第一章 特殊平行四边形 单元测试题2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形 一、单选题 1．下列判断错误的是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 2．如图，菱形中，，，则菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，平分交于点E，点F为的中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，点D，E，F分别是的中点，若，则等于（   ） A．6 B．8 C．16 D．4 5．如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别在上，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，是的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，点在对角线上，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ． 10．如图，矩形的对角线，相交于点，．．若，，则四边形的周长为 ． 11．如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为 ． 12．如图，点E、F分别在菱形边、上，，如果的面积是6，的面积为9，那么的面积为 ． 13．如图，四边形是正方形，延长到点E，使，，则的长为 ． 三、解答题 14．如题图，为矩形的对角线． (1)作的垂直平分线，垂足为，且与、相交于点； (2)连接，，，求的长． 15．如图所示，在中，，是中线，是的外角的平分线，垂足为E． (1)求证∶四边形是矩形； (2)连接，若求的长． 16．如图，在正方形的内部作等边，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 17．如图，在中，对角线与相交于点 O ，．若，求的面积． 18．如图，在中，，点D为的中点，过点D作，交于点E，过点A作，交的延长线于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)当，时，求四边形的面积； (3)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法．根据各图形的判定条件逐一分析选项，判断是否存在错误即可． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项的判断正确,不符合题意； B、四个内角都相等的四边形是矩形，故本选项的判断正确,不符合题意； C、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项的判断正确,不符合题意； D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，故本选项的判断错误,符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的性质和利用勾股定理求边长是解题的关键； 先利用菱形的性质求得，，再利用勾股定理求得，从而可求菱形的周长． 【详解】解： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∴菱形的周长为， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，直角三角形中线的有关计算，根据矩形和角平分线的性质可得，由此可得，运用勾股定理可得的值，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解 【详解】解：四边形是矩形 ，， 平分 ， ， ， ， 在中， 点F为的中点 ， 故选：D 4．B 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，根据三角形中位线定理得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴为的中位线， ∴； ∵点为的中点，且， ∴， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作交于点，交于点，证明，推出，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点作交于点，交于点，则：， ∵正方形，边长为8， ∴， ∴四边形为矩形，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，，即：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 6．C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．由，D是的中点，得，从而可证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，由正方形的性质可推出的度数，再证明得到的度数，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积公式、垂线段最短等知识点，根据题意求出的最小值是解答本题的关键．连接，先证明四边形是矩形，由勾股定理求出长，则的最小值即为的最小值，当时，的值最小，再根据等面积法求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，于，于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， 当时，的值最小， ∴此时， ∴的最小值为， 故选：D． 9． 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明为等边三角形，进而得到，三线合一求出的长，证明四边形为平行四边形，进而得到，推出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的边长为2，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴； 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，，即可判定四边形是菱形，继而求得答案． 【详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴，即， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 11．/135度 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质以及三角形的内角和，先根据折叠得到，，，，，根据三角形的内角和为得，再根据三角形的外角得到，计算出，从而得到的度数． 【详解】四边形是正方形，点为边的中点， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．15 【分析】本题考查了三角形中线的性质，菱形的性质．连接，，利用三角形中线的性质求得，，推出，再证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 的面积为， 故答案为：15． 13．/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，由正方形的性质和勾股定理可求出的长，进而得到的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．(1)作图见解析 (2) 【分析】（）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （）由勾股定理得，再根据直角三角形的性质即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的作法，矩形的性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所求，直线即为所求； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵直线垂直平分线段， ∴， ∴． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质； （1）根据等腰三角形的三线合一得到，，然后根据角平分线的定义得到，进而得到，根据垂直的定义得到，即可证明结论； （2）根据勾股定理求出长，然后根据矩形的性质得到，然后根据勾股定理求出长解答即可． 【详解】（1）证明：∵，是中线， ∴，，， 又∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，，根据正方形的性质可得，，则可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先求出，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 17． 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质．根据已知条件得出，即可证明平行四边形是菱形，得到，在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， ，， ∴， ， 在中，， ， ， ，即的面积为． 18．(1)菱形；理由见解析 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的性质、正方形的判定等知识，证明是解题的关键． （1）由得，而即可根据“”证明得，则四边形是平行四边形，因为，所以四边形是菱形； （2）先根据菱形的性质、等腰三角形的判定与性质可证，即四边形的面积倍的面积，再求得的面积即可解答； （3）当时，四边形是正方形，由，点C与点E重合，则，所以当时，四边形是正方形，据此即可解得． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ∵， ． ∵点D为的中点， ． 在和中 ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ，交的延长线于点F， ， ∴四边形是菱形． （2）解：，四边形是菱形， ， ， ∵，， ∴, ∵, ∴， ∴四边形的面积倍的面积． ，， 的面积， ∴四边形的面积． （3）解：∵四边形是菱形， ∴当时，四边形是正方形． ， ∴点C与点E重合， ， ∴当满足时，四边形是正方形（答案不唯一）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $