第二十五章概率初步单元测试题-2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册第二十五章概率初步单元测试题 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列事件是必然事件的是（    ） A．明天早上会下雨 B．掷一枚硬币，正面朝上 C．任意一个三角形，它的内角和等于 D．一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 2．（本题3分）已知一个不透明的袋子中装有9个只有颜色不同的球，其中3个白球，6个红球，若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为，则袋中红球被换成黄球的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（本题3分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）将分别标有“文”、“明”、“宁”、“安”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“宁、安”的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）为表彰文明有礼好少年，七、八年级分别选出两名同学和校长合影，校长坐在最中间，四名同学随机就座，则七年级两名同学均与校长相邻的概率为（   ）． A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均相等，那么，指针同时指向偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）一个不透明的袋子中有红球、白球共10个，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，记录颜色后放回，重复100次，发现摸到红球60次，则估计袋中红球约有（  ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 9．（本题3分）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，其中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出a大约是（   ） A．15 B．10 C．5 D．3 10．（本题3分）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃．从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是 ． 12．（本题3分）在一个不透明的盒子中装有3个红球、4个白球和若干个黑球，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，则黑球有 个． 13．（本题3分）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，则从最初位置爬到4号蜂房中，不同的爬法有 种． 14．（本题3分）现有七张分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的卡片，其中标有数字1，4，5，7的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 ． 15．（本题3分）秀秀的衣柜里有5件上衣，其中有2件是黄色，3件是红色，从中任意取出一件正好是黄色的概率为 ． 16．（本题3分）从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有 种． 17．（本题3分）如图，直线上A，B两点间的距离为，动点P从点A出发向右移动，每次都随机移动或或，则经过两次移动后，点P恰好和点B重合的概率为 ． 18．（本题3分）已知事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每1000次发生的次数约为 次． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次． (1)转动A盘，指针指向的数字大于3的概率是________，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是________； (2)若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平？并说明理由． 20．（本题9分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 21．（本题9分）九年级某班联欢会上，节目组设计了一个即兴表演节目游戏，在一个不透明的盒子里，放有四个完全相同的乒乓球，乒乓球上分别标有数字1，2，3，4，游戏规则是：参加联欢会的48名同学，每人同时从盒子里一次摸出两个乒乓球，若两球上数字之和大于5就给大家即兴表演一个节目；否则，下一个同学依次进行，直至48名同学都摸完， (1)若小朱是该班同学，用列表法或画树状图法求小朱同学表演节目的概率； (2)若参加联欢会的同学每人都有一次摸球的机会，请估计本次联欢会上大概有多少个同学表演节目？ 22．（本题9分）某校为弘扬法治精神，营造校园良好尊法学法守法环境，该校学生会宣传部决定从《民法典》、《未成年人保护法》、《刑法》、《义务教育法》（依次用字母A，B，C，D表示）中随机抽取两本法律并选取部分内容作为学校法治宣传栏内容． (1)抽取《义务教育法》作为宣传栏内容的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两本法律中有《民法典》的概率． 23．（本题9分）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250 (1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（保留2位小数）； (2)估计袋中白球的个数； (3)若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 24．（本题10分）南宁市某学校开展了“纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利80周年”思政大课研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)请补全条形统计图； (2)扇形统计图中，a的值为__________；A组对应的扇形圆心角的度数为__________°． (3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用画树状图或列表的方法求所抽取的两人恰好是两名男生的概率． 25．（本题12分）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 9.6 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_____，_____，______； (2)若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ (3)该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名．现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八年级的概率． 第6页，共6页 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A B C C C A B 1．C 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握定义是解题的关键．根据事件的分类，结合数学知识，生活经验解答即可． 【详解】解：A、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意； D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意； 故选∶C． 2．C 【分析】本题考查了概率公式的应用．设把个红球换成黄球，根据由3个白球和个黄球得摸得“一白一黄”共有种，从9个球里摸2个球共有种情况，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设把个红球换成黄球， 由3个白球和个黄球得：摸得“一白一黄”共有种， 从9个球里摸2个球共有种情况， ∵随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为， ∴， 解得，即袋中红球被换成黄球的个数为4个， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了概率公式的应用．由一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球， ∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是：． 故选：A． 4．A 【分析】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：∵向上一面出现数字的概率为，出现数字的概率为， ∴个面中要有个面标有，有个面标有， ∴只能有个面标有， ∴该木块不可能是选项A． 故选：A． 【点睛】此题考查了概率公式以及概率的意义，概率所求情况数与总情况数之比．劳记概率公式是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查树状图法求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出树状图，确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字组成“宁、安”的结果有种， ∴两次摸出的球上的汉字组成“宁、安”的概率为． 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查概率问题，掌握列举法是解题的关键． 根据题意，列举出所有的情况，根据题意计算概率即可． 【详解】根据题意，不妨设七年级两名学生为，八年级两名学生为， 则就坐的情况与位置1，2，3，4对应的有： ；；；；；； ；；；；；； ；；；；；； ；；；；；； 总共有24种情况，七年级两名同学均与校长相邻，即在2,3号位置的有4种， 所以七年级两名同学均与校长相邻的概率． 故选：C． 7．C 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏地表示出所有的结果，然后根据概率公式求解即可．首先画树状图，根据树状图求得所有的等可能的结果与指针指向的数字为偶数的情况，然后根据概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∴一共有种等可能的结果， 指针指向的数字均为偶数的有2种情况， ∴指针指向的数字为偶数的概率是． 故选：C． 8．C 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据概率求数量．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，求出摸到红球的概率，然后根据概率进行计算即可． 【详解】解：∵共试验100次，其中有60次摸到红球， ∴红球所占的比例为：， ∴袋中红球的个数约为：（个）， 故选：C． 9．A 【分析】本题考查了用频率估计概率，解题的关键是得到红球的频率的等量关系．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比. 根据红球的个数除以它占总数的比例即为球的总数a，求出即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 10．B 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：B． 11． 【分析】本题考查概率的计算，直接应用概率公式：事件发生的概率等于该事件可能发生的结果数除以所有可能的结果数。 【详解】解：从7张扑克牌中随机抽取张，共有种等可能结果， 其中抽到红桃的有种结果， 抽取红桃的概率为． 故答案为：． 12．5 【分析】本题考查了根据概率公式求数量，利用概率公式，摸到红球的概率等于红球数量与总球数量的比值，设黑球数量为未知数，建立方程求解，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设黑球有个，则总球数为， 根据题意，摸到红球的概率为， 解方程：两边乘以得， 因此， 检验：当时，是所列方程的解且符合题意， 故黑球有5个， 故答案为：5． 13．8 【分析】本题考查了列举法列举所有等可能结果，解题的关键是理解“蜜蜂只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上、右下）爬行”． 本题应分两种情况考虑：①当蜜蜂先向右爬行时；②当蜜蜂先向右上爬行时；然后将两种情况中所有可能的爬行路线一一列出，即可求出共有多少种不同的爬法． 【详解】解：本题可分两种情况： ①蜜蜂先向右爬，则可能的爬法有： 一、1⇒2⇒4；二、1⇒3⇒4；三、1⇒3⇒2⇒4； 共有3种爬法； ②蜜蜂先向右上爬，则可能的爬法有： 一、0⇒3⇒4；二、0⇒3⇒2⇒4； 三、0⇒1⇒2⇒4；四、0⇒1⇒3⇒4；五、0⇒1⇒3⇒2⇒4； 共5种爬法； 因此不同的爬法共有3+5=8种． 故答案为8． 14． 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率．先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有7种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查概率的计算，利用概率公式求解．总件数为5，黄色上衣件数为2，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：衣柜中共有5件上衣，其中黄色上衣有2件． 任意取出一件正好是黄色的概率为． 故答案为 ． 16．16 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握列举法是解题的关键；由列举法得出所有选法，减去三个数都不相邻的选法即可． 【详解】解：从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，分别为，共20种，其中三个数都不相邻的情况有，共4种情况， ∴至少有两个数为相邻整数的选法有（种）； 故答案为16． 17． 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：根据题意，画出树状图如图所示： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中经过两次移动后，点P恰好和点B重合的情况有种， ∴经过两次移动后，点P恰好和点B重合的概率为， 故答案为：． 18．100 【分析】本题考查了概率的意义，先明确概率的意义，再用总试验次数乘以事件A发生的概率，即可得到平均每100次发生的次数． 【详解】解：∵事件A发生的概率为， ∴大量重复做这种试验事件A平均每1000次发生的次数是． 故答案为：100． 19．(1) ， (2)该游戏不公平，理由见答案 【分析】（1）根据概率的概念进行求值即可； （2）先计算所有可能的结果，然后根据概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，通过比较概率相等与否判断游戏是否公平即可. 【详解】（1）解：； . （2）解： 由树状图可知共有25种情况，其中为奇数的情况个数为13种，偶数的情况12种， ∴小亮胜的概率为：； 小明胜的概率为：； 两人获胜概率不相等 ∴该游戏不公平. 【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键. 20．(1)这个游戏不公平，详见解析 (2)拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． （1）画出树状图，根据概率公式即可求出概率，比较概率即可得出结论； （2）让二者的概率相同即可． 【详解】（1）解：游戏方案不公平，理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为 ，小亮获胜的概率为，所以这个游戏不公平． （2）解：当拿出一个白球时，其他不变，同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； 或放进一个蓝球，其他不变，则同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； ∴游戏就公平了． 21．(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×部分相应概率． （1）根据画出的树状图得出所有等情况数和两个数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式即可得出答案； （2）表演即兴节目的同学数=学生总数×相应概率． 【详解】（1）解：根据题意画图如下： 由表可知，共有12种等可能结果，其中两个数字之和大于5的有4种， 小朱同学表演节目的概率 （2）解：根据题意得： （名） 答：估计本次联欢会上大概有16个同学表演节目． 22．(1) (2) 【分析】本题主要考查概率问题，列表法或树状图方法是解题的关键． （1）由题可直接得到概率； （2）根据题意列出树状图，再计算概率即可． 【详解】（1）总共4本法律，所以抽取《义务教育法》作为宣传栏内容的概率为， 故答案为：． （2）根据题意树状图如下： 抽取两本法律共有12种，其中有《民法典》的共有6种， 所以抽取的两本法律中有《民法典》的概率为． 23．(1)0.25 (2)3 (3) 【分析】此题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用频数总数频率求出答案，根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率； （2）首先求出球的总数，进一步求解即可得出答案； （3）先画树状图得出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解： 观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.25； （2）解：∵从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25 ∴球的总数为 ∴袋中白球的个数为； （3）解：画树状图得：     共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况， 两次都摸出白球的概率为． 24．(1)补全的条形统计图见详解 (2)32，72 (3)列表见详解，所抽取的两人恰好是两名男生的概率为 【分析】本题考查了统计图的综合应用及概率的计算． （1）根据已知条件求出总人数，再用总人数减去A、B、D组人数求得C组人数，再将C组人数补全到条形统计图即可； （2）利用“B组人数÷总人数×100%=B组所占百分比”可得B组所占的百分比，根据“圆心角度数=A组占总体的百分比×”即可得出； （3）设两名男生分别为男1、男2，两名女生分别为女1、女2，据此列出列表，再计算所有可能的结果数和所抽取的两人恰好是两名男生的结果数，最后计算概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴C组人数为：（人）， 如图所示： （2）解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴， A组对应的扇形圆心角的度数为：． 故答案为：32，72． （3）解：由题意知，列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 ∴共有12种等可能情况，其中所抽取的两人恰好是两名男生的情况有2种， ∴所抽取的两人恰好是两名男生的概率为． 25．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了众数，中位数，画树状图求概率，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据众数，中位数的定义进行分析，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （3）先画树状图，再得一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有种，然后列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，分析八年级20名学生的竞赛成绩，出现次数最多，且为次， ∴众数； ∵调查20名九年级学生竞赛成绩， ∴中位数排在第和名之间， 则，即A组有9名学生， 结合成绩情况，得出第和名的竞赛成绩分别是和， ∴中位数， 又∵组有名学生， 则， 故答案为：． （2）解：依题意，， ∴估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有人． （3）解：把八年级2名学生分别记为甲和乙，九年级2名学生分别记为丙和丁，画出树状图如下： ∴一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有种， ∴抽到的学生至少有一名来自八年级的概率为． 答案第2页，共12页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $