离为 ． 【答案】0.9或1.1或 或 【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算 【解析】【解答】解：设经过t秒后PQ距离为0.5cm， ①当P、Q在AB上且P在Q左侧时，如图1所示： 由题意得：5-2t-3t=0.5，解得：t=0.9s， ②当P、Q在AB上且P在Q右侧时，如图2所示： 由题意得：2t+3t-0.5=5，解得：t=1.1s， ③Q到达A所用时间为5÷3= s， 当Q从A返回还未到B时，如图3所示： 由题意得： ，解得：t=4.5s，但此时AQ= cm>5cm，不符合题意； ④当Q从A返回运动并超过B点时，如图4所示： 此时Q从B-A-B用时为： s， 由题意得： ， 解得： s； ⑤当Q超过P时，如图5所示： 由题意得： ， 解得： s， 综上所述，当P、Q相距0.5cm时，经过的时间为0.9s或1.1s或 或 ， 故答案为：0.9或1.1或 或 ． 【分析】设经过t秒后PQ距离为0.5cm，分5种情况讨论，即①当P、Q在AB上且P在Q左侧时，②当P、Q在AB上且P在Q右侧时，③Q到达A所用时间为5÷3= s，④当Q从A返回运动并超过B点时，⑤当Q超过P时，分别根据行程问题列一元一次方程求解即可. 三、解答题：本大题共8小题，共75分. 16．如图 （1）如图1，平面上有3个点A，B，C． ①画直线AB；画射线BC；画线段AC； ②过点C作AB的垂线，垂足为点D； ③量出点C到直线AB的大约距离． （2）尺规作图： 已知：线段a，b，如图2． 求作：一条线段MN，使它等于2a－b．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）解：①②如图所示： ③利用直尺可量出点C到直线AB的距离即为线段CD的长，约为2.3cm； （2）解：先作一条射线MA，然后利用圆规量出线段a的长，以点M为圆心线段a的长为半径画弧，依次再画出一段a的长，最后交射线MA于点B，进而以点B为圆心，线段b的长为半径画弧，交线段MB于点N，则线段MN即为所求，如图所示： ∴MN=2a-b． 【知识点】尺规作图-直线、射线、线段 【解析】【分析】（1）根据直线，射线和线段的定义及垂线进行作图即可，再测量距离即可； （2）尺规作图可得MN=2a-b。 17．如图，已知点 A，B，C是数轴上三点，O为原点.点C 对应的数为6，BC=4，AB=12. （1）求点 A，B 对应的数. （2）动点 P，Q同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动. M为AP 的中点，N在 CQ 上，且 设运动时间为t（t>0）. ①求点 M，N对应的数（用含 t 的式子表示）. ②t为何值时，OM=2BN. 【答案】（1）解：∵点C 对应的数为6，BC=4 ∴OB=2， ∴ 点 B 对应的数为2， ∵AB=12， ∴OA=10， ∴点 A 对应的数为-10， ∴A，B 两点对应的数分别为-10，2. （2）解：①AP=6t，CQ=3t，M 为AP 中点， 则 3t， ∴点 M 对应的数为10+3t，点 N 对应的数为6+t. ②∵OM=|-10+3t|，BN=BC+CN=4+t，OM=2BN， ∴|-10+3t|=2（4+t）=8+2t， 由10+3t=8+2t，得t=18，由--10+3t=-（8+2t），得 故当t=18秒或 秒时OM=2BN 【知识点】解一元一次方程；线段的和、差、倍、分的简单计算；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离 【解析】【分析】 (1)根据 点C 对应的数为6，BC=4，AB=12. 利用线段的和差计算出OB，OA然后就可以表示出 点 A，B 对应的数 ，解答即可. (2)①根据题干信息得出AP=6t，CQ=3t，利用中点的定义表示出AM=3t，CN=t，j即可解答； ②把OM，BN 进一步用含t 的式子表示，根据 OM=2BN 建立t的方程，解答即可. 18．已知在的内部，，是补角的． （本题出现的角均指不大于平角的角） （1）如图1，求的值； （2）在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小； （3）如图2，若，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点逆时针旋转．设射线，运动的时间为秒（），当时，请直接写出的值______． 【答案】（1）解： ； 又是补角的， ，即， ，， 故的值为； （2）解：平分，， ，， 当射线在内部时， ，， ， ， 当射线在外部时， ，， ， ， 故的大小为或； （3）或 【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题 【解析】【解答】（3）解：当顺时针旋转时， ， ， 代入， ，即， 去绝对值符号：或， （舍）或， 当逆时针旋转时， ， ， 代入， ，即， 去绝对值符号：或， （舍）或， 故答案为：或． 【分析】 （1）由，得到，再由补角的性质，列出代数式，即可进行求解； （2）根据角平分线的定义及（1），先求得的大小，分射线在内部；射线在外部，分射线在内部和射线在外部，两种情况讨论，结合角的运算法则，即可求解， （3）根据题意，列出和关于时间的关系式，再利用绝对值的定义，化简求得的值，再由角的旋转，得到和，代入代数式，求得方程的解，即可得到答案. 19．按要求作图并回答问题： 已知：如图点A，点B，点C． （1）作直线，射线，线段； （2）在点C的东北方向有一点D，且点D在直线上，画出点D； （3）点P，Q以同样的速度同时从A点向C点运动，点P沿线段AC运动，点Q沿A---B---C的路线运动，请你判断谁先到达点C：　 　（填“点P”或“点Q”），理由是 　 　； （4）已知线段，若点P以的速度从点A出发沿射线方向运动，同时点Q以的速度从点B出发向A运动，M、N分别是与的中点，请通过计算说明M、N两点是否可以重合？若能重合，请求出所需要的时间和重合时线段的长． 【答案】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所画； ． （2）解：如图，点D即为所画的点； （3）P；两点之间，线段最短 （4）解：M，N两点可以重合， 如图， 设经过t秒重合， ∵M是的中点， ∴， 同理可得， 当M，N两点可以重合，可得：， 解得：， 即，，点P在射线上， 此时， 答：M、N可以重合，所需要的时间为24秒，此时的长为． 【知识点】一元一次方程的其他应用；尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算 【解析】【解答】解：（3）∵， ∴点P先到达；理由是：两点之间，线段最短 故答案为：p；两点之间，线段最短 【分析】（1）根据作图-直线，射线，线段即可求解； （2）先画出表示东北方向的射线，交直线于即可求解； （3）根据线段的性质即可求解； （4）设经过t秒重合，进而根据中点得到AM，同理可得，再列出一元一次方程，从而即可求出t，再进行线段的运算即可求解。 20．如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足. （1）求线段AB的长； （2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解.在数轴上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P对应的数；若不存在，请说明理由. （3）在（1）（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和每秒9个单位长度的速度向右运动.假设t秒过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：的值是否随时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值. 【答案】（1）解：因为， 所以，. 所以线段AB的长为. （2）解：设点P在数轴上对应的数为p. 解方程，得，则点C在数轴上对应的数为2（如下图所示）. 由图易知，①当点P在点B右侧时，不可能存在点P. ②当点P在点A左侧时，. 解得. ③当点P在点A，B中间时，. 解得. 故点P对应的数为－3或－1. （3）解：t秒后，点A的位置为，点B的位置为，点C的位置为. ， ， . 所以的值不随时间t的变化而变化，其常数值为2. 【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；有理数在数轴上的表示 【解析】【分析】（1）利用非负数之和为0的性质可得 ，，再利用两点之间的距离公式求出AB的长即可； （2）分类讨论：①当点P在点B右侧时，②当点P在点A左侧时，③当点P在点A，B中间时，再分别列出方程求解即可； （3）先求出点A的位置为，点B的位置为，点C的位置为，再利用两点之间的距离公式分别求出BC、AB的长，再利用线段的和差求出即可. 21．定义：从∠α（45°＜α＜90°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为余角，则称该射线为∠α的“分余线”． （1）如图1，∠AOB＝70°，∠AOC＝50°，请判断OC是否为∠AOB的“分余线”，并说明理由； （2）若OC平分∠AOB，且OC为∠AOB的“分余线”，则∠AOB＝　 　； （3）如图2，∠AOB＝155°，在∠AOB的内部作射线OC，OM，ON，使OM为∠AOC的平分线，ON为∠BOC的“分余线”．当OC为∠MON的“分余线”时，请直接写出∠AOC的度数． 【答案】（1）解：OC是∠AOB的“分余线，理由如下： ∵∠AOB＝70°，∠AOC＝50°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣50°＝20°， ∴∠BOC+∠AOB＝20°+70°＝90°， ∴OC是∠AOB的“分余线； （2）60° （3）解：∠AOC的度数为100°或77.5°或88° 【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：（2） 设∠A0B=x°，根据题意，得：，解得：x=60； 故答案为：60°； （3）设∠AOC＝2x， ∵OM为∠AOC的平分线， ∴∠COM＝∠AOC＝x， ∵∠AOB＝155°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝155°﹣2x， ∵ON为∠BOC的“分余线”，OC为∠MON的“分余线”， ①∠BON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°， ∴∠BON＝90°﹣（155°﹣2x）＝2x﹣65°， ∴∠MON＝155°﹣x﹣（2x﹣65°）＝220°﹣3x， ∵∠MOC+∠MON＝90°， ∴x+220°﹣3x＝90°， 解得x＝65°（不符合题意，舍去）； ②∠BON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°， ∵∠CON＝∠BOC﹣∠BON＝155°﹣2x﹣（2x﹣65°）＝220°﹣4x， ∴220°﹣4x+220°﹣3x＝90°， 解得x＝50°， ∴∠AOC＝2x＝50°×2＝100°； ③∠CON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°， ∵∠CON＝90°﹣∠BOC＝90°﹣（155°﹣2x）＝2x﹣65°， ∴∠MON＝∠MOC+∠CON＝x+2x﹣65°＝3x﹣65°， ∵∠MOC+∠MON＝90°， ∴x+3x﹣65°＝90°， ∴x＝38.75°， ∴∠AOC＝2x＝38.75°×2＝77.5°； ④∠CON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°， ∴∠MON＝∠BOC， ∴∠MOC＝∠BON， ∵∠BON＝（155°﹣2x）﹣（2x﹣65°）＝220°﹣4x， ∴x＝220°﹣4x， 解得x＝44°， ∴∠AOC＝2x＝44°×2＝88°， 综上所述，满足条件的∠AOC的度数为100°或77.5°或88°． 【分析】（1）首先求得∠BOC=20°，再求得 ∠BOC+∠AOB＝90°， 即可得出 OC是∠AOB的“分余线； （2） 设∠A0B=x°，根据 OC平分∠AOB，且OC为∠AOB的“分余线”， 即可得出方程，解方程，即可求得答案； （3）设∠AOC＝2x，即可得出∠COM＝x，∠BOC＝155°﹣2x，然后根据ON为∠BOC的“分余线”，OC为∠MON的“分余线”，可分类讨论：①∠BON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°，可得方程x+220°﹣3x＝90°，解得x＝65°（不符合题意，舍去）；②∠BON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°，可得方程220°﹣4x+220°﹣3x＝90°，解得x＝50°，进一步求得∠AOC＝2x＝50°×2＝100°；③∠CON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°，可得方程x+3x﹣65°＝90°，解得x＝38.75°，进一步求得∠AOC＝77.5°；④∠CON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°，可得方程x＝220°﹣4x，解得x＝44°，进一步求得∠AOC＝88°；综上即可得出满足条件的∠AOC的度数为100°或77.5°或88°． 22．建立模型 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题. （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 4 　 　 长方体 8 6 12 正八面体 　 　 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是　 　. （2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　 　. （3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值. （4）模型应用 如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数. 【答案】（1）6；6；V+F-E=2 （2）20 （3）解：这个多面体的面数为x+y，棱数为 (条). 根据V+F-E=2，可得24+(x+y)-36=2， ∴x+y=14. （4）解：设足球表面的正五边形有x个，正六边形有y个，总面数 F 为(x+y)个. 因为一条棱连着两个面，所以球表面的棱数 E为 又因为一个顶点上有三条棱，一条棱上有两个顶点，所以顶点数V= 由欧拉公式V+F-E=2得 解得x=12. 所以正五边形只要12个. 又根据每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形又连着3个正五边形， 所以六边形个数 即需20个正六边形. 【知识点】几何体的点、棱、面 【解析】【解答】解：由图可得，四面体的棱数为4+4-2=6 长方体的棱数为8+6-2=13 ∴正八面体的顶点数为12+2-8=6 ∴顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式为V+F-E=2 故答案为：6；6；V+F-E=2 （2）设这个多面体的面数为x，则顶点数为x-8 由（1）可得：x-8+x-30=2 解得：x=20 故答案为：20 【分析】（1）由图，结合多面体的特征即可求出答案. （2）设这个多面体的面数为x，则顶点数为x-8，根据（1）中规律建立方程，解方程即可求出答案. （3）根据题意建立方程，化简即可求出答案. （4）设足球表面的正五边形有x个，正六边形有y个，总面数 F 为(x+y)个，根据题意可得球表面的棱数 E为 ，顶点数V= ，根据（1）中规律建立方程，解方程即可求出答案. 23．新定义：如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 图① 图② 备用图 （1）阅读理解： ①角的平分线　 　这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） ②如图①，，射线为的“幸运线”，则的度数为　 　； （2）解决问题 如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间的值． 【答案】（1）是；或或 （2）解：当时，射线在内部， 此时，， ①当时，则， 即，解得； ②当时，则， 即，解得； ③当时，则，解得； ④当时，则，解得； 故的值是或或． 【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：（1）① 设是的平分线，则， ∴一个角的平分线是这个角的“幸运线”， 故答案为：是； ② 分三种情况： 若，设，则， 由题意得，， 解得， 若，设，则， 由题意得，， 解得， 若，设，则， 由题意得，， 解得， ∴的度数为或或， 故答案为：或或； 【分析】（1）① 根据“幸运线”定义直接求解； ② 分3种情况：∠BOC=2∠AOC或∠AOB=2∠AOC或∠AOC=2∠BOC，根据“幸运线”定义得到方程求解即可； （2）分4种情况：∠MON=2∠BON或∠MON=2∠BOM或∠BOM=2∠BON或∠BON=2∠BOM，根据“幸运线”定义得到方程求解即可． 学科网（北京）股份有限公司 $