1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

+a=0存在实数根，则4=1-4a≥0，解得a≤，即实数a如x=0,y=2时，2-y+1=0-2+1=-1<0成立 10.(1)假命题；(2)假命题；(3)假命题；(4)真命题；(5)真 的取值范围是a≤分 命题 ;B组素养提升 (3)因为Ha∈A,都有a∈B成立，所以ACB,则t≤2， !1.C方程无实根时，a=0时适合条件.故选C. 即实数t的取值范围是t≤2 2.B①方程-2x2+x-4=0无实根；②2是质数，但不是奇数； 对点训练3：Dp为假命题，等价于方程x+a-1=0无正实 ③正确. 根，即x=1-a≤0，得a≥1， :3.ADA.x=1成立；B.方程x2+1=0无解，所以不成立；对于 .∴.a的取值范围为[1，+∞). C选项，x=-1时，(-1)3=-1<0，不正确.D.x2+x+1= 课堂检测固双基 1.B①③是可以判断真假的陈述句，是命题：②不能判断真假， (+号+>0相成立，房以D正商，做运AD 不是命题.故选B 4.存在量词命题假命题p:3x∈R,x2+2x+5<0是存在量 2.B当x=0时，0eN,但0<1.故“VxeN,x≥1”是假命题.故 词命题 选B. 因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0恒成立，所以命题p为假 3.D选项D中含有存在量词“存在”，所以根据存在量词命题 命题 的定义知选D. 4.3x<0,(1+x)(1-9x)2>0存在量词命题“存在M中的一 5.[1,+0）-2x+a≥0≤号 个x,使p(x)成立”可用符号简记为“3x∈M,p(x)” 若为真命题，则(-“](-引 5.[2,+o)x≤a恒成立是指a大于等于x的最大值，故a≥2 a ; 练案[6] 2≥2…a1. A组基础巩固 若g为假命题，则4=1-4(2a-1)<0,则a>令故a≥L 1.D对于A,“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，不是命题， 6.若x>0,由x>ax得a<-1,若x<0,由1x>ar得a> 不正确；B所给语句是命题，不正确；满足C的不一定是菱形， 1 不正确，D说法正确，故选D. L=-l,若对于一切xeR且x≠0，都有1xl>心，则实数a 2.ABD因为△=4+4a2>0,故C正确，任意凸多边形的外角和 的取值范围是(-1,1). 都是360°，故A是假命题；因为xeN,所以x+1≠0，故B是C组创新拓展 假命题.2是偶数，2不是合数，故D是假命题 C①2*(0*2)=2*(2*0)=0*4+2*0+2*0-0=4+ 3.BA是全称量词命题：B既是存在量词命题又是真命题：C: 2+2=8,错误； 中因为√3+(-3)=0，所以C是假命题：D中对于任意一个 ②a*(b*c)=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-2c,而b*(c*a)》 负数x,都有上<0，所以D是假命题，故选B. =b*(a*c)=c*(ab)+(b*c)+(a*c)-2c,故a*(b* 1 c)=b*(c*a),正确； 4.D全称量词命题含有量词“H”,故排除A,B,又等式d2+2 ③当a=b=0且c≠0时，(a+b)*c=0*c=c,而(a*c)+(b +2ab=(a+b)2对于全体实数都成立，故选D, *c)=(0*c)+(0*c)=2c,显然(a+b)*c≠(a*c)+(b 5.A由命题p:“Hx∈xl1≤x≤2}，22-x-m>0”为真命题，即对 *c)成立，正确 于Vxex1≤x≤2}，m<2x2-x恒成立，得m<(22-x)m=1,所 以m<1,m的取值范围为(-o,1). 1.2.2全弥量词命题与存在量词命题的否定 6.-1,-2,-3(答案不唯一)因为“设a,b,c是任意实数.若必备知识探新知 a>b>c,则a+b>c”是假命题，所以“设存在实数a,b,c.若a 知识点1：1.7p2.假 >b>c,则a+b≤c”是真命题，因为a>b>c,所以a+b>2c,对应练习 又a+b≤c,所以c<0.因此a,b,c的值依次可取-1，-2，-3 (1)圆周率π不是无理数假（2))不是集合A的子集 (答案不唯一). ® 7.①③②④①③是全称量词命题，②④是存在量词命题. 知识点2：L.Hx∈M,p(x)2.3x∈M,7q(x) 8-1≤m<0由题意得m满足1)假 -1-m≤0， 即 :对应练习 lP(2)真，l-m>0. ;1.C命题“Hx∈R,Ixl+x≥0”是全称量词命题，其否定为存 解得-1≤m<0. 在量词命题，所以命题的否定是3x∈R,lxl+x2<0. 9.(1)是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”.Hx∈R,x22.任意三角形不是直角三角形命题p是存在量词命题，p为 ≥0，是真命题 任意三角形不是直角三角形 (2)3x∈R,y∈R,2x-y+1<0,是真命题 3.真 -168 关键能力攻重难 m>1, 例1：(1)p:2,3不都是8的约数.真命题 即实数m的取值范围是(1，+∞)： (2)一p:实数的绝对值不都大于零.真命题， 课堂检测固双基 (3)p:菱形的对角线不垂直或不平分.假命题 1.C只有(2)，(3)，（4)正确，选C (4)7p:若xy=0,则x≠0且y≠0.假命题 2.D命题p的否定是HxeR,2x2+1>2,故选D. 对点训练1：(1)p:面积相等的三角形不都是全等三角形.真3.B将量词改变，结论否定，可得]xeR,x3-x2+1>0.故 命题， 选B. (2)p:若m2+n2=0,则实数m,n不全为零.假命题 4.HxeR,使得x2-x-2≠0 (3)7p:实数a,b,c满足abc=0,则a,b,c中都不为0.假5.有的正多边形的内角不都相等 命题 练案[7] 例2：1)该命题的否定：3x∈R,2-+<0。 A组 基础巩固 由于2-x+子=(x)≥0，是假合题 1.D对于选项A,√2为无理数，故A不符合题意，对于选项B,π =3.1415926…,故B不符合题意，选项C,因为4=9-4×2 (2)该命题的否定：存在一个正方形不是菱形，是假命题. ×21=-159<0,即方程2x2+3x+21=0没有实根，故C不符 (3)该命题的否定：存在一条与圆只有一个公共点的直线 合题意，对于选项D,等腰三角形可能以120°为顶角，30°为底 不是圆的切线，是假命题 角，符合题意，故选D. 对点训练2：(1)原命题为真命题，命题的否定：存在一个三角形 2.D“a,b中至少有一个大于1”表示“a,b中只有一个大于1” 的内角和不为180° 或“a,b中两个都大于1”，故其否定为“a,b都不大于1”，所以 (2)原命题为假命题，命题的否定：3xeN,x≤x2 所给命题的否定为“若a+b>1,则a,b都不大于1”.故选D. (3)原命题为假命题，命题的否定：存在被5整除的整数，末位 3.B命题为全称量词命题，则命题的否定是存在量词命题，则 数字不是0. 命题的否定：]x0∈R,x。-2x0+4≥0，故选B (4)原命题为真命题，命题的否定：存在一对等圆，其面积不 相等或周长不相等 4Dme[0,,+≥2的否定是3me[0,+< 例3：(1)命题的否定：任意四边形的对角线都互相垂直.是假 2“,全称量词命题的否定是换量词，否结论，不改变条件.故 命题 选D. (2)命题的否定：对所有的点(x,y),都不满足y=2x+1.是5.C依题意得：HxeR,x2+2mx+m+2≥0,4=(2m)2-4(m 假命题. +2)≤0，解得：-1≤m≤2，即m∈[-1,2]： 对点训练3：(1)该命题的否定：Vx∈R,x+2>0.为假命题 6.任意的有理数都有倒数假因为存在量词命题的否定为全 (2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.为假命题 称量词命题，所以命题的否定为：任意的有理数都有倒数.0 (3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.为假命题. 没有倒数. 例4：(1)根据题意知，当1≤x≤2时，1≤x2≤4. :7.是原命题是假命题，则该命题的否定是真命题，所以两位同 7p:31≤x≤2，x2-a<0为真命题，所以a>1, 学所出的题中m的取值范围是一致的. 所以实数a的取值范围是ala>I. 8.(1)存在实数x,有x-a≤0且x-b>0(2)b<a(1)命题 (2)由(1)知命题p为真命题时，a≤1. p的否定：存在实数x,有x-a≤0且x-b>0. 命题g为真命题时，4=4a2-4(2a+a2)≥0， (2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组厂-a≤0 的解 解得a≤0，所以g为真命题时，a>0. x-b>0. 所以as1, 集不为空集 La>0, 通过画数轴可看出，a,b应满足的条件是b<a. 解得0<a≤l, 9.(1)是真命题 即实数a的取值范围为al0<a≤1. 命题的否定：有理数都有倒数， 对点训练4：方法一：p:VxeR,x2-2x+m>0,是真命题，即 即所有的有理数都有倒数 m>-x2+2x=-(x-1)2+1,xeR恒成立，设函数y=-(x (2)是假命题 -1)2+1,由二次函数的性质知 命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下. 当x=1时，y税大值=1，小m>y最大值=1， (3)是真命题 即实数m的取值范围是(1，+o∞). 命题的否定：所有的四边形都是平行四边形 方法二：7p:Hx∈R,x2-2x+m>0,是真命题， 10.(1)7p:存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实 设函数y=x2-2x+m,由二次函数的图像和性质知， 数根. 只需方程x2-2x+m=0的根的判别式△<0，即4-4m<0,得 因为该方程的判别式4=m2+4>0恒成立，所以p为假 -169021 ●题型三依据含量词命题的真假求参数取值范围 例4)已知命题()：+1>x为真命题求x的取值范围： (2)存在x∈R,使x2+x+a=0成立，求实数a的取值范围； (3)已知集合A={xlx>2},B={xx>t,若Va∈A,都有a∈B成立，求实数t归纳提升：在求命题 的取值范围。 中参数的取值范围 思路探究：把存在与恒成立问题转化为不等式端点值的大小关系. 时，若命题中含有量 词，则首先要注意量 词是“H”还是 “了“，其含义不 同，不要混淆：其次 要注意所给命题是真 命题还是假命题，特 别是已知命题为假命 ●[归纳提升] 题，求参数的取值范 )对点训练 围时要注意等价 3.已知命题p:3x>0,x+a-1=0,若p为假命题，则a的取值范围为 转化. A.(-0,1) B.(-0,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 课堂检测 固双基 1.下列语句不是命题的有 ( C.不相交的两条直线是平行直线 ①若a>b,b>c,则a>c:②x>2;③3<7. D.存在实数大于等于1 A.0个 B.1个C.2个 D.3个 4.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用 2.下列命题是假命题的是 “了”写成存在量词命题为 A.Hx∈R,x2≥0 B.Hx∈N,x≥1 C.3xEZ,x<1 D.3xEQ,Q :5.若Vx∈（-o,2],x≤a恒成立，则实数a的取值范 3.下列命题是存在量词命题的是 围是 A.对顶角相等 夯基提能作业 B.正方形都是四边形 请同学们认真完成练案[6] 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.能正确写出一个命题的否定，并能够判断其真假. 2.理解含有一个量词的命题的否定的意义，会对含有1.通过对命题的否定的认识，提升数学抽象素养 一个量词的命题进行否定.（重点) 2.通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻 3.掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量 辑推理的素养. 词命题的否定是全称量词命题.（重点、难点） 022 必备知识探新知 知识点1命题的否定 1.定义：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或“p的否定”. 2.结论：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是 命题；反之亦然. ●对应练习 (1)圆周率π是无理数的否定是 ,它是 (选填“真”或“假”)命题 (2)☑是集合A的子集的否定是 ,它是 (选填“真”或“假”)命题. 知识点2存在量词命题与全称量词命题的否定 1.存在量词命题的否定 存在量词命题p AP 结论 3xEM,p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 2.全称量词命题的否定 全称量词命题g q 结论 Vx∈M,g(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 提醒：一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面敏迷的词语进行否定，下面把常用的正面敏述的词语 及它的否定列举如下 正面词语 否定词语 = >(<) ≤（≥） 是 不是 都是 不都是 任意（所有） 某个 存在 不存在 至多有1个 至少有2个 至少有1个 1个也没有 或 且 且 或 ●对应练习 1.命题“Hx∈R,lxl+x2≥0”的否定是 () A.Hx∈R,Ixl+x2<0 B.Hx∈R,lxl+x2≤0 C.3xER,Ixl +x2<0 D.]x∈R,1xl+x2≥0 2.设命题p:有些三角形是直角三角形，则一p为 3.命题“]x<1使得x2≥1”是 命题.（选填“真”或“假”） ●023 关键能力 攻重难 ●题型一命题的否定 例写出下列命题的否定，并判断其真假， (1)p:2,3都是8的约数； (2)P:实数的绝对值都大于0； 归纳提升：对一个命 (3)p:菱形的对角线垂直平分； 题进行否定的方法 (4)p:若xy=0,则x=0或y=0. 否定一个命题是对这 个命题结论的否定， 要灵活应用常见关键 词对应的否定词.另 外，命题和它的否定 真假性相反，可运用 此结论检查所写命题 的否定是否正确 ●[归纳提升] )对点训练 1.写出下列命题的否定形式，并判断其真假。 (1)p:面积相等的三角形都是全等三角形； 归纳提升：全称量词 (2)p:若m2+n2=0,则实数m,n全为零； 命题的否定形式与判 (3)p:实数a,b,c满足abc=0,则a,b,c中至少有一个为0. 断真假的方法 (1)全称量词命题的 形式是“Hx∈M, p(x)”,其否定形式 应该是既改变量词， 又对命题p(x)进行否 定，即“]x∈M, p(x)”,所以全称 ●题型二全称量词命题的否定与真假判断 量词命题的否定是存 在量词命题. 例2写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假， (2)若全称量词命题 (1)VxeR,x2-x+4≥0： 为真命题，其否定命 题就是假命题；若全 (2)所有的正方形都是菱形： 称量词命题为假命 (3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 题，其否定命题就是 真命题. (3)由于有些全称量 词命题省略了全称量 词，要注意先改写 后，再进行否定，如 本题(3)中省略了全 称量词“任意”，即 “任意一条与圆只有 一个公共点的直线是 ●[归纳提升] 圆的切线”· 024 对点训练 2.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定. (1)三角形的内角和为180°； (2)VxEN,x>x2; (3)所有被5整除的整数，末位数字都是0： (4)等圆的面积相等，周长相等. 归纳提升：存在量词 命题的形式为“]x∈ M,P(x)”,其否定形 式为“Hx∈M, 一P(x)”所以存在量 ●题型三存在量词命题的否定与其真假判断 词命题的否定是全称 3.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假. 量词命题，其真假性 (1)四边形的对角线不都互相垂直； 相反. (2)有一个点(x,y),满足y=2x+1. ●[归纳提升] )对点训练 3.写出下列存在量词命题的否定并判断所得命题的真假. (1)]x∈R,x+2≤0； (2)有的三角形是等边三角形； (3)有一个偶数是素数， 归纳提升：含有量词 的命题求参数问题的 思路 (1)此类题目常以二 次方程或二次不等式 等为载体，一般在题 ●题型四 含有量词的命题求参数问题 目中会出现“恒成 立”等词语，解决此 例 4.已知命题p:H1≤x≤2，x2-a≥0，命题q:]xeR,x2+2ax+2a+a2=0. 类问题，可用判别式 (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； 法求参数范围，也可 (2)若命题p和g均为真命题，求实数a的取值范围。 以利用分离参数法求 得参数的范围。 (2)求参数的范围 时，从真命题的角度 比较好列关系式，所 ●[归纳提升] 以如果已知条件是一 对点训练 个存在量词命题，且 4.已知命题p:“彐x∈R,x2-2x+m≤0”是假命题，求实数m的取值范围. 是假命题，可以写出 该命题的否定，利用 命题的否定是真命题 求得参数的范围 025 课堂检测 固双基 1.下列说法中正确的有 ()3.命题“Vx∈R,x3-x2+1≤0”的否定是 ①用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的； A.3xeR,x3-x2+1≥0 ②全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量 B.x∈R,x3-x2+1>0 词命题的否定一定是全称量词命题； C.3x∈R,x3-x2+1≤0 ③命题一p的否定是p; D.VxER,x-x2+1>0 ④3x∈M,P(x)与Hx∈M,p(x)的真假性相反， 4.若命题p:3x∈R,使得x2-x-2=0,则p为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.命题“正多边形的内角都相等”的否定是 2.若命题p:3x∈R,2x2+1≤2，则该命题的否定是( A.3x∈R,2x2+1>2 夯基提能作业 B.3x∈R,2x2+1≥2 请同学们认真完成练案[7] C.Hx∈R,2x2+1≤2 D.VxER,2x2+1>2 1.2.3充分条件、必要条件 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解充分条件、必要条件的定义.（难点) 1.通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理 2.会判断充分条件、必要条件、充要条件（重点） 素养 3.会根据充分不必要条件、必要不充分条件求字母的 取值范围.（重点） 2.通过充分条件、必要条件、充要条件的应用，培养数 学运算素养 4.会进行简单的充要条件的证明.（重点、难点） 必备知识 探新知 知识点1 充分条件与必要条件 思考1：(1)p是9的 命题真假 “若p,则g”是真命题 “若p,则g”是假命题 充分条件与q是p的 必要条件所表示的推 推出关系 p台g 出关系是否相同？ p是g的 条件 p不是g的 条件 (2)以下五种表述形 条件关系 9是p的 条件 q不是p的 条件 式：①p→q;②p是g 提醒：对于命题“若，则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看“→”的推出方 的充分条件；③q的充 向，“箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭尾”的女要条件 分条件是p;④q是p ●[思考1] 的必要条件；⑤p的必 。对应练习 要条件是4.这五种表 1.思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） 述形式等价吗？ (1)“x=3”是“x2=9”的必要条件 () 提示：(1)相同，都是 (2)“x>0”是“x>1”的充分条件 ()p→g.(2)等价 (3)如果p是g的充分条件，则p是唯一的. () 2.“x2=2x”是“x=0”的 条件，“x=0”是“x2=2x”的 （选填“充分”或“必 要”)条件