第2章3 利用轴对称进行设计-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（鲁教版五四学制2024）

AC=AC, 13.解：如图所示.（答案不唯一） ∠ACP=∠ACQ, CP=CQ, 所以△ACP≌△ACQ(SAS), 所以∠QAC=∠PAC. 因为∠QMA=180°-∠QMB=∠MQB+∠B, ① ② 所以∠QMA=∠MQB+45°. ★ 问题解决策略：转化 因为∠QAM=∠QAC+∠CAB, 1.C 所以∠QAM=∠QAC+45°. 2.解：如图所示，点P即为所求。 因为AC⊥PQ,AP⊥MQ, B 所以∠BQM=∠PAC. -m 所以∠QAC=∠MQB, 所以∠QMA=∠QAM, 所以AQ=QM,所以AP=QM. 3.解：(1)因为AD=CD,DE⊥AC,所以AF=CF, 所以DE垂直平分AC,所以AE=CE, 所以∠CAE=∠ACE 因为∠ACB=90°， 所以∠ACE+∠BCE=90°，∠CAE+∠B=90°， 所以∠BCE=∠B,所以CE=BE,所以AE=CE= BE. (2)如图所示，连接PA,PB,PC, 3利用轴对称进行设计 D 1.B 2.B 3.G E F H 4.D 5.解：如图所示 --- 则PA=PC, - 因为CAPBC=BC+PB+PC=3+PB+PA, 6.解：如图所示（答案不唯一）. 所以PB+PA最小时，△PBC的周长最小. 因为当A,P,B三点共线时，PB十PA最小， 所以P与E重合时，PB十PA最小， 所以PB+PA=AB时，PB+PA最小， 此时△PBC的周长最小， 所以C△PBc=3+AB=3+5=8, ① 9 所以△PBC的周长最小值为8. 7.D8.B9.C10.C 4.解：因为矩形ABCD中，AB=2BC,且AB=8cm, 11.解：(1)都是轴对称图形面积相等（合理即可） 所以AD=BC=4cm. (2)如图所示（答案不唯一） 所以S阴影=S矩形ABCD十S扇形ADF一S△FBC, 因为S矩形ABcD=AB·BC=8X4=32(cm2), S角形A0p=90·元·4 =4π(cm2), 360 Sax=号BC·FB=×4X(8+4)=24(em', 1 12.解：答案不唯一，如图所示，含义依次为①救死扶 所以S開影=32+4π-24=(8十4π)cm2. 伤；②梯子（攀登）；③吊灯（思考）；④奖杯（胜利）. 所以商标图案的面积为(8十4π)cm2. 5.解：阴影部分的面积=是×云×202-元X10+ 2号×x×102-2x号×10×10）=100x-20 114(平方厘米)， 答：阴影部分的面积约为114平方厘米 6.解：让乙先取，如果乙取a枚，那么甲取的棋子是 15 (3一a)枚，保持每轮两人所取的和为3即可. 因为∠ACD=36°，∠ADC=90°， 7.解：因为200÷4=50， 所以∠BAC=180°-∠DAC=∠ADC+∠ACD=126°. 所以只要甲先拿1枚，乙拿3枚；若甲拿2枚，乙拿 【变式训练2】22.5°或45°或67.5° 2枚；若甲拿3枚，乙拿1枚.每轮乙拿的枚数和甲的 枚数和起来是4，则乙一定能取到最后1枚. 解析：由折叠得∠ACD=∠A'CD=∠a=2∠ACA', 特色素养专题（一）跨学科专题 ∠A=∠A'=30° 当，点A'位于AB下方时，分三种情况：当A'D= 1.B2.A3.C4.D5.C6.C A'E时， 7.解：【分析问题】因为直线1是点B,B'的对称轴，点 C,C在l上， 所以∠ADE=∠AED=名180°-∠A)=75 所以CB=CB',CB=C'B'. 所以∠ACE=180°-∠CEA-∠CAE=∠A'ED- 所以AC+BC=AC+B'C=AB',AC'+BC'= ∠A=45°. AC'+C'B'. 由两点之间线段最短可知，AB'<AC'十B'C', 所以∠ACD=∠ACD=∠a=)∠ACE=2.5 所以AC+CB<AC+C'B. 当DA'=DE时，所以∠A'=∠DEA'=30. 所以作B关于直线1的对称点B',连接AB'与直线 易判断∠DEA'>30°. L交于点C,点C就是饮马的地方. 所以此种情况不成立。 【解决问题】如图所示，分别作点P关于OA,OB的 当ED=EA'时，如图①所示， 对称点C,D,连接CD分别交OA,OB于点E,F,则 所以∠EDA'=∠A'=30°. 路线PE,EF,PF即为所求.易证明CE=PE, 所以∠DEA'=180 DF=PF,则PE十EF+PF=CE十EF+DF,根据 ∠EDA'-∠A'=120. 两点之间线段最短可得路线PE,EF,PF即为 所以∠ACE=180°-∠CEA 所求. ∠CAE=∠A'ED-∠A=90°. 1 所以∠ACD=∠A'CD=a=2∠ACE=45. 当点A'位于AB上方时，分三种情况： 当A'D=A'E时，如图②所示， 本章综合提升 【本章知识归纳】 p② 重合重合垂直平分相等相等相等相等 因为∠A'DE+∠A'ED=180°-∠DA'E=∠CA'D, 等角重合等边60°等腰一半 【思想方法归纳】 则∠ADE=∠AED-∠CA'D-15 【例1】A 所以∠ACA'=180°-∠A-∠A'EA=135°. 【变式训练1】36°或90° 【例2】54°或126°解析：如图①所示，当△ABC是锐 所以∠ACD-∠ACD-∠a-号∠ACA'-67.5 角三角形时， 当DA'=DE时，以及当ED=EA'时，由等腰三角形 的底角不可能为钝角，可判断这两种情况都不成立. 综上所述，若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为 22.5°或45°或67.5°. 【通模拟】 1.D2.C3.B4.D5.56.57.6cm28.13 B 9.6010.311.112.4 ① 13.解：因为EB=EC,所以∠EBD=∠ECD. 因为∠ACD=36°，∠ADC=90°，所以∠A=54° 又因为∠ABE=∠ACE,所以∠ABC=∠ACB. 如图②所示，当△ABC是钝角三角形时， 所以AB=AC. D (AB=AC, 在△ABE和△ACE中，EB=EC, AE=AE, ② 所以△ABE≌△ACE(SSS. 163 利用轴对称进行设计（答案P15) 小正方形涂色，若移动其中一个涂 通基础 LAKKK1111114111 色小正方形到空白方格中，与其余 知识点1利用轴对称进行判断 两个涂色小正方形重新组合，使得 1.几何直观如图所示，下列我国传统图案设计 新构成的整个图案是一个轴对称图形，则这样 的四个图案中，轴对称图形有( 的移法共有() A.5种 B.7种 C.9种 D.10种 5.如图所示的是某飞机机翼设计图的一部分，请 以直线1为对称轴补全机翼， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.将一张正方形纸片按如图①，②所示的方式依 次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图 ④中的纸片打开铺平，所得到的图案是( 6.如图所示，在4×4的正方形网格图中，请分别 在图①②③中添加一个正方形到空白方格中， 与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对 称图形 B 3.如图所示，分别将标号为A,B,C,D的正方形沿 ① ② ③ 图中的虚线剪开后，得到标号为E,F,G,H的四 ☆易错点对轴对称的性质掌握不熟练致错 个图形，按照“由哪个正方形剪开后拼成的轴对 7.空间观念剪纸是中国的民间艺术，剪纸的方法 称图形”的对应关系填空：A与 对应，B与 很多，下面是一种剪纸方法的图示（如图所示， 对应，C与 对应，D与 对应 先将纸折叠，然后剪纸，展开即得到图案)，则下 列四个图案不能用上述方法剪出的是( 知识点2利用轴对称进行设计 4.如图所示，在3×3的正方形网格图中，将三个 △七年级·上册·数学.鲁教版 47 (2)动手操作：请在图④中设计一个新的图 通能力 I1I11111/1/1/1/I/11I1/11/I11/ 案，使其满足你在(1)中发现的共同特征， 8.如图所示，右面的图案是由左面一朵“小花”在 一张半透明的纸上经过多次对折描图后所得 到的，要得到这样的图案，最少需经过( 次对折. ④ 备用图 12.用若干根火柴棒可以摆出一些优美的图案. 游装丧 如图所示的是用火柴棒摆出的一个图案，此 图案表示的含义可以是天平（或公正） A.2 B.3 请你用5根或5根以上的火柴棒摆成一个轴 C.4 D.7 对称图案，并说明你摆成的图案的含义 9.如图所示，至少要将正方形中多少个空白的小 正方形涂黑后，才可以使着色后的图形关于对 角线BD对称( 本 A.2 B.3 C.4 D.5 10.在如图所示的正方形网格图上画有两条线 段，现在要再画一条，使图中的三条线段组成 一个轴对称图形，能满足条件的线段 有() A.2条B.3条 C.4条 D.5条 通素养 KEK11R111111114 11.（1)观察分析：在一次数学综合实践活动中， 13.请在如图所示四个3×3的正方形网格中，画 老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图 出与格点三角形（阴影部分）成轴对称且以格 形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影 点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴 部分构成的图案，写出三个图案具有的两个 影.（注：所画的四个图不能重复） 共同特征： ① 48