考案(二)第二章 一元二次函数、方程和不等式-【成才之路•考案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

新数学必修·第一普U以 7.设实数1<a<2,关于x的一元二次不等式x2-(a2+3a+2)x+四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过 3a(a2+2)<0的解集为 程或演算步骤)】 材 习、究、练、测四位一体 芳案（二） A.{x|3a<x<a2+2 B.{x|a2+2<x<3a 15.(本小题清分13分)当>3时，求2的最小值 第二章 一元二次函数、方程和不等式 C.{xl3<x<4 D.|x3<x<61 (时间：120分钟满分：150分)》 8若>0，y>0+3y=1,则3的最大值为 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 1 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)】 0.2 1 0.0 1 1.下列命题正确的是 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 L者a>则时<号 出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分)】 B.若a>b>0,c>d,则ac>bd 9.已知6<a<60,15<b<18,则下列选项中正确的是 ( C.若a>b,则ac2>bc B.a+2b∈{xl21<x<78 D.若ac2>bc2,则a>b A号e号<<4到 2.不等式<2的解集是 C.a-bExl-12<x<45 片 A.xlx<2 B.xlx>2 10.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x <x<2，则下列结 16.(本小题满分15分)在①x2-(2a-1)x+a2-a<0,②x2-2a+ C.|xI0<x<2 D.{xlx<0或x>2 a2-1<0,③x2-(a+1)x+a<0(a>1)这三个条件中任选一个 论正确的是 补充到下面的问题中： 3设4=名+号其中a,6是正实数，且a≠6，B=-+-2,则A A.a>0 B.b>0 a C.c>0 D.a+b+c>0 已知p+<09: ,且P是g的必要不充分条件，求实 区 与B的大小关系是 ( 11.下列叙述中错误的是 数a的取值范围. A.A≥B B.A>B C.A<B D.A≤B A.若a≠0，b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0"的充要条件是“6-4ac≤ 4.已知1>0，则函数y-2-1+2的最小值为 ( 0” 1 B.若a,b.ceR,则“ac2>be2"的充要条件是“a>b" A-2 B片 C.3 D.2 C“a<0是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根"的充分 5.已知不等式ax2+br+2>0的解集为|xl-1<x<2,则不等式 不必要条件 2x2+br+a<0的解集为 D.“a>1"是“1<1“的充分不必要条件 B<-1或>引 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分】 C.{x-2<x<1} D.{xx<-2或x>1】 12不等式子>2的解集是 6.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有 13.已知命题p:VxeR,a+ax+1>0为真命题，则实数a的取值 一个三角形，边长分别为a,6,c,三角形的面积S可由公式S= 范围是 √p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个 14.如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的 公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 矩形花坛AMPN,要求点B在AM上，点D在 a+b=12,c=8,则此三角形面积的最大值为 AN上，且对角线MN过点C.已知AB=4,AD= 3,那么当BM= 时，矩形花坛AMPW A.45 B.415 C.85 D.815 的面积最小，最小值为 413 4144 17.(本小题满分15分)已知关于x的不等式2+：一是<0.18.（木小题满分7分）已知某公司生产某教手机的年周定成本为19.（本小题满分17分）已知二次函数，=+标+(a*0)的图象 400万元，每生产1万部还需另投人160万元.设公司一年内共生 过A(x1),B(,)两点，且满足a2+(y1+y2)a+y为2=0. k≠0. 产该款手机x(x≥40)万部并且全部销售完，每万部的收人为 (1)求证：y,=-a或为=-a: 3 ()若不等式的解集为-2<x<小，求k的值： R(x)万元，且R(x)=74000_400000 (2)求证：函数的图象必与x轴有两个交点： (3)若y>0的解集为xlx>m或x<n(n<m<0),解关于x的 (2)若不等式的解集为R,求k的取值范围， (1)写出年利润（万元）关于年产量x(万部)的函数关系式： 不等式cx2-bx+a>0. (2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的 利润最大？并求出最大利润 415 4164新数学必修·第一册R以 即实数a的取值范图是{c片<a≤子} 考案部分 参考答案 =石，当且仪当整=立时.等号成立，此时 +3y=1 材 习、究、练、测四位一体 17.(1)充分性：-于<m<0, x>0,y>0 方程x2-2x-3m=0的判别式4=4+12m>0,且-3m>0, ∴.方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根. 9.AG因为15<6<18，所以8<方<因为6<a<60,所以写<<4，所以A正确： 考案（一） (2)必要性：若方程-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根，设为为， 因为6<a<60.15<6<18.所以36<a+26<%.所以B错误：因为15<b<18,所以-18 调有=4+12 {=-3m>0解得-<m<0 <-b<-5.因为6<a<0,所以-12<-b<45,所以C正确：由A知写<名<4，所 件不 3.C因为集合0=1,2,3.4.31，A=11,3,5.B=2.3.5 综合D(2)知，方程2-2：-3加=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是-方< 以号<号+1<5，即号<“之<5，所以D错误 mc0. 所以A门B■3,5，图中阴影部分表示的集合为：(4门B】 18.(1)p:-2≤x∈10.g:1-mx≤1+m(m>0) 10BCD因为不等式2+r+e>0的解集为-立<x<2故相成的二次函数x) =1,2,4,所以图中阴影部分表示的集合的真子集有：2 18-17 因为是g的必要不充分条件，所以，是的充分不必要条件 4.DA=-3,2引，BCA,,-3eB或2eB或B=: 即x11 mx1+m军x-2≤x≤10 =ar2+低+e的图象开口向下，所以a<0,A错视：易知2和-之是方程a2+br+ -3a-1=0,或2a-1=0或a=0.0=-3或或0故 。+m<10"/ ±m10，解得m≤3 0的两个根，则有=-1<0.一名=>0.又a<0,放6>0e>0,放B.C正确：南 义m>0,所以实数m的取信范围为1m0<m≤3。 二次函数的图象可知R1)=:+6+e>0,故D正确.放选BCD. 迹D 《2)因为P是g的充分条件，所以AGB. 11.ABC当a=-1,b=0,c=0时，-4a0，但ar2++c0,故A中叙述错误：当a= 5A若命题“x≥2是x>m的必要不充分条件”是真命题，则m32因为命题x≥2是> 四图： 1,b=0,e=0时，a>6,但a2=2,故B中叙述错误：方程x2+x+a=0有一个正根和 m的必要不充分条件”是假命题，所以m的取值范围是mm<2{,故选A. 6.Cx=0时，y=6x=1时，y=5x=2时，J=2:x=3时y=-3所以1yeNy=-2+6 个负根等价于侣码-4>0.解得a<0,所以g<0是产方程2++a0有一个正积 xe N ,6共3个元素，其真子集的个数为2”-1=7个，故选C 7.A题图中阴影部分为Nn(C),因为M=xx<-1,所以M=xx≥-1|，又N 52N-1 和一个负根”的充要条件，放C中叙述错误：因为4>1一。<1，所以充分性成立.因为 =xx(x+2)<0=x-2<x<0,所以N门(M)=x-1x<0.放选A 8,C设只喜欢足球的百分比为x,只喜欢游冰的百分比为y。 则>：解得m>3所以实数m的取值范開为mm>3 <10<0或a>1,所以必要性不成立，故D中叙述正确.故选A配 两个项目都喜欢的百分比为：，由题意，可得x+:=60,x+) 足球 An8=2 +=82,解得：=46该中学既喜欢足球又喜欢 2eB,代人B中方程，得a+4+3■0.所以a■-1或0■-3 12x1-4<x<-1 原不等式可化为：子-2>0，整理得1 +i>0,即+4 <0,所以 游泳的学生教古该校学生总数的比例是4% 当a=-1时，B=1-2,2,满足条件：当a=-3时，B=2,也满足条件 4< 4-10.21.0CA.-2g4.10.21C4.< 综上，a的值为-1或-3， (2)AUB=A,.BCA. ja>0, ,所以Q是P的真子集，所以VxeQ.有eP,3xeP, 当4=4(+1)3-4(2-5)=8(+3)<0,即<-3时.B=⑦满足条件： d=0-4a<0.解得0<a<4.综上所述，实数a的取值范#是a10≤a<4. 得x,A,B正确，C,D错误 2 4=0 即a=-3时，B= 1 1L.BD设A门B=⑦的一个充分不必要条件是P,P对应的集合为C,当AnB=时，m+1 ,昼■A■1,2才能满足要求，经检验不可能成立 448设BW=,则由△NC△C得况=品又因为DC=B=4.CB=A0=3. ≤-1，解得网≤-2，所以C年1mm≤-2.因此满足条件的选项为) 123由Vean图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合，(AnB).义A=0,1,2,3 所以D=2.所以矩形花坛AN的面积S=(4+x)(3+2）=24+3x+袋≥24+2 4,5},B=|1,3,5,7.9,.AnB=11.3,5.C(AnB)=10,2,4.即Vem图中阴 考案（二）】 部分表示的集合中元素的个数为3，放答案为3 √3x·s=8,当且仅当3=48，即x=4时等号成立，当M=4时矩形花坛AWPy的 线0成9 {a<0减0<a<} 集合A中只含一个元素.a=0或 1,D由感意，对于达项A中，当a>0>b时，此时片>。，所以A是错误的：对于选项： 中，当0>>d时.此时不等式不一定成立，所以B是错误的：对于选项C中，当e=0时： 而积最小，最小值为移 =9-4a=0.解得a=0或a=号r4的真子集个数是3个六a2-3x+1=0有两 15x>3,x-3>0 02还地<加金女谱切测方9 2器---》82-3++2-+卫=24 18 正确的 个不等的实银{侣94如>0，解得0<0或0<0<号 ∴，实数4的取值范围是 2D由上<分得2 3 三<0即2x(2-x)<0,解得x>2或x<0故选D {a<0或0<a<?} 当且仅当2-》=号即=6时，上式等9减立。 3.因为,6都是正实数，且a≠6，所以A=>2仁· -=2.即A>2.B=-x2 14(1)(2)(3)(1)4闭 六二的最小值为24 因此正 :(2)d +4x-2=-(x2-4x+4)+2=-(x-2)2+2写2.即B≤2，所以A>R r- 月此正确：(3)闭台，B亮：而B亮，A必闭合，所以A是B的充条件，树此正确：(4) 4.C因为>0,则函数y2-+2=2+2-122 -1=3,当且仅当1=1时取 16由P:3<0中不等式解得-3<<4 闭合，B不一定亮：而B亮，A不一定闭合，所以A是B的慨不充分也不必要条件，因此 是的不分 -(2n <0eg-1<x<a I5(1)当=1时，B=xI1≤米≤31，所以AUB=|x-1≤x≤3 等号.所以函数y-2-1+2的最小值为3. 所以二≥-3a-1多-3与≤4中的等号不同时成立，解得-26a≤4.所以实数a (2)三个条件C.ACB.AUB■A.A门B■B都表示BCA. 所以-1 5.A由意知x=-1,=2是方程2+解+2=0的根.由根与系数的关系得 a+22.解得-1≤a≤0。 -1+2■- 的值范倒为al-2≤a4|. 迹②，x-2am+a-1<00-1<x<a+1, 所以实数a的取值范田为al-1a0。 -）x2=28不等式22+c+a<0.即2+-1c0期得-1< 。-1≥-3 16(1)因为C=x1-2a<x<2a=,所以1-2a≥2a,所以a子 因为户是？的必要不充分条作，所以{日，2. 即实数a的取值范围是{a≤} 子故选 -1-3与+1≤4中等号不同时成立) 解得2a所以实数山的眼值范州为/-2。 6.C由题意.p=10,s=√/10(10-a)(10-b)10-c)=/20(10-a)10-6)≤/20· 迹3，x-(a+1)x+a<0(w>1)→l<x<a, (2)因为G=1-2h<<2a≠0，所1-2a<2a:即a> 10-0牛10-山=85，当且仅当a=b=6时取等号.所以此三角形面积的最大值为85. 因为是？的必要不充分条件， 所以a≤4，因为4>1，所以1<a4.所以实数a的取值范围为a1<:4 因为4-1<<4，B={-5<x<号}所以nB-{-1<x<号} 7.B原不等式可化为(x-3)(x-2-2)<0.1<4<23>+2,所以不等式的解17.(1)因为关于x的不等式22+-是<0的解集为{-<x<1 1-2-1, 集为xla+2<x<34,故迹B 因为c(dn),所以2a≤ 一 所以-和1是方程2x+-三=0的两个实数根 解得 3 由限与系数的关聚可得-子×1=正得=行 433 434 (2)因为关于x的不等式2？+红-是<0的解集为R,k≠0， :9.BD因为f(2x-1)=(2x-1)2+2(2-1)+1,故fx)=2+2x+1=(x+1》2,放选项 r-1<2<1, C错误，D正确：f(3)■16.f-3)■4故选项A错误，B正确.故选D 则1,1<1，解得0<1<宁 所以3<0.解得-3<<0.故生的取值意明为-3<0 10.ABD奇函数在对称的区间上单调性相同，放C错误，其余都正确. 24<1-t, 18.(门)由题意，可得年利润W关于年产量的函数关系式为平=x(x)-(口6x+400】 11.ABD 放实数1的取值范围为：0<1<行】 =(40.00）-(m+40 0,1山所以B正确：因为0-=6：公0.所以-)=().)为偶隔数。 19设1，是[一1，+)内的任意两个不相等的实数，且-1<，媒有 (）-f(）=(+2》-(+2红1)=(-)+2(-工)=(-)(+3+2). =7400_400600-160x-400 所以C不正确：因为D-D=6:0.所以D-)=D(.所以D正确做 ,-1≤x1<-1>0.x++2>0. .(2-1)(斯1+x2+2)>0.f（)>f(x) =73600-40000-160(x340. 选AD, 函数y=2+2在[-1，+0)内是增函数 (2)由(1)可得W=73600-4000-160 2(-,0)u(0.因为/=+个，所以20，解得e1且0放 餐设作在行合条件的区同a,1,期有8二：即低欢女 数的定义域为(-，0)U(0,1] ≤7360m-2,0000.160, 40=0o.()÷+-号）=（寸+ 解得g880808:士 =73600-16000=57600, 层)=号x2=(）2x号号(-)（片）-号+g4 -1s4<b1, =0 当且仅当000=160x,即=50时收等号，所以当年产址为50万部时，公同在该款手 函数y=2+2x在[-1，+)内是闭函数，符合条件的区间是[-1,0] 机的生产中获得最大利润为57600万元 14.号(0,1]蒂函数x)的图象经过点(9,3)，所以3=9少，所以a=之，所以幂函数 考案（四） 19.(1)证明：a+(y+为)a+y归=0. (a+1)(a+:》=0.得为▣-0或为2■-a )=,放(）-号放10解得0<x≤1 1.C“a<7.2a-1<0于是，原式=(1-2a=个-2a.故选C. (2)任明：当a>0时，二次函数的图像开口向上，因象上的点A或点B的纵坐标为-a,15.(1)由f(1)=2f代2)=-1，得m+b=2,2a+b=-1,即a=-3,b=3, 且-a<0.图象与x轴有两个交点： 故fx)■-3x+5(m+1)-3(m+1)+5■-3m+2 2B要使隔数有意义。期-18：解得1≤<2，所以所求函数的定文域为1,2)放 当a<0时，二次函数的图象开口向下，图象上的点A或点B的纵坐标为-：，且-a>0。 (2)x)在R上是减函数 走B. 图象与x轴有两个交点 3A函数八x}=logx在定义域内单测递增，4)=吧4=2.不等式：+1)<2等 二次函数的图象必与轴有两个交点 则)-4j(-35)(-3+5)=3-3,33-6.因为x<. 价于0<：+1<4，解得-1 (3):+:+e>0的解集为xx>m或x<n(H<m<0) 所以f(,)-f名)<0.即f与)<尺￥：)， 4,A因为函数f八x)是定义在R上的偶函数，所以■八-2)■22').又因为y■2是 ,4>0且2+r+e■0的两根为m,4, 所以函数f(x)在R上单洞递减 R上的增函数.所以0<23<1<2，由于两数尺x)在区间[0，◆%)上是增函数.所以 m+n=- 16(1)由题意可设f八x)=红+b(t<0).由于ff八x)]=9x-2,则x+仙+b=9-2. a'm+n=-且e>0, 20 当。2-1开向上，不注点.且对 5.c (2)由(1)知，数y=-3x+1+x2-x=x-4x+1=(x-2)2-3. 。->0,可排除A,B港项：当0<a<1时，y=lg￥单调遂减，y=(a-1)2-2x-1 2-sa0即-名+片>0，即2+兰+>0(+）(+）0 故函数y=x2-4r+1的图象开口向上，对称轴为x=2, 开口向下，可排除D,故选C 当-1<a≤5时y的最大值是f(-1)=6. n<m<0-<- 当>5时.y的最大值是f八4)=a2-4+1 6.A由题意指数函数g()=a的图象过点(-2,4)，放可得4=a.解得a=7,放函数 不等式2-如+a>0的解集为>-或x<-} 棕上-{18. g)=(3）,故其反函数)=lg,放)+2)=g41+g42=0-1=-l 考案（三） )由题意，知当0≤≤8时=0.6c+024-):分+子+片 B方法一：要使两数心)有意义，必须满足经>0，解得<一宁或>分因为函数 1C要独函数有意义.则60，解得-1且0，放选C 当8<≤4时=06+a24---+2， )是锅函数.所以对任意xe（-0,-号）u(殳，+如）都有-)=)，即 2CA中的)=-1与g)= -1定义城不同：B中的f(x)=2x-1与g(x)=2x+ 即y= （-+o)h二=+o)h艺期(-ohc+oh对任意e 1对应关系不同：C中的/()=x2与g(x)=F定义域相同，且F=2.放是同一个雨 【0+2,8<≤14 (-x,-2)U(乞，+)恒成立，所以a=0放选B 数：D中的fx)=1与 3.C 说拔考得的需、在的区上都是婚函数，相不在整 (2)由(1)知当0≤≤8时，=-+子+片=六-4+8 方法二：因为R)=+ah为锅函数-D=a-h3)=a+h号 个定义域上为增所数：对干B,在[0，+∞)上单调递减：对于C.因为y=-3x2-6r= 所以当x=4时，y取得最大值.为3.6 =-(a+I)ln3,所以(a-1)ln3=-(a+1)ln3.解得g=0.放选B. 一3(x+1)尸+3，可求得减风间为[一1，+0)：对于D,增减性与4的取值有关，故选C 当8<x≤14时，=D+2.所以当工=14时，y取得最大值，为3.4 4C已知得”：解得。-1)1-在区间[小小止单调。 8.C所求数字过大，再根据题中g3的提示联想到先取对数，对于000有坚000 因为3.6>3.4，所以当x=4时，y取得最大值.为3.6. 36 故当精加工孩菜41时，总利润最大，为3.6万元 =361g3-52×4=-35.8,则000=10，分析选项中10与其最接近，选C 则g()m=g(）=-3,版选C 18.(1)证明：设V,e(-1,1),且<2 5.A因为函数f(x)为偶函数且在(-，0]上单词递增，f(-1)=2,所以函数f(x)在 9.D雨数x)=上是奇函数，放A不符合题意：x)=5x+2021x是偶函数，且易判 [0.+%)上单调递减f《1)=2.且f(2x+1)=f(12x+11).所以f(12x+11)<(1).所 圳gx)-)=+G 断fx)在风间(0+%)上单调递增，放B符合题意：-x)=e·-e=-(e一e)= 以2x+11>1.解得<-1或x>0.即x的取值范围是(-2 ,-1)U(0,+).放选A +1)-(+-1-5 -x),故尺x)=。-e为奇函致：对于D八x)=(1x1+I)为得函数，且在(0，+) (+1)(+1) (+1)(好+1) 单调递增，放D符合题意.故选BD 6由愿意可得（号）=f(1+号)=f(-号）=-（行）面(3）=f1-3】 0101-0 10 ABC 所以f(x +2) 24 =时（行）=-)放(3)=子放选c )为偶函数，放A正确：同时画出函数的图 (2+1)(2+1) 象，如图所：所以数在( 7.A由题意可知f(x)在(-安，0]上为增函数，又f(x)为偶函数，故f八x)在(0，+上 即gx)-g(2)<0,g五)<g() (2,+*)上为增函数，且存在最小值，没有最大值，校 数g(x)在(-1,1)上单调递增. A.BC正确.故达ABG. 为减版数，由f0-2)>f(-3)可得-了<1-2x<3解得写<<子放迷人 (2)因为-2-)，期8)为奇函数 1.BC“正实数，y满足e+4y<(分）- 双B南条件可刻学≥1， 解得-3≤a≤-2 由g(-1）+g2)<0,得g(2)<g(1-) a<0. 又因为g(x)在(-1,1)上单测递增， (合）广-（宁）<r-(号）广易知到 -a-6≤a, 435 436