练案15 2.2.4 第1课时 均值不等式-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

即当x=4,y=12时，x+y取得最小值16. 5.B因为a,b都为正实数，2a+b=1, 例3：由均值不等式可得 a+64=(a2)2+(b2)2≥2a262. 所以婆安 同理：b4+c4≥2b2c2,c4+a≥2a2c2,所以(a4+b)+(b+ 当且仅当2a-b,即a=子，b=2时，ab取最大值8 c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2bc2+2a2c2, 从面。++≥W+b+ea(当且仅当2=8=624因为+号=1≥2√品所以≥8因此3≥24，当 时，等号成立) 1 对点训练3：因为a>0,6>0,所以+≥2√品>0， /1 且仪当=名，即a=26=4时，取等号 所以、2 7.58年平均利润之=-+18-空-(+匀)+18≤8 1 ==√ab, 当且仅当=5时，等号成立.()=8， 即2（当a=-6时取） 即机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元 a+6 8.[6,+0）因为x>0,y>0, 课堂检测固双基 由均值不等式得x+y+3=y≤（生）， 1.DA选项，当a<0,且b<0时不成立；B选项，当a<0时不成 立；C选项，当a与b异号时不成立.故选D. 令4y=则43≤（月 2Ba=>生的瓜>~6=6，因此只有B项正确 化简得2-4t-12≥0， 2 解得t≥6或t≤-2（舍去）， 3c由瓜=+云≥2√层得2，当且仪当女-子 a 所以x+y的取值范围为[6，+∞). 9.因为x>-1,所以x+1>0. 时取“=”.故选C 设x+1=t>0,则x=t-1,于是有： 4.2已知x>0,y>0,y=10,则z=+3≥2 0=2,故 Nxy (x+5)(x+2)(t+4)(t+1)+5t+4 x+1 t t 2小值=2，当且仅当2y=5x时取等号.又xy=10,即x=2,y=5 4 74 时等号成立 =t++5≥2√：+5=9. 因为a>0,6>0,所以2a+古=3≥2√停，当且仅当2a 当且仅当1=号，即1=2时取等号，此时x= =即ú=子=号时，等号成立所以≤ 所以当x=1时，x+5)(x+2取得最小值是9. x+1 练案[15] 10.(1).·1=4a+b≥2/4ab=4ab 1 1 A组基础巩固 ad≤4ab≤16 1.A62+1≥2b,.a+2b≤a+b2+1. 2.A因为a,beZ,所以2>0,2>0，所以2"+2≥2√2·2 当且仅当a=日6=时，取等号， =2√2*6=2，当且仅当a=b=0时，等号成立.所以2“+2 故ab的最大值为石 的最小值是2. (2).x+3y=5xy,x>0,y>0, 3A>02+≥2=6 13 当且仅当x=号，即x=3时取得最小值6，故选1 3+4=3x+4(+动-+影+x3≥号+ 4D由V瓜≤生艺-2得b≤4，市≥子，放A错： 2像要5 abab≥L,故B错： 当且仅当等-之，即==1时取等号， 由a+6=4,得瓜≤号=2，放C错： !B组素养提升 ≥（得+≥2×号）=8， 1.D 由图形可知0F=宁4B=“生，0c=“2之在A0c中， 2 。+6≤名，DE确 1 由购暖定理可得5√生+√ -190 c0生 F(a>0,b>0- -b+c≥2c>0. a a 2c(*+(+ -1-1-“20, b b b =2+++++ -1=0+b+c-1=a+b≥2画>0， c (+)+(+)+(÷+） 将以上三式相乘得 (日---8画匹8 abc 当且仅当=y号我=y多时取等号。 当且仅当a=6=c=了时取等号。 2 C组创新拓展 3BC对于A,a+6+≥2Vb+ ab √a ≥22<3，当且仅当a B因为a6,均为正实数则二+号≥a,当且仅 y x+y =动=号时等号同时成立 当：=b时等号成立， 对于B,a+b)(日+古)=2+号+号 +b≥2+2√6 又0<x<2,即1-2x>0, 4,当且仅当a=b时取等号； 于是号+5，当且仅当号云 (2+3)2 3 对于C,0+6≥(a+b)2≥(a+b) √而≥2a而≥a+b =a+b,当且仅当a=b时 即x=写时取等号。 取等号； 所以2+？20<x<宁)的最小值为25 对于D,当a=b=时，= 3 2 /ab 6 第2课时均值不等式的应用 √石√>√层所以点<瓜 必备知识探新知 知识点：(1)大(2)小 4a<2b<分<G2+公<b因为0<a<6,a+b=l,所以a< 对应练习 (1)V(2)V(3)×(1)由a+b≥2√ab可知正确 <6 ① 2ab<a2+b2. ② (2)由a6≤（生=4可知正编 因为2+8>2=分 (3)V√一不是常数故错识 a2+b2=a·a+b2<a·b+b2=(1-b)b+62=b, 关键能力攻重难 所以号<a2+2<6. 例1：(1)-12因为x<0,所以-x>0. 又2<2=分2>2xg0=a, 则3+-[2+(-3小-2(-30 -12, 所以a<2d<分，所以a<2b<3<d+62<6 当且仅当12=-3x,即x=-2时，3+2取得最大值为 5.6-万6由y(x+6)=1,可得x(x+6）=了， -12. 故(x+3y)2=2+6xr+9y72=x(x+6y)+9y2= +9y2≥ （2)因为x>2,所以x-2>0,所以x+2=x-2+2寸 2√9听=6，当显仅当号9r. 22√-2)‘5+2=4， 即=县时，等号成立 所以当且仅当x-2=x>2. 此时x+3y取最小值6，x=6-3y=6-√5. 即x=3时+2的最小值为4 6因为a+6+c=l,a>0.b>0,c>0,所以-1=0+6上-1 a (3)因为0<x<号所以1-2x>0, 一191练案[15] 第二章 等式与不等式 2.22.2.4[第1课时均值不等式] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 9.设x>-1,求x+5)(x+2的最小值， x+1 1.设t=a+2b,s=a+b2+1,则t与s的大小关系是 ( A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s<t 2.若a,beZ,且a+b=0,则2°+2的最小值是( A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知x>0,则？+x的最小值为 A.6 B.5 C.4 D.3 4.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是 4.1、1 1ab>2 B.141 a+is C.ab≥2 1 1 D.2+b≤8 5.已知a,b都为正实数，2a+b=1,则ab的最大值是 A号 B.g c 二、填空题 6已知正数a6,+ b =1,则3ab的最小值为 7.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器 生产的产品可获得的总利润y(万元)与机器运转时 间x(年数，x∈N)的关系为y=-x2+18x-25,则 当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最 大值是 万元 ! 8.若正数x,y满足xy=x+y+3,则x+y的取值范围是 —129 10.(1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值；3.（多选题）已知a,b均为正实数，则下列不等式一定 (2)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最 成立的是 () 小值 A.a+b+- 1≥3 ab s(a+b日+)=4 C.a2+b -≥a+b ab D.- 2ab ≥√ad /a+ 二、填空题 4.若0<a<b且a+6=1,则7，a,b,2a,心+的大小 关系为 ·(用“<”连接) 5.已知正数x,y满足xy2(x+6y)=1,当x= 时，x+3y取得最小值，最小值是 三、解答题 6.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1. 求证。-6-(-≥8 B组素养提升 一、选择题 1.《几何原本》第二卷中的几何代数 法（以几何方法研究代数问题）成 了后世西方数学家处理问题的重 要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过 图形实现证明，并称之为无字证明.现有如图所示的 图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF1 AB.设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明 为 L0生≥(a>0.6>0) ! C组创新拓展 B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) 权方和不等式作为基本不等式的一个变式，在求二元 c≤瓜(u>0.b>0) 变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x, y均为正实数，则g+公≥a+)°，当且仅当“= a2+b2 x+y x Y D.46≤/2(a>0,6>0 时等号成立根据权方和不等式，？ 9 2,2024·沈阳高一检测若y是正数，则x+ +1-2x (0<x<)的最小值为 () (+)的最小值是 ) A.16 B.25 C.36 D.49 A.3 C.4 130