3.1.1 第2课时 函数的概念(二)-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

052 第2课时函数的概念（二） 教材梳理明要点 9情境导入 生活中人们通过化妆使自己看起来更漂亮，也更自信.犯罪分子也利 用化妆躲避警察和人民的追捕.但是一个人的样貌无论如何改变，他的 DNA是改变不了的.于是在特殊情况下，通过检测DNA来确定是否是同 一个人.在数学中，如何判断两个函数是否是同一个函数呢？●[提示] [提示] 定义域相同，对应关 曰新知初探 系也相同的函数就是 知识点一区间及有关概念 1.一般区间的表示 同一函数 设a,b∈R,且a<b,规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {xla≤x≤b} 闭区间 。6 [知识点反思] xla<x<b 开区间 。6 /.区间只能表示连续 {xla≤x<b} 半闭半开区间 的数集，“开”不包 。b 含端点，“闭”包含 {x|a<x≤b 半开半闭区间 端点；用数轴表示区 间时，要特别注意实 2.特殊区间的表示 心点包含端点与空心 定义 R {xlx≥a xlx>a {xlx≤a xlx<a 点、不包含端点的区 别；区间是实数集的 符号 一种表示形式，集合 知识点二 同一函数 的运算仍然成立； 相同 2函数有定义域、对 前提条件 应关系和值域三要 完全一致 素，由函数的定义域 结论 这两个函数是同一函数 和对应关系可以求出 函数的值域，所以判 ●[知识点反思] 断两个函数是否是同 知识点三 常见函数的定义域和值域 一个函数，只看定义 二次函数 域和对应关系.即使定 反比例 函数 一次函数 义域和值域相同的函 函数 数，也不一定是同一 函数 对应关系 y=ax+b y=ax2+bx+c y=ax2 +bx+c (a≠0) （k≠0) (a≠0) (a≠0) 定义域 R {xlx≠0} R R 值域 R {yly≠0} yJ≥4ac-61 4a .053 目预习自测 1.若函数y=x2-3x的定义域为{-1,0,2,3}，则其值域为 A{-2,0,4 B.{-2,0,2,4} cy≤- D.{yI0≤y≤3 2.函数y=-x2+1,-1≤x<2的值域是 ( A.(-3,0] B.（-3,1] C.[0,1] D.[1,5) 题型探究提技能 题型一 同一函数的判断 例1(1)下列各组函数： ①f(x)=x-x [方法总结1] ,8(x)=x-1; 判断两个函数为同一 2②r)-g)=2: 函数应注意的三点 1.定义域、对应关系 ③f(x)=(x-1)2,g()=7-21+1; 两者中只要有一个不 ④f(x)=x+1,g(x）=x+x; 相同就不是同一函 ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)=801(0≤t≤5) 数，即使定义域与值 与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5). 域都相同，也不一定 其中表示同一函数的是 (填序号) 是同一函数； (2)试判断函数y=√x-1·√x+I与函数y=√(x+1)(x-1)是否 2.函数是两个数集之 间的对应关系，所以 为同一函数，并说明理由. >[方法总结1] 用什么字母表示自变 量、因变量是没有限 制的； 3.在化简解析式时， 必须是等价变形. )》跟踪训训练1 ∫(x)与g(x)表示同一函数的是 [方法总结2] A.f(x)=x,g(x)=√ B.f(x)=1,g(x)=(x-1)° 函数y=[gx)]的定义 Cf(x)=-9 x+38(x)=x-3 D.f(x)=（E)2 x,8(x)=x 域由y=t)与t=gx) (x)2 的定义域共同决定： 题型二复合函数、抽象函数的定义域 1.若已知函数于(x)的 例2()若函数（的定义域为(-1,2），则函数/(2x+1)的定义坡为 定义域为数集A,则 函数[9(x)]的定义域 由gx)∈A解出； (2)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2)，则函数f(x)的定义域为 2.若已知函数f[g(x] 的定义域为数集A, (3)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2)，则函数f(x-1)的定义域为 则函数于(x)的定义域 为9x)在A中的值域 >[方法总结2] 054 〉跟踪训练2 (1)已知函数f(x)的定义域为[-1,5]，求函数f(x-5)的定义域； [方法总结3] 求函数值域常用的5 (2)已知函数f(x-1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域. 种方法 1.观察法：对于一些 比较简单的函数，其 值域可通过观察 得到； 题型三求函数的值域 2.配方法：当所给函 数是二次函数或可化 列 3.求下列函数的值域： 为二次函数处理的函 1)y=E-1; 数时，可利用配方法 (2)y=x2-4x+6,x∈[1,5)； 求其值域： (3)y=2x+4√1-x; 3.图象法：通过画出 函数的图象，由图形 (4)y=3x1 x+1 ●[方法总结3] 的直观性获得函数的 值域； 4.换元法：通过对函 数的表达式进行适当 换元，可将复杂的函 数化归为简单的函 》跟踪训练3 数，从而利用基本函 求下列函数的值域： 数自变量的取值范围 求函数的值域； (1y=--2x+3,-3≤x≤0：(2)y=x年5(3y=+2x-. 5.分离常数法：此方 法主要是针对分式函 数，即将分式函数转 化为“反比例函数” 的形式，便于求值域 随堂检测 重反馈 1.区间[5,8)表示的集合是 A.{x|x≤5或x>8} B.{x|5<x≤8} C.{xl5≤x<8} D.{xl5≤x≤8 2.函数y=2x+1,x∈N*,且2≤x≤4，则函数的值域为 ) A.(5,9) B.[5,9] C.{5,7,9 D.{5,6,7,8,9 3.(多选)下列式子表示同一个函数的是 ( A.f(x)=lxl,p(t)=√F B.y=√R,y=(Wx)2 C.y=√/1+x·√-x,y=√1-x D.y=√(3-x)7,y=x-3 4.已知函数f(x)的定义域为[-2,3]，则函数f(x+1)的定义域为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[17]1-(-2)- 3,ff(-2)]=f(-号）= 跟踪训练2：(1)由-1≤x-5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x 5)的定义域是[4,10]. (2)由0≤x≤3，得-1≤x-1≤2，所以函数f(x)的定义域是 1-(-】 [-1,2]. 例3：(1)（直接法）√≥0，.-1≥-1， 4.②对①，0∈P,但101Q,所以对应关系f不能构成集合P .y=x-1的值域为[-1，+o). 上的函数.对②，Vx∈P,都有且只有唯一元素y在集合Q中 (2)(配方法、图象法)y=x2-4x+6=(x-2)211. 与之对应，所以能构成集合P上的函数.对③，P中的元素不 +2. 10 是数，而函数是非空数集到非空数集的对应关系.故填② 如图所示，：xe[1,5),函数y的值域为[2,8 第2课时函数的概念（二） 11). (3)(换元法)令t=/1-x(t≥0)，则x=14 教材梳理 明要点 新知初探 -t, 2 则y=-2t+4t+2=-2(t-1)2+4(t≥ 知识点一 012345 1.[a,b](a,b)[a,b)(a,b] 0) 结合图象（图略）可得函数的值域为(-∞，4]. 2.(-0,+o)[a,+∞)(a,+a)(-o,a](-o,a) 知识点二 (4)(分离常数法)y=3x-=3x+3-4 x+1 x+1 定义域对应关系 知识点三 =3 4 x+1 a>0a<0 预习自测 x+i0y≠3， 4 1.A 2.B由y=-x2+1,xe[-1,2),可知当x=2时，y=-4+1= y:的值域为yeR,且y≠3 -3;当x=0时，ym=1,因为x≠2，所以函数的值域为(-3， 跟踪训练3：(1)由y=-x2-2x+3得y=-(x+1)2+4, 11 -3≤x≤0， 题型探究提技能 .当x=-1时，ymm=4, 例1：(1)③⑤(2)见解析 当x=-3时，ymin=0, 【解析】(1)①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数； ∴.y=-x2-2x+3,-3≤x≤0的值域为[0,4] ②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；③虽然表示自变 量的字母不同，但f(x)与g(t)的定义域相同，对应关系相同，故 (2)(分离常数法)：y=年=1中 是同一个函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数； ⑤f(t)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数. 且定义域为{xx≠-1}，∴. +70,即y1. (2)不相同.对于函数y=-·+,由1≥0解得 Lx+1≥0. 三函数y=的值域为yly∈R,且y≠1 x≥1，故定义域为{xlx≥1}，对于函数y=/(x+1)(x-1) 由(x+1)(x-1)≥0解得x≥1或x≤-1，故定义域为{xlx≥ (3)方法一：（换元法）设u=2r-,则u≥0x=1+心 2 1或x≤-1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数. y=Itu +u= 跟踪训练1：D对于A,g(x)=√=Ixl,与f(x)的对应关系 2 1 不同；对于B,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为xx≠1}； u≥0，y≥2， 对于C,f(x)的定义域为xlx≠-3}，g(x)的定义域为R;对 于D,f(x)=x=1(x>0),g(x)=x=1(x>0),对应关系 六y=+公x-可的值城为[分，+】 与定义域都相同，故f(x)与g(x)表示同一函数 方法二：2x-1≥0，.x≥2 :(1)（-1,2）(2)(-1,5)(3)0,6) .1 而当x增大时y也增大∴y≥2， 【分析】(1)f(x)的定义域为（一1,2），即x的取值范围为 (-1,2).f(2x+1)中x的取值范围（定义域）可由2x+1∈ y=x+2x的值坡为[分，+） (-1,2)求得. 随堂检测重反馈 (2)f(2x+1)的定义域为(-1,2)，即x的取值范围为（-1， 1.C 3)先由f2x+)的定义域求得fx)的定义城，再由f(x)的2C当2≤≤4且xeN~时，x=2,34所以函数值域为57,91. 2),由此求得2x+1的取值范围即为f(x)的定义域 定义域求f(x-1)的定义域. 3.ACA:f(x)与p(t)的定义域相同，又p(t)=√P-Itl,即 f(x)与p(t)的对应关系也相同，∴f(x)与p(t)是同一个函 【解析】(1)由-1<2x+1<2,得-1<x<2,f(2x+1) 数；B:y=√x的定义域为R,y=(R)的定义域为{xlx≥0}， 的定义域为(-1,2)】 两者定义域不同，故y=√与y=()不是同一个函数；C: (2)-1<x<2,.-1<2x+1<5,f(x)的定义域为 y=√1+x·√1-x的定义域为xl-1≤x≤1}，y=√1-x (-1,5). 的定义域为{x1-1≤x≤1}，即两者定义域相同.又：y= (3)由f(2x+1)的定义域为(-1,2)得f(x)的定义域为 √1+x·√-x=√1-x,∴.两函数的对应关系也相同故y (-1,5),由-1<x-1<5得0<x<6,∴f(x-1)的定义域为 =+x·-x与y=√1-x是同一个函数；D:y= (0,6). √(3-x)了=1x-3引与y=x-3的定义域相同，但对应关系不 322 同，y=√(3-x)7与y=x-3不是同一个函数 4.[-3,2]由题意得-2≤x+1≤3，..-3≤x≤2，故函数 f(x+1)的定义域为[-3,2] 3.1.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 教材梳理 明要点 新知初探 图2 知识点一 跟踪训练2：(1)用描点法可以作 数学表达式图象表格 出函数的图象如图① 预习自测 由图可知y=x2+x(-1≤x≤ 1.C由图象，知x≠0，即x∈(-∞，0)U(0,+∞). 1)的值城为[-子，2 2.11由g(x)对应表，知g(1)=3,所以f[g(1)]=f(3).由 f(x)对应表，得f(3)=1,所以f[g(1)]=f(3)=1.由g(x)对 (2)用描点法可以作出函数的 应表，得当x=2时，g(2)=2,又g[f(x)]=2,所以f(x)=2. 图象如图②， ② 又由f(x)对应表，得x=1时，f(1)=2.所以x=1. 由图可知y=2(-2≤x≤1， 题型探究提技能 且x≠0)的值域为(-o,-1]U[2,+o). 例1：(1)用列表法可将函数y=f(x)表示为 例3：(1)f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6(2)f(x)=x2+1 0 2 3 【解析】(1)设f(x)=ax+b(a≠0)，则f[f(x)]=f(ax+b) y 50 40 30 20 10 0 =aa)+b=a+山+6=4+6，于是有{6，新 (2)用图象法可将函数y=f(x)表示为如下图； Ay 8{826所以)2+2成)--6 50· (2)设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题 40· rc=1, ra=1, 30 ● 20 意得{a+b+c=2,解得b=0,故f(x)=x2+1. 10A l4a+2b+c=5, c=1, 012345元 例4：(1)C(2)f(x)=x2-4x+3 (3)用解析法可将函数y=f(x)表示为y=50-10x,xe0,1,2, 【解析】 3,4,5 )由f()=+,有f)=+(x0). 跟踪训练1：用列表法表示函数y=f(x),如 故选C 表所示 1234x (2)方法一（换元法）：令x+1=t,则x=t-1,teR,所以f(t) -1 =(t-1)2-2(t-1)=2-4t+3,即f(x)=x2-4x+3. x -2 -3 方法二（配凑法）：因为x2-2x=（x2+2x+1)-(4x+4)+3 y -2 -3 -4 -5 -4 =(x+1)2-4(x+1)+3,所以fx+1)=(x+1)2-4(x+1) -5 用图象法表示函数y=f(x),如右图所示. +3,即f(x)=x2-4x+3. 例2：(1)列表 :(1)=+品0)(2)子-1 3 0 2 2 2 【解析】（四在已知等式中，将x换成子，得f(）+2) y 2 5 当xe[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象（图1）可知 r)+2r(）=. =,与已知方程联立，得 消去 其值域为[1,5]· (）+2r()= (2)列表 2 3 f(）,得f)=-营+品 2 (2)由题意，在f(x)-2f(-x)=1+2x中，以-x代x可得 八--1-a联可21清女 当x[2，+0)，图象是反比例函数y=2的一部分，观察图 -)可得)=子-1 象（图2）可知其值域为(0,1]. (3)列表 跟踪训练3：(1)设f(x)=a2+bx+c(a≠0)， 则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x -2 -1 1 2 -1)+c =2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x, 0 0 3 2a=2, ra=1, 画图象，图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2之间的部分 所以2b=-4,所以b=-2,所以f(x)=2-2x-1. 由图3可得函数的值域是[-1,8]. 2a+2c=0,(c=-1, 323