练案20 3.1.2 第1课时 单调性的定义与证明-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[20] 第三章 函 数 3.13.1.2[第1课时 单调性的定义与证明] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 9.判断函数fx)=2- 在区间(1，+∞)上的单调性， 1.函数f(x)=x+21在[-3,0]上 A.单调递减 B.单调递增 并用单调性定义证明， C.先减后增 D.先增后减 2.设(a,b),(c,d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈ (a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关 系为 A.f(x1)<f(x2) B.f(x)>f(x2） C.f(x1）=f(x2) D.不能确定 3.若f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，则不等式 f(x)>f(8(x-2))的解集是 A.(0,+) B.(0,2) C.(2,+∞) D(2,) 4.(多选题)(2024·绵阳高一检测)已知f(x)是定义在 R上的增函数，则下列结论中错误的有 A.y=[f(x)]是增函数 （U(x)≠0)是减函数 B.y=fx) C.y=-f(x)是减函数 D.y=f(x)1是增函数 5.已知函数f(x)=2x2-kx-3在[1,4]上具有单调性， 则实数k的取值范围为 A.(-0,4] B.[16,+0) C.[4,16 D.(-∞，4]U[16,+∞) 二、填空题 「2x+1,x≥1 6.已知函数f(x)= 则f(x)的单调递减区 5-x,x<1, 间是 7.如果f(x)在(0，+o)上单调递减，那么f(a2-a+1) 与分)的大小关系是 8.已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在(-∞，3)上 为减函数，则a的取值范围是 —139 10(2024·黄石商一检测)设函数x)-华a>6),话填空题 4.函数f(x+1)=x2-2x+1的定义域是[-2,0]，则 求(x)的单调区间，并说明代x)在其单调区间上的f(x)的单调递减区间是 单调性. 5.设fx)是定义在R上的增函数f(x灯)=f(x)+f(y), f(3)=1,则不等式f(x)+f(-2)>1的解集为 三、解答题 6.已知f(x)在(0，+∞)上是增函数，且f(x)>0,f(3) =1.试判断g()=)+入在(0,3上是增函数 还是减函数，并加以证明. B组素养提升 一、选择题 1.设函数f(x)在(-o,+o)上是减函数，a,beR且a +b≤0，则下列选项正确的是 ( A.f(a)+f(b)-[f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)sf(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)-f(a)+f(b) D.f(a)+f(b)=f(-a)+f(-b) r(a-3)x+5,x≤1， 2.已知函数f(x)= 2a 是R上的减函 ! l[x ,x>1 数，则实数a的取值范围是 A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2] 3.(多选题)下列说法中，正确的是 () A若对任意，1，）->0，则y=() X1-X2 在I上是增函数 B.函数y=x2在R上是增函数 C组创新拓展 C函数y=-十在定义域上是增函数 能说明“若函数f(x)和g(x)在R上都单调递增，则 h(x)=f(x)g(x)在R上单调递增”为假命题的函数 D.函数y=1的单调减区间是(-x,0)和(0，+∞） f(x)和g(x)的解析式分别是 140由于0与2关于x=1对称，所以f(2)=f0). 于B,y=2x-1在R上单调递增；对于C,y=1-2x在R上单 因为-2<0，所以f(-2)>f0),即f-2)>f2). 调递减：对于D,y=(2x-1)P在(-0,2）上单调递减，在 对点训练3：因为f(2+t)=f代2-t),所以f(x)图像的对称轴为x= 2故f代x)在[2，+0)上是增函数，且f1)=f3) (分，+上单调递增故选AB. 所以f2)<f3)<f(4),即f2)<f(1)<f4): i4.(-∞，-4)由题意得，4a-3>5+6a,即a<-4. 例4：(3,4)函数y=f(x)定义在(0，+∞)上且在(0，+0)上 5.(-3,-1),(1,+0)令g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4 单调递增f1)=0,则不等式f4-x)<0可化为0<4-x 先作出g(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x <1,解得3<x<4. 轴下方的图像翻折到x轴上方就得到f(x)=Ix2+2x-31的 对点训练4：(-∞，3)由y=fx)在R上是减函数且f2m)> 图像，如图所示. f代-m+9)知，2m<-m+9,解得m<3. 所以m的取值范围是(-∞，3). 例5：1x)=ax+=ax+2)+1-2=a+-29 x+2 x+2 x+2 所以f(x)要在区间(-2，+∞)上单调递增只需1-2a<0 即可. -2 所以a>2 123x -2 即a的取值范围为2，+o 3 -4 2 (2)k=0时，=-了x+1满足题意；k>0时，抛物线开口 由图像易得，函数的递增区间是(-3，-1)，（1，+∞). 向上，对称销x=文>0，在[0，+)上不可能单调递减： 练案[20] <0时，对称销x=<0在[0，+如)上单调递减 :A组基础巩固 综上，k的取值范围为(-0,0]。 :1.C 作出f代x)=Ix+21在(-∞，+∞)上的图像，如图所示， 对点训练5：(1)设f(x)=kx+b(k≠0)， 则f代x+1)=k(x+1)+b=kx+k+b=x+3a, 故k=1,b=3a-1. 又因为f(a)=3, -3-2-101x 即a+3a-1=3,解得a=1, 所以b=2,所以f代x)=x+2. 易知f(x)在[-3,0]上先减后增. (2)因为g(x)=x·(x+2)+入(x+2)+1=x2+(入+2)x+2.D由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调 2八+1的图像是开口向上，且以直线x=-入2为对称轴的抛 区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的 大小，而本题中的x1,2不在同一单调区间内，所以(x)与 物线。 f(x2)的大小关系不能确定，故选D. 若g(x)在(0,2)上具有单调性， 3.D由f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，得 则号2≤0或122 2 rx>0, 解得入≥-2或λ≤-6. 82)>0,解得2<x<9 故实数入的取值范围是入|入≥-2或入≤-6}. x>8(x-2). 课堂检测固双基 4.ABD不妨设fx)=x,则f(x)在R上是增函数. 对于A,y=x在(-∞，0)上是减函数，故A中结论错误： 1D结合反比例函数y=士的图像，可知其减区间为(-0) 对于B,y=在(-，0)和(0，+0)上是减函数，但不能说 和(0，+0).故选D 2D因为代x)在(-0，-1]上是增函数，且-2<-2 3 <-1, y=是减函数，故B中结论错误； 对于D,y=Ix在(-∞，0)上是减函数，故D中结论错误；易 所以-2)<-)<-1).故选D 知C中结论正确 3AB对于A,y=-在(-0,0)，(0，+0)上单调递增：对5.D要使x)=22-c-3在[1,4]上具有单调性，须使2女2 —205 ≤1或2女2≥4，解得6≤4或≥16，故选D 综上可得)8在(-，-b)和(-6，+如)上单调 6.（-0,1)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，fx)是减 递减. 函数，所以f代x)的单调递减区间为(-0,1). B组素养提升 f-a+)<() 因为心-a+1=(a-2)+ 31.D因为a+b≤0，所以a≤-b或b≤-a, 又函数f(x)在(-o,+o)上是减函数， 所以fa)≥f(-b)fb)≥f孔-a), 所以f(a)+f(b)≥f代-a)+f代-b).故选D. 又因为f(x)在(0，+∞)上单调递减， ,a-3<0, 所以c-a+I)<分) 2.D 依题意得实数a满足2a>0, &[o,] l(a-3)+5≥2a, ①当a=0时，f代x)=-12x+5在(-0,3)上为减 解得0<a≤2. 函数. 3.AD由）->0知y=)是增函数，故A正确y= ②当a>0时，此函数为二次函数且开口向上， X1-X2 对称轴：x=3-e a y=-上都有增区间，但不是增函数=单调减区间是 当。2≥3时，在(-“，3)上为减函数。 （-,0)和(0，+o),故D正确.故选AD. 4.[-1,1]fx+1)=x2-2x+1,令t=x+1, 即a≤}，故0<a≤子 所以x=t-1,所以f(t)=(t-2)2,te ③当a<0时，不可能在(-o,3)上为减函数. [-1,1],即fx)=(x-2)2,xe[-1,1],作 出图像如图，结合图像可知[-1,1]是函数 综上，a的取值范用是[0，引 f(x)的减区间. 9函数八x)=一在区间(1，+如)上单调递减。 由条件可得f(x)+f(-2) 证明如下：任取x1,x2∈(1，+0)，且1<2， =f代-2x), 则)-)石 又f(3)=1,.不等式f(x)+f(-2)>1, 即为f代-2x)>f(3). 号-好 f代x)是定义在R上的增函数， =(好-1)（话-1） （5+)(2-x)》 -2x>3,解得x<- (x7-1)(x好-1) 故不等式x)+-2)>1的解集为{✉<-} x1<2,.x2-x1>0. 又x1,x2e(1,+0), 6.函数g(x)在(0,3]上是减函数 证明如下： .x2+x1>0,x-1>0,x-1>0. 任取x1,x2∈(0,3]，且x1<x2,则 +)>0,即f)>) (x好-1)(x号-1) s)-))+-[n)+l f代x)在区间(1，+∞)上单调递减. 10.函数f(x)的定义域为(-∞，-b)U(-b,+0). =)-- 任取x1,x2∈（-∞，-b),且x1<x2,则f代x2)-f(x1)= 2+a 因为f(x)在(0，+∞)上是增函数， x2+bi 所以f(x,)-f代x）<0. +a_（2-x)(b-a) 又f(x)>0,f3)=1,所以0<f(x)<f(x2)≤f3)=1, 1+b(x2+b)(x1+b) 1 因为x1<x2<-b,a>b,所以x2-1>0,b-a<0,3+b<0, 则0<f代)<1x>1, x1+b<0, 所以点-西)(b-a) 即1-)<0， (+b)(x+<0,即f()-fx)<0, 所以g(x1)-g(x2)>0,g()>g() 即f(x2)<f(), 故g(x)=代x)+在(0,3]上是诚函数 所以f(x)在(-∞，-b)上单调递减， 同理可证f代x)在(-b,+∞)上单调递减. C组创新拓展 :f(x)=x和g(x)=2x(答案不唯一）根据题意，“若函数f(x) —206 和g(x)在R上都单调递增，则h(x)=f(x)g(x)在R上单调 由图像可知f(x)的最小值为f代1)=1，无最大值， 递增”为假命题，即函数f(x)和g(x)在R上都单调递增，而对点训练1：3-2观察函数图像可以知道，图像上位置最高 h(x)=f(x)g(x)在R上不是增函数，可以考虑fx),g(x)都 的点是(3,3)，最低的点是(-1.5，-2)，所以当x=3时，函数 为一次函数 y=f(x)取得最大值，即ym=3;当x=-1.5时，函数y=fx) 第2课时函数的平均变化率 取得最小值，即y。=-2. 例2：(1)当a=2时，f(x)=x2+3x-3,xe[-2,3], 必备知识探新知 知识点1：1.②当x1=,时，称直线的斜率不存在， 因为其对称轴为直线=-子∈〔-2,3]。 2.①函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大！ 所以-号-3- 4 于0.②函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜 fx)m=f3)=9+9-3=15, 率都小于0. 对应练习 所以函数)的值城为[-兰，15 a021a=2器-0 (2)因为函数f(x)的对称轴为直线x=-2a,」 2 m+-=1,即设=1，解得 (2)由直线的斜率公式得。4-m m+2 ①当-202l≤1，即a≥-时)m=f3)=6a+3, 2 m=1. 知识点21.）-2.①>②< 所以6@+3=1，即a=一分，满足题意： X2-x1 对应练习 ②当-202>1，即a<-时， 2 1.(1)V(2)V(3)×(1)一次函数y=ax+b(a≠0)从x1 fx)=f(-1)=-2a-1, 到，的平均变化率为Ay-+b)-(a+b)-a(3-x) 所以-2a-1=1,即a=-1,满足题意 x2-x1 x2-x1 综上可知，a=-写或a=-1 =a. (2)由平均变化率的几何意义可知A女_）-)表示过 对点训练2：(1)由于y=x2+mx+4在(-0，-1]上是减函数， △x 2-x1 在[-1，+0)上是增函数， 函数y=fx)图像上两点A(x1,f),B(x2fx2)所在直线 所以其对称轴为直线x=-1,故m=2. 的斜率. (2)当m=2时，y=x2+2x+4=(x+1)2+3,所以yn=3. (3)过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数例3：：△f=f(x+△x)-f(xo)=2(x+△x)2+1-(2x号+1)= 的定义，一定有x1≠x2 4x0·△x+2(△x)2, 2cAg-）0-2x1.-2x1=4.2 函数f(x)=2x°+1在区间[x,+△x]的平均变化率为 △x1.1-1 0.1 4f_4·Ax+2(△x)2 知识点3：≤≥ △x △x =4x0+2△x, 对应练习 1.-12 当%=1,4x=时，平均变化率为4×1+2×7=5， 21方()=2在[2,4上单调递诚。 对点训练3：设温度的增量为△t,则铁板面积S的增量为： △S=102[1+a(t+△t)]2-102(1+at)2=200(a+a2t)△t+ .当x=2,时f(x)ma=1, 100a2(△t)2,所以平均膨张率AS=200(a+a2)+100a2△. 1 △t 当x=4时f代x)m=2 例4：设-1<x1<x32<1且x≠x2,则 关键能力攻重难 aX2 ax 例1：(1)C由函数的图像知，当x=-2时，有最小值-2：当x 4y=5-1名-1 =5时，有最大值f代5)， △x 2-X1 (2)函数f(x)的图像如图， =[(-1)-x(x2-1)] （x2-x)(x1-1)(x2-1) -a =(6-1)(2-1)1 由-1<x<x2<1知x1-1<0,x2-1<0, 1 (-1)(-1)<0, -207