练案19 3.1.1 第3课时 分段函数-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

f(x)的值域为[0,2]U{2,3}=[0,2]U{3} 课堂检测固双基 例2：0因为分)31-2=-3 1.B根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除 A、D,然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C,故 服动新音 选B. 2.A因为y=x x 「x,x>0 所以函数的图像为选项A. (2)a)=号，若a≤1，则a-11-2=，得a 或a I-x.x<0. 3 3.B若0<a<2,则a+2>2, 由fa)=fa+2),得a=2(a+2)-4, 因为lal≤1，所以a的值不存在； 解得a=4或a=0(舍去)， 中a=子，得a=±厄，符合1al> 若1al>1,则，1与 日）4)=2x4-4=4 所以若fa)=号，a的值为±2 若a≥2，由f(a)=f(a+2),得2a-4=2(a+2)-4,无解 对点训练2：A 依题意知2)=2+2-2=4，则() 综上f(日）=4，故选B 母)=1-（仔=瓷故选A 4. 2 : 4》=)√F-2 对点训练3：Afa)+f1)=0,∴fa)=-f代1)=-2，当a>0 5.fx)=r+1,-1≤x<0, 由题图可知，f(x)的图像是由两 [-x,0≤x≤1 时，2a=-2,a=-1,舍去，当a≤0时，a+1=-2,.a= -3. 条线段组成的.当-1≤x<0时，设f(x)=ax+b(a≠0)，将 (-1,0),(0,1)代入解析式 对点训练4：(-∞，-3)当a≤-2时，f(a)=a<-3,.a∈ 1 （-0,-3); 得 -a+b=0 解得al, b=1 6=1,x)=x+1. 当-2<a<4时，fa)=a+1<-3,此时无解； 当a≥4时，f(a)=3a<-3,此时无解.故a的取值范围是 当0≤x≤1时，设f(x)=kx(k≠0)，将(1，-1)代入，得k= -1. (-0,-3) 例3：各函数对应图像如图所示： 所以x)的解析式为)=+1，-1≤x<0, -x.0≤x≤1. 练案[19] A组基础巩固 1.BD(x)∈{0,1}，.D(x)为有理数， .D[D(x)]=1. rx-2x,x≥0 2.C f(x)= 分段画出，应选C (1) (2) Lx2+2x,x<0, 由图像知，(1)的定义域是(0，+o),值域是[1，+0)； 「x2+1,x≤0 3.C 因为函数代x)= 1-2x,x>0, fa）=10,所以当a≤0时， (2)的定义域是(-∞，+∞)，值域是(-6,6]. f(a)=a2+1=10,解得a=-3或a=3(舍去)；当a>0时， 对点训练5：C依题意，知)=+u=+1x>0, ! fa)=-2a=10,解得a=-5(舍去).所以实数a的值为 xx-1,x<0 -3 所以函数f(x)的图像为选项C中的图像，故选C. i4.AC 对点训练6：(-∞，2]当x≥1时，y= ↑y 函数f(x)的图像如图所示： 2(x-1)-3x=-x-2;当0≤x<1时，y B(0,2) =-2(x-1)-3x=-5x+2;当x<0 时，y=-2(x-1)+3x=x+2. -x-2,x≥1， 4(1,-3) 故y= -5x+2,0≤x<1. 2-10123 x+2,x<0. 根据函数解析式作出函数图像，如图所示 -2 由图像可以看出，函数的值域为(-0,2]. 由图可得f(x)的值域为(-0,4)，f(x)<1的解集为(-o, -202 -1)U(-1,1),故A正确，D错误； B组素养提升 f1)=12=1,故B错误；由图可知，若f(x)=3,则x2=3,且1.C当a≥1时，a+1≥2，则f代a)=2(a-1),f代a+1)=2a, -1<x<2,所以x=5,故C正确. .2(a-1)=2a不成立. 5.D(1)当x+2≥0，即x≥-2时， 当0<a<1时，1<a+1<2,fa)=√a,fa+1)=2a, f(x+2)=1, 后=2a=4da=或a=0(含去). 由x+(x+2)·f(x+1)≤5， 可得x++2≤5，所以≤子，即-2气≤号 日）=4)=2×(4-1)=6，放选C (2)当x+2<0,即x<-2时f(x+2)=-1, :2.A当x≥0时，fx)=1,fx)+x≤2台x≤1， 由x+(x+2)·f(x+2)≤5， 所以0≤x≤1： 可得x-(x+2)≤5，即-2≤5成立，所以x<-2. 当x<0时，fx)=0,f(x)+x≤2台x≤2， 所以x<0,综上，x≤1. 综上，不等式的解失为{≤} 3.AD设t=fa),则ft)=-1.若t>0,则-t=-1,解得t= 6.3 由题图可知，函数f(x)的解析式为f(x)= 1或t=-1(舍去)，所以f(a)=1. 当a>0时，则-a2=1,方程无解； x-1,0<x<, 当a≤0时，a2+2a+1=1,解得a=0或a=-2,满足条件 x+1,-1<x<0 所以号)=号-1子 若t≤0，则t2+2t+1=-1,即？+2t+2=0,则4=22-4×2 所以兮)》=-号)-号+1=3 =-4<0,方程无解. 综上，a的值为0或-2. 4e-9 4-子当a>0时，1-a<1,1+a>1 -)-音+)=-）-g+=3) 由f1-a)=f1+a)可得2-2a+a=-1-a-2a, 号x2=号()=2×号=号 解得a=子，不合题意： 当a<0时，1-a>1,1+a<1, ()+》音+管=4 由f代1-a)=f1+a)可得-1+a-2a=2+2a+a, 8 依题意知f(0)=3×0+2=2,则f(f0)=f(2)=22-2a 解得a=-子综上，a=-子 =a,求得a=号 5.(1(-”,-][分+）(2)[0，山(1)利用描点 9.(1)0≤x≤2时，f(x)=x2-4,f(2)=22-4=0,ff2)) 法，作出f()的图像，如图所示由于（±2）=子结合此函 =f0)=02-4=-4. (2)当0≤0≤2时，由x6-4=8,得=±25（舍去）；当0 数图像可知，使f(x)≥的x的取值范围是 >2时，由2x0=8,得0=4.0=4. (-,2][2*x） 10.(1)-5<-2,.f-5)=-5+1=-4. -2<-5<2, “f-5)=(-5)2+2×(-5)=3-25. -高<-2-》-多+1-多 又：-2<-<2 (2)由图像知，当-1≤x≤1时， fx)=x2的值域为[0,1]， -》=-)(-)+2×(-2)- 当x>1或x<-1时，f(x)=1. (2)当a≤-2时，fa)=a+1,即a+1=3,a=2,不合题意， 1 所以f代x)的值域为[0,1]. 舍去： 6.（1)当1≤x<2时，x-1≥0，x-2<0, 当-2<a<2时，f代a)=a2+2a,即a2+2a=3,a2+2a-3= g(x)=6-15 2=2 0,解得a=1或a=-3. 1∈(-2,2)，-3(-2,2)，.a=1符合题意； (2)当x<1时，x-1<0,x-2<0g()=3,=1: 2 当a≥2时，fa)=2a-1,即2a-1=3,a=2,符合题意. 综上可知，当f代a)=3时，a=1或a=2. 当x≥2时x-1>0,x-2≥0g(x)=6,2=2 2 -203 ,1,x<1, 关键能力攻重难 故g(x)= 之，1≤x<2,其图像如图 例1：记y=f(x),任取x1,x2e(-1,+0)且：<，，那么f(x1)- 2,x≥2. f)=与+2与+2 x2-x1 名+1x2+1(+1)(x2+1) 因为-1<x1<x2,所以2-x>0,x+1>0,5+1>0, 2.5 +1)+D>0,即f)-)>0f)>6). 2一x1 所以，一 1 0.5 所以y=+2在(-L,+0)上是减函数 x+1 0123 对点训练1：任取x1,2∈(1，+0)且x1<:2,那么fx)-fx2)=x (3):g(x)>0,f(g(x)=2,xeR. 、1 +L 2 当<0时g)=81)=多： =(1-6)+5=(6-产5 x1x2 x1X2 当x≥0时，g(f(x)）=g(2)=2. 因为x2>x1>1,所以x1-龙2<0，x2>1,x162-1>0. 方程》=2g(f(x)), 所以)-)<0，即Rx)<).所以函数)=x+在 即x2= 5,x<0, 4,x≥0， (1,+∞)上是增函数 解得x=-5或x=2. 例2：(1)(-0,1]和(1，+∞)根据函数单调性定义及函数图 C组创新拓展 像知fx)在(-0,1]和(1，+o)上单调递增. 7([7,11]内的任何一个数均可)f(x)的图像如图， 「-x+2x+1,x≥0， 「-(x-1)2+2,x≥0， (2)y= -2-2x+1<0即y 1-(x+1)2+2,x<0, 函数图像如图所示，单调增区间为(-∞，-1，[0,1]， 3 单调减区间为[-1,0]，(1，+∞). 2 -3-2-1012345678x -1 -2 因为f(x)在区间[a,b]上的值域为[-1,2]，由图可知0≤a≤ 4,b=7, 所以7≤a+b≤11，所以a+b的一个可能的取值为7. 「-x-3,x≤1， !对点训练2：f代x)= 的图像如图所示， 3.1.2函数的单调性 1(x-2)2+3,x>1 第1课时单调性的定义与证明 必备知识探新知 知识点1：f(x)<fx2)f代x)>f2) 对应练习 :12x 1.A因为-1<0，所以一次函数y=-x+3在R上单调递减； 反比例函数y=士在(0，+)上单调递或：三次函数y=- +4在(0，+∞)上单调递减.故选A. 「-x-3,x≤1， 由图可知，函数f(x)= 的单调递减区间为 2.D由函数单调性的定义可知，判断单调性时不能用特殊值代 l(x-2)2+3,x>1 替任意值，故选D. （-∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，+∞) 知识点2：单调性 例3：由于f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，因此x=1是二 对应练习 次函数的对称轴 1.[-3,1] 又因为1<2<π，f代2)<f(π)，可以得f代x)在[1，+∞)上单 2.（-0,-1]fx)=-(x+1)2+1,函数f(x)的对称轴为x= 调递增， -1,故函数的递增区间为(-∞，-1]· -- 所以二次函数的图像开口向上，x)在(-∞，1)上单调递减 -204练案[19] 第三章 函 数 3.13.1.1 [第3课时分段函数] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 9.已知函数fx)={2x,x>2. 「x2-4,0≤x≤2， 1.著名的Dirichlet函数D(x)= 「1，x为有理数则 10,x为无理数， (1)求f2),ff(2)的值； D[D(x)]= ( (2)若f(xo)=8,求x的值， A.0 B.1 c为清理数 D. 1，x为有理数， 0,x为无理数 2.函数f(x)=x2-21x|的图像是 3.已知函数f(x)= [+l,x≤0若a)=10,则实数a -2x,x>0, 的值为 A.±3 B.3 C.-3 D.-3或-5 4.(多选题)已知函数x)=+2,≤山则关于函 lx2,-1<x<2, 数f八x)的结论正确的是 A.f(x)的值域为(-0,4) B.f(1)=3 C.若f(x)=3,则x的值是3 D.f(x)<1的解集为(-1,1) 5.已知)=1，<0. 1,x≥0，。则不等式x+(x+2)·八x+ 2)≤5的解集是 A.[-2,1] B.(-∞，-2] c[-2别 D(-,引 二、填空题 6.已知函数代x)的图像是两条线段（如图所示，不含端 点)，则3) 7.已知f(x)= 9则小1) 8.已知函数f(x)= 3x+2,x<1,若f(0)=a,则实 1x2-ax,x≥1， 数a= 137 rx+1(x≤-2)， 1 「x2,-1≤x≤1， 10.已知函数f(x)={x2+2x(-2<x<2), 5.已知fx)= 1,x>1或x<-1. 2x-1(x≥2) a)求-5)-同-)》的值： ()若)≥4，则x的取值范围为 (2)f(x)的值域为 (2)若f(a)=3,求实数a的值. 三、解答题 6.已知f(x)= 20.)=-0e-2 1,x<0, 2 (1)当1≤x<2时，求g(x)的解析式； (2)当x∈R时，求g(x)的解析式，并画出其图像； (3)求方程g)=2g(f(x))的解. ↑y 25 1.5 0.5 0123 B组素养提升 一、选择题 1.设f(x)= (0<x<1);、若f(a)=a+1),则 2(x-1)(x≥1)， 1)- () A.2 B.4 c.6 D.8 2.已知f(x)= 儿，x≥0则不等式(x)+x≤2的解集 10,x<0, 是 A.{xlx≤1} B.{xlx≤2} C.{xI0≤x≤1} D.xlx<0 3.(多选题)(2024·遵义高一检测)已知函数f(x)= 「x2+2x+1,x≤0， 1-x2,x>0, 则满足ff(a)=-1的a的值有 ( C组创新拓展 A.0 B.1 C.-1D.-2 已知函数f(x)= 二、填空题 G,0≤x≤4，若f(x)在区间[a,b] L-x+6,x>4, 上的值域为[-1,2]，则a+b的一个可能的值为 4.已知实数a≠0，函数∫(x)= 2x+a,x<1, 若 l-x-2a,x≥1. f1-a)=f(1+a),则a的值为 138