第六章 三角计算（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》 （《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章三角计算的单元测试卷，主要梳理和考查两角和差正余弦公式、二倍角公式、正弦函数的图像和性质、解三角形、三角计算的应用等常见考点。 第六章 三角计算 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. sin15°的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若sinα=，且α为第二象限角，则cosα的值为（ ） A. B. C. D. 3. 函数y=2sin(3x+)的最小正周期是（ ） A. π B. 2π C. D. 4. 在△ABC中，a=3，b=4，C=60°，则c的值为（ ） A. B. 5 C. D. 7 5. cos75°cos15°+sin75°sin15°的值为（ ） A. B. C. D. 0 6. 若tanα=2，则sin2α的值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数y=sinx+cosx的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 8. 在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则△ABC是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 9.  已知sin(-x)=，则cos2x的值为（ ） A. B. C. D. 10. 在△ABC中，a=5，b=7，c=8，则角B的余弦值为（ ） A. B. C. D. 11. 函数y=3sin(2x)的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为（ ） A. y=3sin(2x) B. y=3sin(2x) C. y=3sin(2x) D. y=3sin2x 12. 若α+β=，则(1+tanα)(1+tanβ)的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 1+ 13. 在△ABC中，若b=2，c=2，A=30°，则△ABC的面积为（ ） A. 2 B. C. 2 D. 1 14. 函数y=2cos²x-1的最小正周期是（ ） A. π B. 2π C. π D. 4π 15. 从200m高的山顶看地面某建筑物，俯角为30°，则该建筑物到山脚的距离是（ ） A. 100m B. 100m C. 200m D. 200m 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．sin75°cos15°-cos75°sin15°的值为______ 17. 若sinθ=，则cos2θ=______ 18. 函数y=2-3sinx的最大值是______ 19. 在△ABC中，a=2，b=，c=+1，则角A=______ 20.  函数y=sin(+)的周期是______ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．证明：sin(αβ)sin(αβ)=sin²αsin²β. 22．求函数y=3-2cos(2x+)的最大值和最小值，并写出取得最值时x的取值. 23． 在△ABC中，a=3，b=5，C=60°，求边c和△ABC的面积 24．某工程队在山顶测得地面上一点​A的俯角为​60∘，在山脚下另一点​B测得点​A的仰角为​30∘，已知山顶到山脚的垂直高度为​300米，求​A、​B两点间的距离。（精确到 1 米） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章三角计算的单元测试卷，主要梳理和考查两角和差正余弦公式、二倍角公式、正弦函数的图像和性质、解三角形、三角计算的应用等常见考点。 第六章 三角计算 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. sin15°的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查和角公式的应用． 【详解】sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=. 故选：B 2. 若sinα=，且α为第二象限角，则cosα的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查象限角与三角函数值的关系. 【详解】 第二象限角余弦为负，cosα===. 故选：C 3. 函数y=2sin(3x+)的最小正周期是（ ） A. π B. 2π C. D. 【答案】D 【分析】本题考查正弦函数周期的计算 【详解】最小正周期T== 故选：D 4. 在△ABC中，a=3，b=4，C=60°，则c的值为（ ） A. B. 5 C. D. 7 【答案】A 【分析】 本题考查余弦定理的应用​ 【详解】c²=a²+b²-2abcosC=9+16-2×3×4×=25-12=13，c=. 故选：A 5. cos75°cos15°+sin75°sin15°的值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【分析】本题考查余弦差角公式 【详解】​ cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos(75°-15°)=cos60°= 故选：A 6. 若tanα=2，则sin2α的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查二倍角公式的应用 【详解】 sin2α=2sinαcosα===. 故选：C 7. 函数y=sinx+cosx的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的最值问题 【详解】y=sinx+cosx=sin(x+)，最大值为 .故选：D 8. 在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则△ABC是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查正弦定理与三角形形状的判断 【详解】由正弦定理，a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:4:5，满足勾股定理，故为直角三角形. 故选：A 9.  已知sin(-x)=，则cos2x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 本题考查三角恒等变换. ​ 【详解】​sin(-x)= ⇒ cos(-2x)=cos2(-x)=1-2sin²(-x)=1-2×=1= 故选：B 10. 在△ABC中，a=5，b=7，c=8，则角B的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查余弦定理的应用 【详解】​  cosB===. 故选：C 11. 函数y=3sin(2x)的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为（ ） A. y=3sin(2x) B. y=3sin(2x) C. y=3sin(2x) D. y=3sin2x 【答案】C 【分析】本题考查三角函数图象的平移变换. 【详解】向右平移个单位：y=3sin[2(x)]=3sin(2x)=3sin(2x-). 故选：C 12. 若α+β=，则(1+tanα)(1+tanβ)的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 1+ 【答案】A 【分析】本题考查正切和角公式的应用. 【详解】​模： tan(α+β)==tan=1，所以tanα+tanβ=1-tanαtanβ，即tanα+tanβ+tanαtanβ=1。 (1+tanα)(1+tanβ)=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+1=2. 故选：A 13. 在△ABC中，若b=2，c=2，A=30°，则△ABC的面积为（ ） A. 2 B. C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】本题考查三角形面积公式. 【详解】 S=bcsinA=×2×2×=. 故选：B 14. 函数y=2cos²x-1的最小正周期是（ ） A. π B. 2π C. π D. 4π 【答案】C 【分析】本题考查二倍角公式与函数周期. 【详解】y=2cos²x-1=cos2x，最小正周期T==π. 故选：C 15. 从200m高的山顶看地面某建筑物，俯角为30°，则该建筑物到山脚的距离是（ ） A. 100m B. 100m C. 200m D. 200m 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的实际应用. 【详解】距离===200m. 故选：D 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．sin75°cos15°-cos75°sin15°的值为______ 【答案】 【分析】本题考查正弦差角公式 【详解】sin75°cos15°-cos75°sin15°=sin(75°-15°)=sin60°= 17. 若sinθ=，则cos2θ=______ 【答案】 【分析】本题考查二倍角公式 【详解】cos2θ=1-2sin²θ=1-2×=1= 18. 函数y=2-3sinx的最大值是______ 【答案】5 【分析】本题考查正弦函数的最值 【详解】sinx最小值为-1，y最大值为2-3×(-1)=5 19. 在△ABC中，a=2，b=，c=+1，则角A=______ 【答案】30 【分析】 本题考查余弦定理求角 【详解】cosA===，计算得cosA=，A=30° 20.  函数y=sin(+)的周期是______ 【答案】 4π 【分析】本题考查三角函数周期的计算 【详解】T==4π​ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．证明：sin(αβ)sin(αβ)=sin²αsin²β. 【答案】证明见详解 【分析】本题考查和差角公式与三角恒等证明 【详解】左边=(sinαcosβcosαsinβ)(sinαcosβcosαsinβ) =sin²αcos²βcos²αsin²β =sin²α(1sin²β) (1sin²α)sin²β =sin²αsin²αsin²βsin²βsin²αsin²β =sin²αsin²β=右边. 22．求函数y=3-2cos(2x+)的最大值和最小值，并写出取得最值时x的取值. 【答案】最大值为5，最小值为1 【分析】本题考查余弦函数的最值问题 【详解】cos(2x+)∈[-1,1] ymax=3-2×(-1)=5，此时cos(2x+)=1 ⇒ 2x+=2kπ+π ⇒ x=kπ+ ymin=3-2×1=1，此时cos(2x+)=1 ⇒ 2x+=2kπ ⇒ x=kπ 23． 在△ABC中，a=3，b=5，C=60°，求边c和△ABC的面积 【答案】 c=，面积= 【分析】本题 考查余弦定理和三角形面积公式 【详解】c²=a²+b²-2abcosC=9+25-2×3×5×=34-15=19，c=√19 面积S=absinC=×3×5×=​ 24．某工程队在山顶测得地面上一点​A的俯角为​60∘，在山脚下另一点​B测得点​A的仰角为​30∘，已知山顶到山脚的垂直高度为​300米，求​A、​B两点间的距离。（精确到 1 米） 【答案】600米 【分析】本题考查三角计算的实际应用，需转化俯角、仰角为三角形内角 【详解】设山顶为​C，山脚为​D，则​CD=300米，​ ∠CAD=60∘，​∠ABD=30∘（2 分） ​山顶​C，山脚​D，​CD⊥地面，​A在地面，俯角​∠ECA=60∘（​CE∥地面），故​∠CAD=60∘，​​ ​由题可知B在​D的另一侧，​∠ABC=30∘，CD=300，​∠CAB=60∘−30∘=30∘，​∠ABC=30∘，故​△ABC为等腰三角形，​AB=BC=600米 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $