专题18 乘法公式 讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

专题18 乘法公式 （重难点题型专训） 【知识考点 乘法公式】 【解题知识必备】 1.平方差公式 （1）用语言表达：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． （2）用式子表达：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （3）注意： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 2.完全平方公式 （1）用语言表达：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍． （2）用式子表达：，. （3）注意： ①左边是两个数的和（或差）的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． ③公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ④对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ⑤对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 3.添括号 （1）用语言表达：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. （2）用式子表达：a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c) 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 判断能否使用乘法公式进行运算 【题型02】 运用平方差公式进行运算 【题型03】 利用完全平方公式进行运算 【题型04】 根据完全平方公式求字母的值 【题型05】 通过添括号运用乘法公式进行运算 【题型06】 利用完全平方公式变形求值 【题型07】 运用乘法公式综合运算 【题型08】 运用乘法公式化简求值 【题型09】 乘法公式在几何图形中的应用 【特训10】 综合强化提升 【特训11】 直通中考真题 【题型01】 判断能否使用乘法公式进行运算 【例1】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）下列各式中能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024-2025七年级下·宁夏银川·期中）下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024-2025七年级·上海闵行·期末）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）用平方差公式计算，必须先变形，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型02】 运用平方差公式进行运算 【例2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·湖北武汉·期末）观察规律： ， 若（为正整数），则的值为（   ） A．2012 B．2013 C．2024 D．2025 【变式2-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）利用平方差公式简便运算： （1）； （2）． 【变式2-3】（2023-2024八年级上·广东江门·期中）运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3) 【题型03】 利用完全平方公式进行运算 【例3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024-2025七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算： （1）； （2）． 【变式3-2】（2025-2026八年级上·全国·课前预习）运用完全平方公式进行简便计算： （1）； （2）． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·河北邢台·期末）淇淇准备完成题目：化简，发现系数■印刷不清楚， (1)淇淇猜测系数，请你根据猜测计算最后的结果； (2)老师发现后，说淇淇猜得不对，标准答案是个常数，据此求■表示的数． 【题型04】 根据完全平方公式求字母的值 【例4】（2024-2025八年级·广东惠州·开学考试）如果二次三项式是完全平方式，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·吉林长春·阶段练习）如果是关于的完全平方式，则的值是（   ） A．−20 B． C．20 D．无法确定 【变式4-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）若成立，请你写出一组满足条件的的值： ． 【变式4-3】（2024-2025八年级上·四川宜宾·期中）将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 ．（写出有可能的结果） 【题型05】 通过添括号运用乘法公式进行运算 【例5】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式计算． （1）； （2）． 【变式5-1】（2024-2025八年级上·广东中山·竞赛）计算： 【变式5-2】（2024-2025七年级下·全国·期末）计算： （1）； （2）． 【变式5-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式计算： （1）； （2）； （3）． 【题型06】 利用完全平方公式变形求值 【例6】（2024-2025七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知，．求： （1）； （2）的值． 【变式6-1】（2024-2025七年级下·安徽合肥·期末）已知，则的值为（   ） A．4 B．6 C．2 D．8 【变式6-2】（2025-2026八年级上·全国·单元测试）若，，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·吉林长春·期末）完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若x满足，求的值． 解：设，则，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若x满足，求的值； (3)如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子（即长方形）．以为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为，则长方形院子的面积为______． 【题型07】 运用乘法公式综合运算 【例7】（2024-2025八年级上·四川眉山·期末）下列计算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·山东日照·阶段练习）将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则 ． 【变式7-2】（2024-2025七年级下·江苏泰州·阶段练习）化简： （1）； （2）． 【变式7-3】（2024-2025七年级下·江苏连云港·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【题型08】 运用乘法公式化简求值 【例8】（2024-2025八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式8-1】（2024-2025七年级下·山东菏泽·阶段练习）已知，则的值为 ． 【变式8-2】（2025-2026八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【变式8-3】（2024-2025八年级上·湖北武汉·期末）（1）已知，求的值． （2）先化简，再求值，其中，． 【题型09】 乘法公式在几何图形中的应用 【例9】（2024-2025八年级上·湖北襄阳·期末）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形． (1)图2的阴影部分的正方形的边长是________． (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】________；【方法2】_________；； (3)若，且，，求的值． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·广东东莞·期末）如图①所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示，； 并写出上述过程所揭示的公式； (2)拓展提升：试利用这个公式计算： (3)迁移应用：计算 【变式9-2】（2024-2025八年级上·辽宁大连·期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．利用图2正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：． (1)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请画出图形； (2)已知，，求的值； (3)已知，求的值； (4)已知，求的值． 【变式9-3】（2024-2025七年级下·陕西西安·阶段练习）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和．． 【特训10】 综合强化提升 1．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）下列各式计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 2.（2024-2025七年级下·江苏泰州·阶段练习）多顶式是一个完全平方式，则的值为（ ） A．11 B． C． D．11或 3.（2024-2025七年级下·江苏无锡·阶段练习）的个位数字为（ ） A．9 B．7 C．3 D．1 4．（2024-2025七年级下·广东佛山·期末）观察下列等式： … 根据规律，式子（一般地，用表示十位数为，个位数为的两位数）可表示为（ ） A． B． C． D． 5．（2024-2025八年级上·河北邢台·期末）如图，点B是线段上一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，，则长方形面积为（ ） A．25 B．6 C．9 D．12 6.（2025-2026七年级·湖北黄石·开学考试）古代的数学家常常用图形来理解一些数学公式，从图（   ）中可以很清晰地看出公式成立． A． B． C． D． 7．（2024-2025八年级上·吉林长春·期末）若，，则 ． 8．（2024-2025八年级·甘肃张掖·期末）如果是一个完全平方式，那么的值为 ． 9．（2023-2024八年级上·湖北恩施·期末）小明同学在复习整式的乘法时，看到了自己以前做过的一道计算题，但是有一部分被墨迹污染，无法看清，所呈现的部分为：（），请你根据所学知识，确定被墨迹污染的部分为： ． 10.（2024-2025七年级下·广东广州·期中）已知 ，若a是整数，，则 ． 11．（2024-2025八年级·广东佛山·期中）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这个数中，所有“神秘数”的个数是 ． 12.（2024-2025七年级下·辽宁辽阳·阶段练习）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是______（填序号）： ①与； ②与； ③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； 13．（2024-2025八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）阅读材料：若x满足，求的值 解：设，，则，， ∴ ． 这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 请仿照上述材料解决下面的问题： (1)若x满足，求的值； (2)若x满足，求代数式的值： 14．（2025-2026八年级上·海南海口·阶段练习）巧用乘法公式解决最值问题 课堂上老师要求运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ， 当时，的值最小，最小值是0， 即当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： 求当取何值时，有最小值，且最小值是多少？ 15.（2023-2024七年级下·广东佛山·期中）（1）图1所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种方法，结果分别如下 方法①：__________ 方法②：__________ 从小明的两种方法中，可以得出的等式为__________ （2）如图2，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示__________ （3）如果、满足，，求：①的值；②的值． 16．（2024-2025七年级下·广东河源·期中）某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了以下两种图形验证平方差公式． （1）探究：以上两种图形能够验证平方差公式的是__________________；（填序号） （2）应用：利用平方差公式计算：； （3）拓展：运用平方差公式计算：． 17.（2024-2025七年级下·湖南株洲·期中）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的乘法公式是________；（用含a，b的式子来表示） (2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值； (3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积． 18．（2024-2025七年级下·江苏泰州·阶段练习）对于两个正数， ，定义一种新的运算，记作，即：如果： ，那么 例如： 则 (1)根据上述运算填空： ； ； (2)先观察，与的结果之间的关系， 再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳： (3)如图①，正方形的边长为，小正方形的边长为，若 ，求图中阴影部分的面积． (4)如图②，四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形，沿着翻折得到长方形．若，长方形的面积是， 求的值． 19.（2025-2026八年级上·河南南阳·阶段练习）观察图形，解决问题： (1)如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：______，方法二：______；结合以上两种方法可以得到数学公式______； (2)当时，求的值； (3)如图②所示，两个正方形，的边长分别为m，n．若，，求图中阴影部分的面积． 20.（2024-2025八年级上·福建福州·期末）对于一个正整数，若存在正整数，使得能表示为和的平方差，那么称这个正整数为系平方差数．例如：，则20为6系平方差数． (1)直接写出5系平方差数______ (2)已知为系平方差数，求的值． (3)已知，为正整数，，且为系平方差数． ①直接写出与之间的数量关系______； ②若是系平方差数，请写出是______系平方差数（用含的代数式来表示）；并说明理由． 【特训11】 直通中考真题 1．（2025·四川内江·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川广元·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值是（   ） A．6 B． C． D．4 6．（2023·新疆乌鲁木齐·中考真题）有若干张面积分别为、、的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为的正方形纸片，4张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（ ） A．2张 B．4张 C．6张 D．8张 7．（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ② ③   ④ 其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2023·浙江湖州·中考真题）计算： ． 9．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 10．（2025·新疆·中考真题）计算： (1)； (2)． 11．（2025·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 12．（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 13．（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 14．（2024·江苏无锡·中考真题）计算： (1)； (2)． 15．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 16．（2023·青海西宁·中考真题）计算：． 17．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 18．（2023·河南·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 19．（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 20．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 乘法公式 （重难点题型专训） 【知识考点 乘法公式】 【解题知识必备】 1.平方差公式 （1）用语言表达：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． （2）用式子表达：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （3）注意： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 2.完全平方公式 （1）用语言表达：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍． （2）用式子表达：，. （3）注意： ①左边是两个数的和（或差）的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． ③公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ④对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ⑤对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 3.添括号 （1）用语言表达：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. （2）用式子表达：a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c) 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 判断能否使用乘法公式进行运算 【题型02】 运用平方差公式进行运算 【题型03】 利用完全平方公式进行运算 【题型04】 根据完全平方公式求字母的值 【题型05】 通过添括号运用乘法公式进行运算 【题型06】 利用完全平方公式变形求值 【题型07】 运用乘法公式综合运算 【题型08】 运用乘法公式化简求值 【题型09】 乘法公式在几何图形中的应用 【特训10】 综合强化提升 【特训11】 直通中考真题 【题型01】 判断能否使用乘法公式进行运算 【例1】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）下列各式中能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可． 【解答】解：A、，不能用平方差公式进行计算，选项不符合题意； B、，能用平方差公式进行计算，选项符合题意； C、，不能用平方差公式进行计算，选项不符合题意； D、，不能用平方差公式计算，选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（2024-2025七年级下·宁夏银川·期中）下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式的结构特征判断即可． 【解答】解：A、，故不能用平方差公式进行计算，不符合题意； B、，故不能用平方差公式进行计算，不符合题意； C、，能用平方差公式进行计算，符合题意； D、，故不能用平方差公式进行计算，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（2024-2025七年级·上海闵行·期末）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式， 先根据整式的乘法法则或公式计算，再根据完全平方公式的特征判断即可． 【解答】解：因为没有运用完全平方公式，所以A不符合题意； 因为没有运用完全平方公式，所以B不符合题意； 因为没有运用完全平方公式，所以C不符合题意； 因为运用完全平方公式，所以D符合题意． 故选：D． 【变式1-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）用平方差公式计算，必须先变形，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式的结构特征判断即可． 【解答】解：A．不符合平方差公式的结构特征，不符合题意； B．不符合平方差公式的结构特征，不符合题意； C．与原式不相等，不符合题意； D．符合平方差公式的结构特征，符合题意； 故选：D． 【题型02】 运用平方差公式进行运算 【例2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，根据平方差公式计算各选项中的式子即可得到答案． 【解答】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·湖北武汉·期末）观察规律： ， 若（为正整数），则的值为（   ） A．2012 B．2013 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键. 根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案. 【解答】解：∵ 解得： 故选：C． 【变式2-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）利用平方差公式简便运算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可； （2）先将变形为，再利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式2-3】（2023-2024八年级上·广东江门·期中）运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)39999 【分析】本题考查平方差公式，熟练运用平方差公式是解题的关键． （1）运用平方差公式计算即可； （2）运用平方差公式计算即可； （3）将式子变形为后，运用平方差公式计算即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型03】 利用完全平方公式进行运算 【例3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了完全平方式，计算时注意不要漏项．根据逐项进行计算判断即可． 【解答】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；     B、 ，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意；   D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-1】（2024-2025七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）10201；（2）1 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式，将各式进行正确变形是解题的关键． （1）将原式变形后利用完全平方公式计算即可； （2）将原式变形后利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3-2】（2025-2026八年级上·全国·课前预习）运用完全平方公式进行简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式直接求解即可． （2）利用完全平方公式直接求解即可． 【解答】解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·河北邢台·期末）淇淇准备完成题目：化简，发现系数■印刷不清楚， (1)淇淇猜测系数，请你根据猜测计算最后的结果； (2)老师发现后，说淇淇猜得不对，标准答案是个常数，据此求■表示的数． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算完全平方公式，单项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． （2）先运算完全平方公式，单项式乘多项式，再合并同类项，因为标准答案是个常数，进行列式计算，得出，即可作答． 【解答】（1）解： ； （2）解： ∵结果为常数， ∴， 即． 【题型04】 根据完全平方公式求字母的值 【例4】（2024-2025八年级·广东惠州·开学考试）如果二次三项式是完全平方式，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式的概念及一元一次方程的求解，解题的关键是根据完全平方式的结构特征，建立关于k的方程并求解． 根据完全平方式的结构，可知二次三项式中中间项系数的一半的平方等于常数项；据此列出关于k的方程，求解方程并排除无解情况，得到k的值． 【解答】解：∵二次三项式是完全平方式， 又∵完全平方式的形式为 ∴中间项系数的一半的平方等于常数项，即． 两边开平方得：． 当时， 两边同乘2得： 化简得：，此方程无解． 当时，即 两边同乘2得： 移项得： 合并同类项得： 解得：． 故选：D． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·吉林长春·阶段练习）如果是关于的完全平方式，则的值是（    ） A．−20 B． C．20 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 根据完全平方式公式推算即可． 【解答】解：∵是个完全平方式，则 ∵， ∴ ∴ 故选：B． 【变式4-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）若成立，请你写出一组满足条件的的值： ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结果特点是解题的关键． 根据完全平方公式进行分析计算即可． 【解答】解：∵，即是完全平方式， ∴， 当时，，即； 当时，，即； ∴或． 【变式4-3】（2024-2025八年级上·四川宜宾·期中）将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 ．（写出有可能的结果） 【答案】，，， 【分析】由于多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，那么此单项式可能是二次项、可能是常数项，可能是一次项，还可能是4次项，分4种情况讨论即可． 【解答】解：∵多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方， ∴此单项式可能是二次项，可能是常数项，可能是一次项，还可能是4次项， ，故此单项式是； ，故此单项式是； ，故此单项式是； 故此单项式是． 故答案是，，，． 【题型05】 通过添括号运用乘法公式进行运算 【例5】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式计算． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，根据平方差公式得，再结合完全平方公式进行展开，即可作答． （2）根据平方差公式得，再结合完全平方公式进行展开，合并同类项，即可作答． 【解答】解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-1】（2024-2025八年级上·广东中山·竞赛）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式、平方差公式的运用．把前两项整理成4与的和与差的相乘的形式，利用平方差公式计算，利用完全平方公式计算，然后再利用合并同类项的法则计算即可． 【解答】解： ． 【变式5-2】（2024-2025七年级下·全国·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，逐一计算，最后合并同类项即可； （2） 根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，逐一计算，最后合并同类项即可． 【解答】解：（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【变式5-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行计算，即可作答． （2）先运用平方差公式进行计算，再结合完全平方公式进行计算，即可作答． （3）先运用平方差公式进行计算，再结合完全平方公式进行计算，即可作答． 【解答】解：（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【题型06】 利用完全平方公式变形求值 【例6】（2024-2025七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知，．求： （1）； （2）的值． 【答案】（1）5；（2）1 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的变形是解题关键． （1）根据完全平方公式得再把两式子相加，进行计算即可． （2）根据完全平方公式得再把两式子相减，进行计算即可． 【解答】解：（1）解：∵，， ∴ 上两式子相加得， ∴． （2）解：∵，， ∴ 上两式子相减得， ∴． 【变式6-1】（2024-2025七年级下·安徽合肥·期末）已知，则的值为（   ） A．4 B．6 C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了换元代入法求代数式的值．通过变量替换简化方程，利用完全平方公式求出，再利用平方差公式求解． 【解答】解：设，则 代入原方程得：， 整理得：， 所求表达式为：， 故选：C． 【变式6-2】（2025-2026八年级上·全国·单元测试）若，，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形求解代数式的值，熟练掌握完全平方公式变形是解题的关键． （1）将原式变形为，代值计算即可； （2）将原式变形为，代值计算即可； （3）先将原式利用完全平方公式展开后，合并同类项，再变形为，代值计算即可． 【解答】解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·吉林长春·期末）完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若x满足，求的值． 解：设，则，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若x满足，求的值； (3)如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子（即长方形）．以为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为，则长方形院子的面积为______． 【答案】(1)12 (2)5 (3)1200 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据，并将已知条件代入计算即可； （2）设，则，利用计算即可； （3）设米，米，则，再根据完全平方公式的变形求出即可解答． 【解答】（1）解：∵， ∴，解得：． （2）解：设，则， ． （3）解：设米，米，则， ，， ，解得：． ∴长方形院子的面积为． 【题型07】 运用乘法公式综合运算 【例7】（2024-2025八年级上·四川眉山·期末）下列计算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式计算即可． 【解答】解：A. ，错误，不符合题意；     B. ，错误，不符合题意； C. ，错误，不符合题意； D. ，正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，熟练掌握这两个公式与运算法则是解题的关键． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·山东日照·阶段练习）将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，整式混合运算．根据新定义得到关于x的方程，然后利用整式的混合运算法则进行解方程即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式7-2】（2024-2025七年级下·江苏泰州·阶段练习）化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，积的乘方的逆运算，掌握知识点是解题的关键； （1）先根据积的乘方的逆运算，将原式化为，再由平方差公式，完全平方公式，逐步计算即可； （2）先将原式化为，再由平方差公式，完全平方公式，逐步计算即可． 【解答】解：（1）解： ． （2） ． 【变式7-3】（2024-2025七年级下·江苏连云港·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2)6 (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，积的乘方，同底数幂相乘，单项式乘多项式，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）先运算单项式乘多项式，多项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． （3）运用完全平方公式进行计算，即可作答． （4）运用完全平方公式进行计算，即可作答． （5）运用平方差公式进行计算，即可作答． （6）运用平方差公式进行计算，即可作答． （7）运用平方差公式进行计算，即可作答． （8）先运算平方差公式，再运算完全平方公式，即可作答． （9）先运算平方差公式，完全平方公式，再合并同类项，即可作答． （10）先运算平方差公式，完全平方公式，再去括号，即可作答． 【解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：． （5）解： ； （6）解： ； （7）解： （8）解： ； （9）解： （10）解： ． 【题型08】 运用乘法公式化简求值 【例8】（2024-2025八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查的是整式的混合运算，属于基础题型．明确乘法计算法则是解决这个问题的关键．首先根据完全平方公式、平方差公式以及多项式的乘法计算法则将括号去掉，然后再进行合并同类项得出化简结果，最后将a和b的值代入化简结果得出答案． 【解答】解： ， 将，代入得，原式． 【变式8-1】（2024-2025七年级下·山东菏泽·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的混合运算，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算完全平方公式以及平方差公式，再合并同类项，最后运算除法，得出，又因为，得出，然后代入进行计算，即可作答． 【解答】解： ， ∵， ∴ 则， 故答案为：6． 【变式8-2】（2025-2026八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值、乘法公式、绝对值的非负性，熟练掌握以上知识点是解题的关键 先化简代数式，然后求出和，代入求值即可 【解答】解：原式 ， ∵， ，， ∴，， ∴，， 将，代入得， 原式． 【变式8-3】（2024-2025八年级上·湖北武汉·期末）（1）已知，求的值． （2）先化简，再求值，其中，． 【答案】（1）或；（2）， 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用完全平方公式计算即可得解； （2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可得解． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为或； （2） ， 当，时，原式． 【题型09】 乘法公式在几何图形中的应用 【例9】（2024-2025八年级上·湖北襄阳·期末）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形． (1)图2的阴影部分的正方形的边长是________． (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】________；【方法2】_________；； (3)若，且，，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，求一个数的平方根，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）观察图意直接得出正方形的边长是； （2）利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，或者直接利用（1）的条件求出小正方形的面积； （3）把（2）中的两个代数式联立得到，据此代值计算即可． 【解答】（1）解：由图形可得：图2的阴影部分的正方形的边长是； 故答案为：； （2）解：方法1：利用正方形面积面积公式可得； 方法2：利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，可得； 故答案为：，； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·广东东莞·期末）如图①所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示，； 并写出上述过程所揭示的公式； (2)拓展提升：试利用这个公式计算： (3)迁移应用：计算 【答案】(1)，， (2) (3)2 【分析】本题考查的是平方差公式的几何应用，平方差公式的应用，熟练地推导平方差公式与运用平方差公式解决问题是关键． （1）图①阴影部分的面积等于大的正方形的面积减去小的正方形面积，图②阴影部分的面积为长方形的面积，从而可得答案；由图①与图②阴影部分的面积相等可得公式； （2）先把原式乘以，再利用平方差公式依次从左至右的进行计算即可． （3）先把原式乘以，再利用平方差公式依次从左至右的进行计算即可． 【解答】（1）解：，， ∵， ∴； （2）解： ； （3）解： . 【变式9-2】（2024-2025八年级上·辽宁大连·期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．利用图2正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：． (1)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请画出图形； (2)已知，，求的值； (3)已知，求的值； (4)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) (4)31 【分析】本题主要考查完全平方式、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景． （1）根据，画出宽为，长为的长方形即可； （2）根据完全平方公式变形可得出答案； （3）设，，则，再由完全平方公式变形可得出答案； （4）设，，则，再由已知得，再由完全平方公式变形可得出，再将变形为，将，代入求解即可． 【解答】（1）解：如图，可以验证：； （2）解：， ， ， 又，， ； （3）解：设，，则， ， ， ， ， 即； （4）解：设，，则， ， ， ， ， ， ． 【变式9-3】（2024-2025七年级下·陕西西安·阶段练习）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和．． 【答案】类比探究：；应用：（1）217；（2）12；拓展：19平方米 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 类比探究：由图①所得到的等式，进行变形即可； 应用：（1）由，代入即可求出答案； （2）设，由题意得，由代入计算即可； 拓展：设，由题意得，，，根据代入计算即可． 【解答】解：类比探究：观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为： ， 故答案为：； 应用：（1）∵，， ∴， 故答案为：217； （2）设，则，， ∴ ； 拓展：设，由题意得，，，即， （平方米）， 即种草区域的面积和为19平方米． 【特训10】 综合强化提升 1．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）下列各式计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构是解题的关键． 根据完全平方公式进行化简即可． 【解答】解： ． 故选B． 2.（2024-2025七年级下·江苏泰州·阶段练习）多顶式是一个完全平方式，则的值为（ ） A．11 B． C． D．11或 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 根据完全平方式的结构特征，确定中间项的系数，进而求出k的值． 【解答】解：∵为完全平方式， ∴ ∴ ∴或， 故选：D． 3.（2024-2025七年级下·江苏无锡·阶段练习）的个位数字为（ ） A．9 B．7 C．3 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，有理数的乘方运算，解题关键是掌握平方差公式． 先利用平方差公式计算，化简算式后，再求出（为正整数）的个位数字的规律，然后利用规律求解． 【解答】解： ∵，，，，，… ∴（为正整数）的个位数字以3，9，7，1，四个数为一循环， 余2， 则的个位数字为， ∴的个位数字为， 故选：B． 4．（2024-2025七年级下·广东佛山·期末）观察下列等式： … 根据规律，式子（一般地，用表示十位数为，个位数为的两位数）可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用完全平方公式计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 将表示为，再由完全平方公式计算即可． 【解答】解： 故选：A． 5．（2024-2025八年级上·河北邢台·期末）如图，点B是线段上一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，，则长方形面积为（ ） A．25 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用．设，，根据题意得到，，利用完全平方公式求得，进而利用长方形的面积公式可求解． 【解答】解：如图， 设，， ∵，两个正方形的面积之和， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 6.（2025-2026七年级·湖北黄石·开学考试）古代的数学家常常用图形来理解一些数学公式，从图（   ）中可以很清晰地看出公式成立． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式在几何图形中的应用，对于A选项，用两种方法表示出中间阴影部分的面积即可判断；对于B选项，用两种方法表示出大正方形的面积即可判断；对于C选项，用两种方法表示出阴影部分的面积即可判断；对于D选项，用用两种方法表示出大正方形的面积即可判断． 【解答】解：A、中间阴影部分是边长为的正方形，则其面积为，中间阴影部分的面积等于边长为的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形面积，则其面积为，则，故此选项不符合题意； B、大正方形的边长为，则其面积为，而大正方形的面积等于两个小正方形面积加上两个小长方形面积，则其面积为，则，故此选项符合题意； C、阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，则其面积为，阴影部分面积等于两个梯形面积之和，则其面积为，则，故此选项不符合题意； D、大正方形的边长为，则其面积为，而大正方形的面积等于一个小正方形面积加上两个小长方形面积，则其面积为，则，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．（2024-2025八年级上·吉林长春·期末）若，，则 ． 【答案】26 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式可得，然后将代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴，即， ∴，解得：． 故答案为：26． 8．（2024-2025八年级·甘肃张掖·期末）如果是一个完全平方式，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，利用完全平方公式计算即可得． 【解答】解：是一个完全平方式， ∴， ， ， 解得：或， 故答案为：或． 9．（2023-2024八年级上·湖北恩施·期末）小明同学在复习整式的乘法时，看到了自己以前做过的一道计算题，但是有一部分被墨迹污染，无法看清，所呈现的部分为：（），请你根据所学知识，确定被墨迹污染的部分为： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的逆用，熟练掌握平方差公式并灵活运用是解题的关键； 逆用平方差公式将转化为，可得结果． 【解答】， 被墨迹污染的部分为． 故答案为：． 10.（2024-2025七年级下·广东广州·期中）已知 ，若a是整数，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 将原式变形为，再由平方差公式计算即可． 【解答】解：， ∵a是整数，， ∴，， 故答案为：． 11．（2024-2025八年级·广东佛山·期中）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这个数中，所有“神秘数”的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差的公式及不等式的应用，解题的关键是掌握平方差的公式的运用，找到“神秘数”的规律．根据题意，得“神秘数”的规律为：(为为非负整数)，进而列不等式求解即可 【解答】解：∵“神秘数”能表示为两个连续偶数的平方差， ∴“神秘数”满足：(为非负整数)的规律， ， ∴， ∴， ∴， ∴在这个数中，“神秘数”的个数是 故答案为：． 12.（2024-2025七年级下·辽宁辽阳·阶段练习）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是______（填序号）： ①与； ②与； ③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； 【答案】(1)②③ (2)2 【分析】本题考查整式的加减运算，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）求出，根据新定义，进行求解即可． 【解答】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； ，为常数，故③是“对消多项式”； 故答案为：②③； （2） ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 13．（2024-2025八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）阅读材料：若x满足，求的值 解：设，，则，， ∴ ． 这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 请仿照上述材料解决下面的问题： (1)若x满足，求的值； (2)若x满足，求代数式的值： 【答案】(1)820 (2)84 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握换元法是解题的关键． （1）参照题干做法，设，，利用换元法求解； （2）设，，得出，，将变形为，即可求解． 【解答】（1）解：设，， 则，， ∴ ． （2）解：设，， 则，， ∴，， ∴ ． 14．（2025-2026八年级上·海南海口·阶段练习）巧用乘法公式解决最值问题 课堂上老师要求运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ， 当时，的值最小，最小值是0， 即当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： 求当取何值时，有最小值，且最小值是多少？ 【答案】当时，该代数式有最小值，最小值为3 【分析】本题考查了利用完全平方公式的应用，将化为，仿照已知方法求解即可．会仿照已知方法进行配方，利用完全平方公式的性质进行求最值是解题关键． 【解答】解：∵ ∵ ∴ ∴当时，该代数式有最小值，最小值为3． 15.（2023-2024七年级下·广东佛山·期中）（1）图1所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种方法，结果分别如下 方法①：__________ 方法②：__________ 从小明的两种方法中，可以得出的等式为__________ （2）如图2，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示__________ （3）如果、满足，，求：①的值；②的值． 【答案】（1），，；（2）；（3）①；②． 【分析】本题利用几何图形探索完全平方公式，考查了完全平方公式的几何意义以及利用公式的变形，与平方差公式的变形进行计算． （1）方法①是将两条小路分别平移到正方形的上方和左侧，则剩余草坪可以拼成一个边长为的正方形，方法②是分割法求面积，用正方形草坪的面积减去两条小路的面积，需要注意的是两条小路的重叠部分是边长为的小正方形，减去了两次，要再加上； （2）类比（1），用两种方法求大正方形的面积，从而可得； （3）①利用（1）、（2）所得两个公式，即可求出，②根据（2）可得，进而求出，再对所求式利用平方差公式分解因式进行求解． 【解答】解：（1）方法①：将两条小路分别平移到正方形的上方和左侧， 则剩余草坪可以拼成一个边长为的正方形， 剩余草坪的面积为， 方法②：剩余草坪的面积为， 故答案为：，，； （2）类比（1）同理可得，用两种方法求图2中大正方形的面积为， 故所得等量关系为； （3）①由题意得， ， ； ②， ， ， ． 16．（2024-2025七年级下·广东河源·期中）某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了以下两种图形验证平方差公式． （1）探究：以上两种图形能够验证平方差公式的是__________________；（填序号） （2）应用：利用平方差公式计算：； （3）拓展：运用平方差公式计算：． 【答案】（1）①；（2）1；（3） 【分析】此题考查了数形结合思想推导代数式恒等式和平方差公式的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）根据图形面积求法进行求解即可． （2）运用平方差公式进行求解． （3）将原式变形成，再根据平方差公式进行求解即可． 【解答】解：（1）解：图①验证了等式， 图②验证了等式， ∴图形①能够验证平方差公式， 故答案为：①； （2）解： ； （3）解： ． 17.（2024-2025七年级下·湖南株洲·期中）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的乘法公式是________；（用含a，b的式子来表示） (2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值； (3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)或 (2)5 (3)120 【分析】（1）用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）根据（1）的结论，代入数值进行计算，即可作答． （3）延长，交于一点E，则，再代入，，进行计算即可． 本题考查平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 【解答】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， 且， ∴ ． （3）解：如图3，延长，交于一点E， ∵四边形是正方形， ∴ ，， . 18．（2024-2025七年级下·江苏泰州·阶段练习）对于两个正数， ，定义一种新的运算，记作，即：如果： ，那么 例如： 则 (1)根据上述运算填空： ； ； (2)先观察，与的结果之间的关系， 再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳： (3)如图①，正方形的边长为，小正方形的边长为，若 ，求图中阴影部分的面积． (4)如图②，四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形，沿着翻折得到长方形．若，长方形的面积是， 求的值． 【答案】(1)2，3，5 (2) (3)120 (4)1 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形求值，幂的乘方计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据如果，那么，据此计算即可； （2）由得； （3）由得到，由得到，由得到，最后根据图中阴影部分的面积为计算即可； （4）由得到，，由图可得：矩形的面积是，，解得，即可得到，，再根据，得到，，代入求值即可． 【解答】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，，，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴由（2）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∵正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为； （4）解：∵， ∴，， 由图可得：矩形的面积是，， ∴，解得， ∴，， ∴，， ， ∴，， ∴． 19.（2025-2026八年级上·河南南阳·阶段练习）观察图形，解决问题： (1)如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：______，方法二：______；结合以上两种方法可以得到数学公式______； (2)当时，求的值； (3)如图②所示，两个正方形，的边长分别为m，n．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)2 (3)10 【分析】本题考查了乘法公式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直接求和间接求阴影部分的面积进行计算； （2）令，结合完全平方公式进行变形，化简，即可作答； （3）先根据条件得出的值，然后根据进行计算． 【解答】（1）解：方法一：阴影部分正方形的边长为：， ∴正方形的面积为：； 方法二：如图： 阴影部分的面积大正方形的面积； 故答案为：，，； （2）解：令， 则，， 则， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ． 20.（2024-2025八年级上·福建福州·期末）对于一个正整数，若存在正整数，使得能表示为和的平方差，那么称这个正整数为系平方差数．例如：，则20为6系平方差数． (1)直接写出5系平方差数______ (2)已知为系平方差数，求的值． (3)已知，为正整数，，且为系平方差数． ①直接写出与之间的数量关系______； ②若是系平方差数，请写出是______系平方差数（用含的代数式来表示）；并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①  ② 【分析】本题考查了平方差公式，新定义，完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键. （1）根据系平方差数定义解答即可； （2）根据系平方差数定义建立方程，求出值即可得解； （3）①根据系平方差数定义建立关于和的方程即可得解； ②由是系平方差数得到，再结合，推出，，，进而代入求解即可. 【解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：依题意可知， ， 整理得， 解得， ； （3）解：， 为系平方差数，且， ， 故答案为：； 是系平方差数， ， ， 由①得， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设是系平方差数，则， ∴， ∴， ∴是系平方差数． 故答案为：． 【特训11】 直通中考真题 1．（2025·四川内江·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，逐一分析各选项的运算是否正确，利用幂的运算、完全平方公式、合并同类项及平方差公式进行判断． 【解答】解：A．，错误． B．，错误． C．与不是同类项，无法合并，结果应为，错误． D．根据平方差公式，，正确． 故选：D． 2．（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行计算判断即可． 【解答】A． 中的和不是同类项，无法合并，故错误． B．，正确． C． 应展开为 ，选项漏掉，故错误． D．，选项中结果为，计算错误． 故选：B． 3．（2025·四川广元·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，包括同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握各类运算的法则，明确同类项的定义及不同公式的区别，避免运算错误． 根据相关运算法则逐项判断即可． 【解答】解：A.，故运算正确． B.与，不是同类项，不能合并，不符合题意； C.，运算错误，不符合题意； D.，运算错误，不符合题意． 故选：A． 4．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可． 【解答】A．，故选项A计算错误，不合题意； B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意； 故选C． 5．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值是（   ） A．6 B． C． D．4 【答案】D 【分析】变形为，将变形为，然后整体代入求值即可． 【解答】解：由得：， ∴ ， 故选：D． 【点评】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将变形为． 6．（2023·新疆乌鲁木齐·中考真题）有若干张面积分别为、、的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为的正方形纸片，4张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（ ） A．2张 B．4张 C．6张 D．8张 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式是解题的关键，由题意设还需要抽取面积为的正方形纸片张，因为要拼成正方形，所以是完全平方式，求出即可． 【解答】解：∵正方形和长方形的面积为、、，从中抽取了1张面积为的正方形纸片，4张面积为的长方形纸片， 设还需要抽取面积为的正方形纸片张， ∵要拼成正方形， ∴是完全平方式， ∵， ∴， ∴还需面积为的正方形纸片张． 故选：B． 7．（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ② ③   ④ 其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案． 【解答】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④， 故选：． 【点评】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积． 8．（2023·浙江湖州·中考真题）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，直接利用平方差公式进行计算即可. 【解答】解：； 故答案为： 9．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算．先计算平方差和单项式乘多项式，再合并同类项即可．熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【解答】解： ． 10．（2025·新疆·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，平方差公式和单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 11．（2025·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值即可． 【解答】解： ， 当时，原式． 12．（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可． 【解答】解： ， 当时，原式． 13．（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 【答案】（），；（）． 【分析】本题考查了整式的化简求值，解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键． （）先由单项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后合并同类项化成最简，再把代入求解即可； （）利用代入消元解方程组即可． 【解答】解：（）， 因为， 所以． （）解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 14．（2024·江苏无锡·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先将绝对值，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可； （2）先根据去括号法则和完全平方公式将括号展开，再合并同类项即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 15．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【解答】解： ， 当，时，原式． 16．（2023·青海西宁·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理； 【解答】解：原式         . 【点评】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键． 17．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】利用完全平方公式和整式加减的运算法则进行化简，根据平方根的性质即可求得答案． 【解答】原式 ． 当时， 原式 ． 【点评】本题主要考查完全平方公式、整式的加减、平方根，牢记完全平方公式和整式加减的运算法则是解题的关键． 18．（2023·河南·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求绝对值和算术平方根，再进行加减计算即可； （2）先利用完全平方公式去括号，再合并同类项即可． 【解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点评】本题考查实数的混合运算、多项式乘多项式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 19．（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，24 【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可． 【解答】 当时， 原式 ． 【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键． 20．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据，，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可． 【解答】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 【点评】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法则是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $