1.2 第2课时矩形的判定-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 江西专版）

第2课时 矩形的判定 ②基础过关逐点击破 知识点2 对角线相等的平行四边形是 知识点1有一个角是直角的平行四边 矩形 4.如图，在□ABCD中，对角 形是矩形 线AC,BD相交于点O, 1.已知口ABCD,下列条件能判定这个平行四 OA=2.若要使□ABCD为 边形为矩形的是 ( 矩形，则OB的长应该为 A.∠A=∠B B.∠A=∠C A.4 B.3 C.2 D.1 C.AB-BC D.AB-CD 5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD= 2.(2023·赣州定南县期末)如图，在□ABCD中， BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA= 请添加一个条件： OD.求证：四边形ABCD是矩形 使得口ABCD成为矩形. 3.(2023·赣州定南县期中)如图，在平行四边 形ABCD中，AB=6,BC=10,对角线AC1 AB,点E,F分别是BC,AD上的点，且 BE=DF. 知识点3有三个角是直角的四边形是 (1)求证：四边形AECF是平行四边形： 矩形 (2)当∠AEC= 度时，四边形AECF 6.在数学活动课上，老师要求同学们判断一个 是矩形，此条件下求出AE的长度 四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习 小组的四位同学拟定的方案，其中正确的 是 A.测量对角线是否相互平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量四边形是否有三个角为直角 7.如图，BD,BE分别是∠ABC与它的邻补角 ∠ABP的平分线，AE⊥BE,AD⊥BD,垂足 分别为E,D.求证：四边形AEBD是矩形 9名师测控·数学九年级上册配BSD版 可能力提升。整合运用 ⊙ 思维拓展。学科素养 8.如图，在□ABCD中，下列条 0 12.阅读下面材料： 件：①AC=BD:②∠1+∠3 学习了《平行四边形》单元知识后，小东根 90:③0B=2AC,④∠1= 据学习平行四边形的经验，对矩形的判定 问题进行了再次探究， ∠2能判定□ABCD是矩形的有( 以下是小东的探究过程，请你补充完整： A.1个 B.2个C.3个 D.4个 (1)在平行四边形ABCD中，对角线AC与 9.如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对 BD相交于点O.补充下列条件中能判 角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E 定平行四边形ABCD是矩形的是 作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,则四 ；(请将所有正确答案前的字 边形EFOG的面积为 母填写在横线上) A.S B.gS A.AC⊥BD B.AC=BD C.AD-DC D.∠DAB=∠ABC (2)在通过对“边、角、对角线”研究矩形的 判定中，小东提出了一个猜想：“一组对 边相等，一组对角均为直角的四边形为 (第9题图) (第10题图) 矩形.”请你画出图形，判断小东的猜想 10.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥ 是否是真命题.如果是真命题，请写出 BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边 证明过程，如果不是，请说明理由. DA,AB,BC,CD的中点.若AC=8, BD=6,则四边形EFGH的面积为 11.(2023·四川内江)如图，在△ABC中，D是 BC的中点，E是AD的中点，过点A作 AF∥BC交CE的延长线于点F. (1)求证：FA=BD: (2)连接BF,若AB=AC,求证：四边形 ADBF是矩形. 第一章特殊平行四边形10是△ABC的中位线，，EF∥BC.,K是BD的中点.，KF是△BCD的中位线，∴F 参考答案 D的中点：(2)连接AC交BD于O,延长AE交BC于G,连接(G)并延长交AD于 2AB,∴∠MCA=∠A,∠MCB=∠B.'∠A=6G,∴∠MA=50.∠MCB=∠B H,连接CH交BD于M,如图②所示，四边形AECM即为所求：理由：，OA=OC, =90-50=40°..∠EMC=∠MCB+∠B=40°+40°=80..∠ACE=30°. HAOG00/AOH=/CAAOHA0(ASAOH=00A= ∠MEC=∠A+∠ACE=0°+30'=80'，∴.∠MEC=∠EMC,.CE=CM:(2),AB 第一章特殊平行四边形 C,.四边形AGCH是平行四边形，∴.AE∥CM,∠MCA一∠EAC:E,M在菱形 =4,∴CE=CM=号AB=2 EFLAC,∠ACE=30,∴EF=CE=1.在R△CEF 1菱形的性质与判定 ABCD对角线上，EM垂直平分AC,,AE=CE,AM=CM,.∠EAC=∠ECA, ,∠MCA=∠ECA.,"∠EOC=90°=∠MC,OC=OC,.△EOC≌△MOC(ASA), 中，由勾股定理，得FC=√C一EF■2一卫=】 第1课时 菱形的性质 .CE=CM,AE=(CE=CM=AM,.四边形ACM是菱形. 思维拓展 基础过关 13.解：(1)：四边形BCAD是矩形.∴.AD∥BC,∠DAC=90'.,∠F=∠CBF,∠EAF 1.D2.43.104.(/，0)5.解：(1)四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD= AD,∠B=∠D.,AE⊥BC,AF⊥CCD..∠AEB=∠AFD=90.在△ABE和△ADF =90.点G是EF的中点，∴AG-EF=FG.∴∠F=∠GAF.EF=2AB,AB ∠AEB=∠AFD, =AG,∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF,∴.∠ABC=∠AG+ 中，∠B=∠D .△ABE2△ADF(AAS):(2)设菱形ABCD的边长为x,则 ∠CBF=2∠CBF+∠CBF=3∠CBF,∴.射线BF是∠ABC的一条三等分线：(2)30 图①D AB-AD. 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 第2课时矩形的判定 AB=CD=x,CF=2,.DF=x-2.△ABE≌△ADF,.BE=DF=x-2.在 基础过关 RL△ABE中，根据勾股定理，得AE+BE=AB,即42+（￥一2）=2，解得x=5, 基础过关 1.A2∠A=90(答案不唯一)3.解：(1)，四边形ABCD是平行四边形，.AF∥ 菱形ABCD的边长是5.6.C7.解：(1)60°120(2)四边形ABCD是菱形. LB2.A3解：四边形ABCD为菱形，AC⊥BD,OB=7BD=15cm,AC EC,AD=BC.DF=BE,·AD一DF=BC-BE,即AF=C,.四边形AECF是平 AB=DC,ACLBD,.OD=BD=2×6=3,AC=2C在R△CD中，∠ACD 行四边形：(2)由(1)，得四边形AEF是平行四边形..当∠AEC=90时，四边形 2A2在R△O4B中，由勾服定星，得AO=/ABOB=/17-5=8(m),∴.AG AECF是矩形.：AB=6,BC=10,AC⊥AB,∴.AC=BC-AF=/T0-6=8. 弥=30'，∴.DC=20D-6,∴0C=/C-0D=6-3=33.AB=DC=6.AC= =2×8=16(cm),SEam=号AC·BD=X16×30=240(em).4.①②8④ 20C=65.8.45或25 ∠AEC-90',∴S△=2 ABXAC-=2 BCXAE,即号X6×8=-X10AE,·AE 能力提升 5.2②T6解：(1)，∠ABD=0°，E是AD的中点，.BE=DE=AE.:AD=2BC =4.8.4.C5.证明：AB=CD.AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形，AC 9.C10.D11.3012.解：(1)如图①，连接AC,BD交于点O,连接D0并延长，交 ∴.C=DE.AD∥BC,.四边形BCDE为平行四边形.：BE=DE,.四边形BCDE 2OABD-2OD.,OA-OD,.AC=BD,.四边形ABCD是矩形.6.D7.证明： CD于点F,则线段EF即为所求.理由：四边形ABCD为菱形，.点O为AC的中 为菱形：(2)连接CE.易得AE=BC.,“AD∥BC,.四边形ABCE为平行四边形.，AG :AE⊥BE,AD⊥BD,∠E=∠D=90.BD,BE分别平分∠ABC与∠ABP 点，点E为AB的中点，∴.E)为△AC的中位线，∴，E)∥BC,即EF∥BC:(2)如图 ⊥BE.四边形ABCE为菱形，.AB=EC=2.AD=2BC=4.:∠ABD=90..BD ②，连接CEBD于点P,连接AP,则点P即为所求 =√/A厅一AB乎=一正=23.7，解：不正确，菱形的面积等于对角线乘积的一 ·∠ABD=号∠ABC.∠ABE=3∠ABP.'∠ABXC+∠ABP=18O,∠ABD于 半，.S克形= 7×6×8=24 ∠ABE=2(∠ABC+∠ABP)=2×180'=90,即∠EBD=90,·∠E=∠EBD= 能力提升 ∠D=0°，∴.四边形AEBD是矩形. 8C9.B10.511.解：(1)D.E分别是AB.AC的中点，∴.DE是△ABC的中位 能力提升 图① 图 线..DE∥BC,且BC=2DEBE=2DE,EF=BE.,EF=BC.又，EF∥BC.,,四 8.D9,B10.1211.证明：(1)，AF∥BC,∴.∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠DE.又 思维拓展 边形CFE是平行四边形.又BE=FE,四边形BCFE是菱形，(2)四边形议FE :E为AD的中点，AE-DE,△AEF≌△DEC(AAS),.FA=CD.又：D为B I3.解：(1)四边形ABCD是菱形，.AB=AD.,点E,F分别是边AD,AB的中点， 的中点，.BD=CD..FA=BD:(2)FA=BD,AF∥BD,四边形ADBF是平行四 AR=AD. 是菱形.∴∠BEF=∠BCF=120∠BCE=∠BEC=2X×120'=60.∴△EBC是等 边形.，AB=AC,D为C的中点，∴，ADL BC,.∠ADB=gO°，∴.四边形ADBF是 ·AE=zAD,AF=zAB.AE=AE在△ABE和△ADF中，∠A=∠A.△ABE 矩形 AE-AF. 边三角形，BE=BC=CE=4,过点E作BG⊥BC于点G,BG=号BC=2E= 思维拓展 2△ADF(SAS):(2)连接BD.易得∠A=∠C=60',AB=AD,,∴.△ABD是等边三角 B-F=/4-2=2/3，∴.SE=BC·EG=4X23=83 12.解：(1)BD (2)作图： D猜想是真命题：证明：连接AC.在四边形 形.E是AD的中点，.BE⊥AD.·∠AEB=90',∠ABE-30.设AE-Z,则AD 思维拓展 =AB=2x.在R△ABE中，由股定理，得AE十BE=A,即x+(3)?=(2x)”, 12.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD,AD∥BCAE,CF分 解得n=1,=-1(舍去).AD=2x=2,.Sw型m=AD·BE=25. 别是∠BAD,∠BCD的平分线.·∠BAE=∠DAE=7∠BAD,∠BCF=∠DCF ABCD中，已知AB=CD,∠B=∠D=90.,R1△ACD≌R1△CAB(HI).∴，AD=BC, 第2课时菱形的判定 ∴.四边形ABCD是平行四边形.”∠B=∠D=90°，.四边形ABCD是矩形. 基础过关 Z∠BCD∠DAE=∠BCF.'AD∥BC.∴∠DAE-∠AEB.∠CF=∠AEB. 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 .B2.B3证明：：四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC,又：EF∥AB,四 ∴.AE∥FC,四边形AECF是平行四边形.，AE=AF,∴四边形AECF是菱形 基础过关 边形ABFE是平行四边形，'BE平分∠ABC..∠ABE=∠EBF.'AD∥BC, (2)连接AC由(1)知∠DAE=∠AEB,∠BAE=∠DAE,,∴∠BAE=∠AEB,.AB 1. 2.C 3.C4.A5.30°6.47.解：(1)如图.线段AD即为所求： .∠AEB=,∠EBF,∴.∠ABE=∠AEB.∴.AB=AE,,四边形ABFE是菱形.4D EB.:∠ABC=60,∴.△ABE是等边三角形，∴.∠BAE=∠AEB=∠ABE=60,由 (2)如图，延长AD到点E,使ED=AD,连接EB,ECCD=BD, 线 5.证明：在ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,AO=AC △ABE的面积等于43，易得AB=4原，：AB=4(负值已舍去)，即AB=AE=EB 3,B0=寸BD-4.AB=5,且3+-宁，AO+B)-AB,△AOB是直角三 =4.由(1)知四边形AEF是菱形，.AE=CE=4,.∠EAC=∠ECA.,∠FAC十 角形，且∠AOB=90,∴.AC⊥BD,.四边形ABCD是菱形.6.B7.证明：AB= ∠ECA-∠AEB-60°，·∠EAC=∠CA=30,,.∠BAC=∠BAE+∠EAC=60°+ AD=ED,.四边形ABEC为平行四边形.：∠CAB=90,.四边形ABEC为矩形 AC,AD是BC边上的中线，∴.AD垂直平分BC.∴.EB=EC,FB=FC,BD=CD.CF 0°=90°，即AC⊥AB.在R1△ABC中，由勾股定理，得AC=/B以C一AF= AE=BC.'AE=2AD,..BC=2AD.8.3 ∥BE..∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD.又BD=CD,,△EBD≌△FCD /(4+4)一4=4√5，即平行线AB与DC间的距离是45. 能力提升 (AAS),.BE=FC∴.EB=BF=F=C,∴.四边形BECF是菱形. 8.C 2矩形的性质与判定 ∠ABO=∠DO. 能力提升 第1课时矩形的性质 9.A【变式】21.证明：(1)在△AOB和△DC中，OB=C, ,△AOB2 9,B10,号11.证明：(1)连接BD,交AC于点O.四边形ABCD是平行四边形， 基础过关 ∠AOB=∠DC, .OB=OD.BM∥DN,.∠MO=∠NDO.又：∠BOM=∠DON,∴.△BaM≌ 1C2.20°3解：(1)四边形ABCD是矩形，.AD∥BC,.∠F=∠BCE.,E是 △D0CASA).AO=D0点E,F分别是AO.DO的中点，∴OE=OA,OF- △DON(ASA),∴BM=DN,.四边形BMDN是平行四边形，.BN∥DM,∠DMN AB的中点，·AE=BE.又∠AEF=∠BEC,·△AEF☑△BEC(AAS):(2)四边 =∠BNM:(2):四边形ACD是平行四边形，，.C∥AD,.∠BCA=∠DAC 形ABCD是矩形，∠D=90.CD=4,∠F=30,∴.CF=2CD=2×4=84.C 2ODOE=OF:(2)OB=0C,OE=OF,四边形BEC下是平行四边形.C= ∠BAC-∠DAC,∠BAC-=∠BCA,AB=BC,四边形ABCD是菱形，ACL 5.4【变式】A6证明：：圆边形ACD是矩形，∴.AC=BD,AD∥BC又BE BD,∴.MN⊥BD.又由(1)知四边形BMDN是平行四边形..四边形BMDN是菱形 AC,,四边形AEBC是平行四边形，.BE=AC,.BE=BD.7.B8.A【变式J24 2OB,EF=2OE∠A=30.∴.OB=。OA=OE,∴.BC=EF,.四边形BCF是 思维拓展 9.D 矩形.1L.解：(1)四边形ABDE是平行四边形，，BD∥AE,BD=AE.,D为BC 12.解：(1)连接AC,BD交于K,连接EK并延长交CD于F,如图①所示，点F即为所 能力提升 的中点，BD=DC,DC=AE,,四边形ADCE是平行四边形.：AB=AC,D为BC 求：理由：四边形ACD是菱形，.K是AC,BD的中点，E是AB的中点，EK 10.C11.C12.解：(1)，∠ACB=90,点M为边AB的中点，，MC=MA=MB= 的中点，·AD⊥BC,即∠ADC=90°，.四边形AXCE是矩形：(2)，四边形ADCE是 第1页（共48页） 第2页（共48页） 第3页（共48页）