集合之间的关系 - 山东省2026年春季高考一轮复习《数学考点双析卷》第3卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》的第3卷，主要考查集合之间的关系的掌握情况。 山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》 第3卷 集合之间的关系 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．设，则满足条件的集合共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．集合，则下面式子正确的是（    ） A． B． C． D． 3．集合，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，且，则（    ） A．0 B．1 C． D． 5．已知集合，，且，则的范围（    ） A． B． C． D． 6．设集合，则集合A的子集有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列四个关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，，，则集合P的真子集的个数是（    ） A．4 B． C． D． 9．下列四个命题： ①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集； ③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．下列集合中与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．集合的非空真子集个数为 ． 12．若集合,则 （从，，，选择一个填入）． 13．已知，，若且，则实数 . 14．设集合，若，则的值为 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知集合，. (1)若，试判断集合，之间是否存在子集关系； (2)若，求实数的取值范围. 16．已知集合 (1)用列举法表示集合 (2)写出集合的所有子集 17．已知集合，若，求实数m的取值范围． 18．求实数a的值. (1)已知,,求实数a的值; (2)已知集合,若集合A有两个子集,求实数a的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》的第3卷，主要考查集合之间的关系的掌握情况。 山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》 第3卷 集合之间的关系 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．设，则满足条件的集合共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用集合的包含关系求集合数量即可. 【详解】因为， 所以集合可能为，，，， 共有4个. 故选：D. 2．集合，则下面式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合以及集合与集合之间的关系即可选出正确答案. 【详解】因为，所以； 元素集合用或，集合与集合用或， 故选：D． 3．集合，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用子集的定义即可判断. 【详解】根据“如果集合的任意一个元素都是集合的元素，那么集合A称为集合B的子集”得： 故选:D 4．已知集合，且，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】两集合相等，则集合中元素相同，再根据集合中元素的性质即可求解. 【详解】因为，所以或（舍去）， 故选：A 5．已知集合，，且，则的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合包含关系定义求解即可. 【详解】由可知，中的元素都在中， 则. 故选：D. 6．设集合，则集合A的子集有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据求子集个数的公式即可求解. 【详解】集合中的元素有2个， 则子集的个数有个. 故选：D 7．下列四个关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】是元素与集合之间的关系，是集合与集合之间的关系，和不相等. 【详解】A项，集合间不用“”符号，故A项错误； B项，元素和集合不相等，故B项错误； C项，含有一个元素0，而中无元素，故C项错误； D项，含有一个元素0，故，故D项正确. 故选：D. 8．已知集合，，，则集合P的真子集的个数是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先列举出集合P中的元素，再根据真子集个数的公式求值即可. 【详解】已知集合，，， 则时，时，， 时，， 当时，时，， 时，， 当时，时，， 时，， 当时，时，， 时，， 所以，共个元素， 所以集合P的真子集的个数为， 故选：D. 9．下列四个命题： ①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集； ③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空集的定义和性质判断即可. 【详解】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0. 答案：A. 10．下列集合中与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合相等的定义逐一分析选项，得到答案. 【详解】由题意得，集合， 选项：由，解得， 所以，故错误； 选项：由，得， 所以，故正确； 选项：由，得， 所以，故错误； 选项：，方程无解， 所以，故错误. 故选：. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．集合的非空真子集个数为 ． 【答案】6 【分析】按非空真子集的概念列举所有的非空真子集可求解 【详解】集合的非空真子集有 共6个. 故答案为：6. 12．若集合,则 （从，，，选择一个填入）． 【答案】 【分析】根据集合与集合之间的关系即可求解. 【详解】因为集合， 所以集合B中的所有元素都属于集合A，则. 故答案为：． 13．已知，，若且，则实数 . 【答案】4或 【分析】先根据题意得出集合相等求参数，再根据集合元素互异性，求解. 【详解】∵，，且且， ∴. 当时，，即，解得或. ，，此时，根据元素的互异性，不成立. ，，此时，满足题意，此时. 当时，，即，解得（舍去）或. ，，此时，满足题意，此时. 故答案为：4或. 14．设集合，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据集合的包含关系以及元素互异性分析即可. 【详解】由集合M知，，则且， 因，，于是得，解得， 所以的值为. 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知集合，. (1)若，试判断集合，之间是否存在子集关系； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在 (2) 【分析】（1）求得，利用数轴和子集的概念判断； （2）分为，两种情况讨论，结合子集的概念列出不等式，求解即可. 【详解】（1）若，则．如图在数轴上标出集合． 由图可知，集合，之间存在子集关系，且． （2）由已知． 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得． 由已知，如图在数轴上表示出两个集合， 由图可得解得． 又因为，所以． 综上所述：实数的取值范围为． 16．已知集合 (1)用列举法表示集合 (2)写出集合的所有子集 【答案】(1). (2)，，，. 【分析】（）解一元二次方程求出集合的元素，根据列举法的定义即可得解. （）根据子集的定义即可写出集合的子集. 【详解】（1）因为，解得或， 所以用列举法表示为. （2）集合，所以子集为，，，. 17．已知集合，若，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合之间的关系即可解得. 【详解】解：依题意得，当时， 成立. 当时，因为， 所以，所以 综上，m的取值范围是. 18．求实数a的值. (1)已知,,求实数a的值; (2)已知集合,若集合A有两个子集,求实数a的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)根据分情况讨论,或,分别求出a的值,代入集合中检验即可; (2) 集合A有两个子集,说明集合A中有一个元素,分两种情况讨论即可. 【详解】（1）解:由题知因为,故, 又因为, 则或, ①当时,即, 此时, 集合A中的元素不满足互异性, 故舍; ②当时,即, 解得或（舍）, 此时,, 集合A中的元素满足互异性, 综上所述,; （2）由题因为集合有两个子集, 所以集合A中有一个元素, ①当时,,集合A有两个子集,符合题意; ②当时,, 即, 此时,集合A有两个子集,符合题意; 综上所述,或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $