第九章 随机变量及其分布（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》 （《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的考点梳理卷，主要梳理和考查随机变量的定义、分布列的构成与性质、数学期望（均值）、方差与标准差、独立重复试验（伯努利试验）、二项分布的定义与公式、二项分布的期望与方差、正态分布的概率密度函数、正态分布的对称性与特殊概率、典型题型等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 目录 考点一 随机变量的定义 1 考点二 分布列的构成与性质 2 考点三 数学期望（均值） 2 考点四 方差与标准差 2 考点五 独立重复试验（伯努利试验） 3 考点六 二项分布的定义与公式 3 考点七 二项分布的期望与方差 3 考点八 正态分布的概率密度函数 4 考点九 正态分布的对称性与特殊概率 4 考点十 典型题型 4 考点一 随机变量的定义 1．下列变量中属于离散型随机变量的是（ ）​ A. 某同学的身高（cm）​ B. 某批次灯泡的使用寿命（小时）​ C. 从5个红球中随机抽取2个，抽到红球的个数​ D. 圆的半径为r时的面积​ 2. 下列表述中能构成随机变量的是（ ）​ A. 抛掷一枚硬币正面向上的概率​ B. 某班级学生的人数​ C. 投篮10次命中的次数​ D. 标准大气压下沸水的温度 考点二 分布列的构成与性质 3．已知离散型随机变量X的分布列如下，则a的值为（ ）​ ​ X​ 0​ 1​ 2​ P​ 0.2​ a​ 0.5​ ​ A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6​ 4. 随机变量ξ的分布列中，概率P(ξ=k) 构成等差数列，若P(ξ=1)=0.2，P (ξ=2)=0.3，则 P(ξ=3)的值为（ ）​ A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 考点三 数学期望（均值） 5. 已知随机变量X的分布列如下，则E(X)的值为（ ）​ ​ X​ 1​ 2​ 3​ P​ 0.4​ 0.3​ 0.3​ A.1.8 B. 1.9 C. 2.0 D. 2.1​ 6. 某抽奖活动中，抽中一等奖得50元，二等奖得10元，三等奖得2元，中奖概率分别为0.01、0.1、0.3，则单次抽奖的期望奖金为（ ）​ A. 1.1 元 B. 2.1 元 C. 3.1 元 D. 4.1 元 考点四 方差与标准差 7. 已知随机变量X的分布列如下，则D(X)的值为（ ）​ ​ X​ 0​ 1​ P​ 0.5​ 0.5​ ​A. 0.25 B. 0.5 C. 1 D. 2 8. 甲、乙两名选手射击的期望成绩均为8环，方差分别为 D (X甲)=0.8，D (X乙)=1.2，则射击稳定性更高的是（ ）​ A. 甲 B. 乙 C. 一样稳定 D. 无法判断 考点五 独立重复试验（伯努利试验） 9. 下列试验中属于独立重复试验的是（ ）​ A. 从装有5个白球3个红球的袋中不放回抽3次球​ B. 掷一枚骰子10次，记录每次点数​ C. 投篮5次，每次命中率均为0.6​ D. 检测一批产品，每次检测结果为合格或不合格（合格率不同） 10. 下列表述中符合独立重复试验特征的是（ ）​ A. 连续投篮，每次投篮距离不同​ B. 有放回地从次品率5%的产品中抽4次​ C. 掷两枚硬币观察正反面​ D. 从不同批次的产品中各抽1件检测​ 考点六 二项分布的定义与公式 11. 下列随机变量中服从二项分布的是（ ）​ A. 不放回抽取10件产品中的次品数（次品率10%）​ B. 投篮15次的命中次数（命中率0.7）​ C. 某路口一小时内通过的车辆数​ D. 从5红3白中抽3球的红球数 12. 已知X~B(3,0.5)，则P(X=2)的值为（ ）​ A. B. C. D. ​ 考点七 二项分布的期望与方差 13. 已知X~B(10,0.4)，则E(X)的值为（ ）​ A. 2.4 B. 4 C. 6 D. 7.6 14. 某射手每次射击命中率为0.8，连续射击5次，设命中次数为X，则D(X)的值为（ ）​ A. 0.8 B. 3.2 C. 4 D. 1.6​ 考点八 正态分布的概率密度函数 15. 正态分布 N(μ,σ²)的概率密度函数图像的对称轴为（ ）​ A. x=0 B. x=μ C. x=σ D. x=μ+σ 16. 下列关于正态分布 N (2, 3²) 的概率密度函数的表述正确的是（ ）​ A. 最大值为 ​ B. 对称轴为x=3​ C. σ的值为3​ D. μ的值为3 考点九 正态分布的对称性与特殊概率 17. 已知 X~N (3,σ²)，且P(X>5)=0.2，则P(X<1) 的值为（ ）​ A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4​ 18. 已知 X~N (μ,σ²)，则 P(μ-σ<X<μ+σ) 的近似值为（ ）​ A. 0.6826 B. 0.9544 C. 0.9974 D. 1 考点十 典型题型 19. 已知随机变量X的分布列如下，其中a为常数，则E(X)和D(X)的值分别为（ ） X​ 0​ 1​ 2​ P​ 0.2​ a​ 0.3​ ​A. 1.1，0.49 B. 1.2，0.56 C. 1.3，0.61 D. 1.4，0.64 20. 某产品次品率为0.1，有放回抽取4件，设次品数为X，若X~N (μ,σ²)（近似），则P (X<μ)的值为（ ）​ A. 0.3413 B. 0.5 C. 0.6826 D. 0.9544 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的考点梳理卷，主要梳理和考查随机变量的定义、分布列的构成与性质、数学期望（均值）、方差与标准差、独立重复试验（伯努利试验）、二项分布的定义与公式、二项分布的期望与方差、正态分布的概率密度函数、正态分布的对称性与特殊概率、典型题型等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 目录 考点一 随机变量的定义 1 考点二 分布列的构成与性质 2 考点三 数学期望（均值） 3 考点四 方差与标准差 3 考点五 独立重复试验（伯努利试验） 4 考点六 二项分布的定义与公式 5 考点七 二项分布的期望与方差 5 考点八 正态分布的概率密度函数 6 考点九 正态分布的对称性与特殊概率 6 考点十 典型题型 7 考点一 随机变量的定义 1．下列变量中属于离散型随机变量的是（ ）​ A. 某同学的身高（cm）​ B. 某批次灯泡的使用寿命（小时）​ C. 从5个红球中随机抽取2个，抽到红球的个数​ D. 圆的半径为r时的面积​ 【答案】C 【分析】本题考查离散型随机变量的核心特征​． 【详解】随机变量需满足 “数值化对应试验结果”，且离散型要求取值有限或可列。A是连续变化的量，B是连续型随机变量，D由半径唯一确定（非随机），只有C符合离散型随机变量定义. 故选C 2. 下列表述中能构成随机变量的是（ ）​ A. 抛掷一枚硬币正面向上的概率​ B. 某班级学生的人数​ C. 投篮10次命中的次数​ D. 标准大气压下沸水的温度 【答案】C 【分析】本题考查随机变量 “随试验结果变化而取值” 的本质. 【详解】A是固定概率值（0.5），B、D是确定性数据，均不随试验结果变化；C的取值为 0-10 的整数，随投篮结果变化，符合随机变量定义​．故选C 考点二 分布列的构成与性质 3．已知离散型随机变量X的分布列如下，则a的值为（ ）​ ​ X​ 0​ 1​ 2​ P​ 0.2​ a​ 0.5​ ​ A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6​ 【答案】A 【分析】本题考查分布列“概率和为1”的核心性质 【详解】由分布列性质得 0.2 + a + b = 1，且隐含 a>0、b>0。假设 b=0.5（符合非负性），则 a=1-0.2-0.5=0.3. 故选：A. 4. 随机变量ξ的分布列中，概率P(ξ=k) 构成等差数列，若P(ξ=1)=0.2，P (ξ=2)=0.3，则 P(ξ=3)的值为（ ）​ A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 【答案】A 【分析】本题考查分布列性质与等差数列性质. 【详解】设P(ξ=1)=a₁=0.2，P(ξ=2)=a₂=0.3，则公差 d=0.1，故P(ξ=3)=a₃=0.4. 故选：A. 考点三 数学期望（均值） 5. 已知随机变量X的分布列如下，则E(X)的值为（ ）​ ​ X​ 1​ 2​ 3​ P​ 0.4​ 0.3​ 0.3​ A.1.8 B. 1.9 C. 2.0 D. 2.1​ 【答案】B 【分析】本题考查离散型期望公式E(X)=x1P1+x2P2+…+xnPn. 【详解】E(X)=1×0.4+2×0.3+3×0.3=0.4+0.6+0.9=1.9.故选B. 6. 某抽奖活动中，抽中一等奖得50元，二等奖得10元，三等奖得2元，中奖概率分别为0.01、0.1、0.3，则单次抽奖的期望奖金为（ ）​ A. 1.1 元 B. 2.1 元 C. 3.1 元 D. 4.1 元 【答案】B 【分析】本题考查期望的应用. 【详解】设奖金为 X，则E (X)=50×0.01+10×0.1+2×0.3=0.5+1+0.6=2.1. 故选B. 考点四 方差与标准差 7. 已知随机变量X的分布列如下，则D(X)的值为（ ）​ ​ X​ 0​ 1​ P​ 0.5​ 0.5​ ​A. 0.25 B. 0.5 C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】本题考查公式分步应用. 【详解】E(X)=0×0.5+1×0.5=0.5，E(X²)=0²×0.5 +1²×0.5=0.5，故D(X)=0.5-0.5²=0.25. 故选A. 8. 甲、乙两名选手射击的期望成绩均为8环，方差分别为 D (X甲)=0.8，D (X乙)=1.2，则射击稳定性更高的是（ ）​ A. 甲 B. 乙 C. 一样稳定 D. 无法判断 【答案】A 【分析】本题考查方差的实际意义——方差越小稳定性越强 【详解】方差反映数据波动程度，D(X甲)=0.8 <D (X乙)=1.2，故甲的射击成绩更稳定. 故选A. 考点五 独立重复试验（伯努利试验） 9. 下列试验中属于独立重复试验的是（ ）​ A. 从装有5个白球3个红球的袋中不放回抽3次球​ B. 掷一枚骰子10次，记录每次点数​ C. 投篮5次，每次命中率均为0.6​ D. 检测一批产品，每次检测结果为合格或不合格（合格率不同） 【答案】C. 【分析】本题考查独立重复试验“相同条件、独立、结果两类、概率不变”四大特征. 【详解】A是不放回抽样（概率变化），B结果多于两类，D合格率不同（概率变化），均不符合；C满足 “每次独立、命中率不变、结果为命中或未命中”，符合定义.故选C. 10. 下列表述中符合独立重复试验特征的是（ ）​ A. 连续投篮，每次投篮距离不同​ B. 有放回地从次品率5%的产品中抽4次​ C. 掷两枚硬币观察正反面​ D. 从不同批次的产品中各抽1件检测​ 【答案】B 【分析】本题侧重“相同条件”与“概率不变”的辨析，排除干扰项中的条件变化情形 【详解】A条件变化（距离不同），C是单次试验含两个个体，D批次不同（概率可能变化）；B有放回抽样保证每次次品率不变，符合独立重复试验特征.故选B. 考点六 二项分布的定义与公式 11. 下列随机变量中服从二项分布的是（ ）​ A. 不放回抽取10件产品中的次品数（次品率10%）​ B. 投篮15次的命中次数（命中率0.7）​ C. 某路口一小时内通过的车辆数​ D. 从5红3白中抽3球的红球数 【答案】B 【分析】本题考查二项分布“n次独立重复试验、成功次数”的核心定义. 【详解】A、D是超几何分布（不放回），C是泊松分布，均不符合；B满足 X~B (15,0.7)，即二项分布.故选B 12. 已知X~B(3,0.5)，则P(X=2)的值为（ ）​ A. B. C. D. ​ 【答案】A 【分析】本题考查二项分布概率公式P(X=k)=Cₙᵏpᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ. 【详解】C₃²=3，故 P(X=2)=3×(0.5)²×(1-0.5)=3××=.故选A 考点七 二项分布的期望与方差 13. 已知X~B(10,0.4)，则E(X)的值为（ ）​ A. 2.4 B. 4 C. 6 D. 7.6 【答案】B 【分析】本题考查二项分布期望公式E(X)=np应用. 【详解】n=10，p=0.4，故 E(X)=10×0.4=4. 故选B. 14. 某射手每次射击命中率为0.8，连续射击5次，设命中次数为X，则D(X)的值为（ ）​ A. 0.8 B. 3.2 C. 4 D. 1.6​ 【答案】A 【分析】本题考查二项式展开式的常数项求解. 【详解】X~B (5,0.8)，故D (X)=5×0.8×(1-0.8)=5×0.8×0.2=0.8. 故选A. 考点八 正态分布的概率密度函数 15. 正态分布 N(μ,σ²)的概率密度函数图像的对称轴为（ ）​ A. x=0 B. x=μ C. x=σ D. x=μ+σ 【答案】B 【分析】本题考查正态分布概率密度函数的核心性质——对称轴由参数μ决定​. 【详解】​正态分布概率密度函数为 f (x)= ，其图像关于直线x=μ对称. 故选B. 16. 下列关于正态分布 N (2, 3²) 的概率密度函数的表述正确的是（ ）​ A. 最大值为 ​ B. 对称轴为x=3​ C. σ的值为3​ D. μ的值为3 【答案】C 【分析】本题考查函数表达式识别. 【详解】N (μ,σ²)中μ=2，σ=3。A中最大值应为 ，B对称轴为x=2，Dμ=2，故只有 C 正确. 故选C. 考点九 正态分布的对称性与特殊概率 17. 已知 X~N (3,σ²)，且P(X>5)=0.2，则P(X<1) 的值为（ ）​ A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4​ 【答案】B 【分析】本题考查应用正态分布的对称性 P(X>μ+a)=P(X<μ-a). 【详解】μ=3，5=3+2，1=3-2，由对称性得 P (X<1)=P (X>5)=0.2. 故选B. 18. 已知 X~N (μ,σ²)，则 P(μ-σ<X<μ+σ) 的近似值为（ ）​ A. 0.6826 B. 0.9544 C. 0.9974 D. 1 【答案】A 【分析】本题考查考查正态分布的3σ原则中特殊区间的概率值. 【详解】正态分布中，区间 (μ-σ,μ+σ) 内的概率约为 0.6826，(μ-2σ,μ+2σ) 约为 0.9544，(μ-3σ,μ+3σ) 约为 0.9974. 故选A. 考点十 典型题型 19. 已知随机变量X的分布列如下，其中a为常数，则E(X)和D(X)的值分别为（ ） X​ 0​ 1​ 2​ P​ 0.2​ a​ 0.3​ ​A. 1.1，0.49 B. 1.2，0.56 C. 1.3，0.61 D. 1.4，0.64 【答案】A 【分析】本题考查综合分布列性质、期望与方差计算. 【详解】由0.2+a+0.3=1得a=0.5。E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1； E (X²)=0²×0.2+1²×0.5+2²×0.3=1.7；D(X)=1.7-(1.1)²=0.49.故选A. 20. 某产品次品率为0.1，有放回抽取4件，设次品数为X，若X~N (μ,σ²)（近似），则P (X<μ)的值为（ ）​ A. 0.3413 B. 0.5 C. 0.6826 D. 0.9544 【答案】B 【分析】本题综合考查二项分布的期望与正态分布的对称性. 【详解】X~B(4,0.1)，μ=E (X)=4×0.1=0.4。正态分布关于x=μ对称，故P(X<μ)=0.5.故选B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $