22.3勾股定理（3）导学案 2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）八年级数学上册

勾股定理（3）

一、学习目标

1. 熟练运用勾股定理逆定理解决问题；
2. 运用方程思想结合勾股定理解决问题.

二、新课预习

阅读课本P130-136，完成下列问题：

1.在△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,CD=_____，AD=______,BD=_______.

2.在△ABC中，,AC=7,BC=8,AB=9,则S△ABC=________

三、课堂学习

1.定理逆定理的回顾

勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.

例1 如果△ABC的三边分别为a、b、c,且满足a²+b²+c²+50=6a+8b+10c,判断△ABC的形状.

 

 

 

例2若三角形的三边长为m＋ n, m－ n,2mn（m＞n＞0）请问该三角形是直角三角形吗？

例3 已知单位长为1的线段，求作长为，的线段.

 

 

 

2.用方程思想计算

例4请尝试解决《九章算术》“勾股”章第6题“引葭(jiā)赴岸”:“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”该题意是：有一个水面是正方形的水池，边长为1丈.如图，一棵葭AB(竖直)生长在水池中央，葭露出水面的部分CB长1尺.如将葭引向(最近的)岸边(CD长为0.5丈，即5尺),葭尖恰好碰到岸(AB=AD).求水深AC、葭长AB各是多少(丈、尺是长度单位，1丈=10尺)?

 

 

3.利用勾股定理求三角形的高

例5如图在△ABC中，AB=10,BC=24,AC=26,M是边AC的中点.

(1)求B、M两点的距离；

(2)求点B到直线AC的距离.

 

 

交流课前预习：

1.在△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,求AB边上的高.

2.在△ABC中，,AC=7,BC=8,AB=9,求AB边上的高.

挑战练习：

1. 在数轴上表示无理数,，的点.

 

 

2. 设m、n都是正整数，且m>n.求证：m²-n²、2mn、m²+n²是一组勾股数.

 

 

 

3. 在△ABC中，AC=20,BC=21,AB=29.求这个三角形的面积.

 

 

 

4. 如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AB=15,AC=13,AD=12,CD=5.求BC的长.