第4章4.1 整式-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（人教版2024）

第四章 整式的加减 1111/110 大单元建构 /1/11/1I 单项式 合并同类项 列代数式 整式 整式的加减 多项式 去括号 111/1/ ·本章核心素养 /1/A/I/1/ 学科核心素养 具体内容 价值 通过示例归纳出单项式、多项式的有关概念，弄清它们 感悟数学抽象对于数学产生与发展的作 之间的区别与联系，在此基础上得出整式的概念；通过 用，感悟用数学的眼光观察现实世界的 抽象能力 示例归纳出同类项的概念，掌握去括号时符号的变化 意义，形成数学想象力，提高学习数学的 规律 兴趣 运算能力有助于形成规范化思考问题的 掌握合并同类项和去括号的法则，理解去括号的依据 运算能力 品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学 是分配律，在此基础上能进行简单的整式加减运算 态度 能通过整式的加减运算解决几何图形有关的计算问 几何直观有助于把握问题的本质，明晰 几何直观 题，进一步体会数形结合思想的运用 思维的路径 推理能力有助于逐步养成重论据、合乎 理解整式的加减运算建立在数的运算基础上，类比数 推理能力 逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学 的运算进行整式的加减运算，发展逻辑推理能力 态度与理性精神 应用意识有助于用学过的知识和方法解 能够分析实际问题中的数量关系，通过列出整式的加 应用意识 决简单的实际问题，养成理论联系实际 减算式解决实际问题 的习惯，发展实践能力 △七年级·上册·数学.RJii 67 4.1整式 第1课时 单项式（答案P14) ·通基础 t/1/1/1/I1I1/1l/lI1/l/111I/1I0 B.一52mn3的次数是6 C.-3πab2的系数是一3元 知识点1单项式的概念 D.一x的系数是一1 1.下列式子是单项式的是( 8.(济宁任城区期末)若一mx2ym-1是关于x,y A.3a 的十次单项式，且系数是8，则m十n= C.3a D.x=1 知识点2单项式的系数与次数 9小虎在抄写-个五次单项式一号y。P时，误 2.单项式一3ab的系数是( ) 把y,之上的指数给漏掉了，原单项式可能是 A.3 B.-3 C.3a D.-3a 3.教材P91练习T变式下列说法正确的是( 10.教材P91练习T2变式根据题意列出单项式， A.单项式二x3的系数是一5，次数是2 并指出它们的系数和次数. B.单项式a的系数为1，次数是0 (1)某产品前年的产量是n件，去年的产量是 c.4xy一1是二次单项式 前年产量的m倍，则去年产量为多少？ 4 ②)某班有m人，女生人数是男生人数的号 D.单项式- 6 7ab的系数为一号，次数是2 那么该班男生人数为多少？ 4(永州期末)单项式2xy的系数为a,次数 为b,则a= ☆易错点判断单项式的系数及次数时，误以为 通素养》 “π”是字母而出错 3πxy的系数是 11.推理能方观察下列单项式：一x,3x2,一5x3, 5.单项式一 8 ,次数 7x4,…,-37x19,39x20,… 是 回答下列问题： (1)这组单项式的系数的规律是什么？ 通能力 (2)这组单项式的次数的规律是什么？ 6(长沙雨花区开学)①单项式一T之的系数是 (3)根据上面的归纳，你能猜想出第n个单项 式是什么吗？ ②b的次数系敦都是1，@与都是 1 (4)根据你的猜想，请写出第2025个和第 2026个单项式. 单项式；④单项式2πr的系数是2π.以上说法 中正确的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.(沧州青县期末)下列说法错误的是() 八号是单项式 68 优+学嘉·课时通△ 第2课时 多项式及整式（答案P14) 通基础 知识点3整式 6.把下列各式分别填在相应的大括号内： 知识点1多项式的概念 ,a2-,2m-3pmn2 a-b 一x,3 1下列式子：2a26,3xy-2y2,2,4,m 3’m ’5，-7,9. 单项式：{ …}; x十y,ab-C.其中是多项式的有( ) 多项式：{ …}; 2x' 整式：{ …} A.2个B.3个 C.4个 D.5个 知识点2多项式的项与次数 知识点4根据实际问题列多项式 7.应用意识商场的运动服每套标价a元，运动 2.多项式1+2xy一3xy2的次数及最高次项的系 鞋每双标价b元，实际购买时都是按标价九折 数分别是() A.3,-3B.2,-3C.5,-3D.2,3 付款；该商场又制定了更优惠的买二送一方 下列关于多项式1一2z+号的说法，错误的 式，即按标价购买两套运动服时可赠一双运动 鞋.光明中学七年级五班50名同学每人需要 是() 一套运动服和一双运动鞋， A.它是二次多项式 (1)第一种购买方案：按打九折的方式直接购 B它由1,2，女三项组成 买50套运动服需费用为 ；按打九折 的方式直接购买50双运动鞋需费 C最高次项的系数是 用为 (2)第二种购买方案（买二送一方式）：可以先 D.第二项的系数是一2 购买50套运动服获赠25双运动鞋，再购买 4插家能力者一了十y是五次多项 25双运动鞋共需费用为 式，则m的值为 (3)当a=200,b=100时，以上两种购买方案 5.教材P93练习T2变式指出下列多项式的项和 哪种更省钱？能省多少钱？ 次数，并说明它们是几次几项式 (1)x4-x2-1; (2)-3a2-3b2+1; (3)-2x6+x5y2-x2y5-2xy3+1. ☆易错点混淆单项式和多项式的次数而出错 8.（葫芦岛兴城期末)多项式3xmy2一5x3y一2与 单项式4x3y2之的次数相同，则m的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 △七年级·上册·数学.RJ 69 通能力 1/111/1111I1I11/111HI11I/1/1/11110 (2)当x=1分米，y=4分米时，求李明剪掉 部分的面积。 9.(深州博头期末)在代数式23虹-2y,34, 1 福) 1,x一义，-1中，整式有( 2 ) 福 A.3个B.4个 C.5个 D.6个 H 10.若多项式-日女1+(m-2)z十1是关于 的二次三项式，则m的值是() A.2或-2 B.2 16.如图所示是用棋子摆成的“H”字. C.-2 D.-4 ● 11.抽象能力如果关于x的多项式ax3+(a+ ● ●● 。●●●● 1)x2十2bx一7不含x的一次项和二次项，则 ● ● ● ● (a-b)2o26的值为() ① ② ③ A.-1 B.1 (1)摆成第1个“H”字需要 枚棋子， C.-2026 D.2026 第2个“H”字需要 枚棋子 12.已知x=5-y,xy=2,计算3x+3y-4xy的 (2)按这样的规律摆下去，摆成第n个“H”字 值为 需要多少枚棋子？ 13.有一组多项式：a+b2,a2-b4,a3+b6,a4 b8…请观察它们的构成规律，用你发现的 规律写出第10个多项式： 14.结论开放关于字母x,y的二次三项式，除常 数项一2外，其余各项的系数都是2026. 通素养u (1)请写出一个符合要求的多项式. 17.抽象能力如果关于x的多项式ax4十4x2 (2)若x,y满足x十2+(y-1)2=0,求(1) 中多项式的值 。与3x+5x是同次多项式，求一262中 3b一4的值. 15.几何直观如图①所示是一张正方形纸片，李 明用剪刀沿虚线剪开，制作成如图②所示的 新年挂图，若AE=AG=y,CF=CH=x. (1)用含x,y的式子表示正方形纸片的周长. 70 优+学案·课时通△ 专题二探索规律型问题（答案P15) 类型1》与图形有关的规律探究 5.已知多项式a0-3a9b十5a8b2-7a7b3+…十mb10 1.如图所示是用长度相等的木棒按一定规律构 (1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这 成的图形，依此规律第9个图形中的木棒 个多项式是几次几项式吗？ 有() (2)最后一项的系数m的值为多少？ (3)这个多项式的第七项和第八项分别是 什么？ ① ④ A.46根B.47根C.55根D.57根 2.(安顺模拟)如图所示是一组有规律的图案，第 1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由 7个基础图形组成…第n(n是正整数)个图 案中的基础图形有 (用含n的式子表 示)个」 ① ② 6.探究：多项式a3+b3+3ab(a+b)与(a+b) 类型2》与数字有关的规律探究 的关系 3.(广州荔湾区期中)下面每个表格中的四个数 都是按相同规律填写的、 (1)请分别计算当a=1,b=3和a=-1,b=2 时两个多项式的值， 14 26 3 8 4 10 20 29320 435 554 (2)请写出你发现的规律： 第1个第2个第3个 第4个 (3)利用你发现的规律计算：513一3×51× 根据此规律确定x的值为() 49×2-493的值. A.252B.209 C.170 D.135 类型3)与式子有关的规律探究 4.数学文化我国南宋数学家杨辉（约13世纪） 著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三 角形解释二项式(a十b)”的展开式的各项系 数，此三角形称为“杨辉三角”.根据“杨辉三 角”计算(a十b)20的展开式中第三项的系数 为() (a+b)0………① (a+b…①① (a+bP…①②① (a+b}3……①③③① a+b…①④⑥④① a+b5…①⑤00⑤① A.2021B.2020 C.191 D.190 △七年级·上册·数学.RJ 715.解：因为明文a,b,c,d对应密文a十2b,2b十c,2c十3d,4d, 当放入8克物品时，秤陀所挂位置与提纽的距离为10十2× 所以当明文为2,2,3,3时，对应的密文为：2+2×2=6,2× 8=26(毫米)， 2+3=7,2×3+3×3=15,4×3=12, 当放入10克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10十 所以对应的密文是：6,7,15,12. 2×10=30(毫米)… 本章综合提升 所以当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为 【本章知识归纳】 (10+2x)毫米， 运算符号字母数量数量数商乘积运算数量 当放入x=20克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为 【思想方法归纳】 10+2×20=50(毫米). 【例1】解：(1)(1-2a)a(1-2a) 第四章整式的加减 (2)①a(1-2a)-πb2. 4.1整式 ②当l=80m,a=22m,b=10m时，a(l-2a)-πb2=22× 第1课时单项式 (80-2×22)-3.14×100=478(m2). 1.C2.B3.D 【变式训练1】解：(1)(88一86.5)÷(6-3)=0.5(cm), 所以每本课本的厚度为0.5cm. 4-85- 36.B7.B8.1或-15 (2)课桌的高度是86.5-0.5×3=85(cm), x本课本的高度是0.5xcm, 义后或-号w或-号 所以这摞课本的顶部距离地面的高度是(0.5x十85)cm. 10.解：(1)由题意，得去年产量为mn件，系数为1，次数为2. (3)当x=35时，0.5x+85=0.5×35+85=102.5(cm), 所以课本的顶部距离地面的高度是102.5cm. (②)由题意可得该班男生有m÷(+）=m÷号 【例2】解：【猜想】78 m(人)，系数为号，次数为1 5 【发现】n×(n+3)+2=(n+1)×(n+2) 【位用1原式-2833×803-18品 11.解：(1)这组单项式的系数的符号规律是（一1）”，系数的绝对 值规律是(2n一1)，所以这组单项式的系数的规律是 【变式训练2】解：(1)54 (-1)"(2n-1) (2)由(1)发现的规律可知 (2)这组单项式的次数是从1开始的连续自然数 当铺设这条小路共用去a块六边形地砖时， (3)第n个单项式是(-1)"(2n-1)x” 用去正方形地砖的块数为(5a十l)块，用去三角形地砖的块 (4)第2025个单项式是一4049x225,第2026个单项式 数为(4a+2)块. 是4051x2026 (3)当a=25时， 第2课时多项式及整式 5a+1=5×25+1=126(块)， 1.B2.A3.B 4a+2=4×25+2=102(块)， 4.6解析：由题意可知：m-3十2=5，所以m=6. 所以126+102=228（块）， 5.解：(1)x-x2-1的项是x‘,-x2,-1,次数是4，是四次三 即此时正方形地砖和三角形地砖的总数量为228块 项式 【通模拟】 (2)-3a2-3b2+1的项是一3a2,-3b2,1,次数是2，是二次 1.A2.D3D4-35(分a+6） 6.(a2-r2) 三项式. (3)-2x6+x5y2-x2y5-2xy3+1的项是-2x6,x5y2, 7.解：由题意，得 一x2y5,一2zy3,1,次数是7，是七次五项式. (1)中的调价结果是a(1+20%)(1-20%)=0.96a, min2 (2)中的调价结果是a(1一20%)(1+20%)=0.96a, 6.解：单项式：一x,写，一7,9… (3)中的调价结果是a(1+15%)(1-15%)=0.9775a, 由上可得三种方案调价结果不一样，最后都没恢复原价 【通中考】 8.C9.A10.3n11.11 12.50解析：由题可得当放入0克物品时，秤砣所挂位置与提7.解：(1)45a元45b元(2)(50a十25b)元 纽的距离为10毫米， (3)当a=200,b=100时， 当放入2克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10十2× 因为45a+45b=9000+4500=13500(元)， 2=14(毫米)， 50a+25b=10000+2500=12500(元)， 当放入4克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10十2× 又因为12500<13500， 4=18(毫米)， 所以第二种购买方案更省钱，可以省13500一12500= 当放入6克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10十2X 1000(元). 6=22(毫米)， 8.D9.C10.C11.B 14 12.713.a0-b20 14.解：(1)关于字母x,y的二次三项式，除常数项一2外，其余 4.-x2y2y10zy(答案不唯-) 各项的系数都是2026，符合要求的多项式可以是2026xy十 5.B6.8 2026x2-2.(答案不唯一) 7.解：(1)原式=(2x2+4x2)+(-3x-6x)-5=6x2-9x一5. (2)由x十2|+(y-1)2-0,得 (2)原式=a2+(-2ab+2ba)+(-3a+2a)+5=a2-a+5. x+2=0,y-1=0. 8.解：(1)原式=-2x3-9x2-8x十5. 解得x=-2,y=1. 当x=-2,y=1时，2026xy+2026x2-2=2026×(-2)× 当x=合时，原式=号号+4+5=7 1+2026×(-2)2-2=4050. 1 (2)原式=-m2n-2mn.当m=-1,n=3 时，原式 15.解：(1)由题意，得四边形GDCH是长方形， 所以GD=CH=x. -1+21 3T33 所以AD=AG+GD=y+x. 9.-7+2xy2-3x2y+x3y3 所以这个正方形纸片的周长为4(x十y)=4x十4y. 10.B11.B (2)由题意，得剪掉部分的面积为2xy. 12.B解析：第一天是mkg,第二天是(m十2)kg,第三天是 所以当x=1分米，y=4分米时，2xy=2X1×4=8(平方分米). 3mkg,则它们的和为m十2十3m十m=(5m+2)kg. 所以剪掉部分的面积为8平方分米 13.-314.-8 16.解：(1)712 15.一21解析：由题意得m-2=3,2n=4, (2)摆成第n个“H”字需要(5n+2)枚棋子 解得m=5,n=2, 17,解：若a=0,则6=2，当6=2时，原式=号×8-2X4十3X 所以n2-m2=22-52=4-25=-21. 16.-1 2-4=-2,若a≠0，则b=4,当6=4时，原式=2×64- 17.解：因为a-2|≥0，(b-3)2≥0， 2×16+3×4-4=8.综上所述，26-262+3b-4的值 且|a-2|+(b-3)2=0, 所以a-2=0,b-3=0, 是-2或8. 解得a=2,b=3. 专题二探索规律型问题 原式=(3a2-a2)+(-4ab+3ab)+(5-3)=2a2-ab+2.当 1.C a=2,b=3时，原式=2×22一2×3十2=4. 2.(3n十1)解析：观察可知，第1个图案由4个基础图形组成， 18.解：由题意，得1一2m=一4m, 4=3十1，第2个图案由7个基础图形组成，7=3×2十1， 第3个图案由10个基础图形组成，10=3×3十1… 解得m=一是 所以第n个图案中基础图形有(3n十1)个. 3.B解析：由分析可知，2a十2=20，解得a=9, 原式=2m+m-1-2×(←2）广°+(-2）-1=-1. 所以b=10, 19.解：(1)地面总面积为4xy+2y+2×(4y-2y)+2y×(2+2)= 所以x=20b十a=209. (14y+4xy)m2. 4.D (2)当x=4,y=2时，铺地砖的费用为(14×2+4×4×2)× 5.解：(1)这个多项式是按a的降幂排列的，且每一项的次数都 30=1800(元) 是10，奇数项的符号是正号，偶数项的符号是负号， 20.解：有道理. 所以这个多项式是十次十一项式： 理由：7a3-6a3b+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3=(7+3- (2)最后一项的系数m的值为21. 10)a3+(-6十6)a3b+(3-3)ab=0,所以给出的条件a=3, (3)这个多项式的第七项是13ab,第八项是-15a3b7. b=2是多余的. 6.解：(1)当a=1,b=3时，a3+b3+3ab(a+b)=13+33+3×1× 第2课时去括号 3×(1+3)=64,(a+b)3=(1+3)3=64. 1.B2.D 当a=-1,b=2时，a3+b3+3ab(a+b)=(-1)3+23+3×3.(1)a+b-c(2)a-2b-b2+2a2 (-1)×2×(-1+2)=1,(a+b)3=(-1+2)3=18=1. 4.D5.B6.0 (2)a3+b3+3ab(a+b)=(a+b)3[或(a+b)3=a3+b3+ 7.解：(1)原式=-2a2-5-3a2+2+8a2+2=(-2a2-3a2+ 3ab(a+b) 8a2)+(-5+2+2)=3a2-1. (3)原式=513+3×51×(-49)×[51+(-49)]+(-49)3= (2)原式=a-2a+b-a-2b=(a-2a-a)+(b-2b)= [51+(-49)]3=23=8. -2a-b. 4.2整式的加法与减法 (3)原式=2x2-4xy-3y2+9xy=2x2-3y2+5xy. 第1课时合并同类项 (4)原式=-3x2+6.x+12-2x2+10x-1=-5x2+ 1.B2.C3.B 16x+11. 15