精品解析：吉林省松原市吉林油田高级中学2025-2026学年高一上学期期初考试数学试卷

吉林油田高级中学2025-2026学年第一学期期初考试 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合与元素的关系讨论求解即可. 【详解】解：因为， 所以，，，，，即ABD不正确，C正确. 故选：C 2. 命题“”的否定为（ ） A. “” B. “” C. “” D. “” 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用含有一个量词的否定求解作答. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是：. 故选：D 3. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断. 【详解】时，不一定满足，充分性不成立； 而，即时一定满足，必要性成立. 则是的必要不充分条件. 故选：B 4. 若集合，且集合有且只有两个子集，则a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由集合有且只有两个子集，所以有集合只有一个元素，从而对的首项系数进行讨论求出参数的值. 【详解】由集合有且只有两个子集，所以有集合只有一个元素， 当时，为满足题意. 当时，只有一个根，则： ， 所以， 综上所述：或. 故选：C. 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质求代数式的范围. 【详解】由题设，，则. 故选：A 6. 设为实数，且，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的性质逐个判断即可. 【详解】，所以，A正确， 取，满足，显然不成立，B错误； 取，满足，显然不成立，C错误； ，得，又，得， 所以，所以，D正确， 故选：AD 7. 用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，菜园的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设矩形的宽为m,长为m，则，利用基本不等式即可求出面积的最大值. 【详解】设矩形的宽为m，长为，则，则菜园面积， ，解得当且仅当时取等号. 故菜园的最大面积是. 故选：B 8. “高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为中国的“新四大发明”．某中学为了解本校学生对“新四大发明”的使用情况，随机调查了100位学生，其中使用过共享单车或扫码支付的学生共有80位，使用过扫码支付的学生共有65位，使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有30位，则使用过共享单车的学生人数为（ ） A. 65 B. 55 C. 45 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】 用集合表示使用过共享单车的人，集合表示使用过扫码支付的人，根据集合运算确定结果． 【详解】参数调查的所有人组成全集，使用过共享单车的人组成集合，使用过扫码支付的人组成集合，表示集合中的元素， 由题意，，， ∴，∴． 故选：C． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据集合之间的基本关系与集合的基本运算逐项判断. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以不成立，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为或，所以，故D正确； 故选：AD. 10. 对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】分类讨论的范围即可求解. 【详解】当时，关于实数的一元二次不等式的解集为； 当时，关于实数的一元二次不等式的解集为; 当时，关于实数的一元二次不等式的解集为; 故选：CD 11. 已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，且，则 C. S不可能是有限集 D. 若S中最小的正数为5，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用定义直接判断A；利用定义推理判断B；举例说明判断C；利用定义结合反证法推理判断D. 【详解】对于A，令是非空数集S的元素，则，A正确； 对于B，由，得，可推得，即， 又，则，从而，则，因此，B正确； 对于C，符合要求，此集合为有限集，C错误； 对于D，由S中最小的正数为5，，可推得， 假设里有形如，那么， 与5是集合中的最小正整数矛盾，因此，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，且，则的值为_____________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系确定的值，结合元素的互异性验证. 【详解】由题意可得或，解得或或， 当时，，符合题意. 当时，，符合题意， 当时，，不满足集合中元素的互异性，不符合. 综上得或. 故答案为：或. 13. 下列各组函数不表示同一个函数的是_____（填写序号）. ①，②， ③，④， 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据函数的要素，定义域和对应关系进行逐一判断. 【详解】①的定义域为，的定义域是，两者定义域不一样，不是同一函数； ②的定义域为，的定义域是，两者定义域不一样，不是同一函数； ③的定义域为，的定义域是，两者定义域不一样，不是同一函数； ④，，两者定义域都是，且，两者对应关系也一样，是同一函数. 故不表示同一个函数的是①②③. 故答案为：①②③ 14. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况，列出相应的不等关系，即可求得答案. 【详解】当时，原不等式为恒成立，则符合题意； 当时，需使，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）求，的值； （3）当时，求，的值. 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）利用函数有意义列出不等式，求解即得函数的定义域. （2）（3）代入自变量值，计算得函数值. 【小问1详解】 使根式有意义的实数x的集合是，使分式有意义的实数x的集合是. 所以，这个函数的定义域是， 【小问2详解】 ； . 【小问3详解】 因为，所以，有意义. ； . 16. 已知不等式的解集为， （1）求a，b的值； （2）求不等式的解集； （3）求不等式的解集. 【答案】（1），； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）法1：和是方程的两根，由韦达定理进行求解； 法2：和是方程的两根，代入方程，进行求解； （2）在（1）基础上得到不等式为，求出不等式解集； （3）在（1）基础上得到不等式为，转化为一元二次不等式，求出答案. 【小问1详解】 法1：依题意，和是方程的两根， 由韦达定理，，解得，； 法2：依题意，和是方程的两根， 直接代入方程得，，解得，； 【小问2详解】 由（1）知，， ∴不等式为，即， 解得：， 不等式的解集为. 【小问3详解】 由（1）知，， ∴不等式为，即， 解得或， 不等式的解集为或. 17. 已知全集，，. （1）求； （2）若且，求a的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集、交集的知识来求得正确答案. （2）先求得，然后根据是否为空集进行分类讨论，列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 因为，， 所以或， 因为， 所以或； 【小问2详解】 因为，， 所以或， 当时，成立，此时，解得， 当时，因为， 所以或 解得， 综上，a的取值范围为. 18. 完成下列证明： （1）已知，，，求证：； （2）求证：是等边三角形的充要条件是.这里a，b，c是的三条边. 【答案】（1） ，， 又，， ，又，. （2） 先证明充分性： 由， 即， 所以， 所以，三角形为等边三角形. 然后证明必要性. 当三角形是等边三角形时，，所以. 综上所述，是等边三角形的充要条件是. 【解析】 【分析】（1）利用不等式性质证明； （2）根据充分性与必要性定义证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题. （1）已知a，b，c为正实数，且，求证：； （2）已知，，且，则的最小值是多少? （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为. 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，且，则的最小值是多少? 【答案】（1） 已知a，b，c为正实数，，则 ， 当且仅当，即时，等号成立，得证. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）令，将原式转化为关于和的表达式，再利用和基本不等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知，，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是. 【小问3详解】 已知，，令，则化为. 原式 ， 当且仅当，即，即， 时等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林油田高级中学2025-2026学年第一学期期初考试 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. “” B. “” C. “” D. “” 3. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若集合，且集合有且只有两个子集，则a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不能确定 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设为实数，且，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 7. 用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，菜园的最大面积是（ ） A. B. C. D. 8. “高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为中国的“新四大发明”．某中学为了解本校学生对“新四大发明”的使用情况，随机调查了100位学生，其中使用过共享单车或扫码支付的学生共有80位，使用过扫码支付的学生共有65位，使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有30位，则使用过共享单车的学生人数为（ ） A. 65 B. 55 C. 45 D. 35 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 11. 已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，且，则 C. S不可能是有限集 D. 若S中最小的正数为5，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，且，则的值为_____________. 13. 下列各组函数不表示同一个函数的是_____（填写序号）. ①，②， ③，④， 14. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）求，的值； （3）当时，求，的值. 16. 已知不等式的解集为， （1）求a，b的值； （2）求不等式的解集； （3）求不等式的解集. 17. 已知全集，，. （1）求； （2）若且，求a的取值范围. 18. 完成下列证明： （1）已知，，，求证：； （2）求证：是等边三角形的充要条件是.这里a，b，c是的三条边. 19. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题. （1）已知a，b，c为正实数，且，求证：； （2）已知，，且，则的最小值是多少? （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为. 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，且，则的最小值是多少? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $