2.4 概率的简单应用 讲义 2025--2026学年浙教版九年级数学上册

2.4概率的简单应用 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】概率在转盘中的应用 1 【题型2】概率在比赛中的应用 3 【题型3】统计与概率综合应用 4 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率=． 1.（2024秋•沙依巴克区校级月考）小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，则小丽胜，下列说法正确的是（　　） A．此规则有利于小玲 B．此规则有利于小丽 C．此规则对两人是公平的 D．无法判断 【题型1】概率在转盘中的应用 【典型例题】让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和概率最大的和等于(　  　) 　　 A.3 B.4 C.5 D.6 【举一反三1】用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，即可配成紫色（若指针指在分界线上，则重转），则配成紫色的概率为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】某地开展了“你旅游，我买单”有奖活动，凡组团报名满三十人，该团队有二次转盘抽奖机会，奖品设置：指针落到A区：矿泉水30瓶；指针落到B区：遮阳伞30把；指针落到C区：免1人旅游费2000元；指针落到D区：太阳镜30副；某团队获得免2人旅游费用的概率为        ． 【举一反三3】如图是芳芳自己设计的可以自由转动的转盘，转盘被等分成12个扇形，上面有12个有理数． 求转出的数是： （1）正数的概率； （2）负数的概率； （3）绝对值小于6的数的概率； （4）相反数大于或等于8的数的概率． 【题型2】概率在比赛中的应用 【典型例题】某校为了弘扬中国传统文化，特举办“经典诵读”比赛，某班决定从平时在这方面比较强的四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“经典诵读”比赛，则恰好选中甲和乙的概率为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】为了准备第八届中国诗歌节，某校组织了一次诗歌比赛，有名女生和名男生获得一等奖，现准备从这名获奖学生中随机选出名学生进行培训，将来代表学校参加第八届中国诗歌节比赛，则选出的结果是“一男一女”的概率是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】从数学成绩优秀的甲，乙，丙三名同学中任选两人参加“数学竞赛”，甲被选中的概率为（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，我校运动会100米预赛用抽签方式确定赛道，若运动员小高第一个抽签，能从1~8号中随机抽取一签，则抽到偶数号赛道的概率是      ，抽到5号跑道的概率是      ． 【举一反三4】在衡阳县某学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名． (1)求出5班和6班抽签到一个小组的概率； (2)若4个班的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中5班不与6班对决的概率． 【题型3】统计与概率综合应用 【典型例题】已知互不相等的9个数的中位数为5，在4，5，6三个正整数中随机抽取两个数，补充到原来的数据中，则使这11个数的中位数保持不变的概率为（　　） A. B. C. D.1 【举一反三1】在一个不透明的盒子中，有六个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，3，4，4，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为六个数字的中位数的概率是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】从2021、2022、2023、2024、2025这五个数中任意抽取3个数．抽到中位数是2022的3个数的概率等于         ． 【举一反三3】一个箱子内有颗相同的球，将颗球分别标示号码，，，今浩浩以每次从箱子内取一颗球且取后放回的方式抽取，并预计取球次，现已取了次，取出的号码依次为，，，若每次取球时，任一颗球被取到的机会皆相等，且取出的号码即为得分数，浩浩打算依计划继续从箱子取球次，则发生“这次得分的平均数在之间（含，）”的情形的概率为        ． 【举一反三4】今年植树节，某中学组织师生开展植树造林活动，为了解全校800名学生的植树情况，随机抽样调查50名学生的植树情况，制成如下统计表和条形统计图． （1）求的值，并将条形统计图补充完整； （2）求从50名学生中任意抽取一名，植树数量恰好等于中位数的概率； （3）估计该校800名学生中，植树数量不少于4棵的人数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4概率的简单应用 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】概率在转盘中的应用 2 【题型2】概率在比赛中的应用 5 【题型3】统计与概率综合应用 8 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率=． 1.（2024秋•沙依巴克区校级月考）小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，则小丽胜，下列说法正确的是（　　） A．此规则有利于小玲 B．此规则有利于小丽 C．此规则对两人是公平的 D．无法判断 【答案】C 【分析】抛掷两枚均匀的正方体骰子总共有36种情况，一个奇数与一个偶数的和是奇数，故其中和为奇数的情况有3×3+3×3=18，计算出奇数的概率．和不是偶数就是奇数，再计算偶数的概率． 【解答】解：抛掷两枚均匀的正方体骰子，掷得点数之和为偶数的概率是，点数之和为奇数的概率是，所以规则对两人是公平的， 故选：C． 【题型1】概率在转盘中的应用 【典型例题】让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和概率最大的和等于(　  　) 　　 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】根据题意，列表得： ∴共有16种等可能的结果， 则这两个数的和为2、8的概率为：， 这两个数的和为3、7的概率为：， 这两个数的和为4、6的概率为：， 这两个数的和为5的概率为：， 则这两个数的和概率最大的和等于5. 故选C. 【举一反三1】用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，即可配成紫色（若指针指在分界线上，则重转），则配成紫色的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】列表如下： 由表格知共有6种等可能出现的结果数，其中能配成紫色的结果数有3种， 则P（配成紫色）=， 故选：C． 【举一反三2】某地开展了“你旅游，我买单”有奖活动，凡组团报名满三十人，该团队有二次转盘抽奖机会，奖品设置：指针落到A区：矿泉水30瓶；指针落到B区：遮阳伞30把；指针落到C区：免1人旅游费2000元；指针落到D区：太阳镜30副；某团队获得免2人旅游费用的概率为        ． 【答案】 【解析】根据题意如图： 机会均等的结果共有16个，而获得两次都是C的只有1个， 某团队获得免2人旅游费用的概率为． 故答案为：． 【举一反三3】如图是芳芳自己设计的可以自由转动的转盘，转盘被等分成12个扇形，上面有12个有理数． 求转出的数是： （1）正数的概率； （2）负数的概率； （3）绝对值小于6的数的概率； （4）相反数大于或等于8的数的概率． 【答案】解：(1) 10个数中正数有1，6，8，9，，，P(正数)＝．, (2) 10个数中正数有-1，，-10，-2，-8，P(负数)＝．, (3) 10个数中绝对值小于6的数有-1，，0，，1，-2，，P(绝对值小于6的数)＝. (4)相反数大于或等于8的数有-10，-8，P(相反数大于或等于8的数)＝． 【题型2】概率在比赛中的应用 【典型例题】某校为了弘扬中国传统文化，特举办“经典诵读”比赛，某班决定从平时在这方面比较强的四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“经典诵读”比赛，则恰好选中甲和乙的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】画树状图得： 一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种， ， 故选：D． 【举一反三1】为了准备第八届中国诗歌节，某校组织了一次诗歌比赛，有名女生和名男生获得一等奖，现准备从这名获奖学生中随机选出名学生进行培训，将来代表学校参加第八届中国诗歌节比赛，则选出的结果是“一男一女”的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】画出树状图如下：    共有种等可能的情况，其中选出的结果是“一男一女”的情况有种， 选出的结果是“一男一女”的概率是是． 故选：． 【举一反三2】从数学成绩优秀的甲，乙，丙三名同学中任选两人参加“数学竞赛”，甲被选中的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲被选中的结果有种， 甲被选中的概率为， 故选：A． 【举一反三3】如图，我校运动会100米预赛用抽签方式确定赛道，若运动员小高第一个抽签，能从1~8号中随机抽取一签，则抽到偶数号赛道的概率是      ，抽到5号跑道的概率是      ． 【答案】； 【解析】由题意得共有条跑道，其中偶数号赛道有第、、、跑道，有条跑道， 抽到偶数号赛道的概率：； 号跑道有条跑道， 抽到号赛道的概率：； 故答案：，． 【举一反三4】在衡阳县某学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名． (1)求出5班和6班抽签到一个小组的概率； (2)若4个班的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中5班不与6班对决的概率． 【答案】解：（1）分组：(2，5)和(6，9)；(2，6)和(5，9)；(2，9)和(5，6)共3种， 5班和6班抽签到一个小组只有一种情况， 故概率为：； （2）①分组为(2，5)和(6，9)， 故概率为：； ②分组为(2，6)和(5，9)， 故概率为：； 综上，在年级四强的名次争夺赛中5班不与6班对决的概率为． 【题型3】统计与概率综合应用 【典型例题】已知互不相等的9个数的中位数为5，在4，5，6三个正整数中随机抽取两个数，补充到原来的数据中，则使这11个数的中位数保持不变的概率为（　　） A. B. C. D.1 【答案】D 【解析】由题意，在4，5，6三个正整数中随机抽取两个数，可能为4和5，4和6，5和6， ∵互不相等的9个数的中位数为5， ∴给这一组数据中补充4和5或4和6或5和6后，组成的11个数从小到大排列，最中间的数仍为5，即中位数仍为5， ∴加入两个数后的11个数的中位数保持不变的概率为1， 故选：D. 【举一反三1】在一个不透明的盒子中，有六个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，3，4，4，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为六个数字的中位数的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵共6个球，中位数为3的有2个， ∴摸出的小球标号为中位数3的概率是； 故选B. 【举一反三2】从2021、2022、2023、2024、2025这五个数中任意抽取3个数．抽到中位数是2022的3个数的概率等于         ． 【答案】 【解析】根据题意，画树状图如图， 2022为中位数的情形有6种， 2022为中位数的情形有6种， 2022为中位数的情形有2种， 2022为中位数的情形有2种， 2022为中位数的情形有2种， 共有60种情况，其中抽到中位数是2022的3个数的情况有18种， 则抽到中位数是2022的3个数的概率等于， 故答案为：. 【举一反三3】一个箱子内有颗相同的球，将颗球分别标示号码，，，今浩浩以每次从箱子内取一颗球且取后放回的方式抽取，并预计取球次，现已取了次，取出的号码依次为，，，若每次取球时，任一颗球被取到的机会皆相等，且取出的号码即为得分数，浩浩打算依计划继续从箱子取球次，则发生“这次得分的平均数在之间（含，）”的情形的概率为        ． 【答案】 【解析】∵这5个数的平均数在之间（含，）, ∴这5个数的和在之间（含8，10）, ∵已取了次，取出的号码依次为，，，前三个数的和是5, ∴后两次的和在3到5之间(包括3和5)， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中和在3到5之间的有3种结果， ∴发生“这5次得分的平均数在之间（含，）”的情形的概率为, 故答案为：. 【举一反三4】今年植树节，某中学组织师生开展植树造林活动，为了解全校800名学生的植树情况，随机抽样调查50名学生的植树情况，制成如下统计表和条形统计图． （1）求的值，并将条形统计图补充完整； （2）求从50名学生中任意抽取一名，植树数量恰好等于中位数的概率； （3）估计该校800名学生中，植树数量不少于4棵的人数． 【答案】解：（1）， ； 将条形统计图补充完整如图所示： （2）将50名学生的植树数量按从小到大的顺序排列，第25个数据是4，第26个数据是5，所以植树数量的中位数是4．5， 而植树数量等于4．5的学生不存在， ∴从50名学生中任意抽取一名，植树数量恰好等于中位数的概率为0； （3）估计该校800名学生中，植树数量不少于4棵的人数为：800×（1-0.1）=720． 学科网（北京）股份有限公司 $