第九章 随机变量及其分布（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》 （《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的单元测试卷，主要梳理和考查离散型随机变量、离散型随机变量的分布及其数字特征、二项分布、正态分布等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列变量中属于离散型随机变量的是（ ）​ A. 某台机器的使用寿命​ B. 某地区的年降水量​ C. 投篮10次命中的次数​ D. 零件的尺寸误差 【答案】C 【分析】本题考查离散型随机变量的定义． 【详解】离散型随机变量的取值为有限个或可列无限个。A、B、D 的取值均为连续区间，不可一一列举；C 的取值为 0,1,...,10，可一一列举. 故选：C 2. 设离散型随机变量 X 的分布列为： ​ X​ 0​ 1​ 2​ P​ 0.2​ a​ 0.5​ 则 a 的值为（ ）​ A.0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【分析】本题考查分布列的性质 —— 所有概率和为 1. 【详解】 由 0.2 + a + 0.5 = 1，解得 a = 0.3，故选 B. 3. 已知随机变量X的分布列为 P(X=k)=（k=1,2,3），则 E(X)的值为（ ）​ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4​ 【答案】B 【分析】本题考查数学期望的计算公式 【详解】E (X)=1× + 2× + 3×= = 2.故选：B 4. 若随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=3，D(X)=2.4，则p的值为（ ）​ A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.8 【答案】A 【分析】本题考查二项分布的期望与方差公式 E (X)=np，D (X)=np (1-p)​ 【详解】​由 np=3，np (1-p)=2.4，两式相除得 1-p=0.8，故 p=0.2. 故选：A 5. 下列对正态分布N(μ,σ²) 的描述错误的是（ ）​ A. 曲线关于直线 x=μ对称​ B. σ越大，曲线越 “矮胖”​ C. P(X≤μ)=0.5​ D. 曲线与x轴围成的面积随μ变化 【答案】D 【分析】本题考查正态分布的图像性质 【详解】正态曲线与x轴围成的面积恒为 1，与 μ无关，故D错误. 故选：D 6. 已知随机变量X的分布列为 P(X=0)=0.4，P(X=1)=0.6，则D(X) 的值为（ ）​ A. 0.24 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.76 【答案】A 【分析】本题考查方差计算公式 D (X)=E (X²)-[E (X)]² 【详解】E (X)=0×0.4+1×0.6=0.6，E (X²)=0²×0.4+1²×0.6=0.6，D (X)=0.6-0.6²=0.24. 故选：A 7. 某射击运动员每次射击命中目标的概率为0.8，现射击5次，命中次数X服从二项分布，则P(X=3)等于（ ）​ A. C₅³×0.8³×0.2² B. C₅³×0.8²×0.2³​ C. 0.8³×0.2² D. 0.8²×0.2³ 【答案】A 【分析】本题考查二项分布的概率公式 P (X=k)=Cₙᵏpᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ 【详解】n=5，p=0.8，k=3，故 P (X=3)=C₅³×0.8³×0.2².故选：A 8. 已知正态分布N(2,σ²)，则P(X<2) 的值为（ ）​ A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7 【答案】C 【分析】本题考查正态分布的对称性，对称轴为 x=μ 【详解】μ=2，曲线关于 x=2 对称，故 P (X<2)=0.5. 故选：C 9. 设随机变量X的方差D(X)=2，则 D(3X+1) 的值为（ ）​ A. 5 B. 6 C. 18 D. 19 【答案】C 【分析】 本题考查方差的性质D (aX+b)=a²D (X). ​ 【详解】D(3X+1)=3²×D (X)=9×2=18.故选：C 10. 下列试验属于伯努利试验的是（ ）​ A. 掷一枚骰子，观察点数​ B. 从装有3红2白的袋中不放回摸球​ C. 投篮两次，观察命中情况（每次命中率相同）​ D. 测量某物体长度，观察误差​ 【答案】C 【分析】本题考查伯努利试验的特征 —— 独立重复、只有两种结果 【详解】A有6种结果，B非放回（不独立），D是连续型；C满足独立重复且只有命中 或未命中两种结果​. 故选：C 11. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，且P(X≤1)=0.5，P(X≤2)=0.8，则P(1<X<2（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【分析】本题考查正态分布概率的计算. 【详解】P(X≤1)=0.5说明μ=1，P(1<X<2)=P(X≤2)-P(X≤1)=0.8-0.5=0.3.故选：B 12. 设X~B(10,0.5)，则E(X)和D(X)的值分别为（ ）​ A. 5, 2.5 B. 5, 5 C. 10, 2.5 D. 10, 5​ 【答案】A 【分析】本题直接应用二项分布期望方差公式. 【详解】E (X)=10×0.5=5，D (X)=10×0.5×0.5=2.5. 故选：A 13. 已知随机变量X的分布列为： X -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则E(2X+1)=（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】本题考查随机变量函数的数学期望​. 【详解】  E(X)=(-2)×0.1+(-1)×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0，E(2X+1)=2E(X)+1=1. 故选：B 14. 已知随机变量X的期望 E(X)=2，则E(2X-3)的值为（ ）​ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】本题考查期望的性质 E (aX+b)=aE (X)+b. 【详解】E (2X-3)=2×2-3=1. 故选：A 15. 某产品的次品率为 0.1，现批量生产中随机抽取5件，次品数X的分布列为（ ）​ A. 正态分布 B. 二项分布 B (5,0.1)​ C. 均匀分布 D. 二项分布 B (5,0.9) 【答案】B 【分析】本题考查判断独立重复试验下的分布类型. 【详解】n=5次独立试验，每次次品率 p=0.1，故 X~B (5,0.1).故选：B 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．离散型随机变量 X的分布列中，所有概率的和为______ 【答案】1 【分析】本题考查考查分布列的基本性质。​ 【详解】分布列的核心性质：ΣP (X=xₖ)=1，故填 1 17. 已知随机变量X~B (6, )，则D (X)=______。​ 【答案】（或 1.5） 【分析】本题考查应用二项分布方差公式 D (X)=np (1-p)​ 【详解】n=6，p=，D (X)=6××=，填 18. 正态分布N (5, 4) 的对称轴方程为______ 【答案】x=5​ 【分析】本题考查正态分布 N (μ,σ²) 的对称轴为 x=μ 【详解】​μ=5，故对称轴为 x=5，填 x=5 19. 设随机变量X的分布列为P (X=k)= （k=1,2,3），则常数 c=______ 【答案】1 【分析】 本题考查利用分布列概率和为 1 求参数. 【详解】​：+ + = c = 1，故填 1. 20.  已知随机变量 X的方差D (X)=4，则其标准差 σ(X)=______ 【答案】 2 【分析】本题考查标准差与方差的关系 σ= 【详解】σ(X)==2，填 2 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．设离散型随机变量 X 的分布列为：​ X​ 1​ 2​ 3​ P​ 0.1​ 0.6​ m​ ​ （1）求 m 的值；（2）求 E (X) 和 D (X)。 【答案】（1）m=0.3；（2）E(X)=2.2，D(X)=0.36​ 【分析】本题先由分布列性质求参数，再套用期望、方差公式 【详解】​（1）由概率和为 1：0.1+0.6+m=1，解得 m=0.3。（3 分） （2）E (X)=1×0.1 + 2×0.6 + 3×0.3 = 0.1+1.2+0.9=2.2。（3 分）​​​ E (X²)=1²×0.1 + 2²×0.6 + 3²×0.3 = 0.1+2.4+2.7=5.2。（2 分） ​ D (X)=E (X²)-[E (X)]²=5.2-(2.2)²=5.2-4.84=0.36。（2 分）. 22．某车间生产的零件合格率为 0.9，现随机抽取10个零件，设合格零件数为X。​ （1）判断 X服从的分布类型并写出参数；（2）求 E (X) 和P (X=8)。. 【答案】（1）二项分布 B (10,0.9)；（2）E (X)=9，P (X=8)=C₁₀⁸×0.9⁸×0.1²≈0.1937​ 【分析】 本题考查识别二项分布，应用期望公式和概率公式计算 【详解】（1）10次独立重复试验，每次合格率0.9，故 X~B (10,0.9)， 参数n=10，p=0.9。（4 分）​ （2）E (X)=np=10×0.9=9。（3 分）​ P (X=8)=C₁₀⁸×0.9⁸×(1-0.9)²=45×0.9⁸×0.01≈0.1937。（3 分） 23． 已知某地区学生身高 X（cm）服从正态分布N (165, 25)。​ （1）求该地区学生身高的均值和标准差；（2）求 P (160<X<175)。​ 【答案】（1）均值 165，标准差 5；（2）≈0.8186​ 【分析】本题考查提取正态分布参数，利用对称性和概率区间计算 【详解】（1）由 N (165,25) 知，均值 μ=165，方差 σ²=25，故标准差 σ=5。（4 分）​ （2）P (160<X<170)=P (μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827，（2 分）​ P (170<X<175)=P (μ+σ<X<μ+2σ)≈(0.9545-0.6827)/2=0.1359，（2 分）​ 故 P (160<X<175)=0.6827+0.1359≈0.8186。（2 分）​ 24．设随机变量X的分布列为：​ ​​ ​ X​ -2​ 0​ 2​ P​ 0.2​ 0.5​ 0.3​ ​ 求：（1）E (X)；（2）D (X)；（3）E (2X+1) 【答案】（1）0.2；（2）2.36；（3）1.4​ 【分析】本题考查分步计算期望、方差，利用期望性质求 E (2X+1)。 【详解】（1）E (X)=(-2)×0.2 + 0×0.5 + 2×0.3 = -0.4 +0 + 0.6 = 0.2。（3 分） （2）E (X²)=(-2)²×0.2 + 0²×0.5 + 2²×0.3 =0.8 + 0 + 1.2 = 2.0。（2 分）​ D (X)=E (X²)-[E (X)]²=2.0 - (0.2)²=2.0-0.04=1.96（3 分） （3）E (2X+1)=2E (X)+1=2×0.2+1=1.4。（2 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的单元测试卷，主要梳理和考查离散型随机变量、离散型随机变量的分布及其数字特征、二项分布、正态分布等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列变量中属于离散型随机变量的是（ ）​ A. 某台机器的使用寿命​ B. 某地区的年降水量​ C. 投篮10次命中的次数​ D. 零件的尺寸误差 2. 设离散型随机变量X的分布列为： ​ X​ 0​ 1​ 2​ P​ 0.2​ a​ 0.5​ 则 a 的值为（ ）​ A.0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 3. 已知随机变量X的分布列为 P(X=k)=（k=1,2,3），则E(X)的值为（ ）​ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4​ 4. 若随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=3，D(X)=2.4，则p的值为（ ）​ A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.8 5. 下列对正态分布 N(μ,σ²) 的描述错误的是（ ）​ A. 曲线关于直线x=μ对称​ B. σ越大，曲线越 “矮胖”​ C. P(X≤μ)=0.5​ D. 曲线与x轴围成的面积随μ变化 6. 已知随机变量 X的分布列为 P(X=0)=0.4，P(X=1)=0.6，则 D(X)的值为（ ）​ A. 0.24 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.76 7. 某射击运动员每次射击命中目标的概率为0.8，现射击5次，命中次数X服从二项分布，则P(X=3) 等于（ ）​ A. C₅³×0.8³×0.2² B. C₅³×0.8²×0.2³​ C. 0.8³×0.2² D. 0.8²×0.2³ 8. 已知正态分布 N(2,σ²)，则 P(X<2)的值为（ ）​ A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7 9. 设随机变量 X的方差D(X)=2，则 D(3X+1)的值为（ ）​ A. 5 B. 6 C. 18 D. 19 10. 下列试验属于伯努利试验的是（ ）​ A. 掷一枚骰子，观察点数​ B. 从装有3红2白的袋中不放回摸球​ C. 投篮两次，观察命中情况（每次命中率相同）​ D. 测量某物体长度，观察误差​ 11. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，且P(X≤1)=0.5，P(X≤2)=0.8， 则P(1<X<2)=（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 12. 设X~B(10,0.5)，则 E(X)和D(X)的值分别为（ ）​ A. 5, 2.5 B. 5, 5 C. 10, 2.5 D. 10, 5​ 13. 已知随机变量X的分布列为： X -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则E(2X+1)=（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14. 已知随机变量 X的期望 E(X)=2，则 E(2X-3)的值为（ ）​ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 某产品的次品率为 0.1，现批量生产中随机抽取5件，次品数X的分布列为（ ）​ A. 正态分布 B. 二项分布 B(5,0.1)​ C. 均匀分布 D. 二项分布 B(5,0.9) 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．离散型随机变量X的分布列中，所有概率的和为______ 17. 已知随机变量X~B (6, )，则D (X)=______。​ 18. 正态分布N (5, 4)的对称轴方程为______ 19. 设随机变量X的分布列为P (X=k)= （k=1,2,3），则常数 c=______ 20.  已知随机变量X的方差D (X)=4，则其标准差 σ(X)=______ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．设离散型随机变量 X的分布列为：​ X​ 1​ 2​ 3​ P​ 0.1​ 0.6​ m​ ​ （1） 求m的值；（2）求 E (X) 和D (X)。 22．某车间生产的零件合格率为 0.9，现随机抽取 10个零件，设合格零件数为X。​ （1）判断X服从的分布类型并写出参数；（2）求E (X)和P (X=8)。. 23． 已知某地区学生身高X（cm）服从正态分布N(165, 25)。​ （1）求该地区学生身高的均值和标准差；（2）求P (160<X<175)。​ 24．设随机变量X的分布列为：​ ​​ ​ X​ -2​ 0​ 2​ P​ 0.2​ 0.5​ 0.3​ ​ 求：（1）E (X)；（2）D (X)；（3）E (2X+1) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $