2.2.3 一元二次不等式的解法-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

所以-1的2邻域为(-3,1). 所以原不等式的解集为{xI1<x<6 (2)t-2的5邻域即为不等式|x-(t-2)|<5的解集， 例2：原不等式移项得ax2+(a-2)x-2≥0， 解不等式得t-7<x<t+3, 化简为(x+1)(a-2)≥0. 又t-2的5邻域是一个关于原点对称的区间， 因为a<0 所以t-7+t+3=0,解得t=2. 所x+(-2）=0 2.2.3一元二次不等式的解法 当-2<a<0时2≤E-1 必备知识探新知 当a=-2时，x=-1; 知识点1：ax2+bx+c>0“<"“≥”“≤” 对应练习 当a<-2时，-1≤x≤ (1)不是，a=0时，不符合一元二次不等式的定义；(2)不是，x 的最高次数为3：(3)、(4)是，符合一元二次不等式的定义； 综上所述，当-2<a<0时，解集为{✉2≤≤-1} (5)不是，m=0时，为一元一次不等式.m≠0时，含有x,y两 当a=-2时，解集为xlx=-1}; 个未知数；(6)不是，a=0时，x的最高次数不是2；(7)不是， 当a<-2时，解集为{-1≤x≤号} 因为不是整式不等式 对点训练2：原不等式可化为(ax+1)(x-1)<0. 知识点2：1.(x1,x2)（-0,x1)U(x2,+∞)2.(x-h)2 当a=0时，x<1; >k(x-h)2<k 对应练习 当a>0时，(x+}-)<0. ()(-3,)(2)R1)原不等式可化为(x-}水x+3) 所以-1<x<1: <0,所以-3<x<弓，所以原不等式的解集为(-3，) 当a=-1时，x≠1；当-1<a<0时，(x+)(x-1)>0,所 (2)因为4=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0，所以不等式 以x>- 1或x<1 3x2-2x+1>0的解集为R. 知识点3：1.分母 当a<-1时，-日<1，所以x>1或x<日 对应练习 C原不等式等价于(x-1)(2x+1)≥0且2x+1≠0， 综上，当a>0时原不等式的解集是+-日<1小 解得x<-或≥1. 当a=0时，原不等式的解集是{xlx<1};当-1<a<0时，原 不等式的解集是{：x<1或x>}当a=-1时，原不等 所以原不等式的解集为{x <-2或2} 式的解集是xIx≠1}；当a<-1时，原不等式的解集 关键能力攻重难 例1：(1)因为4=7-4×2×3=25>0， 是{x<-或x>小 所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,2= 例3：(1)由题意知一元二次方程ax2+4x-3=0的解为x1=1, 1 x2=b, -2 1+6=-4 所以原不等式的解集为{✉x>或x<-3} 由根与系数的关系得 (2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0，解得-1≤x≤5， 所以原不等式的解集为{xl-1≤x≤5}. 解得a=-1,b=3. 对点训练1：(1)原不等式可化为x2-6x+10<0, (2)将a=-1,b=3代人不等式得-2x2≤0，整理得 x-3 而x2-6x+10=(x-3)2+1≥1， 所以原不等式的解集为☑， 2x,D≤0，化简得x,x-3)≥0，故所求解华为 x-3 lx-3≠0， (2)原不等式可化为2x2-3x+2>0, xlx≤1或x>3}. 因为4=9-4×2×2=-7<0， 对点训练3：(1)D(2)B(1)原不等式等价于(x+1)(2-x) 所以方程2x2-3x+2=0无实根 ≤0且2-x≠0，所以x≤-1或x>2. 所以原不等式的解集为R 所以原不等式的解集为xlx≤-1或x>2}.故选D. (3)原不等式可化为x2-7x+6<0. 解方程x2-7x+6=0,得x1=1,x3=6. (2明为2-2x+20,所以由不等式22>3， -186 得x+4>3(x-2x+2),故选B. .2x2-3x+3<0 课堂检测固双基 .4=9-24<0,解集为⑦ 1.B②④一定是一元二次不等式 选C 2.B原不等式等价于x2-4x-5>0, 2.A.6x2+x-2≤0 即(x+1)(x-5)>0,解得x<-1或x>5 ..(3x+2)(2x-1)≤0， 故原不等式解集为xlx>5或x<-1},故选B. 1 3.Cax2+bx+c=0的两根为-2,3， ∴.选A 「-2+3=-6 a’ [b=-a, 得{ 3.Aa<-1a(x-a(s-日)k0e(-a）(-)> -2×3= c=-6a, a 0.又a<-1, .ax2 +bx+c>0 ax2-ax-6a >0. >a,>或x<a x2-x-6<0, a (x-3)(x+2)<0,-2<x<3, 4.A由题意得号，2是关于x的方程32+ax+b=0的两个不 选C 等实根， 4.{2}Rx2-4x+4≤0， .(x-2)2≤0， 「3+2=-3 所以 a=-8, 解得 .x=2, 2 5×2=3 b=4, .x2-4x+4≤0的解集为2}， x2-4x+4≥0的解集为R 所以a+b=-4. 5.ABD因为关于x的不等式x2+bx+c>0的解集为 5(-0,u(合+）>-6， xlx<-2或x>3},所以-2和3是方程x2+bx+c=0的两 0 个实根，所以根据一元二次方程根与系数的关系得-b=-2 +3,b=-1,故A正确；又-2×3=-6=c,所以不等式bx+c 即+>0， >0化为-x-6>0,所以x<-6,故B正确；所以b+c=-7, 故C不正确；不等式cx2-bm+1<0化为-6x2+x+1<0,即 x(1+bx)>0 >0或x<石 62-x-1>0,即(3x+D(2x-）>0,解得x>3或x< 又↓<a, -号，故D正确 :6.(-2,4)因为关于x的不等式2x2+ax-a2>0的解集中的 -a<0, 一个元素为2，所以8+2a-a2>0,即(a-4)(a+2)<0,解得 | -2<a<4. 1-ag<0, x {亭<数持1-特-10-5≤0等价 t<0或x>1 于-1)(3x+5)s0. L3x+5≠0， 不等式的解集为-，-)U(行，+} 解得-<小 练案[14] :8.80 根据题意，得皮+0≥40 A组基础巩固 1.C-x2+x+1≥0， 移项整理，得x2+10x-7200≥0. 显然△>0，x2+10x-7200=0有两个实数根， .x2-x-1≤0， ·4=1+4=5>0,解集不为R; 即x1=80,x2=-90, 又x2-25x+5>0, 然后，根据二次函数y=x2+10x-7200的图像（图略）， 得不等式的解集为x|x≤-90或x≥80}. .4=20-45>0,.解集不为R; 在这个实际问题中，x>0,所以这辆汽车刹车前的车速不低于 .…x2+6x+10>0, 80 km/h △=36-40<0，解集为R; 2x2-3x+4<1, 9因为2+3x-2x=-2-+88)+2=-2-)】 —187050 2.2.3一元二次不等式的解法 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.借助一元二次不等式的概念，培养数学抽象核心 1.理解一元二次不等式的定义. 素养 2.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式. 2.通过学习一元二次不等式的解法，提升数学运算核 (重点、难点) 心素养 3.了解简单的分式不等式，并会求其解集.（难点、易 3.借助简单分式不等式的解法，培养逻辑推理核心 错点) 素养。 必备知识探新知 知识点1一元二次不等式的概念 一般地，形如 的不等式称为一元二次不等式，其中a,b,c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的 不等号也可以是 等 提醒：一元二次不等式的二次项系裁a有a>0或a<0两种，注意a≠0.当a<0时，我们通常将不等式 两边同乘以一1，化为二次项系裁大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研 究二次项系裁大于0的一元二次不等式 ●对应练习 下列不等式中，哪些是一元二次不等式（其中a,b,c,m为常数）？ (1)a2>0;(2)x3+5x-6≥0；(3)-x-x2≤0；(4)x2>0;(5)mx2-5y>0；(6)ax2+bx+c≤0； (0)-士>0 知识点2一元二次不等式的解法 1.因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2,则不等式(x-x)(x-x2)<0的解集是 ;不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集 是 2.配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为或 的形式，然后根据k的正负 等知识，就可以得到原不等式的解集. 提醒：一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2k的形式 (1)当k≥0时，(x-h)2>k的解集为(-∞，h-√)U(h+R,+∞)；(x-h)2<k的解集为(h-√瓜，h +E) (2)当k<0时，(x-)2>k的解集为R;(x-h)2<k的解集为⑦ 051 ●对应练习 (1)不等式(2x-5)(x+3)<0的解集为 (2)不等式3x2-2x+1>0的解集是 知识点3分式不等式的解法 1.分式不等式的概念 中含有未知数的不等式称为分式不等式各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式“+ c+d>0 (≥0)或+b ar+i<0(s0). 2.分式不等式的解法 解分式不等式的思路一转化为整式不等式求解 化分式不等式为标准型的方法：移项，通分，右边化为0，左边化为治的形式将分式不等式转化为整式不 等式求解。 提醒：当分式不等式中含有等号，等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要 注意.（易错点） ●对应练习 不等式十≥0的解集为 a{e-< B{≤ c{<-分或 D.{≤-或≥} 关键能力 攻重难 ●题型一解不含参数的一元二次不等式 例解下列不等式： (1)2x2+7x+3>0;(2)x2-4x-5≤0. 归纳提升：一元二次 [归纳提升] 不等式的解法 )对点训练 (1)因式分解法： 1.解下列不等式： (2)配方法 (1)-22+3x-5>0:(2)-22+3x-2<0:(3)-2+7x>6 052 ●题型二 解含参数的一元二次不等式 例2解关于x的不等式：a-2≥2s-a(a<0。 归纳提升：解含参数的一 元二次不等式时： (1)若二次项系数含有参 >[归纳提升] 数，则需对二次项系裁 对点训练 大于0、小于0、等于02.解关于x的不等式：a2-(a-1)x-1<0(a∈R). 进行讨论 (2)若求对应一元二次方 程的根需用公式，则应 对判别式△进行讨论. (3)若求出的根中含有参 ●题型三解简单的分式不等式 数，则应对两根的大小 进行讨论. 例3已知关于x的不等式am+4-3>0的解集为x1<:<6. (1)求a,b的值； (2)解关于x的不等式2ax+2≤0 x-b 归纳提升：解分式不等式 的步骤 将不等式移项， >[归纳提升] :将不等式通分成 通分同分母的分式不 对点训练 等式特 转化将分式不等式转 3(1)不等式考≤0的解尖为 化为整式不等式 求解解出整式不等式 A.{xl-1≤x≤2 B.{xl-1≤x<2} 的解集，升作答 C.{xlx≤-1或x≥2} D.{xlx≤-1或x>2} ②)下列不等式中，与不等式之4+2>3的解集相同的是 A.(x+4)(x2-2x+2)>3 B.x+4>3(x2-2x+2) 1 3 C.2-2x+2x+4 D2< x+4 课堂检测 固双基 1.下面所给关于x的几个不等式：①3x+4<0:②x2+A.{xx≥5或x≤-1} mx-1>0;③ax2+4x-7>0:④x2+1<0.其中一定 B.{xlx>5或x<-1 为一元二次不等式的有 ( C.}xl-1<x<5 A.1个 B.2个 D.{xl-1≤x≤5} C.3个 D.4个 3.一元二次方程am2+bx+c=0的两根为-2,3，a<0, 2.不等式x2-2x-5>2x的解集是 ( 那么ax2+bx+c>0的解集为 () 053 A.xlx>3或x<-2} 5.若a>0,b>0,则不等式-b< <a的解集为 B.{xlx>2或<-3} C.{xl-2<x<3} D.{xl-3<x<2 夯基提能作业 4.不等式x2-4x+4≤0的解集是 ,x2-4x+4 请同学们认真完成练案[14] ≥0的解集是 2.2.4均值不等式及其应用 第1课时均值不等式 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件.（难 1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养。 点) 2.通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学 2.会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数 运算的素养 式的大小.（重点） 必备知识 探新知 知识点1均值不等式（基本不等式） 1.算术平均值与几何平均值 前提 给定两个正数a,b 思考1：均值不等式与 数粉为，5的 不等式a2+b≥2ab 结论 的关系如何？请对此 数√ab称为a,b的几何平均值 进行讨论 提示：(1)在a2+b2≥ 2.均值不等式 2ab中，a,b∈R；在 前提 a,b都是 a+b≥2ab中，a, 结论 b>0. (2)两者都带有等 等号成立的条件 当且仅当 时，等号成立 号，等号成立的条件 几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 从形式上看是一样 [思考1] 的，但实质不同（范 围不同). ●对应练习 (3)证明的方法都是 下列结论正确的有 （填序号). 作差比较法 ①对任意a,beR,a2+b2≥2ab均成立. (4)都可以用来求 ②若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2√ad. 最值. ③若a>0.6>0,则6≤( ④a,6同号时，名+公≥2