第九章 随机变量及其分布（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》 （《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的单元测试卷，主要梳理和考查计数原理及应用、组合公式、排列公式、二项式定理的性质和应用等常见考点。 第八章 排列组合 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 从甲地到乙地，可乘火车、汽车或轮船。一天中，火车有 3 班，汽车有 4 班，轮船有 2 班，那么一天中从甲地到乙地共有（ ）种不同的走法。​ A. 9 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】A 【分析】本题考查分类加法计数原理． 【详解】从甲地到乙地有3类交通工具，火车3班、汽车4班、轮船2班，所以不同走法共有 3+4+2=9 种. 故选：A 2. 用 1、2、3、4 这四个数字组成没有重复数字的三位数，共有（ ）个。​ A. 12 B. 24 C. 48 D. 64 【答案】B 【分析】本题考查分步乘法计数原理和排列问题. 【详解】 组成三位数分三步，百位有4种选择，十位有3种选择（因数字不重复），个位有2种选择，根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24个，也可根据排列数公式​P43​=​=24. 故选：B 3. 5 名同学排成一排照相，其中甲不站在两端，共有（ ）种不同的排法。​ A. 36 B. 48 C. 72 D. 120​ 【答案】C 【分析】本题考查有限制条件的排列问题 【详解】先安排甲，甲不站两端，有3个位置可选；再安排其余4名同学，有​P44​=4!=24 种排法。根据分步乘法计数原理，共有 3×24=72 种排法.故选：C 4. 计算​P62​−P51​的值为（ ）​ A. 10 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】B 【分析】本题考查排列数公式的直接计算​ 【详解】​P62​=​=30，​P51​==5，则​P62​−P51​=30−5=25. 故选：B 5. 从5名男生和4名女生中选出一人担任组长，不同的选法有（ ） A. 9种 B. 20种 C. 1种 D. 0种 【答案】A 【分析】考查分类加法计数原理 【详解】选男生有5种方法，选女生有4种方法，根据分类加法计数原理，共有5+4=9种不同的选法. 故选：A 6. 若​Cn2​=15，则n的值为（ ）​ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【分析】本题考查组合数公式的逆用 【详解】 ​Cn2​==15，即n (n-1)=30，解方程n²-n-30=0，得n=6 或n=-5（舍去）. 故选：B 7. 从7名学生中选出3人参加数学竞赛，不同的选法有（ ） A. 21种 B. 35种 C. 42种 D. 35种 【答案】D 【分析】本题考查组合数的计算 【详解】C73==35 .故选：D 8. 二项式​(2x−1)6展开式中，所有项的二项式系数和为（ ）​ A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 【答案】B 【分析】本题考查二项式系数的性质 【详解】对于​(2x−1)6，n=6，所以所有项的二项式系数和为​26=64. 故选：B 9. 从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）种。​ A. 240 B. 280 C. 300 D. 360 【答案】C 【分析】 本题考查有限制条件的排列问题. ​ 【详解】优先安排翻译岗位，甲不能从事翻译，所以翻译岗位有5种选择，其余3个岗位从剩下的5人中选3人排列，有​P53​=543=60种。根据分步乘法计数原理，共有5×60=300，选项C为300 故选：C 10. 计算​C83​+C84​的值为（ ）​ A. ​C93​ B. ​C94​ C. ​C103 ​D. ​C104 【答案】B 【分析】本题考查组合数的性质，​Cnk​+Cnk+1​=Cn+1k+1 【详解】根据组合数性质，​C83​+C84​=C94​. 故选：B 11. 用 0、1、2、3、4 这五个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有（ ）个。​ A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 【答案】C 【分析】本题考查分步乘法计数原理和排列问题. 【详解】个位为 0：千位有4种选择，百位有3种选择，十位有2种选择，共4×3×2=24 个；​个位为2或 4：个位有2种选择，千位不能为 0且不能与个位重复，有3种选择，百位有 3种选择（除去千位和个位数字），十位有 2 种选择，共 2×3×3×2=36 个；​ 总共 24 + 36=60 个.故选：C 12. 二项式​(x −​)6展开式中的常数项为（ ）​ A. -15 B. 15 C. -20 D. 20 【答案】C 【分析】本题考查二项式定理求常数项. 【详解】​​(x −​)6展开式的通项为​Tr+1​ =(−1)rC6r​x6−2r。令6 - 2r=0，得r=3。 则常数项为​(−1)3C63​=−20. 故选：C 13. 6 人站成一排，其中甲、乙两人必须相邻的排法共有（ ）种。​ A. 120 B. 240 C. 480 D. 720 【答案】B 【分析】本题考查相邻问题的排列​. 【详解】 把甲、乙捆绑，看作一个整体，与其余4人共5个元素排列，有​P55​=5!=120 种排法；甲、乙内部有​P22​=2种排法。根据分步乘法计数原理，共有120×2=240 种排法. 故选：B 14. 从5个不同的红球和4个不同的白球中，选出3个红球和2个白球排成一列，共有（ ）种不同的排法。​ A. 7200 B. 3600 C. 1800 D. 900 【答案】A 【分析】本题考查组合与排列的综合应用. 【详解】第一步选球，选3个红球有​C53​=10种，选2个白球有​C42​=6种，共10×6=60种；第二步排球，将选出的5个球排列，有​P55​=120种。 根据分步乘法计数原理，共有60×120=7200种. 故选：A 15. 用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数是（ ） A. 30 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】A 【分析】考查排列组合的综合应. 【详解】分两类：个位是0时，有4×3=12个；个位是2或4时，有2×3×3=18个，共30个.故选：A 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．书架上有 3 本不同的数学书，4 本不同的语文书，5 本不同的英语书，从中任取一本，共有______种不同的取法 【答案】12 【分析】本题考查分类加法计数原理 【详解】取数学书有3种，语文书有4种，英语书有5种，不同取法共有3+4+5=12 种 17. 用 1、2、3、4、5 这五个数字组成没有重复数字的两位数，其中十位数字大于个位数字的两位数共有______个 【答案】10 【分析】本题考查组合问题​ 【详解】从5个数字中选2个不同数字，有​C52​​=10种，每种选法对应一个十位大于个位的两位数，所以共有 10个 18. 计算​C74​−C63​的值为______ 【答案】15 【分析】本题考查组合数的计算 【详解】​C74​=C73​=35，​C63​=20，则​C74​−C63​=35−20=15 19. 二项式​(x+3)7展开式中，第 4 项的二项式系数为______ 【答案】35 【分析】 本题考查二项式展开式的项数与二项式系数的关系. 【详解】​第4项对应 r+1=4，r=3，n=7，所以第4项的二项式系数为​C73​=35. 20.  从4名男生和1名女生中选出2人参加活动，若这2人中至少有1名男生，则不同的选法共有______种 【答案】 4 【分析】本题考查组合问题 【详解】总选法​C41​=10，答案为 4 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．某班有5名男生和4名女生，现要从中选出3人分别担任班长、学习委员、体育委员，要求至少有1名女生担任职务，求不同的任职方案共有多少种？ 【答案】420种 【分析】本题考查排列与计数原理的综合应用 【详解】​第一步，计算总任职方案：从9人中选3人担任3个不同职务，属于排列问题，有​P93​==504种；​ 第二步，计算全是男生的任职方案：从5名男生中选3人担任3个不同职务，有P53​=5=60种；​ 第三步，至少有 1名女生的任职方案 = 总任职方案 - 全是男生的任职方案 = 504 - 60=420 种。​答：不同的任职方案共有420种. 22．证明组合恒等式：Cnm=Cn-1m-1+Cn-1m ​. 【答案】证明见详解 【分析】 考查组合恒等式的证明 【详解】证明：从n个不同元素中取m个元素的组合数可以分为两类： 第一类：包含某个特定元素，再从剩下的n-1个元素中取m-1个，有Cn-1m-1种 第二类：不包含这个特定元素，从剩下的n-1个元素中取m个，有Cn-1m种 根据分类加法计数原理，Cnm=Cn-1m-1+Cn-1m​ 23． 已知二项式​(2x+b)4的展开式中，第3项的系数为24，求：​ （1）b 的值；​ （2）展开式中所有项的系数和。​ 【答案】（1）b=±1；（2）当 b=1 时系数和为 81，当 b=-1 时系数和为 1​​ 【分析】本题考查二项式定理的综合应用，（1）先根据通项公式求出第 3 项的系数，列方程求 b；（2）令 x=1，代入二项式可求所有项的系数和 【详解】（1）二项式​(2x+b)4展开式的通项为​Tr+1​=C4r​(2x)4−rbr=C4r​24−rbrx4−r。​ 第3项对应r+1=3，r=2，第3项的系数为​C42​24−2b2=24b2。​ 由题意 24b²=24，得 b²=1，b=±1；​ （2）令 x=1，展开式中所有项的系数和为 (2+b)4。​ 当 b=1 时，系数和为 (2 + 1) 4=81；当 b=-1时，系数和为 (2 - 1)4=1。​ 答：（1）b=±1；（2）当 b=1 时系数和为 81，当 b=-1 时系数和为 1​ 24．某外语小组有 8 名成员，其中 3 人只会英语，3 人只会日语，2 人既会英语又会日语。现要从中选出 3 人担任英语翻译，2 人担任日语翻译，求不同的选派方案共有多少种？ 【答案】55种 【分析】本题考查分类计数原理与组合的综合应用。 【详解】双语者都不选：英语选 3 个纯英语（C3³=1），日语选 2 个纯日语（C3²=3），1×3=3； 选 A 不选 B：​ A 去英语：英语需再选 2 个纯英语（C3²=3），日语选 2 个纯日语（C3²=3），1×3×3=9；​ A 去日语：英语选 3 个纯英语（C3³=1），日语需再选 1 个纯日语（C3¹=3），1×1×3=3；​ 共 9+3=12；​ 选 B 不选 A：同选 A 不选 B，12 种；​ 选 A 和 B：​ A、B 都去英语：英语需再选1个纯英语（C3¹=3），日语选 2个纯日语（C3²=3），1×3×3=9； A、B 都去日语：英语选3个纯英语（C3³=1），日语需再选0个纯日语（C3⁰=1），1×1×1=1； A 去英语，B 去日语：英语需再选2个纯英语（C3²=3），日语需再选1个纯日语（C3¹=3），1×3×3=9；​ A 去日语，B 去英语：同 A 去英语，B 去日语，9种；​共 9+1+9+9=28；​总共 3+12+12+28=55 种。​ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的单元测试卷，主要梳理和考查计数原理及应用、组合公式、排列公式、二项式定理的性质和应用等常见考点。 第八章 排列组合 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 从甲地到乙地，可乘火车、汽车或轮船。一天中，火车有 3 班，汽车有 4 班，轮船有 2 班，那么一天中从甲地到乙地共有（ ）种不同的走法。​ A. 9 B. 12 C. 24 D. 48 2. 用 1、2、3、4 这四个数字组成没有重复数字的三位数，共有（ ）个。​ A. 12 B. 24 C. 48 D. 64 3. 5 名同学排成一排照相，其中甲不站在两端，共有（ ）种不同的排法。​ A. 36 B. 48 C. 72 D. 120​ 4. 计算​P62​−P51​的值为（ ）​ A. 10 B. 25 C. 30 D. 35 5. 从5名男生和4名女生中选出一人担任组长，不同的选法有（ ） A. 9种 B. 20种 C. 1种 D. 0种 6. 若​Cn2​=15，则n的值为（ ）​ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 从7名学生中选出3人参加数学竞赛，不同的选法有（ ） A. 21种 B. 35种 C. 42种 D. 35种 8. 二项式​(2x−1)6展开式中，所有项的二项式系数和为（ ）​ A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 9. 从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）种。​ A. 240 B. 280 C. 300 D. 360 10. 计算​C83​+C84​的值为（ ）​ A. ​C93​ B. ​C94​ C. ​C103 ​D. ​C104 11. 用 0、1、2、3、4 这五个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有（ ）个。​ A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 12. 二项式​(x −​)6展开式中的常数项为（ ）​ A. -15 B. 15 C. -20 D. 20 13. 6 人站成一排，其中甲、乙两人必须相邻的排法共有（ ）种。​ A. 120 B. 240 C. 480 D. 720 14. 从5个不同的红球和4个不同的白球中，选出3个红球和2个白球排成一列，共有（ ）种不同的排法。​ A. 7200 B. 3600 C. 1800 D. 900 15. 用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数是（ ） A. 30 B. 36 C. 48 D. 60 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．书架上有 3 本不同的数学书，4 本不同的语文书，5 本不同的英语书，从中任取一本，共有______种不同的取法 17. 用 1、2、3、4、5 这五个数字组成没有重复数字的两位数，其中十位数字大于个位数字的两位数共有______个 18. 计算​C74​−C63​的值为______ 19. 二项式​(x+3)7展开式中，第 4 项的二项式系数为______ 20.  从4名男生和1名女生中选出2人参加活动，若这2人中至少有1名男生，则不同的选法共有______种 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．某班有5名男生和4名女生，现要从中选出3人分别担任班长、学习委员、体育委员，要求至少有1名女生担任职务，求不同的任职方案共有多少种？ 22．证明组合恒等式：Cnm=Cn-1m-1+Cn-1m ​. 23． 已知二项式​(2x+b)4的展开式中，第3项的系数为24，求：​ （1）b 的值；​ （2）展开式中所有项的系数和。 ​ 24．某外语小组有 8 名成员，其中 3 人只会英语，3 人只会日语，2 人既会英语又会日语。现要从中选出 3 人担任英语翻译，2 人担任日语翻译，求不同的选派方案共有多少种？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $