山东省潍坊市九年级数学上学期期中自编模拟卷02（青岛版）

2025-2026学年山东省潍坊市上学期期中自编模拟卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：青岛版九年级上册全部。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，在中，，于点，，，的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 5．如图，为的直径，，是上的两点，若，则的大小为（  ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 7．如图，在中，，是边上的高，则下列选项中可以表示的是（    ） A． B． C． D． 8．关于的一元二次方程，下列说法正确的有（   ） A．此方程总有两个不相等实数根 B．此方程必有一根是2 C．当为整数时，方程两根均是整数 D．当时， 9．如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆弧的中点，是的中点，交于点，交于点，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，中，平分交BC于点交AB于点，为AE的中点，交的延长线于点．下列结论，其中结论正确的有（    ） A． B． C． D． 3、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．若a，b为一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 12．如图，半圆的直径，、为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积为 ． 13．如图，在中，为平分线，于，于，，，则＝ ． 14．在中，，，，矩形内接于，其中点G、F在上，点D、E分别在上，若，则 ． 四、解答题：本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．解下列方程： (1)； (2)． 16．计算： (1) (2) 17．已知关于 x 的一元二次方程 ． (1)若方程有两个实数根，求 m 的取值范围； (2)在（1）中，设  是该方程的两个根，且 ，求 m 的值． 18．如图所示，，C为上的三点，，延长交于点E，过点B作的切线交射线于D． (1)求证：； (2)连接，若，求半径和的长． 19．某小区为了改善绿化环境，计划购买A、B两种树苗共100棵，其中A树苗每棵40元，B树苗每棵35元．经测算购买两种树苗一共需要3800元． (1)计划购买A、B两种树苗各多少棵？ (2)在实际购买中，小区与商家协商：A种树苗的售价下降a元，且每降低1元，小区就多购买A树苗2棵，B树苗的售价与数量均不变．若小区实际购买这两种树苗的费用比原计划费用多了50元，求a的值． 20．已知：在梯形中，，，对角线相交于点E，且 (1)求证：； (2)点F是边上一点，连结，与相交于点如果，求证： 21．为加强凤中教共体教师联合教研，促进教育优质均衡发展，张老师和王老师从各自学校出发前往总校参加数学联合教研活动，经勘测，如图，公交站点在张老师学校点的正北方200米处，王老师学校点在点的正东方600米处，点在点的东北方向，点在点的正东方，总校点在点的正北方，点在点的北偏东方向（参考数据：， (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)张老师的路线是从点步行至点再乘坐公交车前往点，假设张老师步行的平均速度为80米/分，公交车匀速行驶且速度为250米/分，公交车行驶途中，上下客合计耗时2分钟（张老师上车和下车时间忽略不计），王老师全程步行，他从点经过点买水（买水时间忽略不计）再前往点，假设王老师步行平均速度为100米/分，请问张老师和王老师谁先到达总校点呢？说明理由． 22．如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年山东省潍坊市上学期期中自编模拟卷 九年级数学 参考答案 一、选择题：本题共6个小题，每小题4分，共24分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1 2 3 4 5 6 D D B A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求 的，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 7 8 10 ABC BCD ABD AC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11、39 13、2 14、4 四、解答题：本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(8分) 【详解】(1)解：：3x2+x-5=0, a=3,b=1,c=-5, △=b2-4ac=1-4×3×-5)=61, “x=±6-1±6 2×36 ,56 解得：x=1+6. -4分 6 6 (2)xx+4)=-3x-12 解：整理得x(x+4)=-3(x+4), 因式分解得x(x+4)+3x+4)=0, 则(x+4)(x+3)=0, x+4=0或x+3=0, 解得：x1=-4,x2=-3. ---4分 16.(8分) 【详解】①解：红-+ +-5+2sin45°-√8 -1+2+5+2×2-22 2 =8-√2 4分 (2)cos245°+sin60°.tan30°-V1-tan60)2 950可 5-刂 =1-V3+1 =2-5. 17.(10分) 【详解】(1)解：由题意，△=(-62-4m≥0， 解得m≤9； ---4分 (2)由题意，得：x1+x2=6,xx2=m, x1+x2-2xx2=0, 6-2m=0,解得m=3. 10分 18.(10分) 【详解】(1)证明：连接OB、OC B :OA、OB、0C均为⊙0的半径， .0A=0B=0C. 又AB=BC,OB=OB, .△OAB≌△OCB(SSS. .∠OBA=∠OBC,即∠ABC=2∠OBA :∠BOE是△OAB的外角， ∴.∠BOE=∠OAB+∠OBA=2∠OBA, .∠BOE=∠ABC. :∠ABC与∠AEC均为弧AC所对的圆周角， .∠ABC=∠AEC, .∠BOE=∠AEC, :OB∥CD(内错角相等，两直线平行)， :BD是OO的切线，OB是半径， :OB⊥BD(切线垂直于过切点的半径)， .∠0BD=90°. :OB∥CD, :∠BDC=∠0BD=90°（两直线平行，同位角相等）， 即BD⊥CD, (2)解：：BD⊥CD,BD=2,CD=6 :.在RtABDC中，由勾股定理得： BC=√BD2+CD2=V22+62=√4+36=√40=20. / B D E :AE是O0的直径， :∠ABE=90°（直径所对的圆周角为直角）. 又：∠BDC=90°， :∠ABE=∠CDB(均为直角). :∠BAE与∠BCD均为弧BC所对的圆周角， .∠BAE=∠BCD, :.△ABEACDB(两角分别相等的两个三角形相似)， AB BEAE CD BD BC :AB=BC=2√10，设O0半径为r,则AE=2r ①求半径：代入B=45得：20.2”， CD BC 6210 化简得： v10 3 0, 即r=i0x010 3 3 ②求BE:代入 9=BE得：20_BE, CD BD 6 2 化简得： 10 BE -= 31 2 解得：BE= 2W10 3 答：00的半径为号，8E的长为2 10 -10分 3 19. 【详解】(1)解：设计划购买A种树苗x棵，B种树苗y棵， 依题意得： x+y=100 40x+35y=3800' x=60 解得： y=40 答：计划购买A种树苗60棵，B种树苗40棵； --------5分 2)解：依题意得：(40-a)(60+2a+35×40=3800+50, 整理得：a2-10a+25=0, 解得：a41=a2=5, 答：a的值为5. -11分 20.（11分) 【详解】(1)解：如下图，过点A作AH⊥BC于点H, D E G H B 过点A作AH⊥BC于点H, AD∥BC,∠BCD=90°， ∠ADC=90°， :AC⊥BD, ∴∠BEC=90°，则∠EBC+∠ECB=90°， 又：∠ECB+LACD=90°， .∠EBC=∠ACD, 在△ACD和△BCD中， ∠ADC=∠BCD=90°，∠ACD=∠DBC, ∴△ACD∽△DBC, ADAC DC DB 即AD·BD=AC·CD; (2):AD∥BC, .∠ADB=∠DBF, .∠BAF=∠DBF, ∠ADB=∠BAF, :∠ABG=∠DBA, .△ABG∽△DBA, AG AB AD BD' AG2AB2 ADBD 又：△ABGm△DBA, BG AB AB BD ·AB2=BGBD, AG2 AB2 BGBD BG AD2 BD BD2BD -11分 21.(13分) 【详解】(I)解：如图：过B点作BF⊥CD交CD于点F, 北 东 609 D 45 B 由题意得：AC=BF=200米，AB=CF=600米， ∠FBD=45°，∠BFD=90°， ∴△BFD是等腰直角三角形， DF=BF=200米， :BD=VFD2+BF2=200V2≈283（米）· 答：BD的长度为283米. (2)解：：CD=CF+DF, CD=800米， :点E在点C的北偏东60方向， ∠ECD=30°， ..CE=- CD 1605(米)，ED=cD-an∠ECD=8005 (米)· cos∠ECD 3 3 / 张老师花费时间=200÷80+1600V5 ÷250+2≈8.1949分) 3 王老师花费时间=200√2÷100+8005 ÷100≈7.446（分) 3 8.1949>7.446 ·王老师花费时间更少 答：王老师先到总校点E, -13分 22.(13分) 【详解】(1)解：：CE=CB,且∠CBE=60°， ·△CBE是等边三角形， ∠BCE=60°； ----3分 (2)解：如图，延长CO交⊙0于点M,连接EM, B F :CM是⊙0的直径， ∴∠CEM=90°，即∠AEC+∠AEM=90°， :LAEM=∠ACM,∠AEC=∠ACF, .∠ACF+∠ACM=90°， ∠MCF=90°， .0C⊥CF, :0C是00的半径， 直线CF是oO的切线： --8分 (3)解：存在常数a=1,b=1,使等式AC2=aBC.CE+bAB.AE成立； 理由如下： 如图，设AC与BE交于点N, / B C :AC平分∠BAE, ∠EAC=∠BAC, :∠EAC=∠EBC,∠BEC=LBAC, .ZEAC ZEBC ZBAC ZBEC .CE =CB, :∠AEB=∠BCA, △BCN∽△ACB,△AEN∽AACB, BC CN AE AN AC CB'AC AB :.BC2=ACx CN①，AE×AB=AC×AN②， ①+②得：BC2+AE×AB=AC×CN+AC×AN=AC(CN+AN)=AC2, CE=CB, .AC2=BCICE+ABLAE, a=1,b=1. 13分 2025-2026学年山东省潍坊市上学期期中自编模拟卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：青岛版九年级上册第全部。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、求代数式的值等知识点，掌握整体思想代入求值是解题的关键． 由方程的解可得，然后代入所求代数式求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴代数式． 故选：A． 2．如图所示，在中，，于点，，，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余角的性质证明，根据勾股定理，利用余弦的定义计算即可． 本题考查了余角的性质，勾股定理，余弦的定义，熟练掌握定义和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟记弧长公式． 连接，圆周角定理得到，再由勾股定理求出半径，然后由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是：， 故选：D． 4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查根的判别式，二次根式有意义的条件，根据方程有两个不相等的实数根得到，结合二次项的系数不为0，以及二次根式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且，且， 解得：且， 故选：D． 5．如图，为的直径，，是上的两点，若，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 连接，由圆周角定理可得，，再由直角三角形锐角互余求解即可． 【详解】解：连接． 是直径， ， ， ， 故选：B． 6．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，中垂线的性质，根据，得到，设，中垂线的性质，得到，根据，求出的值，再利用勾股定理，求出的长． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 故选A． 2、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 7．如图，在中，，是边上的高，则下列选项中可以表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】本题考查了求角的正切值，掌握正切的含义是解答本题的关键． 根据题意可推出、、均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出即可． 【详解】解：在中，，是边上的高， 、、均为直角三角形， 又，， ， 在中，，故A可以表示； 在中，，故B可以表示； 在中，，故C可以表示； D不能表示； 故选：ABC． 8．关于的一元二次方程，下列说法正确的有（   ） A．此方程总有两个不相等实数根 B．此方程必有一根是2 C．当为整数时，方程两根均是整数 D．当时， 【答案】BCD 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，以及一元二次方程根的定义，因式分解解一元二次方程；对于方程，分析各选项：计算判别式，当时，方程有相等实根，故A错误；代入验证，方程恒成立，故B正确；方程可分解为，当为整数时，根和均为整数，故C正确；当时，方程化简为，两根均为2，故D正确． 【详解】解：A、判别式，当时，方程有两个相等实数根，故本选项不符合题意； B、代入，得，等式成立，说明是方程的根，故本选项符合题意； C、通过因式分解得，则，，当为整数时，两根均为整数，故本选项符合题意； D、代入，方程变为，解得，故本选项符合题意； 综上，正确选项为BCD． 故选：BCD． 9．如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆弧的中点，是的中点，交于点，交于点，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】证出，根据圆周角定理可得，则选项A正确；先证出，，则可得，，从而可得，再根据对顶角相等、等量代换即可判断选项B正确；延长，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据可得，则选项C错误；连接，先根据勾股定理可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，则可得，可判断选项D正确，由此即可得． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 由圆周角定理得：，则选项A正确； ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵是半圆的直径，为圆心，是半圆弧的中点， ∴，， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴，则选项B正确； 如图，延长，交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴，则选项C错误； 如图，连接， 在中，， ∵，，即垂直平分， ∴， ∴，则选项D正确； 故选：ABD． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 10．如图，中，平分交BC于点交AB于点，为AE的中点，交的延长线于点．下列结论，其中结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】本题重点考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． ，可判断A；证，得不一定等于4．可判断B；当时成立，可判断C；连接，可证，得；证，得比例线段求解，可判断D． 【详解】解：， ∵， ∴． 故A选项正确； 作于 平分交于点 即 得， 故B不正确； ∵， 又 ∵ 故C正确； 连接， 在中，为斜边的中线， 则． ∵， ∴， ∴． 故D错误． 故选：AC． 3、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．若a，b为一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】39 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 将其中一根a代入到一元二次方程根的定义得出，根与系数的关系得出，，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵a，b为一元二次方程的两个实数根， ∴，， 将a代入得，， ∴， ∵ ， 将，，代入， 得 ， 故答案为：39． 12．如图，半圆的直径，、为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的基础知识，不规则图形面积的计算方法．根据题意，可求出的度数，且与等底等高，所以阴影部分的面积为扇形的面积，由此即可求解． 【详解】解：连接，， ∵点为半圆的三等分点， ∴，， ∴， ∵半圆的直径， ∴， ∵， ∴与等底等高， ∴阴影部分的面积为扇形的面积， ∴扇形的面积， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 13．如图，在中，为平分线，于，于，，，则＝ ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了外角的性质，角平分线的定义和所对的直角边等于斜边的一半．熟练掌握以上知识点是解题关键． 由题意先证明，再由“所对的直角边等于斜边的一半”找出和的关系即可． 【详解】解：，， ， ，而， ， 为平分线， ， 于，于， ， ， ， ． 故答案为：2． 14．在中，，，，矩形内接于，其中点G、F在上，点D、E分别在上，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的性质建立方程求解． 设，则，通过证明，利用相似三角形对应高的比等于相似比建立方程，进而求出的长度． 【详解】解： 设， ， ， 四边形是矩形， ， ， 设与交于点，则， 根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比， ， 代入，可得：， 解得：， ． 故答案为：4． 4、 解答题：本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ∴， 解得：，； （2） 解：整理得， 因式分解得， 则， 或， 解得：，． 16．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊三角函数的混合运算，实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，根据二次根式的性质化简，熟练掌握相关运算方法以及运算顺序为解题关键． 先算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数值，以及二次根式的性质化简，再合并同类项即可； 根据特殊角三角函数值计算各项，再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 17．（10分）已知关于 x 的一元二次方程 ． (1)若方程有两个实数根，求 m 的取值范围； (2)在（1）中，设  是该方程的两个根，且 ，求 m 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有2个实数根，得到，进行求解即可； （2）根据根与系数之间的关系，得到，根据，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）由题意，得：， ∵， ∴，解得． 18．（10分）如图所示，，C为上的三点，，延长交于点E，过点B作的切线交射线于D． (1)求证：； (2)连接，若，求半径和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为的长为 【分析】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、全等三角形判定、相似三角形判定与性质及勾股定理的应用，解题的关键是正确判定相似三角形的对应角与对应边，利用切线性质和圆周角关系构建等量关系． （1）核心是通过证，结合外角定理和圆周角相等证，进而得垂直； （2）核心是先由勾股定理求，再通过两组对应角相等证，代入数据求半径和． 【详解】（1）证明：连接、 ∵、、均为的半径， ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ∵是的外角， ∴， ∴． ∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵是的切线，是半径， ∴（切线垂直于过切点的半径）， ∴． ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 即． （2）解：∵ ∴在中，由勾股定理得： ． ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）． 又∵， ∴（均为直角）． ∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴． ∵，设半径为，则 ①求半径：代入得：， 化简得：， 即， ②求：代入得：， 化简得：， 解得：， 答：的半径为的长为． 19．（11分）某小区为了改善绿化环境，计划购买A、B两种树苗共100棵，其中A树苗每棵40元，B树苗每棵35元．经测算购买两种树苗一共需要3800元． (1)计划购买A、B两种树苗各多少棵？ (2)在实际购买中，小区与商家协商：A种树苗的售价下降a元，且每降低1元，小区就多购买A树苗2棵，B树苗的售价与数量均不变．若小区实际购买这两种树苗的费用比原计划费用多了50元，求a的值． 【答案】(1)计划购买A种树苗60棵，B种树苗40棵 (2)a的值为5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设计划购买A种树苗x棵，B种树苗y棵，利用总价=单价数量，结合用3800元购买两种树苗共100棵，列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价=单价数量，列出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值． 【详解】（1）解：设计划购买A种树苗x棵，B种树苗y棵， 依题意得：， 解得：， 答：计划购买A种树苗60棵，B种树苗40棵； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：， 答：a的值为 20．（11分）已知：在梯形中，，，对角线相交于点E，且 (1)求证：； (2)点F是边上一点，连结，与相交于点如果，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判断方法． （1）通过找角的关系证明三角形相似； （2）利用相似三角形性质及比例传递，推导出结论． 【详解】（1）解：如下图，过点A作于点H， 过点A作于点H， ，， ， ， ，则， 又， ， 在和中， ，， ， ， 即； （2）， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 21．（13分）为加强凤中教共体教师联合教研，促进教育优质均衡发展，张老师和王老师从各自学校出发前往总校参加数学联合教研活动，经勘测，如图，公交站点在张老师学校点的正北方200米处，王老师学校点在点的正东方600米处，点在点的东北方向，点在点的正东方，总校点在点的正北方，点在点的北偏东方向（参考数据：， (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)张老师的路线是从点步行至点再乘坐公交车前往点，假设张老师步行的平均速度为80米/分，公交车匀速行驶且速度为250米/分，公交车行驶途中，上下客合计耗时2分钟（张老师上车和下车时间忽略不计），王老师全程步行，他从点经过点买水（买水时间忽略不计）再前往点，假设王老师步行平均速度为100米/分，请问张老师和王老师谁先到达总校点呢？说明理由． 【答案】(1)的长度为283米 (2)王老师先到总校点，理由见解析 【分析】本题主要考查了方位角、等腰直角三角形、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键， （1）如图：过点作交于点，由题意得：米，米，易得是等腰直角三角形，则米，再利用勾股定理求解即可； （2）由题意可得米，再求得，然后解直角三角形可得（米）、（米）；再根据时间、路程、速度的关系求得张老师、王老师所用的时间，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点作交于点， 由题意得：米，米， ， 是等腰直角三角形， 米， （米）． 答：的长度为283米． （2）解：， 米， 点在点的北偏东方向， ， （米），（米）， 张老师花费时间 王老师花费时间（分） 王老师花费时间更少 答：王老师先到总校点． 22．（13分）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在常数，，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明是等边三角形即可； （）延长交于点，连接，由圆周角定理可得，即，又，，所以，然后由切线的判定方法即可求证； （）设与交于点，由平分，可得，，通过圆周角定理可得，证明，，故有，，即有，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图，延长交于点，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （3）解：存在常数，，使等式成立； 理由如下： 如图，设与交于点， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 得：， ∵， ∴， ∴，． / 学科网（北京）股份有限公司 $