专题05 圆重难点题型汇编（十三大题型）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题05圆重难点题型汇编 【题型01 ：垂径定理及应用】...................................................................................................1 【题型02 ：点与圆上一点最值问题】.......................................................................................4 【题型03：圆周角定理】.............................................................................................................5 【题型04：圆内接四边形】.........................................................................................................7 【题型05：旋转的性质】..............................................................................................................8 【题型06：三角形的外接圆】.....................................................................................................10 【题型07 ：正多边形与圆的综合】...........................................................................................11 【题型08 ：弧长和扇形的面积】...............................................................................................13 【题型09 ：圆锥的侧面积】.......................................................................................................14 【题型10 ：不规则图形的阴影面积】........................................................................................15 【题型11 ：圆锥侧面最短路径问题】........................................................................................17 【题型01 ：垂径定理及应用】 1．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（    ） A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 3．如图1是一个底部呈球形的烧瓶，图2为底部球形的横截面，阴影部分为液体部分，若横截面的半径为，瓶内液体的宽度，则瓶内液体的最大深度 ． 4．如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高上，，，则的半径长为 ． 5．“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为 ． 6．阅读材料，回答问题． 材料背景 遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（孤的中点到水面的距离）为． 问题解决 (1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径． (2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度． 7．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试求： (1)拱桥所在的圆的半径； (2)通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【题型02 ：点与圆上一点最值问题】 1．如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，，以A为圆心，2为半径作．若点E在上，点P在上，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 4．如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结、则线段的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 5．如图，在菱形中，，，、的半径分别为2和1，点、、分别是边、和上的动点，则的最小值是 ．    6．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ． 【题型03 ：圆周角定理】 1．如图，是的直径，，则（　　） A． B． C． D． 2．如图， 是的直径，， 若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，点在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，是的直径，是的中点，连接，，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，A，B，C是上的点，，，交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是的直径，是上的一点，连接，，过点作交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型04：圆内接四边形】 1．如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，为圆的直径，点，点是圆上的两个点，连接，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么（    ） A．40 B．50 C．60 D．70 4．如图，四边形内接于，过点作交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C．120° D． 【题型05：旋转的性质】 1．如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，的三个顶点的坐标分别为，将绕点A逆时针旋转，得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转的度数为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，，，则为（   ） A． B． C． D．4 6．如图，在中，，，将绕点逆时针方向旋转60°到的位置，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．3 D．2 7．如图，在中，，，，为内一点，分别连接、、，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【题型06：三角形的外接圆】 1．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 4．如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【题型07 ：正多边形与圆的综合】 1．如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 5．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 ． 【题型10 ：弧长和扇形的面积】 1．如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 3．在半径为1的中，的圆心角所对的弧长是（   ） A． B． C． D． 4．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．如图是一段弯形管道，其中，中心线所在扇形的半径是，则这段弯形管道的展直长度，即的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，正六边形的边长为，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中的长度为（   ） A． B． C． D． 6．如图是完全展开的扇形纸扇，夹角为，的长为，的长为，则扇面（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 7．秋千拉绳长，静止时踩板离地面，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面（左右对称），如图，则该秋千所荡过的扇形的面积为______． A． B． C． D． 【题型11 ：圆锥的侧面积】 1．将一个底面半径为的圆锥的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的弧长是（   ） A． B． C． D． 2．将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为，则扇形的面积为 ． 3．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ． 4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周四尺，高三尺，问积及为米几何?”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为4尺，米堆的高为3尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是 平方尺．（结果保留π） 【题型12 ：不规则图形的阴影面积】 1．如图，正六边形的半径为4，以A为圆心，的长为半径画弧，连接，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正六边形中，连接，，以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以点C为圆心，4为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为10，分别以，为直径画半圆，过点的直线分别交两半圆于点，．已知，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的弧上，扇形的圆心是弧的中点，且扇形绕着点旋转，半径，交于点，半径，交于点，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【题型13 ：圆锥侧面最短路径问题】 1．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4． （1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数． （2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离． 2．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 3．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05圆重难点题型汇编 【题型01 ：垂径定理及应用】...................................................................................................1 【题型02 ：点与圆上一点最值问题】.......................................................................................7 【题型03：圆周角定理】.............................................................................................................14 【题型04：圆内接四边形】.........................................................................................................18 【题型05：旋转的性质】..............................................................................................................22 【题型06：三角形的外接圆】.....................................................................................................28 【题型07 ：正多边形与圆的综合】...........................................................................................32 【题型08 ：弧长和扇形的面积】...............................................................................................36 【题型09 ：圆锥的侧面积】.......................................................................................................41 【题型10 ：不规则图形的阴影面积】........................................................................................43 【题型11 ：圆锥侧面最短路径问题】........................................................................................49 【题型01 ：垂径定理及应用】 1．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，利用点到直线的距离的定义得到，则根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长，也考查了勾股定理． 【详解】解：∵圆心O到弦的距离， ， ， 在中，，， ∴， ． 故选：C． 2．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（    ） A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 【答案】D 【分析】连接，设的半径为寸，则寸，寸，先根据垂径定理得到寸，再利用勾股定理得到，然后解方程求出．本题考查了垂径定理的应用：把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 【详解】连接， 设的半径为寸，则寸，寸， 寸， 在中，， 解得， 故选：D． 3．如图1是一个底部呈球形的烧瓶，图2为底部球形的横截面，阴影部分为液体部分，若横截面的半径为，瓶内液体的宽度，则瓶内液体的最大深度 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理． 根据题意可得出，由垂径定理得，由勾股定理得出，则液体的最大深度． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴液体的最大深度， 故答案为：． 4．如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高上，，，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂径定理求出,根据勾股定理求出,设的半径为，则，，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接, 是的外接圆，圆心在这个三角形的高上， ,, 在中，， 设的半径为，则，， 在中，, ， 解得， 故答案为：． 5．“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为 ． 【答案】13 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，三线合一，勾股定理，根据D是的中点，得到，三线合一，得到，，设半径为，在中，利用勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的一部分，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设的半径为，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 6．阅读材料，回答问题． 材料背景 遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（孤的中点到水面的距离）为． 问题解决 (1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径． (2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度． 【答案】(1)主桥拱所在圆的半径为 (2)此时水面的宽度为 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，熟练掌握以上两个应用是关键. （1）连接，设半径，在中，利用勾股定理列方程求解. （2）先求OG，再利用勾股定理求GF，最后利用垂径定理求EF. 【详解】（1）解：如图①，设主桥拱所在圆的圆心为O，连接． 是的中点，， 三点在一条直线上， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 故主桥拱所在圆的半径为． （2）解：如图②，记桥下水面上升所在水面为，交于点G，连接． 由题意，得 , ． 在中，由勾股定理， 得, ． 故此时水面的宽度为． 7．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试求： (1)拱桥所在的圆的半径； (2)通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】(1) (2)不需要，见解析 【分析】本题主要考查垂径定理的应用以及勾股定理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解题的关键，注意方程思想的应用． （1）由垂径定理可知、，再在中，由勾股定理得出方程，即可求出半径； （2）求出，再由勾股定理可得，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：设圆弧所在圆的圆心为，连接、，则O、P、M三点共线， 设半径为， 则， 由垂径定理可知，， ， ， 在中，， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， 即拱桥所在的圆的半径为； （2）解：， ， 在中，由勾股定理可得， ， 不需要采取紧急措施． 【题型02 ：点与圆上一点最值问题】 1．如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据，，用勾股定理计算得到；延长与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线上时，取最小值；过G作于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到的值，即可完成求解． 【详解】解：如图，连接， ∵过A作于点C，过B作于点D， ∴，， ∵，A、B是上的两点， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴ ， 延长与⊙O相交于点G， ∵MN为的直径，， ∴，， ∴ ， 当点P在直线上时，取最小值，且最小值， 过G作于点H， 又∵， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解． 2．如图，矩形中，，以A为圆心，2为半径作．若点E在上，点P在上，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】延长到点M，使得，连接交于点O，交于点N， 当点E与点O重合，点P与点N重合时，此时取得最小值，利用矩形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接交于点O，交于点N， ∵， ∴当点E，P，M三点共线时，取得最小值，此时为， ∵点E是上动点， ∴当E与点O重合时，最小，此时为， ∴当点E与点O重合，点P与点N重合时，此时取得最小值， ∵矩形中，，以A为圆心，2为半径作． ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质，两点之间线段最短，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质是解题的关键． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角形中位线性质可知OE=BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可. 【详解】∵， ∴当时，， 解得：， ∴A点与B点坐标分别为：(，0)，(3，0)， 即：AO=BO=3， ∴O点为AB的中点，   又∵圆心C坐标为(0，4)， ∴OC=4， ∴BC长度=， ∵O点为AB的中点，E点为AD的中点， ∴OE为△ABD的中位线， 即：OE=BD， ∵D点是圆上的动点， 由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径， ∴BD的最小值为4， ∴OE=BD=2， 即OE的最小值为2， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 4．如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结、则线段的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值. 【详解】∵抛物线与轴交于、两点 ∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4. 在直角三角形COB中 BC= ∵Q是AP上的中点，O是AB的中点 ∴OQ为△ABP中位线，即OQ=BP 又∵P在圆C上，且半径为， ∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大 此时BP=BC+CP= OQ=BP=. 故选：C. 【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，与圆相离的点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况. 5．如图，在菱形中，，，、的半径分别为2和1，点、、分别是边、和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】3 【分析】作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，，利用菱形的性质以及圆的性质得出与重合时的最小值，进而求出即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，，   四边形是菱形，，， ，， 、是等边三角形 ， ∴， ， ， ， ，，在一条直线上， 由题意可得出：当与重合，点在上，在上时，最小， ∵，、的半径分别为2和1， ，， 的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质以及圆的性质等相关知识，根据题意得出点位置是解题关键． 6．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ． 【答案】6 【分析】连接OP，由直角三角形的性质可知AB=2OP，则求AB的最小值即为求OP的最小值，当O、P、M三点共线时，OP长度最小. 【详解】解：连接OP，由于PA⊥PB，故由直角三角形的性质可知AB=2OP，则OP最短时，AB最短；由图可知，O、P、M三点共线时，OP长度最小，OP=OM-MP=，则AB的最小长度为6， 故答案为6. 【点睛】将求AB最短问题转化为求OP最短是解题关键. 【题型03 ：圆周角定理】 1．如图，是的直径，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆周角定理;利用圆周角定理求出可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图， 是的直径，， 若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，根据圆周角定理求出的度数，然后根据同弧所对圆心角相等求出的度数，然后根据平角定义即可求解 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶D． 3．如图，点在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 4．如图，，是的直径，是的中点，连接，，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，先利用圆周角定理可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，从而可得，进而可得，最后根据圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ． 故选：A． 5．如图，A，B，C是上的点，，，交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，关键是熟练掌握圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理． 根据圆周角定理得出，平行线性质得出，结合三角形内角和定理即得． 【详解】解：，， ∴， ∵， ． 故选：D． 6．如图，在中，是的直径，是上的一点，连接，，过点作交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直径所对圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，可得的度数，根据平行线的性质，可得的度数，从而可得的度数，根据圆周角定理，即可得的度数． 【详解】解：∵在中，是的直径，是上的一点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是熟练掌握相关性质和定理． 【题型04：圆内接四边形】 1．如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补的性质求得的度数，再利用直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，为圆的直径，点，点是圆上的两个点，连接，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，连接，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质求出即可求解，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 为圆的直径， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， 故选：． 3．如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么（    ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】D 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．如图，四边形内接于，过点作交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由平行线的性质求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故选；B． 5．如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，由弧与弦之间的关系可得，由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：， ∴， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴ ， 故选：D． 6．如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C．120° D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据，得出，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ． 故选：D． 【题型05：旋转的性质】 1．如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，则，因为，所以，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．如图，的三个顶点的坐标分别为，将绕点A逆时针旋转，得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转作图、旋转后坐标的变化等知识点，根据题意所述的旋转三要素画出图形成为解题的关键． 先根据旋转的性质画出旋转后的图形，然后根据作图读出点的坐标即可． 【详解】解：根据题意作图如下： 则点的坐标为． 故选：A． 3．如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转可得，，即得，再根据平行线的性质得到，最后根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：由旋转可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：， 因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转能与自身重合． 故选：D． 5．如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，，，则为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先根据等腰三角形和直角三角形的性质得到，再根据图形旋转的性质，求出的长，及证明，，最后根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：，， ， 绕点C逆时针旋转得到， ，，，， ， ， 在中，， ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握图形旋转问题的常用解法是解题的关键． 6．如图，在中，，，将绕点逆时针方向旋转60°到的位置，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】过点作于点D，根据旋转的性质可得到是等边三角形，，进而得到阴影部分的面积等于，再由勾股定理求出，继而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点D， ∵将绕点A逆时针方向旋转到的位置， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，阴影部分的面积等于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积是． 故选B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 7．如图，在中，，，，为内一点，分别连接、、，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，将绕点顺时针旋转到，连接，由旋转性质可知，，，，则有，都是等边三角形，所以，，从而可得，，故有，，，在一直线上，然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转到，连接， 由旋转性质可知，，，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，，，在一直线上， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【题型06：三角形的外接圆】 1．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键． 分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答． 【详解】解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心． 易得点P的坐标为，即的外心坐标为． 故选D． 2．如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作AB、的垂直平分线，其交点即为点，进而求得圆的半径，从而求得原点到上一点的最短距离． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点，点的坐标为， ， 点， ， 则原点到上一点的最短距离为：， 故选：A． 4．如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，垂足为，连接，根据直角三角形的性质即可得出的半径． 【详解】解：如图， 连接OB，过点O作于点E，则． 易得BO平分， ， ． ， ， 解得． 故选：. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，是一道综合性较强的题目，难度不大． 【题型07 ：正多边形与圆的综合】 1．如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正多边形和圆，根据正方形内接于即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴的度数， 故选：A． 2．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．连接、，根据圆周角定理得到，即可得出答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接、， ∵， ∴． 故选：B． 3．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形和圆，规律型，点的坐标，坐标与图形变化-旋转，根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点D的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2025次后顶点D的坐标即可． 【详解】解：边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，连接，如图，      ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由中，由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， ∵将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转， ∴4次一个循环， ∵， ∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标与第一次旋转后得到的的坐标相同， ∵过点作轴于P， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， ∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标为， 故选：D． 4．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形， 先画出图形，可知，再作，即可求出，然后根据勾股定理求出，进而求出答案. 【详解】解：设正六边形的中心O，一边是，则，作于点G， 可知是等边三角形，且正六边形是由6个等边三角形组成. 如图，在中，， ∴， ∴， 所以这个正六边形的面积. 故选：C. 5．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，连接与交于点，证明为等边三角形，从而即可得到答案，正确把握正六边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接与交于点，    ∵为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵正六边形的周长约为， ∴， ∴， ∴该正六边形的外接圆半径长为， 故答案为：20． 【题型10 ：弧长和扇形的面积】 1．如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接，由圆周角定理可得，再求出半径，根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∴的长为． 故选：C． 2．如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用弧长公式求解即可． 【详解】解：的长度． 故选：B． 3．在半径为1的中，的圆心角所对的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长公式，若弧所在圆的半径为r，所对圆心角为，则弧长，熟知弧长公式是解题的关键．根据弧长公式计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 4．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．如图是一段弯形管道，其中，中心线所在扇形的半径是，则这段弯形管道的展直长度，即的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长的计算公式，根据弧长公式进行计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 【详解】解：的长为． 故选：D． 5．如图，正六边形的边长为，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，直角三角形性质，弧长公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，交于点，连接，，由正六边形性质得，垂直平分，垂直平分，，则有，，通过勾股定理得出，然后由弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接，， ∵六边形是正六边形， ∴，垂直平分，垂直平分，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长度为， 故选：． 6．如图是完全展开的扇形纸扇，夹角为，的长为，的长为，则扇面（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及弧长的计算，先根据弧的长求出的长，再用大扇形的面积减去小扇形的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵的长为，， ∴， 解得， ∴，， ∴扇面的面积为：． 故选：A． 7．秋千拉绳长，静止时踩板离地面，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面（左右对称），如图，则该秋千所荡过的扇形的面积为______． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形的应用，扇形面积公式，连接交于点，则有四边形是矩形，所以，然后求出，在中，，则有，故有，最后用扇形面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接交于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型11 ：圆锥的侧面积】 1．将一个底面半径为的圆锥的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的弧长，圆锥底面圆周长是其侧面展开图得到的扇形弧长，据此可得答案． 【详解】解：， ∴这个扇形的弧长是， 故选：B． 2．将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据圆锥的侧面展开图可得扇形的半径为，再利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形， ∴这个扇形的半径为， 又∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 3．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ． 【答案】 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，列式解答即可． 本题考查了弧长公式，扇形与圆锥的关系，熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长是解题的关键． 【详解】解：设扇形的半径是r，则， 解得， ∴扇形的半径是4． 故答案为：4． 4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周四尺，高三尺，问积及为米几何?”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为4尺，米堆的高为3尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是 平方尺．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算、弧长的计算等知识点，从实际问题中抽象出圆锥的知识是解题的关键． 设米堆底部的扇形半径为尺，、求出，由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积的和，据此解答即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， ， ， 这个米堆遮挡的墙面面积是（平方尺） 故答案为：． 【题型12 ：不规则图形的阴影面积】 1．如图，正六边形的半径为4，以A为圆心，的长为半径画弧，连接，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式，作于，由题意可得，，从而求出，由等腰三角形的性质结合直角三角形的性质可得，，求出，同理可得，，求出，再由扇形面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：B． 2．如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质， 根据阴影部分的面积解答即可. 【详解】解：∵， ∴， 同理：. 根据勾股定理，得. 阴影部分的面积 . 故选：C. 3．如图，在正六边形中，连接，，以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正六边形的性质、扇形面积公式是解题的关键．连接，根据正六边形的性质求出、、，根据正切的定义求出，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形为正六边形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 则， 故选：A． 4．如图，正方形的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以点C为圆心，4为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，理解图示，掌握不规则图形面积的转换，扇形面积的计算是解题的关键．根据正方形的性质可得弓形与弓形相等，由，即可求解． 【详解】解：如图，连接，三点共线， ∵四边形是正方形，点E，F分别为，的中点， ，， ， 在和中， ， ，，， ， 则弓形与弓形相等， ． 故选：B． 5．如图，正方形的边长为10，分别以，为直径画半圆，过点的直线分别交两半圆于点，．已知，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，求不规则图形的面积；连接，证明得出，结合已知可得，进而根据阴影部分面积等于半圆的面积减去三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵以，为直径画半圆， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 设，则 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴弓形相等， ∴阴影部分面积为 故选：B． 6．如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的弧上，扇形的圆心是弧的中点，且扇形绕着点旋转，半径，交于点，半径，交于点，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了扇形的面积求法以及三角形的面积等知识，得出四边形的面积正方形的面积，是解决问题的关键． 根据扇形的面积公式求出面积，再过过点作，作，垂足分别为，然后证明，从而得到中间空白区域的面积等于以 1 为对角线的正方形的面积，从而得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接 两扇形的面积和为：， 过点作，作，垂足分别为， 则四边形是矩形， ∵点是弧的中点， ∴平分， ∴， ∴矩形是正方形， ∵， ∴， 在与中， ， ， ∴中间空白区域面积相当于对角线是 1 的正方形面积， ∴空白区域的面积为：， ∴图中阴影部分的面积两个扇形面积 个空白区域面积， 故选：D． 【题型13 ：圆锥侧面最短路径问题】 1．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4． （1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数． （2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离． 【答案】（1）90°；（2）4 【分析】（1）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得蚂蚁爬行的最短距离为AC的距离，进而即可求解． 【详解】解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2π×1＝，解得n＝90°； （2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°． ∴是等腰直角三角形， ∵AB＝4， ∴AD＝BD＝4÷=2， ∴AC＝2AD＝4， 即这只蚂蚁爬过的最短距离4． 【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图弧长的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的关键． 2．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 3．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【答案】(1)相等； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $