22.3勾股定理（3）导学案 2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦勾股定理逆定理应用及方程思想结合勾股定理解决问题，通过预习题目回顾直角三角形性质，过渡到逆定理判断三角形形状，构建“复习-探究-应用”的学习支架，衔接前后知识脉络。 特色在于融合数学思维与实际应用，以“引葭赴岸”古算题和作无理数线段培养几何直观与创新意识，通过勾股数推理证明发展推理能力与运算能力，分层练习设计助力自主学习，提升模型意识与应用意识，适合学生高效掌握知识点。

勾股定理（3） 1、 学习目标 1. 熟练运用勾股定理逆定理解决问题； 2. 运用方程思想结合勾股定理解决问题. 2、 新课预习 阅读课本P130-136，完成下列问题： 1.在△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,CD=_____，AD=______,BD=_______. 2.在△ABC中，,AC=7,BC=8,AB=9,则S△ABC=________ 3、 课堂学习 1.定理逆定理的回顾 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 例1 如果△ABC的三边分别为a、b、c,且满足a²+b²+c²+50=6a+8b+10c,判断△ABC的形状. 例2若三角形的三边长为m＋ n, m－ n,2mn（m＞n＞0）请问该三角形是直角三角形吗？ 例3 已知单位长为1的线段，求作长为，的线段. 2.用方程思想计算 例4请尝试解决《九章算术》“勾股”章第6题“引葭(jiā)赴岸”:“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”该题意是：有一个水面是正方形的水池，边长为1丈.如图，一棵葭AB(竖直)生长在水池中央，葭露出水面的部分CB长1尺.如将葭引向(最近的)岸边(CD长为0.5丈，即5尺),葭尖恰好碰到岸(AB=AD).求水深AC、葭长AB各是多少(丈、尺是长度单位，1丈=10尺)? 3.利用勾股定理求三角形的高 例5如图在△ABC中，AB=10,BC=24,AC=26,M是边AC的中点. (1)求B、M两点的距离； (2)求点B到直线AC的距离. 交流课前预习： 1.在△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,求AB边上的高. 2.在△ABC中，,AC=7,BC=8,AB=9,求AB边上的高. 挑战练习： 1. 在数轴上表示无理数,，的点. 2. 设m、n都是正整数，且m>n.求证：m²-n²、2mn、m²+n²是一组勾股数. 3. 在△ABC中，AC=20,BC=21,AB=29.求这个三角形的面积. 4. 如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AB=15,AC=13,AD=12,CD=5.求BC的长. 5.如图，公路上A、B两站相距25km,C、D为两村庄，DA⊥AB,CB⊥AB,垂足分别为A、B.已知DA长为10 km,CB长为15 km,现要在公路AB上建一个商场E,使得C、D两村庄到商场E的距离相等，那么商场E应建在离A站多远处? 4、 课后练习 1． 已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 ． 2．分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1、S2、S3之间的关系式是 ． S1 S2 S3 3．如图，长为3、宽为1的长方形的顶点与数轴的原点重合，且宽与数轴垂直，以为圆心，对角线为半径画弧交数轴于点，则点在数轴上对应的数是 ． 4.已知：如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，AD是BC边上的高．求BC的长． 5．已知等腰三角形的腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积． 6.如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13． 求S△ABC． 7.在△ABC中，BC=6,AC=3,AB=3.求∠A、∠B、∠C的度数. 8.如图，一架2.5m长的梯子AC斜靠在一面墙BE上，梯子底端C离墙2m.要将梯子的顶端A上升0.9m至E处(梯子长度不变),求梯子底部C在水平方向滑动到D的距离. 9. 如图，已知：AC⊥BD,垂足为O,连接AD、DC、CB、AB. 求证：AB²-AD²=CB²-CD². 10.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC ，∠B＝60°，CD＝1cm，求BC的长． 11.设m、n都是正整数，且m>n.求证：m²—n²、2mn、m²+n²是一组勾股数. 12.如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a＝19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来． a、b、c a2 + b2 = c2 3、4、5 32＋42＝52 5、12、13 52＋122＝132 7、24、25 72＋242＝252 9、40、41 92＋402＝412 …… …… 19，b、c 192＋b2＝c2 3、4、5 32＋42＝52 5、12、13 52＋122＝132 7、24、25 72＋242＝252 9、40、41 92＋402＝412 …… …… 19，b、c 192＋b2＝c2 3、4、5 32＋42＝52 5、12、13 52＋122＝132 7、24、25 72＋242＝252 9、40、41 92＋402＝412 …… …… 19，bdddddddd、c 192＋b2＝c2 学科网（北京）股份有限公司 $