充要条件 - 江苏省2026年职教高考一轮复习《数学考点双析卷》第5卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：江苏省2026年职教高考一轮复习《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年职教高考数学真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是江苏省2026年职教高考《数学考点双析卷》的第5卷，主要考查充要条件的掌握情况。 江苏省2026年职教高考《数学考点双析卷》 第5卷 充要条件 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．“ ”的一个充分不必要条件是 （     ） A． B． C．或 D．或 2．“为第一象限角”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“”是“函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数“的最小正周期为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．“函数的图像关于原点对称”是“函数是奇函数”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 7．下列说法正确的是（    ） A．若 ，则“”是“”的必要不充分条件 B．“ 为真命题”是“ 为真命题”的必要不充分条件 C．若命题 ：，则 是真命题 D．命题的否定是 8．已知函数，则下列论述正确的是（    ） A．且，使 B．，当时，有恒成立 C．使有意义的必要不充分条件为 D．使成立的充要条件为 9．下列命题中，真命题个数是（    ） ①是的充分条件； ②是的充要条件； ③是的必要条件； ④已知x，y是实数，则是的充分不必要条件. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．下列命题中，条件p是结论q的充要条件的是（   ） A． B． C．或 D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11．已知集合，集合，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ；若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 . 12．设，则“”是“直线与直线平行”的 条件(填充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要） 13．以下四个命题： ①设，则是的充要条件； ②已知命题、、满足“或”真，“或”也真，则“或”假； ③若，则使得恒成立的的取值范围为或； 其中真命题的序号为 . 14．已知，“不等式对任意R恒成立”的一个充分非必要条件是 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知集合，集合，命题，命题． (1)当实数a为何值时，p是q的充要条件； (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的范围． 16．设全集，集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） (1)若，则； (2)若x为无理数，则为无理数； (3)若，则； 18．已知；． (1)若，则是的什么条件？ (2)若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围． 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：江苏省2026年职教高考一轮复习《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年职教高考数学真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是江苏省2026年职教高考《数学考点双析卷》的第5卷，主要考查充要条件的掌握情况。 江苏省2026年职教高考《数学考点双析卷》 第5卷 充要条件 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．“ ”的一个充分不必要条件是 （     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据充分性及必要性的定义逐项判断即可得解. 【详解】方程的解为或， 选项，当时，，故充分性不成立； 当，或，故必要性不成立， 所以是既不充分也不必要条件，故不符合题意； 选项，当时，，故充分性成立； 当，或，故必要性不成立， 所以是充分也不必要条件，故符合题意； 选项，当或，不成立，故充分性不成立； 当，或，故必要性不成立， 所以或是的既不充分也不必要条件，故不符合题意， 选项，当或时，成立，故充分性成立； 当时，或时，故必要性成立， 所以或是充要条件，故不符合题意， 故选：. 2．“为第一象限角”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据象限角及界限角的三角函数值的正负结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】第一象限角，则，故充分性成立； 但 时，为第一、第四象限角或者终边在轴正半轴上，故必要性不成立， “为第一象限角”是“”的充分不必要条件， 故选：A. A．1 B． C． D． 3．“”是“函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据对数型复合函数的单调性结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】函数，则，解得或， 所以函数的定义为， 又因为底数，所以函数为增函数， 令，图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 则函数在上为减函数，上为增函数， 则函数在上为增函数， 所以当时，不能推出函数在上单调递增，故充分性不成立； 当函数在上单调递增时，成立，故必要性成立， 所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件， 故选：. 4．是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的定义结合正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为在上为增函数，且， 所以函数在上为增函数，此时，故充分性成立； 当时，此时且，故必要性不成立， 所以是的充分不必要条件， 故选：. 5．函数“的最小正周期为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用二倍角余弦公式化简函数，由余弦型函数最小正周期的求法可求得，进而由推出关系确定结论. 【详解】， 的最小正周期为， ，解得：， ，， “的最小正周期为”是“”的必要不充分条件. 故选：. 6．“函数的图像关于原点对称”是“函数是奇函数”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的概念和函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】设函数表达式为， 充分性：若函数图像关于原点对称，设为图像上任意一点， 则关于原点的对称点为，该点仍在图像上， 因此，符合奇函数的定义，即函数为奇函数； 必要性：若函数为奇函数，设为图像上任意一点， 则关于原点的对称点为， 因为为奇函数，所以， 即仍在图像上，因此，函数图像关于原点对称. 综上所述：“函数的图像关于原点对称”是“函数是奇函数”的充要条件. 故选：. 7．下列说法正确的是（    ） A．若 ，则“”是“”的必要不充分条件 B．“ 为真命题”是“ 为真命题”的必要不充分条件 C．若命题 ：，则 是真命题 D．命题的否定是 【答案】A 【分析】由充要条件的定义及命题的否定即可得解. 【详解】由 得 或 .反之由 得 . 所以“”是“”的必要不充分条件,故正确; 由 为真命题,知 , 均为真命题. 所以 为真命题,反之由 为真命题得 ， 至少有一个为真命题. 所以 不一定为真命题. 所以“ 为真命题”是“ 为真命题”的充分不必要条件,故不正确; 因为 . 所以命题 为真命题,则 是假命题,故不正确; 命题“的否定是故不正确． 故选:. 8．已知函数，则下列论述正确的是（    ） A．且，使 B．，当时，有恒成立 C．使有意义的必要不充分条件为 D．使成立的充要条件为 【答案】B 【分析】根据余弦函数的性质，结合充分性、必要性的定义，结合对数型复合函数的单调性逐一判断即可. 【详解】在中， 对于A，∵， ∴若，当且仅当时，，A错； 对于B， 当时，为增函数，而， 在上为增函数， 由复合函数单调性知，当时，函数单调递增，B正确； 对于C， ∵有意义，∴， 而为的真子集， 是的充分不必要条件，C错； 对于D， 令，则， 故， 而为的真子集， 故是成立的充分不必要条件，D错误. 故选：B. 9．下列命题中，真命题个数是（    ） ①是的充分条件； ②是的充要条件； ③是的必要条件； ④已知x，y是实数，则是的充分不必要条件. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据命题真假来判断充要条件是否成立，利用三角函数正弦值相等推导角度之间是否相等来判定充要条件是否成立即可. 【详解】①时成立，而时不一定成立，正确； ②都有，是充要条件，正确； ③不一定得到时一定有是必要不充分条件，正确； ④当时，成立，充分性成立；当时，x=y不一定成立，必要性不成立，所以是的充分不必要条件，正确. 故选：D. 10．下列命题中，条件p是结论q的充要条件的是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据充要条件的概念判断. 【详解】对于A，不能推出，如；而能推出， 故条件p是结论q的必要不充分条件，故A错误； 对于B，，则不能推出；而能推出， 故条件p是结论q的必要不充分条件，故B错误； 对于C，或能推出；能推出或， 故条件p是结论q的充要条件，故C正确； 对于D，不能推出，如；而能推出， 故条件p是结论q的必要不充分条件，故D错误， 故选：C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11．已知集合，集合，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ；若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 [1,+∞） （0,]. 【解析】根据集合的含义，结合充分性和必要性，数形结合解决问题. 【详解】根据题意，集合， 其几何意义为如图正方形ABCD及其内部区域， 集合， 其几何意义为圆x2+y2＝a2的圆周及其内部区域， 而圆x2+y2＝a2的圆心为，半径r＝a， 若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件， 则正方形ABCD在圆x2+y2＝a2的内部，必有a≥1， 此时a的取值范围为[1,+∞）； 若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， 则圆x2+y2＝a2在正方形ABCD的内部， 由点到直线的距离公式可知当圆与正方形相切时候半径为. 则要满足题意，只需a≤， 此时a的取值范围为（0,]； 故答案为：[1,+∞）；（0,]. 12．设，则“”是“直线与直线平行”的 条件(填充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要） 【答案】充分不必要 【分析】根据两直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】若，显然直线 与直线平行，即若，则直线与直线平行是真命题， 若直线 与直线平行，则 ，解得或，即a可以不取1， 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要. 故答案为：充分不必要. 13．以下四个命题： ①设，则是的充要条件； ②已知命题、、满足“或”真，“或”也真，则“或”假； ③若，则使得恒成立的的取值范围为或； 其中真命题的序号为 . 【答案】①③ 【分析】利用对数函数的性质可判断①；利用复合命题的真假判定方法可判断②；利用主元法可判断③. 【详解】对于①，当，根据对数函数的运算性质，可得， 反证，当时，可得， 所以“”是“”成立的充要条件，故①正确； 对于②，若命题““或”真”，可得命题中至少有一个是真命题， 当为真命题时，则假命题，此时若“或”真，则命题为真命题， 所以“或”真命题，故②错误； 对于③，令， 则不等式恒成立转化为在恒成立， 则满足，即，解得或，故③正确； 故答案为：①③. 14．已知，“不等式对任意R恒成立”的一个充分非必要条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据绝对值三角不等式，结合充分非必要条件的概念即可求解. 【详解】由题意得，因为， 解得或， 所以“不等式 对任意R恒成立”的 一个充分非必要条件是的任意一个真子集， 故一个充分非必要条件可以是. 故答案为：（答案不唯一）. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知集合，集合，命题，命题． (1)当实数a为何值时，p是q的充要条件； (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出两个集合，再对分类讨论求出答案. （2）根据命题的条件解不等式易得答案. 【详解】（1）因为或, 当时,或, 当时, 或, 因为p是q的充要条件,所以,故等式不成立舍去, 当或时, 或 因为, 故时,p是q的充要条件. （2）因为p是q的充分不必要条件,所以, 当时,,故不等式不成立舍去, 当或时,, 解得,因为当时,p是q的充要条件,故舍去, 所以, 所以当时,p是q的充分不必要条件. 16．设全集，集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据列不等式，由此求得的取值范围. （2）根据以及是的充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由于，所以，解得， 所以的取值范围是. （2）由于且是的充分不必要条件， 所以，解得， 所以的取值范围是. 17．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） (1)若，则； (2)若x为无理数，则为无理数； (3)若，则； 【答案】(1)充分不必要条件 (2)必要不充分条件 (3)充分不必要条件 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义判断. （2）根据充分条件和必要条件的定义判断. （3）根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】（1）因为若，则， 若，则 ， 所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件． （2）若x为无理数，则不一定为无理数，如为无理数，但不是无理数. 若为无理数， 则x为无理数，所以p是q的必要不充分条件． （3）若，则. 若，则不一定成立.所以p是q的充分不必要条件． 18．已知；． (1)若，则是的什么条件？ (2)若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)充分不必要条件 (2) 【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解p，再由集合的包含关系即可确定； （2）若p是q的必要不充分条件可确定包含关系，注意空集的情况即可. 【详解】（1）由解得， 当时，， 显然是的真子集， 所以p是q的充分不必要条件． （2）p是q的必要不充分条件， 所以是的真子集． ①当时，即，解得 ，满足题意， ②当时，且等号不同时成立， 解得， 的取值范围：． 试卷第10页，共11页 试卷第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $