3.1.1 第1课时 函数的概念(一)-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

当-。<1时，即a<-1时，不等式的解集为-日<<1} 第三章函数的概念与性质 当、1 >1时，即-1<a<0,不等式的解集 3.1 函数的概念及其表示 为<<-} 3.1.1函数的概念 当-1=1时，即a=-1时，不等式的解集为空集， 第1课时函数的概念（一） 故当a<-1时，不等式的解朱为{-日<<1} 教材梳理 明要点 当-1<a<0时，不等式的解集为{x1<x<- 11 新知初探 a 知识点 当a=-1时，不等式的解集为空集. 实数集任意一个数x确定唯一确定取值范围A 例3：(1)①若m=0,原不等式可化为-1<0，显然恒成立； 函数值{f(x)IxeA ②若m≠0，则不等式m2-mx-1<0恒成立台 预习自测 「m<0, 1.D函数值只有-1,0,1三个数值，枚值域为-1,0,1}. 解得-4<m<0. △=m2+4m<0. 2.{xlx<4 由4-x>0,解得x<4,所以原函数的定义域为 {xlx<4}. 综上可知，实数m的取值范围是{ml-4<m≤0. (2)令y=mx2-mx-1, 题型探究提技能 例1：(1)B(2)C ①当m=0时，y=-1<0显然恒成立； ②当m>0时，若对于xe{xl1≤x≤3}不等式恒成立， 【解析】(1)对于A项，x2+y2=1可化为y=±√1-x,显 只需当x=1时y<0且x=3时y<0即可， 然对任意x∈A,y值不唯一，故不符合；对于B项，符合函数的 所以{-1<0， 定义；对于C项，2∈A,但在集合B中找不到与之相对应的 1 9m31。解得m≤6，所以0<m<6 数，故不符合；对于D项，-1∈A,但在集合B中找不到与之 相对应的数，故不符合. ③当m<0时，函数y的图象开口向下，对称轴为x=2, (2)由函数定义可知，任意作一条直线x=a,则与函数的图象 至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的 若xe{x1≤x≤3时不等式恒成立， 函数 结合函数图象（图略）知只需当x=1时y<0即可，解得 跟踪训练1：ABDABD均满足函数的定义，C选项，同一个分 mER, 数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x,都有唯一的y 所以m<0,符合题意， 与其对应，故C选项错误.故选ABD, 综上所述，实数m的取值范围是{mm<石} 例2：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 (3)令u=m2-mx-1=(x2-x)m-1, 化20.{防解得<0.且≠-2 若对满足Im≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需 故原函数的定义域为{xIx<-2或-2<x<0}. 当m=-2时u<0且当m=2时，u<0 (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 即-2(-)-1<0 解得5<x<+ 4-x≥0即x≤4， 2(x2-x)-1<0, 2 2 1x-1≠0，x≠1， 故原函数的定义域为xlx<1或1<x≤4. 所以实数x的取值范围是{： 2 跟踪训练2：C要使函数y=— 有意义，应满足x+1>0, /x+1 4:(1)设每件的售价为：元，依题意得(85×02）≥ >-1,函数y=一的定义域为xx>-1} 25×8, Vx+1 整理得t2-65t+1000≤0，解得25≤t≤40. 3.(0f)=+2)=2号 11 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件的售价最高为 40元 又：g(x)=x2+2,g(2)=2+2=6. (2)依题意得，当x>25时，不等式ax≥25×8+50+- (2 (2)g(3)=32+2=11,[g(3)]=f(11)=1+7=12 6 1 600)+5有解， 跟踪训练3：(1)f(3)=2-3=-1,8(3)=-32+2=-7. 1 等价于当x>25时，a≥150+兰+1 +6+5有解 2mg2]2-822--2+2=4 随堂检测重反馈 1.B图①不满足定义域M=xI0≤x≤2}：图③不满足集合N ={y0≤y≤2}；图④不满足函数的定义，如x=1时对应两个 当且仅当0云，即=30时等号成立，此时0+ 6 ,5 不同的y值；②符合函数定义，定义域为M,值域也恰为N,故 只有一个表示集合M到集合N的函数关系，选B. =10.2,所以a≥10.2. 2.C函数的对应关系中，可以多个不同的自变量对应同一个 故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能 函数值.故选C. 使改革后的销售收入不低于原收人与总投入之和，此时该商品 每件售价为30元 38f)…3)g=g-2 -321 1-(-2)- 3,ff(-2)]=f(-号）= 跟踪训练2：(1)由-1≤x-5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x 5)的定义域是[4,10]. (2)由0≤x≤3，得-1≤x-1≤2，所以函数f(x)的定义域是 1-(-】 [-1,2]. 例3：(1)（直接法）√≥0，.-1≥-1， 4.②对①，0∈P,但101Q,所以对应关系f不能构成集合P .y=x-1的值域为[-1，+o). 上的函数.对②，Vx∈P,都有且只有唯一元素y在集合Q中 (2)(配方法、图象法)y=x2-4x+6=(x-2)211. 与之对应，所以能构成集合P上的函数.对③，P中的元素不 +2. 10 是数，而函数是非空数集到非空数集的对应关系.故填② 如图所示，：xe[1,5),函数y的值域为[2,8 第2课时函数的概念（二） 11). (3)(换元法)令t=/1-x(t≥0)，则x=14 教材梳理 明要点 新知初探 -t, 2 则y=-2t+4t+2=-2(t-1)2+4(t≥ 知识点一 012345 1.[a,b](a,b)[a,b)(a,b] 0) 结合图象（图略）可得函数的值域为(-∞，4]. 2.(-0,+o)[a,+∞)(a,+a)(-o,a](-o,a) 知识点二 (4)(分离常数法)y=3x-=3x+3-4 x+1 x+1 定义域对应关系 知识点三 =3 4 x+1 a>0a<0 预习自测 x+i0y≠3， 4 1.A 2.B由y=-x2+1,xe[-1,2),可知当x=2时，y=-4+1= y:的值域为yeR,且y≠3 -3;当x=0时，ym=1,因为x≠2，所以函数的值域为(-3， 跟踪训练3：(1)由y=-x2-2x+3得y=-(x+1)2+4, 11 -3≤x≤0， 题型探究提技能 .当x=-1时，ymm=4, 例1：(1)③⑤(2)见解析 当x=-3时，ymin=0, 【解析】(1)①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数； ∴.y=-x2-2x+3,-3≤x≤0的值域为[0,4] ②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；③虽然表示自变 量的字母不同，但f(x)与g(t)的定义域相同，对应关系相同，故 (2)(分离常数法)：y=年=1中 是同一个函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数； ⑤f(t)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数. 且定义域为{xx≠-1}，∴. +70,即y1. (2)不相同.对于函数y=-·+,由1≥0解得 Lx+1≥0. 三函数y=的值域为yly∈R,且y≠1 x≥1，故定义域为{xlx≥1}，对于函数y=/(x+1)(x-1) 由(x+1)(x-1)≥0解得x≥1或x≤-1，故定义域为{xlx≥ (3)方法一：（换元法）设u=2r-,则u≥0x=1+心 2 1或x≤-1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数. y=Itu +u= 跟踪训练1：D对于A,g(x)=√=Ixl,与f(x)的对应关系 2 1 不同；对于B,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为xx≠1}； u≥0，y≥2， 对于C,f(x)的定义域为xlx≠-3}，g(x)的定义域为R;对 于D,f(x)=x=1(x>0),g(x)=x=1(x>0),对应关系 六y=+公x-可的值城为[分，+】 与定义域都相同，故f(x)与g(x)表示同一函数 方法二：2x-1≥0，.x≥2 :(1)（-1,2）(2)(-1,5)(3)0,6) .1 而当x增大时y也增大∴y≥2， 【分析】(1)f(x)的定义域为（一1,2），即x的取值范围为 (-1,2).f(2x+1)中x的取值范围（定义域）可由2x+1∈ y=x+2x的值坡为[分，+） (-1,2)求得. 随堂检测重反馈 (2)f(2x+1)的定义域为(-1,2)，即x的取值范围为（-1， 1.C 3)先由f2x+)的定义域求得fx)的定义城，再由f(x)的2C当2≤≤4且xeN~时，x=2,34所以函数值域为57,91. 2),由此求得2x+1的取值范围即为f(x)的定义域 定义域求f(x-1)的定义域. 3.ACA:f(x)与p(t)的定义域相同，又p(t)=√P-Itl,即 f(x)与p(t)的对应关系也相同，∴f(x)与p(t)是同一个函 【解析】(1)由-1<2x+1<2,得-1<x<2,f(2x+1) 数；B:y=√x的定义域为R,y=(R)的定义域为{xlx≥0}， 的定义域为(-1,2)】 两者定义域不同，故y=√与y=()不是同一个函数；C: (2)-1<x<2,.-1<2x+1<5,f(x)的定义域为 y=√1+x·√1-x的定义域为xl-1≤x≤1}，y=√1-x (-1,5). 的定义域为{x1-1≤x≤1}，即两者定义域相同.又：y= (3)由f(2x+1)的定义域为(-1,2)得f(x)的定义域为 √1+x·√-x=√1-x,∴.两函数的对应关系也相同故y (-1,5),由-1<x-1<5得0<x<6,∴f(x-1)的定义域为 =+x·-x与y=√1-x是同一个函数；D:y= (0,6). √(3-x)了=1x-3引与y=x-3的定义域相同，但对应关系不 322049 第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 新课程标准解读 学科核心素养 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关 数学抽象 系刻画函数，建立完整的函数概念 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 数学抽象、数学建模 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域 数学抽象、数学运算 3.1.1 函数的概念 第1课时 函数的概念（一） 教材梳理明要点 ●情境导入 利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时 [提示] 刻的指标值，据此可以描绘出心电图.医生会根据 集合M中的任意一个 心电图图形的整体形态来给出心脏健康状况的诊 元素t,在集合N中 断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）. 都有唯一的元素V与 如果测量时的每一个时间t构成的集合记为 之对应. [知识点反思] M,测量的每一个指标值v构成的集合记为N,那么集合M中的元素t与集 1.函数的定义中有 合N中的元素v有什么关系呢？ [提示] “三性”：任意性、 存在性、唯一性，即 日新知初探 对于非空数集A中的 知识点函数的概念 任意一个（任意性）数 般地，设A,B是非空的 x,在非空数集B中都 ,如果对于集合A中的 有（存在性）唯一（唯一 函数概念 按照某种 的对应关系∫，在集合B中都有 的数y 性)的数y与之对应， 和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 这三性只要有一个不 符号表示 y=f(x),x∈A 满足便不能构成函数， 2.y=f(x)仅是函数的 定义域 x叫做自变量，x的 叫做函数的定义域 一个符号，不表示“y 等于于与x的乘 值域 与x的值相对应的y值叫做 ,函数值的集合 叫做 积”，除于(x)外，还 函数的值域 常用9x),F(x),G(x) 等来表示函数 [知识点反思] 050 目预习自测 1.下表表示y是x的函数，则函数的值域是 x<2 2≤x≤3 x>3 -1 0 1 A.{yl-1≤y≤1 B.R C.{yl2≤y≤3 D.{-1,0,1 2.函数f(x)= 的定义域是 4-x 题型探究 提技能 题型一 函数概念的理解 例1 (1)下列对应关系式中是从集合A到集合B的函数的是 A.A∈R,B∈R,x2+y2=1 B.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图： C.A=R,B=R,f:x→y= [方法总结1] x-2 判断一个对应关系是 D.A=Z,B=Z,f:x→y=√2x-1 否是函数的方法 (2)设M={xl-2≤x≤2}，N={y0≤y≤2}，函数y=f(x)的定义域 依据函数定义中的任 为M,值域为N,对于下列四个图形，不可作为函数y=f(x)的图 意性、存在性、唯一 象的是 性逐一验证判断，这 三性只要有一个不满 足便不能构成函数 [方法总结2] ●[方法总结1] 求函数的定义域的 )跟踪训练1 方法： 如果仅有函数解析式 (多选)下面选项中，变量y是变量x的函数的是 而没有特别说明，则 A.x表示某一天中的时刻，y表示对应的某地区的气温 函数定义域就是使解 B.x表示年份，y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值) 析式有意义的自变量 C.x表示某地区的学生某次数学考试成绩，y表示该地区学生对应的考 的集合，可依据①分 试号 式的分母不为0； D.x表示某人的月收入，y表示对应的个税 ②偶次根式的被开方 题型二求函数的定义域 数非负；国y=x°要 求x≠0等限制条件列 例2求下列函数的定义域： 出不等式组解得；如 0y2,2n)4- ●[方法总结2] 果是实际问题，还需 要考虑自变量的实际 含义的限制 051 》跟踪训练2 函数y= 的定义域是 Vx+1 A.{xlx≥-1} B.{x|-1≤x≤0} C.{xlx>-1} D.{xl-1<x<0 题型三求函数值 例3知)ER,且x≠-)，8)=+2(R [方法总结3] 求函数值的方法 (1)求f(2),g(2)的值： f(a)表示当x=a时， (2)求f[g(3)]的值. ●[方法总结3] 函数于(x)的值，是一 个常量，已知f(x)的 解析式时，只需用Q 替换解析式中的x即 得a)的值；求f[g(a)] 》跟踪训练3 的值应遵循由里往外 的原则. 已知)28(0=-2+2 特别要注意替换x的 (1)求f(3),g(3)的值； 数Q必须是函数定义 (2)求f[g(2)]的值. 域内的值，否则求值 无意义 随堂检测 重反馈 1.设M={xI0≤x≤2}，N={y0≤y≤2}，给出下列四个图形： 012x 012x 012x 012x ① ② ③ ④ 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 2.对于函数f:A→B,若a∈A,b∈A,则下列说法错误的是 ) A.f(a)∈B B.f(a)有且只有一个 C.若f(a)=f(b),则a=b D.若a=b,则f(a)=f(b) 1 3.若f()=1-2则f(3)= f[f(-2)]= 4.下列对应关系是从集合P到集合Q上的函数的是 ①P=Z,Q=N*,对应关系∫：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应； ②P={-1,1,-2,2},Q={1,4},对应关系f:xy=x,x∈P,y∈Q; ③P={三角形}，Q={xx>0},对应关系f:对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[16]