练案7 1.4.2 充要条件-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

13.ACD因为(CA)U(CB)=C(AnB),而AnB=☑，所以 (CA)U(CB)=C(A∩B)=U,故A正确：A∩B=O,集 则只要{x<-受}xx<-l,或x>3, 合A,B不一定要为空集，只需两个集合无公共元素即可，故 B错误；因为(CA)∩(CuB)=C(AUB),而AUB=U,所以 即只需-受≤-1，所以m≥2 (CuA)∩(CB)=Cu(AUB)=O,故C正确；AUB=,即 故存在实数m≥2，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分 集合A,B均无元素，故D正确. 条件。 14.2,3}2A=xlx2-3x+2=0}=1,2},.B={xlx= (2)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件，则只要 a+1,aeA}=2,3},又0=1,2,3,4,5}，Cm(AUB)= {4,5}.故Cm(AUB)中元素有2个. k<-1,或x>3C{+<-受，这是不可能的， 15.(1)当a=1时，A={xl1≤x≤3}， 故不存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要 所以0mA={xlx<1或x>3}, 条件. 则(CmA)UB={xlx<1或x>3}. 11.B对于选项A,当x=1,y=1时，满足x+y=2,但命题不成 (2)因为A真含于B,所以满足a+2<-1或a>5, 立；对于选项C,D,当x=-2,y=-3时，满足x2+y2>2,y 解得a<-3或a>5, >1,但命题不成立，也不符合题意 所以实数a的取值范围是{aa<-3或a>5} 12.A因为x∈B成立的一个充分条件是xeA,所以ACB,所 16.(1).·集合A中恰有一个元素，..△=16-4a=0,解得a=4. 以3≤m+1,即m≥2， (2).(CmA)∩B=2}, 13.①③④ .2∈B,则4+2b-2=0,解得b=-1. 14.ala≤1}由1-x<0得x>1,设A={xlx>1},B={xlx .(CmB)∩A=-3}, >a,p是g的充分条件，.ACB,a≤1. -3eA,则9-12+a=0,解得a=3. 15.令A={xlx>2或x<-1}. 则A={xlx2+4x+3=0}={-1,-3}, B={xlx2-x-2=0}={-1,2}, 由红+n<0,得B={<-号} 检验可知(CuA)∩B={2,(CB)∩A={-3}成立 当BCA时，即-2≤-1，即p≥4， .AUB={-3,-1,2 练案[6] 此时x<-子≤-1曰x>2或x<-1, 1.AC由“集合P是集合Q的子集”可推出P∩Q=P,PUQ= 当p≥4时，4x+p<0是x>2或x<-1的充分条件 Q,推不出PnQ=0,PUQ=P. 16.(1)由题意得到A={x11≤x≤5}， 2.B由(a+b)·(a-b)=0知，a=b或a=-b,所以p台g,q 由“x∈A”是“xeB”的充分条件可得ACB, →p,所以p是q的必要条件. 3.A设p所对应的集合为A,g所对应的集合为B,则p成立的 则20，解得4≥2. 充分条件是g,转化为B二A,所以不等式0<x<2成立的充分 故实数a的取值范围是{ala≥2} 条件对应的集合是集合{x0<x<2}的子集，根据选项，只有 (2)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得BCA, A符合要求 当B=⑦时，2-a>1+2a,即a<了时，满足题意， 4.A由题意可知，好货一不便宜，故选A 5.A两个有理数的乘积仍为有理数，故“x,yeQ”→“xy∈Q”, 当B≠0时，即a≥了时，则2 1+2a≤5」 反之，当x=y=√2，y=2eQ,但x生Q,y生Q.故“xyeQ” “x,y∈Q”.所以“x,y∈Q”是“xy∈Q”的充分条件 解得≤a≤1，综上a≤l, 6.充分必要因为p一→g,所以p是g的充分条件，g是p的必 故实数a的取值范围是{ala≤1} 要条件. 7.①③②中由xy=0不能推出x=0且y=0,则②错误；①③ 练案[7] 正确. 1.A设A=xI1<x<2},B={xIx≤2}，A至B.故“1<x<2”是 8.{aa>2}“B的充分条件是A”,即A是B的充分条件，得A “x≤2”的充分不必要条件 =B,即ACB,得a>2. 2.A若x=1,则x2-2x+1=0:若x2-2x+1=0,即(x-1)2= 9.(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立. 0,则x=1.故“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件. 即p→9,9台p, 所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件. 3Axlx<-1号{xx>2或x<-1}所以“xx<-1}” (2)因为x2>1=x>1或x<-1,所以p→g,且g≠p. 所以p是9的充分条件，但p不是g的必要条件 是“{>2或x<-1的充分不必要条件，故选A (3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三 4.B由A∩B=AnC,若A=②，则不一定有B=C,反之，由B 角形，即p≠q,且9→P, =C,一定可得A∩B=A∩C.所以“A∩B=A∩C”是“B=C 所以p不是q的充分条件，但p是9的必要条件 的必要不充分条件 (4)画出Venn图（如图）可得. 5.A当B=90°或C=90°时，△ABC为直角三角形，但不能推 结合图形可知，AnB=A→ACB=→CmBC 出AB2+AC2=BC2,故选A. Cu A, 6.②④由x2≠1→x≠1；x≠1台x2≠1，即x2≠1是x≠1的充 反之也成立.所以p是q的充分条件，且p 分不必要条件，故①不正确.②正确.③中，由xy=0台x=0 是9的必要条件 且y=0,则③不正确.④正确. 10.(1)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件， 7.a<8因为p:x<8,9:x<a,且q是p的充分而不必要条件， 所以a<8. 362 8-2或5p:+x-6=0,即x=2或x=-3q:w+1=0,0 综上：a的取值范围是{aa<-4或-1≤a≤} 0,即x=-。由题意知p为g,9p,所以有-。=2或 16.若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集 a 合A是集合B的真子集， =-3，解得a=-分或a=子综上可知，a=- - rm>0, a 2 则有1-m≤-2，且1-m≤-2与1+m≥6不同时取等号；解 或子 1+m≥6， 得m≥5，所以，实数m的取值范围是m≥5. 9.集合A=xlx>-2},B={xlx≤b,b∈R}, 若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，集 (1)若AUB=R,则b≥-2， 合B是集合A的真子集， 故AUB=R的一个充要条件是b≥-2. rm>0. (2)由(1)知AUB=R的充要条件是b≥-2， 则有1-m≥-2，解得0<m≤3， 所以AUB=R的一个必要不充分条件可以是b≥-3， l1+m≤6， (3)由(1)知AUB=R的充要条件是b≥-2， 所以，实数m的取值范围是0<m≤3 所以AUB=R的一个充分不必要条件可以是b≥-1. 若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的充要条件，则集合A等于 10.①当a=0时，解得x=-1,满足条件； 集合B, ②当α≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则 a<0: 若方程有两个负的实根， 如有什：62方春组无欲。 所以，不存在满足条件的实数m. 10, 练案[8] 则必须满足 -1 <0. 即0<a≤4 1.C任意三角形都存在外接圆. a l4=1-4a≥0 2.C对于③，梯形的对角线不一定相等.如直角梯形的对角线 显然不相等，故为假命题，其余均为真命题 综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤ 4 3.BA是全称量词命题；B既是存在量词命题又是真命题：C 反之，若a≤4，则方程至少有一个负的实根。 中因为3+(-√3)=0，所以C是假命题：D中对于任意一个 因此，关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充 负数x,都有<0，所以D是假命题故选B. 要条件是a≤4 4.D全称量词命题含有量词“V”,故排除A,B,又等式a2+b2 +2ab=(a+b)2对于全体实数都成立.故选D. 11.C因为1al≥a,所以若a>b+1,则1al>b+1,充分性成 立，故A错误；因为xI1<x<2}{xl2x>1},所以p是g成 5.B对于任意的xeR,+x+1=(x+) 年>0恒成 立的充分不必要条件，故B错误；因为{ala>0}{ala+1 立，所以存在x∈R,使x2+x+1=0是假命题 >0},所以“a>0”是“a+1>0”的充分不必要条件，故C正 确；若“x=-1”是“x<a”的必要不充分条件，则{xlx<a} 6(分，号)当a=7,b=了时，存在两个不相等的正数， {-1},则不存在这样的a,故D错误. 12.AB由不等式1≤1x≤4，解得-4≤x≤-1或1≤x≤4， 6,使得a-b=b是真命题，故所求有序数对(a,)为（分 ∴.不等式1≤lx|≤4成立的充分不必要条件为A,B.故选AB. 13.C命题“Vxe{xl1≤x≤2}，x2-a≤0”为真命题，可化为 子）又如(1，)等，答案不唯一 x∈xl1≤x≤2}，a≥x恒成立，即只需a≥(x)m=4,即7.①③①由于VxeR,都有x2≥0，因而有x2+3≥3>0，即x2 “Hx∈{xl1≤x≤2}，x2-a≤0”为真命题的充要条件为a≥ +3>0,所以命题“HxeR,x2+3>0”是真命题；②由于0e 4,而要找的一个充分不必要条件即为集合{aIa≥4}的真子 N,当x=0时，x≥1不成立，是假命题：③由于-1∈Z,当x= 集，由选择项可知C符合题意」 -1时，x3<1成立，是真命题；④由于使x2=3成立的数只有 14.3或4易得方程x-4x+m=0的根为x=4±6=4m ±√3，而它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平 2 方等于3，是假命题. 2±√4-m,因为x是整数，即2±√4-m为整数，所以8.①③④①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积 √4-m为整数，且m≤4.又meN*,所以m的值可取1,2， 就相等，但不一定相似；②中，对任意x∈R,x2+x+1=x+ 3,4,验证可得m=3或m=4符合题意，反之，当m=3或m =4时，可以推出一元二次方程x2-4x+m=0有整数根. 15.(1)当a=2时，A=xl1≤x≤7}，则AnB={x11≤x≤4}； 子）°+子>0，所以不存在实数6，使后++1<0，放②为 112 CmA={xlx<1或x>7},CB={xlx<-2或x>4}, 假命题；③中，当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中， (CA)∩(CB)={x|x<-2或x>7}. 如1的倒数是它本身，为真命题，故填①③④. (2)·x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，.AB. 9.(1)是存在量词命题，因为当x+y=0时，x=y=0,所以不 ①若A=⑦，则a-1>2a+3,解得a<-4; 存在x,y为正实数，使x2+y2=0,故此命题是假命题. ra-1≤2a+3. (2)是全称量词命题，有两个角是45°的三角形，第三个角必 ②若A≠0，由A军B,得{a-1≥-2， 是直角，所以此三角形是等腰直角三角形，故此命题是真 L2a+3≤4， 命题 且a-1≥-2与2a+3≤4不同时取等号； (3)是全称量词命题，因为25能被5整除，但末位数不是0， .1 解得-1≤a≤2 因此该命题是假命题 :10.由3a+x-2=0,得3a-2=-x, -363—练案[7] 第一章 1.4 [1.4.2充要条件] A组·基础巩固 6.下列说法正确的是 1.“1<x<2”是“x≤2”的 ①x2≠1是x≠1的必要条件； A.充分不必要条件 ②x>5是x>4的充分不必要条件； ③xy=0是x=0且y=0的充要条件； B.必要不充分条件 ④x2<4是x<2的充分不必要条件 C.充要条件 7.已知p:x<8,9:x<a,且q是p的充分不必要 D.既不充分也不必要条件 条件，则实数a的取值范围为 2.“x=1”是“x2-2x+1=0”的 8.若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充 A.充要条件 分条件，且a≠0，则实数a的取值为 B.充分不必要条件 9.若集合A={x|x>-2},B={x|x≤b,b∈R}, C.必要不充分条件 试写出： D.既不充分也不必要条件 (1)AUB=R的一个充要条件： 3.已知xeR则xk<-1是x>或x<-的 (2)AUB=R的一个必要不充分条件； (3)AUB=R的一个充分不必要条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设A,B,C是三个集合，则“A∩B=A∩C”是 “B=C”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.在△ABC中，AB2+AC2=BC2是△ABC为直角 三角形的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 -201 10.求关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负 C组·拓展提升 实根的充要条件。 15.已知集合A={x1a-1≤x≤2a+3},B= x|-2≤x≤4}，全集U=R (1)当a=2时，求A∩B,(CuA)∩(CuB); (2)若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件， 求实数a的取值范围. B组·综合运用 16.请在①充分不必要条件，②必要不充分条件， 11.下列说法正确的是 ③充要条件这三个条件中任选一个，补充在 A.已知a,b∈R,则“a>b+1”是“Ial>b+1” 下面横线处，若问题中的实数m存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由， 的必要不充分条件 已知集合A={x|-2≤x≤6}，B={x11-m B.设p:1<x<2,g:2x>1,则p是g成立的必 ≤x≤1+m,m>0},若x∈A是x∈B成立的 要不充分条件 条件，判断实数m是否存在？ C.“a>0”是“a+1>0”的充分不必要条件 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解 D.若“x=-1”是“x<a”的必要不充分条件， 答计分. 则实数a的最大值为1 12.（多选)不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要 条件为 A.-4≤x≤-1 B.1≤x≤4 C.-4≤x≤-1或1≤x≤4 D.-4≤x≤4 13.命题“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2-a≤0” 为真命题的一个充分不必要条件是( A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 14.设m∈N*,一元二次方程x2-4x+m=0有 整数根的充要条件是m= —202